مقاله چند بعدي
حل مسايل مقدار اوليه- مرزي دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي مرتبه بالا غير خطي بوسيله شبكه هاي عصبي مصنوعي پيشخور.
چكيده
در اين مقاله روش جديد عمومي براي حل علمي مسايل مقدار اوليه- مرزي دستگاه معادلات جزئي بخصوص مراتب بالا و غيرخطي در يك ابرمكعب سيلندري ارائه مي شود. اين روش يك روش مش- فري بوده و جدايي بفرم بسته تحليلي توليد ميكند. تركيبي از مفاهيم شبكه هاي عصبي مصنوعي و ابزارهاي بهينه سازي چند بعدي در اين روش بكار ميرود. بوسيله مفاهيم تقريب توابع چندمتغير، وابسته به مباحث شبكه هاي عصبي مصنوعي پيشخوار و نيز بكمك هم محلي در نقاطي مشخص، حل مسئله مقدار اوليه- مرزي به مسئله بهينه سازي نامتغير يك تابع انرژي تبديل ميگردد. بعبارت دقيقتر يك جواب آزمون عصبي براي مسئله مقدار اوليه- مرزي متشكل از مجموع دو قسمت در نظر ميگريم: قسمت اول در شرايط اوليه- مرزي (زماني- فضايي) صدق ميكند، درحاليكه قسمت دوم شامل متغيرهاي لازم براي مينيمم سازي تابع خطاي مسئله ميباشد و بكمك يك شبكه عصبي سه لايه و پيشخور شبيه سازي گشته و براي صدق در دستگاه معادلات ديفرانسيل مسئله آموزش ميبيند. اين روش را ميتوان بعنوان تعميمي مناسب از روشهاي معيني در نظر گرفت. كاربرد اين روش جديد صرفنظر از نوع شرايط اوليه- مرزي در دامنه اي از يك معادله ديفرانسيل معمولي تا دستگاهي از معادلات ديفرانسيل جزئي متغير است.

كلمات كليدي:
دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي وابسته بزمان- مسايل مقدار اوليه- مرزي- شبكه هاي مصنوعي پيشخور- يادگيري نظارت بهينه سازي نامقيد چندبعدي.

۱٫مقدمه:
در علوم مهندسي اغلب سيستمهاي دنياي واقعي كه با معادلات ديفرانسيل توصيف شده اند، شامل چندين شرط اوليه يا مرزي وابسته به شرايط فيزيكي مسئله نيز ميباشند. مهمترين شاخص در مورد هر مسئله مقدار اوليه- مرزي براي يك دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي عبارتست از خوش‌خيمي آن يعني وجود و يكتايي جواب مسئله بسته بنوع معادلات و نيز نوع شرايط اوليه- مرزي قابل بحث است. مانند ساير مسايل روشهاي زيادي هر چند مشكل، براي حل غيرتحليلي چنين مسايلي وجود دارد از قبيل روشهاي جداسازي متغيرها، تبديلات انتگرالي، تغيير مختصات، تغيير متغيير وابسته، معادلات انتگرال و . . . ارزش اين روشها زماني مشخص تر ميشود كه براي مسايلي بكار بروند كه جواب تحليلي نداشته يا جواب تحليلي‌شان مستقيما قابل محاسبه نباشد. اين ارزش در صورت توانايي بكارگيري روش براي دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي (وابسته بزمان) از مراتب بالا و غيرخطي، دوچندان ميشود.

در رياضيات كاربردي عبارتند از همگرايي، پايدار علمي، سازگاري و خوشحالي عددي آنها. سه دسته مجزا براي اين روشهاي حل غيرتحليلي ميتوان در نظر گرفت: روشهاي تغييراتي، روشهاي بسطي و روشهاي علمي. در روشهاي تغييراتي معادلات ديفرانسيل مسئله را بهمراه شرايط اوليه- مرزي آن بيك مسئله مينيمم سازي تابعكي مناسب در يك فضاي تابعي تبديل كرده و با حل اين مسئله بهينه سازي جواب مسئله اصلي را بدست مياوريم. مهمترين مشكل چنين روشهايي تعريف مناسب تابعكهاي مورد نياز ميباشد.
در روشهاي بسطي (طيفي و شبه طيفي) مانند روشهاي هم محلي و گالركين يا روشهاي سري فوريه، سري وزنوله متناهي جواب تقريبي مسئله را بكمك يك دسته از توابع پايه اي (چندجمله ايهاي متعامد) در نظر گرفته و با تحويل مسئله اصلي بيك دستگاه معادلات (خطي) ضرايب مجهول سري مذكور را بدست مياوريم مهمترين مشكلات اين روشها نحوه انتخاب توابع پايه اي و چگونگي محاسبه ضرايب مجهول، ميباشد.

تا اينجا روشهاي مزبور همگي بدون مش ميباشند. در مقابل، روشهاي علمي طبق معمول بر پايه گستر سازي دامنه تعريف مسئله به تعداي المان، محلي بوسيله يك مجموعه از پيش تعيين شده و متناهي از نقاط گرهي بنام مش، استوار هستند و جواب را در اين مجموعه متناهي از نقاط بدست ميدهند.
مهمترين مشكلات چنين روشهايي عبارتست از اسلوب المان، خواص حل كنندة اصلي و محاسبات مربوط به توليد مش. از ميان روشهاي علمي براي حل مسايل مقدار اوليه- مرزي معادلات ديفرانسيل جزئي، مشهورترينشان روشهاي تفاضلات، المان محدود، حجم محدود و المان مرزي ميباشند.

اكثر كارهاي پيشين در حل مسايل مقدار اوليه امرزي معادلات ديفرانسيل جزئي در يك دامنة ابر مكعبي بكمك شبكه هاي عصبي پيشخور، به اصل جايگذاري تقريب تابع جواب كه بوسيلة خواص تقريب زنندگي شبكه هاي عصبي مصنوعي بدست آورده است، در معادلات (و شرايط اوليه امرزي) مسئله، استوار ميباشند.
از اولين موارد چنين كاربردي را ميتوان در يافت. كه در اولي معادله خطي پواسون با نرم خطاي چهار رقم اعشار و نيز معادله گرماي غيرخطي، حل شده است و دومي نيز شامل حل عددي دو مسئله مرتبه دو بيضوي تا شش رقم اعشار دقت ميباشد.
در سال ۱۹۹۸ لاگاريس و ديگران در با تعميم و تدقيق اصل مذكور در با روش بدون مش به حل مسايل غير خطي مرتبه دو با شرايط مرزي مخلوط (ديريكله و نويمان) تا دقت حدود هفت رقم اعشار در رژيمي علمي مبادرت ورزيده اند.

حاوي كاربردي از شبكه هاي عصبي مصنوعي پيشخور براي حل علمي نوع خاص از معادلات ديفرانسيل جزئي مرتبه اول است. معادله هاميلتون- ژاكوبس- بلمن كه مرتبه اول و غير خطيست در و با كمك يك شبكه عصبي مصنوعي سه لايه حل گرديده است و در نيز مسئله مرتبه دو يك بعدي (وابسته به زمان) جريان غيرثابت آبهاي زيرزميني، بكمك شبكه هاي عصبي و الگوريتمهاي ژنتيك حل شده است. در شاهد حل علمي شبكه گرماي كنترل شده با سه رقم اعشار دقت، بكمك شبكه هاي عصبي سه لايه و پيشخور هستيم.

در سال ۲۰۰۳ حسن علي و ديگران در بر مبناي كار مسئله معادله دوبعدي مربع را تا شش رقم اعشار و مسئله معادله نوسان طولي ميله اي با دو سه ثابت را تا پنج رقم اعشار دقت در يك رژيم عصبي حل كرده اند. و اخيراً در به حل علمي معادلات يك بعدي كوراموتو- سرواشينسكي (وابسته به زمان) و معادلات دو بعدي ناويه- استوكس، بوسيله شبكه هاي عصبي مصنوعي پرداخته شده است. و سرانجام، سابقاً با كاربرد روش جديد خود براي حل مسايل مقدار اوليه و مرزي دستگاه معادلات ديفرانسيل معمولي مراتب بالا و غيرخطي، به حل مسايل نمونه (تا مرتبه چهار) با دقت پنج رقم اعشار پرداخته ايم.

در اين مقاله، روش جديدي و كالا براي حل مسايل مقدار اوليه- مرزي دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي وابسته بزمان در كاملترين حالت و در دامنه اي ابرمكعبي سيلندري ارائه ميدهيم. روش ما در واقع تعميمي قوي و كارا از روشهاي طيفي مي باشد، بدين معنا كه جواب آزمون عصبي، شامل ضرايب كنترل كننده دقت در مخرج كسرهايي بعنوان توابع شبه پايدار ميباشد. ما با استفاده از روشهاي تقريب توابع بكمك شبكه هاي عصبي مصنوعي، نياز به گسسته سازي دامنه را برطرف ميكنيم، يعني روش ما مش- فري بوده و تنها از مجموعه نقاط دلخواهي براي هم محلي و آموزش شبكه عصبي استفاده ميكند. بعبارت ديگر، چنانچه خواهيم ديد، مسئله را از زاويه ديگري ميبينيم و در رژيم عصبي براي حل يك مسئله مقدار اوليه- مرزي دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي، شبكه عصبي چند لايه و پيشخور را بعنوان المان تقريب پايه اي (سرير متناهي از تركيب خطي توابع شبه پايه اي) در نظر گرفته و با توجه به خواص تقريب زدن توابع چند متغير، در اين نوع شبكه ها، جواب تقريبي (آزمون) مسئله را بصورت مجموع دو قسمت مينويسيم: قسمت اول، جواب آزمون را مجبور مي كند كه در شرايط مسئله صدق نمايد و قسمت دوم را كه شامل يك شبكه عصبي چند لايه و پيشخوار است، بكمك روشهاي بهينه سازي نامتغير چند متغيره براي صدق در دستگاه معادلات ديفرانسيل مسئله آموزش ميدهيم تا مقادير بهينه پارامترهاي شبكه براي مينيمم سازي يك تابع خطاي مناسب بدست آيد. اين مقادير بهينه پارامترهاي شبكه براي مينيمم سازي يك تابع خطاي مناسب بدست آيد. اين مقادير همان ضرايب تعيين كننده جواب تقريبي مسئله بصورت سري متناهي ‌اي از توابع شبه پايداري، ميباشند.