پیشگفتار :
حدود۷۰ سال پیش، اروین شرودینگر نام Verschrankung را به طبیعت همبستگی كوانتومی اطلاق كرد ] Sch35 .[ درز بان محاوره آلمانی برای مردم غیرفیزیكدان این اصطلاح به معنای ” مچ انداختن ” كار می رود. این واژه درزبان انگلیسی Entanglement و درزبان فارسی در هم تنیدگی ترجمه شده است كه درمعنای ضمنی خود رساتر می باشد . در هم تنیدگی كوانتومی ، نخستین بار در سال ۱۹۳۵ ، توسط انیشتن و همكارانش پادولسكی و روزن۱ ، ] EPR35 [ به طور جدی مورد بحث قرار گرفت . ایده این دانشمندان به صورت پارادوكسی با حروف اول اسامی آنها یعنی EPR معروف شده است . این خاصیت در سالهای اولیه

پیدایش به صورت یك معما بود ، زیرا وجود حالت های درهم تنیده ، پدیده های غیر كلاسیكی را تولید می كند . در آن زمان وضعیت و غیر موضعی بودن سیستم های كوانتومی در هم تنیده ، موضوع اختلاف انیشتن و همكارانش از یك طرف و طرفداران مكتب كپنهاگی از سوی دیگر بود . اما اكثر فیزیكدانان نمی توانستند دلایل موجود در مقاله EPR در رد مكانیك كوانتومی را بپذیرند. تا اینكه در دهه ۱۹۶۰ ، یك آزمایش تجربی برای تحقیق درستی یا نادرستی نظریه EPR پیشنهاد شد . درآن زمان، بل نامساوی موسوم به نامساوی بل را پیشنهاد كرد] Bel64 [ . این نام

ساوی تاییدی بر غیر موضعی بودن سیستم های كوانتومی در هم تنیده است .
با گذشت بیش از چند دهه ، هنوز این خاصیت چه از دیدگاه تئوری و چه از دیدگاه عملی بسیار جالب است . در واقع درهم تنیدگی یكی از حیرت انگیزترین جنبه های فرمولبندی مكانیك كوانتومی می باشد .
درهم تنیدگی رفتار كوانتومی سیستم های دو یا چند ذره ای است كه نخست با هم برهم كنش كرده و سپس از هم جدا می شوند. براساس مكانیك

كوانتومی ، ذرات جدا شده از هم ، حتی وقتی كه هیچ برهم كنش شناخته شده ای بین آنها وجود نداشته باشد، برهم اثر می كنند و داشتن اطلاعات درباره یكی ، منجر به كسب اطلاعات درباره دیگری می شود . در چند سال گذشته با ظهور نظریه اطلاعات كوانتومی و محاسبات كوانتومی، باردیگر بحث درهم

تنیدگی اهمیت فراوان یافته است. كاربردهای متعددی ازحالت های درهم تنیده كوانتومی پیشنهاد شده، از جمله در محاسبات كوانتومی و انتقالات كوانتومی از راه دوراز این مفهوم استفاده می شود. با به كارگیری سیستم های درهم تنیده كوانتومی در انجام محاسبات و ارتباطات می توان این اعمال را در مقایسه با روش های كلاسیكی سریعتر و از طریقی ایمن تر انجام داد .

 

بطور كلی انگیزه بررسی مبحث درهم تنیدگی را می توان در چهار مورد زیر خلاصه كرد :
۱- انگیزه فلسفی : همانطوریكه دیدیم در هم تنیدگی ابتدا بعنوان یكی از مسائل بنیادی و نظری مكانیك كوانتومی، با طرح مقاله EPR مطرح شد. درهم تنیدگی ازاین دیدگاه فلسفی هنوز هم ، قابل بررسی است .

۲- انگیزه بنیادی فیزیكی : درهم تنیدگی یكی از مهمترین مسائل باز مكانیك كوانتومی است كه باید به این سوال پاسخ دهد كه : طبیعت همبستگی های كوانتومی در سیستمهای مركب چیست ؟

۳- انگیزه فیزیك كاربردی: درهم تنیدگی نقش اساسی دركاربرد فیزیك كوانتومی در اطلاعات كوانتومی دارد . كه اخیرا به آن توجه زیادی شده است و بعلت لزوم كاربرد آن در شاخه های مختلف اطلاعات كوانتومی مثل كامپیوترهای كوانتومی ، رمزنگاری كوانتومی، انتقالات كوانتومی از راه دور و… پتانسیل عظیمی از افراد و بودجه را درسالهای اخیر به خود اختصاص داده است .

۴- انگیزه ریاضی محض : مساله در هم تنیدگی مستقیما به یكی از مسائل مهم و باز جبر خطی و آنالیز بنیادی ، یعنی مشخص كردن و طبقه بندی نگاشت های مثبت در جبر *C مربوط می شود .

با ذكر انگیزه های مختلف این بحث ، می توان حدس زد كه افراد مختلف با انگیزه های مختلف، شروع به ساختن پایه های تئوری این مبحث كرده اند تا با تكمیل شدن هرچه بیشتر تئوری، بتوان به كاربردهای صنعتی و تكنولوژیكی مهم آن درست یافت .

در این پایان نامه قصد داریم به معرفی دانش كلی و برخی خصوصیات این ویژگی كوانتومی بپردازیم. در فصل اول پایان نامه ، تعریف بعضی مفاهیم و به طور خاص تعریف درهم تنیدگی و جداپذیری را ارائه داده ایم. اولین و مهمترین بحث در مطالعه سیستم های كوانتومی درهم تنیده ، تشخیص درهم تنیدگی می باشد . طی سالهای گذشته برای تشخیص در هم تنیدگی معیارهای مختلفی معرفی شده اند. در فصل دوم بعضی از این معیارها را ارائه خواهیم كرد و مثالی

از كاربرد هریك از ملاكها بیان خواهیم كرد. درجه هم تنیدگی سیستم های كوانتومی متفاوت است، برخی سیستم ها از جمله حالتهای بل دارای حداكثر مقدار درهم تنیدگی می باشند و سیستم های كوانتومی دیگر درجه هم تنیدگی كمتری دارند. تاكنون روش های مختلفی برای تشخیص اندازه درهم تنیدگی حالتها پیشنهاد شده است . در فصل سوم به چند روش موجود تعیین درجه درهم تنیدگی اشاره خواهیم كرد و یك روش جدید برای بدست آوردن درجه درهم تنیدگی

یك سیستم كوانتومی خاص “كیوبیت-كیوتریت” بدست می آوریم. در فصل چهارم همان سیستم كوانتومی خاص “كیوبیت – كیوتریت” را در نظر می گیریم و برای این سیستم كوانتومی، حالتهای با بیشترین مقدار در هم تنیدگی را بدست می آوریم . درفصل پنجم یكی از كاربردهای درهم تنیدگی، ارتباط از راه دور را در حضور نوفه بررسی
می كنیم. و بالاخره در فصل ششم مفهوم در هم تنیدگی كمكی را بیان كرده و شرایط حاكم بر رده خاصی از حالتها را كه این مقدار برایشان به راحتی قابل محاسبه است ، بدست می آوریم و بزرگی این رده را در دو حالت مختلف محاسبه می كنیم .

فصل اول

درهم تنیدگی و جداپذیری

در این فصل ، پس ازذكرمقدمات ، تعریف درهم تنیدگی ، حالت در هم تنیده و حالت جداپذیر را ارائه می دهیم .

۱-۱ حالت : یك توصیف كامل از یك سیستم فیزیكی را حالت گوییم. در مكانیك كوانتومی ، یك حالت ، یك بردار در فضای هیلبرت است .

۱-۲ فضای هیلبرت :یك فضای برداری روی اعداد مختلط C می باشد . بردارها را به صورت نشان می دهیم یك ضرب داخلی به صورت در این فضا وجود دارد كه می تواند یك زوج مرتب از بردارها را به C (اعداد مختلط) نگاشت كند كه این ضرب داخلی خواص ز یررا دارد .
۱) مثبت بودن برای .
۲) خطی بودن .
۳) تقارن Skew .
فضای هیلبرت با نرم یك فضای كامل است .

۱-۳ كیوبیت : كوچكترین واحد اطلاعات كلاسیكی بیت نام دارد كه دو مقدار را می تواند داشته باشد. واحد مربوطه در اطلاعات كوانتومی یك بیت كوانتومی یا كیوبیت می باشد كه یك حالت را در ساده ترین سیستم كوانتومی توصیف می كند . كوچكترین فضای هیلبرت دو بعدی است ، می توان پایه های راست هنجار این فضا را به صورت و در نظر گرفت. در اینصورت حالت نرمالیزه كلی به صورت بیان می شود كه و اعداد مختلط هستند و . یك كیوبیت یك حالت در فضای هیلبرت دو بعدی است كه در حالت كلی بصورت بالاست . با اندازه گیری روی یك كیوبیت ، كیوبیت به یكی از حالتهای یا تصویر می شود . حالت با احتمال و با احتمال بدست می آید . نكته مهم اینست كه اندازه گیری حالت سیستم را تغییر می دهد . بعبارتی با یك اندازه گیری نمی توان حالت سیستم را بدست آورد. چون پس از اندازه گیری سیستم در یكی از دو حالت یا است و حالت قبلی سیستم از بین رفته است . برخلاف كیوبیت ، یك بیت كلاسیكی را به راحتی می توان اندازه گیری كرد، بدون اینكه حالت سیستم خراب شود و در واقع می توان تمام اطلاعات داخل یك بیت را خواند .

۱-۴ ماتریس چگالی : مكانیك كوانتومی در طی سالهایی كه از تولد آن گذشته است ، به روشهای مختلفی فرمول بندی شده است .یكی از روشهای بیان مكانیك كوانتومی ، براساس روش ماتریس چگالی است. این روش درمواردی كه حالت یك سیستم كوانتومی بطور كامل مشخص نیست، ویا درمواردی كه سیستم ما مركب ازدو یا چند زیرسیستم است ، كارآیی زیادی دارد . یك قضیه كه ما دراینجا آنرا اثبات نمی كنیم ، بیان می كند كه ، اپراتور را اپراتور چگالی گوییم اگر و فقط اگر ، دو شرط زیر را داشته باشد :

۱) ماتریسی با رد واحد باشد .
۲) یك اپراتور مثبت باشد .
توضیح اینكه ما در این بحث از اپراتور چگالی و ماتریس چگالی به یك مفهوم استفاده می كنیم. وماتریس مثبت، ماتریسی است كه ویژه مقادیر غیر منفی داشته باشد .

در بحث ماتریس چگالی ازآنسامبل حالتها استفاده می كنیم كه می توان آنسامبل خالص، كاملا تصادفی و مخلوط را تعریف كرد. اگرحالت سیستم كاملا مشخص باشد یك حالت خالص داریم: . در غیر اینصورت یك حالت مخلوط داریم كه مخلوطی از حالتهای خالص فوق است .ماتریس چگالی را بر حسب حالتهای سیستم به صورت زیر نشان می دهیم :
(۱-۱)

كه درآن احتمال حضور در هر حالت خاص است و . برای یك حالت خالص شرط را داریم در حالیكه برای یك حالت مخلوط
می باشد .

۱-۴-۱ عملگر چگالی تقلیل یافته :
یكی ازمهمترین دلایل استفاده ازماتریس چگالی بعنوان ابزار ریاضی بیان مبحث درهم تنیدگی، اینست كه می توان برای توصیف زیر سیستم های یك سیستم كوانتومی ازآن استفاده كرد.فرض كنید سیستم های فیزیكی A و B ، سیستم كلی را بسازند . اپراتور چگالی تقلیل یافته برای سیستم A به صورت زیر تعریف می شود:
(۱-۲)
كه در آن رد جزئی نسبت به زیر سیستم B است و به صورت زیر نوشته می شود:
(۱-۳)
كه و دو بردار در فضای حالت Aو و دو برداردر فضای حالت B می باشند اپراتورtr كه در سمت راست معادله ظاهر شده است ، اپراتور رد روی زیر سیستم B می باشد بطوریكه
(۱-۴)

۱-۴-۲ ترانهاده جزئی :
برای هر ماتریس چگالی كه روی فضای تعریف شده باشد ، عناصر ماتریسی آنرا می توان به صورت زیر نوشت :
(۱-۵)
كه درآن و پایه های راست هنجار دلخواه در فضای هیلبرت هستند كه به ترتیب زیر سیستم اول و دوم را توصیف می كنند . ترانهاده جزئی نسبت به یكی از زیر سیستم ها (مثلا دومی ) به صورت زیر تعریف می شود .
(۱-۶)
همانطوریكه ملاحظه می شود رد جزئی نسبت به زیر سیستم دوم ، فقط همان اندیسهای لاتین مربوط به زیرسیستم دوم را تغییر داده است . و یا می توان این عمل را به صورت زیر نشان داد :
(۱-۷)
كه در آن T عملگر ترانهاده است .

۱-۵ درهم تنیدگی و جداپذیری :
پس از ذكر مقدمات لازم برای ورود به بحث ، حال به موضوع اصلی در این پایان نامه می پردازیم . می خواهیم توصیف علمی و دقیقی از مفهوم جداپذیری و یا درهم تنیدگی یك حالت كوانتومی ارائه دهیم . این موضوع برای حالتهای خالص بسیار ساده است : یك حالت خالص جداپذیر نامیده می شود اگر و فقط اگر بتوان آنرا به صورت نوشت و در غیر اینصورت درهم تنیده است .
بعنوان مثالی از یك حالت جداپذیر را می توان نام برد و مثال برای حالتهای در هم تنیده خالص ، حالتهای بل هستند .
(۱-۸)
در مورد حالتهای مخلوط: یك حالت مخلوط جداپذیر است اگر توسط دو جزء كه به طور سنتی آلیس و باب نامیده می شوند به یك روش كلاسیكی آماده شده باشد .ماتریس چگالی كه به این روش تولید شده باشد تنها می تواند همبستگی های كلاسیكی داشته باشد . به زبان ریاضی می توان گفت یك حالت مخلوط جداپذیر است اگرو فقط اگر بتوان آن را به صورت زیر نوشت :
(۱-۹)
و در غیر اینصورت در هم تنیده است . در اینجا ها حالتهای مربوط به زیر سیستم اول (آلیس ) و ها حالتهای مربوط به زیر سیستم دوم ( باب ) می باشند و باید دقت كرد كه در حالت كلی و همچنین حالتهای باب نیز لزوما راست هنجار نیستند. و ضرایب احتمال ها هستند به طوری كه و .