دینامیک سازه ها

– مقدمه
در مهندسي سازه ، سازه هائي وجود دارند كه جهت تحليل ديناميكي ، قابل تبديل به سازه يا مجموعه اي از سازه هاي يكدرجه آزادي هستند . بعنوان مثال قابهاي ساختماني پرتال شكلي كه بصورت برشي مدل ميشوند بفرم مجموعه اي از سازه هاي يكدرجه آزادي در نظر گرفته ميشوند . اما واقعيت اينستكه هميشه سيستمهاي سازه اي پيچيده تري وجود دارند كه ميتوان با برخي ساده سازيها با آنها نيز مثل سازه هاي يكدرجه آزادي رفتار نمود . بعنوان مثال ميتوان از سيستمهائي سازه اي كه داراي انعطاف پذيري و جرم گسترده اند يا سيستمهائي كه از جرم هاي متمركز با رابطهاي انعطاف پذير تشكيل شده اند نام برد .

در اين مقاله تحليل ديناميكي تقريبي سيستمهاي متشكل از جرمهاي متمركز با رابطهاي انعطاف پذير با استفاده از روش مختصات كلي) generalized coordinates ( مورد مطالعه قرار گرفته است .

۲- اصول روش مختصات كلي
با رعايت سه فرض اساسي زير ميتوان ساختمانهاي شكل متعارف را بصورت برشي مدل كرد.
۱- جرمها در تراز طبقات متمركز باشند .
۲- تيرها در برابر ستونها صلب باشند . لازم به تذكر است كه با اين فرض اجازه دوران به جرم ها داده نميشود .

۳- از تغيير شكل محوري ستونها صرفنظر ميشود . لازم به تذكر است كه در اين روش ، تنها تغيير شكل جانبي ستونها مورد توجه قرار ميگيرد .
و نتيجه اين كه با مدل كردن ساختمان بصورت برشي ، ميتوان آن را بصورت مجموعه اي از جرمهاي متمركز با رابطهاي انعطاف پذير در نظر گرفت . سازه اي كه به اين ترتيب بدست مي آيد به تعداد جرم هاي متمركزش داراي اشكال مودي يا مودهاي تغيير شكلي ميباشد . اولين مود تغيير شكلي را كه ميتواند اتفاق بيفتد مود اصلي و بقيه آنها مود هاي از مرتبه بالا ناميده ميشوند . تحقيقات انجام شده نشان داده اند كه اثر مود هاي بالاتر در دقت نتايج حاصل از تحليل ديناميكي چنين سيستمهائي كم بوده و بيشترين و تعيين كننده ترين اثر را مود اصلي دارد .

در تحليل ديناميكي تقريبي با ا ستفاده از روش مختصات كلي تنها مود اصلي است كه در نظر گرفته ميشود و از اثر ساير مودها صرفنظر ميشود .
يك ساختمان پرتال شكل N طبقه در شكل (۱) ، مدل شده آن بصورت برشي در شكل (۲) و تحريك خارجي ديناميكي بصورت بار گسترده خارجي P(x,y) در شكل (۳) نشان داده شده است . البته تحريك ديناميكي مي تواند زلزله نيز باشد و در اين مقاله نيز اثر زلزله بر ساختمانهاي برشي مورد توجه قرار گرفته است . اكنون اگر تنها مود اول تغيير شكل را در نظر بگيريم وجابجائي آخرين طبقه را Y(t) فرض كنيم ، تغيير شكل كلي سيستم را كه در شكل (۴) آورده شده ميتوان بصورت زير در نظر گرفت :

شكل (۴) شكل (۳) شكل (۲) شكل (۱)

Y(t) : مختصه كلي يا جابجائي مرجع است كه تابع زمان بوده و درحقيقت پاسخ جرم به تحريك ديناميكي خارجي ميباشد . البته مختصه كلي ميتواند تغيير مكان ويا حتي تغيير زاويه يك نقطه دلخواه از سازه باشد . در سازه هاي مدل شده بصورت برشي معمولأ جابجائي جانبي آخرين گره يا جرم بعنوان مختصه كلي در نظر گرفته ميشود .
اين پارامتر را از آن جهت مختصه كلي گويند كه ميتوان بكمك تابع تغيير شكل ، تغيير مكان تمام نقاط سازه را از روي آن بدست آورد .

: يك تابع هندسي بوده و بيانگر منحني تغيير شكل سيستم مي باشد و براي رسيدن به يك دقت قابل قبول بايد طوري انتخاب شود كه نزديك به منحني مود اول تغيير شكل سازه باشد .

۳ – سازه يكدرجه آزادي كلي
يك سازه يك درجه آزادي به جرم m* ، سختي جانبي k* ، ميرائي c* و تحريك خارجي ديناميكي f*(t) طوري درنظر مي گيريم كه پاسخ اين سازه به تحريك خارجي ديناميكي برابر با Y(t) شود .

سازه يكدرجه آزادي كلي

اگر انرژي پتانسيل سيستم اصلي را با انرژي پتانسيل سيستم يكدرجه آزادي كلي مساوي قرار دهيم خواهيم داشت :
U = سيستم اصلي
U = سيستم يك درجه آزادي كلي
U سيستم اصلي = U سيستم يك درجه آزادي كلي
اگر انرژي جنبشي سيستم اصلي را با انرژي جنبشي سيستم يكدرجه آزادي كلي مساوي قرار دهيم خواهيم داشت : V = سيستم اصلي
V = سيستم يك درجه آزادي كلي

V يستم اصلي V = سيستم يك درجه آزادي كلي اگر كار نيروهاي ميرائي دو سيستم را در اثر يك تغيير مكان مجازي ، مساوي قرار دهيم خواهيم داشت :
= كار نيروهاي ميرائي سيستم اصلي
= كار نيروهاي ميرائي سيستم يك درجه آزادي كلي
كار نيروهاي ميرائي سيستم اصلي = كار نيروهاي ميرائي سيستم يك درجه آزادي كلي
اگر در اثر يك جابجائي مجازي ، كار مجازي دو سيستم را مساوي قرار دهيم خواهيم داشت :
= كار مجازي سيستم اصلي

= كار مجازي سيستم يك درجه آزادي كلي
كار مجازي سيستم اصلي =كار مجازي سيستم يك درحه آزادي كلي
در صورتيكه تحريك خارجي مؤثر بر سازه نيروي زلزله باشد خواهيم داشت :

اكنون كه همه مشخصات سازه يك درجه آزادي كلي تعيين شد ميتوان معادله تعادل ديناميكي آنرا بفرم زير نوشت :

با حل معادله فوق ، كه پاسخ سازه يك درجه آزادي كلي به تحريك ديناميكي خارجي است بدست ميآيد . اكنون ميتوان با بكاربردن يك تابع تغيير شكل مناسب ، پاسخ سيستم اصلي را بدست آورد .
كه در فرمولهاي فوق سختي جانبي ستون طبقه i ام ، جاجبجائي جانبي طبقه i ام ، جرم طبقه i ام ، مقدار تابع تغيير شكل در تراز طبقه i ام ، نيروي وارده در تراز طبقه i ام ، شتاب زمين و جابجائي مجازي ميباشند . لازم به توضيح است كه جهت تحليل ديناميكي سيستم يك درجه آزادي كلي ميتوان هم از روشهاي دقيق و هم از روشهاي تقريبي استفاده كرد . ولي چون روش مختصات كلي اصولأ يك روش تقريبي بوده و قسمتي از اين روش تعيين پاسخ سيستم يكدرجه آزادي كلي است لذا استفاده از يك روش تقريبي براي اينكار معقولتر بنظر ميرسد .

۴- تحليل ديناميكي طيفي
براي تحليل ديناميكي سازه روشهاي دقيق مثل روش تاريخچه زماني (Time History Method) و روشهاي تقريبي مثل روش طيفي(Spectral Method) وجود دارند . در قابهاي ساختماني پرتال شكل مدل شده بصورت برشي اختلاف نتايج حاصل از ايندو روش قابل اغماض مي باشند . روش طيفي كه يك روش سريع و مناسب براي تحليل ديناميكي سازه است در اين مقاله مورد استفاده قرار گرفته است . همانطور كه اشاره شد در روش طيفي از اثر مودهاي بالاتر صرفنظر ميشود بنابراين اختلاف بين نتايج حاصل از دو روش فوق نسبت به حالتي كه اثر همه مودها يا مودهاي مهم در نظر گرفته ميشود محسوس تر ميباشد اما اين اختلاف به نوعي نيست كه قابليت روش طيفي را با در نظر گرفتن يك مود زير سؤال ببرد . پارامترهاي مورد نياز براي تحليل ديناميكي طيفي عبارتند از : پريود اصلي سازه كه با T1 نمايش داده ميشود ، ماكزيمم جابجائي پايه متناظربا با T1 1كه با نمايش داده ميشود و

ماكزيمم شتاب متناظر با T1 كه با نمايش داده ميشود . براي محاسبه T1 از روشهاي تقريبي مثل روش رايلي استفاده ميشود . در اين روش با استفاده از جرم متمركز شده طبقات ، سختي جانبي رابطهاي انعطاف پذير بين جرمها و مقدار تابع تغيير شكل در تراز هر جرم يك زمان پريود براي سازه محاسبه ميشود كه با زمان پريود مود اول سازه اختلاف خواهد داشت واين در حاليستكه با چند سيكل اصلاح زمان پريود تقريبي منطبق بر زمان پريود دقيق خواهد شد . تعداد سيكلهاي اصلاح بستگي به نوع تابع تغيير شكل دارد . در اينجا جهت جلوگيري از حجيم شدن مطالب از ارائه روش رايلي و نحوه اصلاح زمان پريود صرفنظر شده وتنها زمان پريود دقيق مود اول سازه ها مورد استفاده قرار گرفته اند . مقادير و از طيف پاسخ مؤلفه شمال – جنوب زلزله ال سنترو براي ميرائي ۵% استخراج ميشوند .

,
برش پايه ماكزيمم
در فرمولهاي فوق فركانس زاويه اي نوسان ، نيروي وارد به هر جرم و هم بيانگر دو بار مشتق نسبت به زمان ميباشد .
۵- توابع تغيير شكل
همانطور كه قبلأ اشاره شد انتخاب تابع تغيير شكلي كه تقريب مناسبي از شكل مود اول ارتعاش باشد مهمترين تأثير را بر دقت جوابهاي حاصل از تحليل ديناميكي قابهاي ساختماني مدل شده بصورت برشي با استفاده از روش مختصات كلي دارد . در اينجا هفت تابع ساده كه احتمالأ داراي اين شرط هستند مطرح ميشوند :
۱- تابع تغيير شكل خطي ………………………………………………………………………………………………………………………….
۲- تابع تغيير شكل كسينوسي ……………………………………………………………………………………….. ۳- تابع تغيير شكل سينوسي ……………………………………………………………………………………………….
۴- تابع تغييرشكل تير طره با يك بار متمركز در انتهاي آزاد …………………………………………………. ۵- تابع تغيير شكل تير با بار يكنواخت ………………………………………………………………… ۶- تابع تغيير شكل تير طره با بار خطي با شدت ماكزيمم در سرآزاد …………. ۷- تابع تغيير شكل تير طره با بار خطي با شدت صفر در سر آزاد ……………………….. البته لازم به توضيح است كه توابع فوق طوري تنظيم شده اند كه . در اين مقاله رفتار اين توابع تغيير شكل در تحليل ديناميكي با استفاده از روش مختصات كلي مورد مطالعه قرار گرفته اند .

۷- مقايسه دقت توابع تغيير شكل

براي مقايسه دقت توابع تغيير شكل معرفي شده در قسمت (۶) ، ۱۸ قاب ساختماني پرتال شكل فولادي كه نسبت به بار قائم طراحي شده اند و پس از مدل كردن بصورت برشي نسبت به خيز جانبي آخرين طبقه كنترل شده اند ، انتخاب ميشوند . روند كلي براي چنين مقايسه اي به اين صورت است كه تمام قابهاي مورد نظر بروش تاريخچه زماني و با استفاده از نرم افزار كامپيوتري SAP 90 تحليل ديناميكي شده اند . جهت تحليل ديناميكي بروش مختصات كلي يك برنامه كامپيوتري بنام Mogayese وبا استفاده از نرم افزار كامپيوتري Fortran PowerStation 4.0 نوشته شده است . اين برنامه ، برش پايه و اولين زمان پريود اصلاح نشده حاصل از هر هفت تابع تغيير شكل را ارائه ميكند كه قابل مقايسه با برش پايه و زمان پريود اصلي حاصل از تحليل دقيق با استفاده از نرم افزار SAP 90 ميباشند . در مورد زمان پريود در قسمتهاي قبلي توضيحات كافي ارائه شد . از اينجا به بعد تمام توجه خود را بر روي برش

پايه ها متمركز مي كنيم . يراي مقايسه برش پايه هاي حاصل از روش مختصات كلي وروش دقيق از روش مقايسه نموداري استفاده شده است . به اين ترتيب كه مقادير حاصل از روش مختصات كلي براي هر تابع تغيير شكل در برابر مقادير دقيق نسبت به زمان پريود وبا استفاده از نرم افزار Excel رسم شده و سپس نمودارها با هم مقايسه ميشوند . به اين ترتيب ميتوان ميزان انحراف برش پايه هاي حاصل از هر تابع را از نتايج دقيق سنجيد واظهار نظر كرد .