راهسازی طرح هندسی راه

منحني بروكنر
مقدمه- در بسياري از مسيرها يكي از عوامل عمده در طراحي خط پروژه يا محور راه برقراري تعادل بين جمع كل خاكريز و خاكبرداري در محدوده كار مي باشد. اين اصل متكي بر يك فرضيه اقتصادي است كه تمام مواد حاصله از خاكبرداري محل در خاكريز مصرف گردد، نتيجتا مقداري نيروي انساني و اتلاف وقت جهت كندن و تهيه و حمل خاك جهت مصرف در خاكريز صرفه جوئي مي گردد، در عمل فاكتورهائي وجود دارد كه رسيدن به اين اصل را مشكل مي كند كه مهمترين آنها عبارتند از انقباض و تورم مواد.

خصوصيات خاك
انقباض- اين پديده يك حقيقت واقعي است كه اگر يك متر مكعب از خاك را قبل از خاكبرداري به وسيله سطح مقطعش اندازه گيري نمايند و سپس همين يك متر مكعب خاك را جابجا گرده و در يك خاكريز استفاده نمايند و آن را متراكم كنند، داراي حجم كمتري خواهد شد. اين كمبود حجم به علت از دست دادن مقداري از خاك هنگام حمل و متراكم كردن آن( از بين بردن فضاي خالي بين ذرات) با يك وزن مخصوص بيشتر از حالت اوليه به وسيله ماشينهاي سنگين راهسازي در خاكريز مي باشد. اين كمبود حجم يا انقباض در مواد درشت دانه از قبيل شن و ماسه بسيار كم و در مواد ريز از قبيل خاك رس و خاك لاي(سيلت) بسيار زياد است و گاهي مواقع به ۳۰ درصد مي رسد.
انقباض خاك نه تنها با نوع خاك توليد تغيير مي كند بلكه با درصد رطوبت هنگام متراكم كردن و نوع ماشين آلات نيز مرتبط است. معمولا مقدار انقباض براي خاكهاي معمولي بين ۱۰ تا ۱۵ درصد در نظر گرفته مي شود.

تورم- تورم معمولا بندرت در عمل پيش مي آيد مگر در مواردي كه خاكبرداري در مناطق متراكم انجام گيرد، نتيجتا مواد حاصله از خاكبرداري داراي حجم بيشار از حجم اوليه كه به صورت طبيعي در منطقه قرار داشته اند مي گردند. اين پديده بيشتر به علت وجود هواي بين ذرات است. در بعضي مواقع جنس خاك نيز موثر است، مثلا خاك رس با جذب رطوبت متورم مي شود.

نشست- اين پديده موقعي انجام مي گيرد كه كارهاي ساختماني خاكريز خاتمه يافته است. اين نشست به علت تراكم آهسته خاكريز در زمان طولاني زير بار وسايط نقليه و همچنين در اثر حركت پلاستيكي نشست خاكريز انجام مي گردد. معمولا در راهسازي در محلهائي كه احتمال اين نشست وجود دارد، خاكريز را با يك ارتفاع زيادتر احداث مي كنند و روسازي دائم آن را موقعي شروع مي كنند كه بيشتر نشست انجام گرفته باشد.

حمل و نقل خاك- مفهوم حمل و نقل در راهسازي عبارت است از جابجا كردن خاك به وسيله ماشين آلات راهسازي از نقطه اي به نقطه ديگر، طبيعي است كه از نظر اقتصادي اگر بتوان خاكهاي مورد نياز خاكريز را از خاكبرداريها تهيه نمود مشروط بر آنكه خاك موجود در خاكبرداري از نظر گروه خاك قابل مصرف در راهسازي باشد، مقدار زيادي در هزينه حمل و نقل صرفه جويي مي شود. نتيجتا اگر مقدار اين خاكها بيش از ميزان لازم براي احداث خاكريزها باشد مقدار اضافي را بايد دپو كرد و برعكس اگر خاك هاي حاصل از خاكبرداريها تكافوي خاكريزها را نكند، بايد متوسل به قرضه شد.

پرداخت به پيمانكار برحسب مترمكعب خاكبرداري و حمل خاك از خاكبرداري به فاصله تعيين شده در قرارداد انجام مي گيرد. در صورتي كه محل خاكريز در طول مسير در اين فاصله واقع باشد هزينه اضافي جهت حمل خاك به پيمانكار پرداخت نمي شود، لذا آنچه در قسمت حمل و نقل خاك مورد اهميت است عبارت است از:
۱- مقدار حجم عمليات خاكي؛

۲- تعيين حداقل فاصله متوسط حمل.
نقاط تعادل- يكي از مسائل مهم در عمليات خاكي عبارت است از تعيين نقاط تعادل بين خاكبرداري و خاكريز بطوري كه مقدار خاكبرداري برابر با مقدار خاكريز به اضافه انقباض باشد. اغلب اوقات به علت وجود عوامل حساب نشده امكان وجود اين تعادل مقدور نمي باشد و يا در بعضي مواقع به علت نامناسب بودن خاك حاصل از خاكبرداريها براي مصرف در خاكريزيهاي در طول مسير راه مجبور به دپو كردن خاك خاكبرداريها مي شويم و نتيجتا براي تهيه خاك مناسب مصرفي در خاكريزها متوسل به قرضه مي گرديم.

براي پروژه هاي كوچك ممكن است مجموع خاكبرداري و خاكريز را به طور جداگانه تعيين نمود و نقطه تعادل در جائي واقع مي شود كه حاصل خاكبرداري و خاكريز مساوي است. بنابراين با توجه به شكل ۴-۱ اگر خط پروژه را تغيير دهيم نقاط تعادل هم تغيير خواهند كرد. لذا اين خاصيتي است كه در طراحي مسير و تغيير خط پروژه از آن استفاده مي شود.

شكل ۴-۱
اصطلاحات
فاصله حمل(d)- عبارت از فاصله اي است كه يك مقدار بينهايت كوچك خاك را از خاكبرداري حمل و به خاكريز بريزند. به طور مثال دو مقطع هاشور خورده واقع بين LL’ در شكل ۴-۱ داراي فاصله حملي برابر با ll خواهد بود كه به d نمايش مي دهند.
حجم خاك(V)- ارتفاع سطح مسدود به خط توزيع در منحني بروكنر را حجم خاك گويند.
عزم حمل(S)- مقدار حجم خاك مقطع هاشور خورده ضربدر فاصله حمل(d) را عزم حمل مي گويند.
d*V= عزم حمل
عزم حمل كل(ST)- مجموع عزم هاي جزء را به نام عزم كل مي نامند.
(d*V) = عزم حمل كل
فاصله حمل متوسط(dm)- اگر عزم حمل كل را به حجم كل تقسيم كنيم فاصله متوسط حمل به دست مي آيد.

دپو(D)- مقدار خاك كنده شده حاصل از خاكبرداري كه مازاد مصرف خاكريز مي باشد، بايد در محلي از مسير راه انبار گردد، كه در اصطلاح اين عمل را دپو كردن مي گويند و محل انبار را به نام محل دپو مي نامند. به طور مثال در شكل ۴-۱ اگر مقطع B را بررسي كنيم خاكبرداري بين B,A مازاد بر مصرف خاكريز است كه بايد آن را دپو كرد.
قرضه(B)- در بعضي مواقع خاكهاي حاصل از خاكبرداري جهت مصرف در خاكريز كافي نيست، بنابراين مقدار كمبود خاك را بايد از محل مناسب و نزديك به طول پروژه جهت خاكريز تهيه كرد، كه اين عمل را در اصطلاح قرضه مي گويند.

خاك نباتي- عبارت است از خاك پوسيده سطحي زمين كه معمولا هنگام راهسازي آن را به عمق ۱۰ تا ۳۰ سانتيمتر بايد كند و دور ريخت.
روش دياگرام توده(منحني بروكنر)- روش عددي كه قبلا شرح داده شد يك روش سريع و ساده است ولي به طور كلي از نظر اقتصادي جوابگوي پروژه هاي بزرگ نيست. متداولترين روش عبارت است از روش نيمه ترسيمي كه آن را دياگرام توده و يا منحني بروكنر مي گويند. هدف اصلي ترسيم و مطالعه منحني بروكنر عبارت است از يافتن خط پخش يا خط توزيعي كه باصرفه ترين حمل خاك را ايجاب مي كند. در اين روش حجم عمليات خاكي به صورت مجموع جبري احجام بر روي محور مختصات ترسيم مي گردد. بر روي محور xها محل قرار گرفتن

نيمرخهاي عرضي(معمولا نيمرخها در ايستگاه داده مي شوند) با مقياس پروفيل طولي و بر روي محور yها مجموع جبري خاكريز و خاكبرداري رسم مي گردد، معمولا خاكبرداري با علامت منفي(-) و خاكريز به اضافه انقباض با علامت مثبت(+) منظور مي گردد. عزم حمل خاك برحسب متر و به وسيله سطح منحني بروكنر اندازه گيري مي شود(۵).
در شكل ۴-۲ اگر فرض شود يك متر مكعب خاك در نقطه A كه بر روي پروفيل مشخص شده به اندازه x متر حمل مي شود و در نقطه A’ ريخته شود، عزم حمل برابر x متر خواهد شد كه به صورت ترسيمي بر روي منحني بروكنر به وسيله يك مساحت ذوزنقه نمايش داده شده و كاملا معلوم است كه يك متر مكعب بايد به اندازه x متر حمل گردد.

شكل ۴-۲ منحني بروكنر
اگر باقيمانده خاكبرداري بين A و G حمل گردد و بين A’ , G ريخته شود، مقدار عزم حمل براي هر متر مكعب به صورت مساحت ذوزنقه هائي خواهد بود كه بر روي هم قرار مي گيرند و نتيجتا عزم حمل بين A و A’ برابر با مساحت aga’ خواهد شد. (شكل ۴-۲)
ترسيم منحني بروكنر- براي ترسيم منحني بروكنر ابتدا بايست جدولي تنظيم كرد كه تمام مشخصات لازم در آن ثبت گردد. اين جدول داراي ۸ ستون است كه به صورت زير تنظيم مي گردد(جدول ۴-۱):

۱- ستون يك شامل محل نيمرخهاي عرضي كه معمولا در روي ايستگاه ها و در بعضي مواقع بين ايستگاه ها هم داده مي شود.
۲- ستون دوم عبارت است از فاصله بين نيمرخ هاي عرضي مجاور برحسب متر
۳- ستون سوم حجم خاكبرداري برحسب مترمكعب
۴- ستون چهارم حجم خاكريز برحسب مترمكعب
۵- ستون پنجم حجم خاكريز به اضافه مقدار انقباض خاك برحسب مترمكعب
۶- ستون ششم ازدياد خاكبرداري برحسب مترمكعب
۷- ستون هفتم ازدياد خاكريز بر خاكبرداري برحسب مترمكعب
۸- ستون هشتم مجموع جبري خاكريز و خاكبرداري برحسب مترمكعب

شكل ۴-۳
طريقه رسم دياگرام بروكنر- ابتدا دو محور عمود بر هم اختيار مي كنند، بر روي محور افقي محل نيمرخهاي عرضي(محل ايستگاه ها) در طول مسير مورد مطالعه و در روي محور قائم حجم عمليات خاكي را جدا مي كنند. از مبدا به سمت بالا مقدار خاكريز و مثبت(+) و از مبدا به سمت پائين مقدار خاكبرداري و منفي(-) نمايش داده مي شود. اگر نقاط موجود در جدول شماره ۴-۱ ستون ۸ را بر روي محورهاي مختصات پياده كنيم، منحني بروكنر به دست مي آيد. ضمنا متذكر مي شود كه در بالاي منحني بروكنر بايد پروفيل طولي و همچنين موقعيتش نسبت به زمين طبيعي رسم گردد. منحني به دست آمده معمولا از تعدادي خطوط منكسر تشكيل مي شود. در صورتي كه مقاطع عرضي انتخاب شده تعدادشان زياد فرض شود و به سمت بينهايت ميل كند، حد منحني بروكنر با خطوط شكسته به منحني تبديل خواهد شد، نقاط حداكثر و حداقل منحني بروكنر عبارت است از محلهائي كه پروفيل طولي پروژه راه خط طبيعي زمين را قطع مي كند. در نتيجه انتخاب نيمرخ عرضي در اين نقاط جهت تعيين حداقل و حداكثر حقيقي بر روي منحني بروكنر ضروري به نظر مي رسد با ملاحظه به منحني بروكنر ديده مي شود كه شاخه هاي صعودي مانند AB در شكل ۴-۳ مربوط به خاكريز و شاخه هاي نزولي مانند BC در شكل ۴-۳ مربوط به خاكبرداري مي باشند. منحني بروكنر ممكن است به يكي از سه حالات زير ختم شود كه هر كدام نمودار وضعيت بخصوصي است.(۵).
حالت اول- در صورتي كه انتهاي منحني بر روي محور xها خاتمه پيدا كند در اين صورت يك تعادل كامل بين حجم خاكبرداري و حجم خاكريز موجود است و بهترين وضعيت مي باشد.( شكل ۴-۴)

شكل ۴-۴
حالت دوم- چنانچه انتهاب منحني بروكنر بالاي محور xها باشد، در اين حالت حجم مقدار خاكريز زيادتر از حجم مقدار خاكبرداري است، نتيجتا بايد متوسل به قرضه شد.(شكل ۴-۵)

شكل ۴-۵
حالت سوم- چنانچه انتهاي منحني توده زير محور x ها قطع شود، در اين حالت خاكبرداري از خاكريز فزوني يافته و بايد خاكهاي اضافي در محوطه اي دپو گردد.(شكل ۴-۶)

شكل ۴-۶
خصوصيات منحني بروكنر
a) شكل ۴-۳ نمودار اين حقيقت است كه منحني بروكنر داراي قسمتهاي صعودي مانند AB و DE و EP و همچنين قسمتهائي نزولي مانند BC و CD و Pq مي باشد. قسمتهاي نزولي نمودار خاكبرداري و قسمتهاي صعودي نمودار خاكريز مي باشد. منحني داراي تعدادي حداكثرو حداقل است، با توجه به پروفيل راه، ملاحظه خواهد شد كه نقاط حداكثر منحني نقطه تغيير خاكريز به خاكبرداري و نقاط حداقل تغيير خاكبرداري به خاكريز است يا به عبارت ديگر حداكثر و حداقل بر روي منحني بروكنر عبارت از تقاطع پروفيل پروژه با پروفيل طولي زمين طبيعي مي باشد.

b) هر خط افقي مانند hh’ كه منحني بروكنر را در دو نقطه قطع كند به نام خط تعادل موسوم است. در اين وضعيت حجم خاكبرداري و خاكريزي بين دو نيمرخ عرضي H و H’ با هم مساوي هستند. بنابراين هر خط افقي كه سرتاسر منحني بروكنر رسم شود، چندين سطح تحتاني و فوقاني را مسدود مي كند كه در هر يك از آنها حجم خاكبرداري با خاكريز مساوي است(شكل ۴-۳).

c) از خاصيت فوق استفاده كرده و آن را در مورد محور xها (خط اساس) عموميت مي دهيم، هر قسمت از منحني بالا يا پائين محور xها كه به محور xها محدود شده باشد، حجم خاكبرداري و خاكريزي بين دو نقطه تقاطع منحني و محور xها با هم برابرند، مثلا منحني ABC محدود به محور xها حجم خاكبرداري و خاكريز و خاكريز بين نقطه A و C با هم برابرند(شكل ۴-۳).

d) منحني بروكنر در يكي از سطوح محدود به خط اساس ox ممكن است داراي چندين نقطع حداكثر و حداقل باشد، مانند سطح CDEFG در شكل ۴-۷ كه داراي يك حداكثر E و دو حداقل F و D و به وسيله خط اساس ox محدود گشته است.
اگر از نقطع حداكثر E خط IJ را موازي خط اساس ox رسم كنيم، دو سطح منحني IDE و EFJ محدود به اين خط به دست مي آيد. در هر كدام از اين سطوح حجم خاكبرداري و خاكريز با هم مساوي هستند.

e) طول بين دو خط aa’ و ll’ يعني lk در شكل ۴-۸ عبارت است از مقدار حجم عمليات خاكي بين دو نيمرخ عرضي A’ و L’. به عبار ديگر قطعه خط lk معرف مقدار حجم خاكبرداري منحني al است و بايد به مصرف خاكريز l’a’ كه داراي حجمي برابر با l’k’ است برسد و نتيجتا مقدار خاك بايد به فاصله متوسطي برابر با d حمل گردد كه مقدارش از روي ذوزنقه ll’aa’ به دست مي آيد.

از آنچه در بالا گفته شد نتيجه گرفته مي شود كه سطح ذوزنقه ll’aa’ برابر با عزم حمل مي باشد، زيرا طبق تعريف عزم حمل برابر است با حجم خاك ضربدر فاصله حمل آن.
سطح ذوزنقهيd=ll’aa’*V= فاصله حمل* حجم = عزم حمل
بنابراين سطح منحني bgb’ شكل ۴-۸ كه از بينهايت ذوزنقه هاي كوچك تشكيل شده است؛ كه داراي همين خاصيت بوده، نتيجتا سطح bgb’ عبارت از عزم خاكبرداري bg به خاكريز b’g مي باشد- اين خاصيت در مورد تمام سطوحي كه در بالا و يا پائين خط اساس ox قرار گرفته اند صادق است- و سطوح مسدود به ox را به نام لنگر يا عزم حمل خاكبرداري يا خاكريز مي گويند مانند حمل هاي A3,A2,A1 در شكل ۴-۹٫

شكل ۴-۸

شكل ۴-۹
با انتخاب خطي به نام خط توزيع يا بخش كه ممكن است بر روي خط اساس منطبق و يا در فاصله اي موازي با خط اساس باشد مي توان تا حدودي عزم حمل خاكبرداري يا خاكريز را تغيير داد. مثلا با استفاده از خط توزيع يا پخش مي توان كمبود خاكريز را كه در انتهاي پروژه بوجود مي آيد به ابتداي پروژه منتقل كرد. براي اين كار خطي را كه به نام خط توزيع است از انتهاي منحني طوري رسم مي كنيم كه با خط اساس ox موازي باشد، در اين صورت مقدار خاكي كه به دپو بايد فرستاده شود از انتها به ابتدا منتقل شده است. شكل ۴-۱۰ نمودار اين عمل است.

شكل ۴-۱۰
در اين حالت عزمهاي فرعي تابعي از انتخاب محل خط توزيع است و اين خط توزيع بايد طوري انتخاب گردد كه مجموع عزم حمل حداقل گردد. چون همانطور كه قبلا گفتيم هدف از ترسيم منحني توده عبارت از يافتن خط توزيعي است كه باعث با صرفه ترين حمل خاك گردد. و اين هدف هم تنها متكي به حمل خاك به كوتاهترين فاصله متوسط كل مي باشد و كوتاهترين فاصله متوسط كل وابسته به كمترين عزم حمل كل است. بنابراين با صرفه ترين راه حل به دست آوردن كمترين عزم حمل كل مي باشد. نتيجتا بايد خط توزيعي را جستجو كرد كه

مجموع عزم هاي فرعي حداقل باشد. ضمنا لازم به تذكر است كه خط توزيع بايد بين خط اساس و خطي كه موازي با خط اساس است و از نقطه انتهاي منحني مي گذرد و موسوم به خط پايان است واقع باشد. زيرا در اين صورت وضعيت واقعي را حفظ كرده ايم. اگر خط توزيع خارج از اين دو خط انتخاب شود، وضعيت جديدي بوجود آورده ايم يعني يك خاكريز و خاكبرداري جديد احداث كرده ايم كه اين مخالف واقعيت است؛ پس به طور كلي اگر خط توزيع بر خط اساس يا بر انتهاي منحني و يا في مابين اين دو خط بگذرد بهترين وضعيت را دارا مي باشد.
تعيين محل خط توزيع- براي تعيين بهترين خط توزيع ابتدا به تشريح وضعيت زير مي پردازيم. اولا فرض مي كنيم كه منحني بروكنر شبيه شكل ۴-۱۱ باشد و خط توزيع بر روي خط اساس قرار گرفته باشد.

 

شكل ۴-۱۱
ثانيا در صورتي كه خط توزيع را حركت داده به طوري كه از انتهاي منحني توده بگذرد عزمهاي جديدي بوجود مي آيد در شكل ۴-۱۲ نمايش داده شده است.

شكل ۴-۱۲
حال با ملاحظه به هر دو شكل چه خط توزيع بر روي اساس باشد و چه خط توزيع از انتهاب منحني بگذرد، خواهيم ديد كه سطوح KBL و MFN واقع در بالاي خط افقي bb’ و سطوح GHI و CDE واقع در زير خط اساس تغيير نمي كنند، تنها سطوح LCEM, EMNG, AKLC و NGIJ واقع بين دو خط افقي در تغيير عزم حمل كل دخالت دارند، بنابراين براي مقايسه عزم حمل كل حاصله از خط اساس ox و عزم حمل كل حاصله از خط bb’ كافي است كه سطوح متغير LCEM+NGIJ, AKLC+MNGE را با يكديگر بسنجيم و هر يك كوچكتر است خط توزيع مربوط به عزم حمل كل كوچكتر خواهد شد كه البته براي اندازه گيري مورد بحث مي توان از دستگاه پلانيمتر كه وسيله اي جهت اندازه گيري سطوح نامنظم است استفاده كرد، فرض كنيم پس از اندازه گيري معلوم شود كه نامساوي زير برقرار است:
LCEM+ NGIJ> AKLC+ MEGN
از نامساوي فوق نتيجه گرفته مي شود كه خط ox خط توزيع مناسبتري است تا خط bb’، چون نامساوي به مساوي تبديل مي شود و براي ساده كردن عمليات مي توان نامساوي زير را به صورت خلاصه تري نوشت. براي اين منظور كافي است سطوح فوق الذكر را محاسبه نمود:

با توجه به آنچه قبلا گفته شد كه با تغيير خط توزيع از وضعيت ox به وضعيت bb’ سطوح KBL, GHI, CDE, MFN تغيير نمي كنند، اين نتيجه به دست مي آيد كه خطوط KL و CE و MN و GL ثابت بوده و تغيير نمي كنند، ضمنا ارتفاع h هم ثابت است، بنابراين اگر مقادير ثابت كه تغيير نمي كنند از نامساوي زير

حذف گردند، نتيجه گرفته مي شود كه براي مقايسه تنها كافي است كه LM+NJ را با AC+EG مقايسه كنيم و حاصل جمع كوچكتر داراي خط توزيع مناسبتر است و چون اندازه گيري طولي آسانتر از به دست آوردن سطح مي باشد اين روش مناسبتر است، بنابراين LM+NJ>AC+EG
لذا عزم حمل كل حاصله از خط ox كوچكتر از عزم حمل كل حاصله از خط bb’ مي باشد. بنابراين اگر ox را به عنوان خط توزيع عمليات خاكي انتخاب كنيم، فاصله متوسط كل كوچكتر خواهد بود.
همانطوري كه قبلا بيان شد ممكن است خط توزيع بين خط اساس و خط bb’ قرار گيرد. در شكل ۴-۱۳ اين خط توزيع به صورت cc’ نمايش داده شده است كه مي بايست مل آن را طوري تعيين كنيم كه عزم كل حداقل گردد.
قبل از بحث در مورد اين موضوع مي بايست روابط هندسي زير را مورد مطالعه قرار داد.
روابط هندسي
دو مثلث بين دو خط موازي- هر گاه بين دو خط موازي مانند B و C كه به فاصله h از يكديگر واقع شده اند(شكل ۴-۱۴) دو مثلث EFG و FGH را رسم كنيم و سپس اين مثلثها را به وسيله خطي ديگر مانند D كه با خط B و C موازي است قطع كنيم، توليد مثلثهاي جديدي مي كنند كه عبارتند از KFL و LGM.

شكل ۴-۱۳

شكل ۴-۱۴
سطح هر كدام از مثلثها عبارت خواهد بود از:

مقادير KL و LM را از تشابه مثلثها مي توان به دست آورد. براي به دست آوردن LM از تشابه دو مثلث LGM , FGH مي توان نوشت:
(۱)
و براي به دست آوردن LK از تشابه دو مثلث EFG و KFL خواهيم داشت:
(۲)
در صورتي كه مجموع دو سطح Aa و Ab را مساوي A فرض كنيم خواهيم داشت:
(۳)

با جايگزين كردن معاملات ۱ و ۲ در معادله ۳ خواهيم داشت:

براي به دست آوردن مقدار h’ بايد از معادله فوق مشتق گرفت و مشتق را برابر صفر قرار داد.
(۴)
در صورتي كه معادله ۴ را در معادله ۱ قرار دهيم، خواهيم داشت:
(۵)
در صورتي كه معادلع ۴ را در معادله ۲ قرار دهيم، خواهيم داشت:
(۶)
با توجه به معادلات ۵ و ۶ ملاحظه مي شود كه مقادير LM و KL با هم مساوي هستند. حال اگر اثر تغييرات h’ را بر روي معادله ۳ مورد بررسي قرار دهيم نتيجه مي شود كه اگر h’=0 باشد، سطح Aa=0(شكل ۴-۱۵).

شكل ۴-۱۵
و سطح Ab حداكثر مقدار خود را كه مساوي مساحت مثلث FHG است اختيار مي كند، بنابراين LM=FH خواهد شد. با قرار دادن مقدار LM در معادله ۳ خواهيم داشت:

اگر باشد، سطح A حداقل مقدار خود را خواهد داشت چون h’ نتيجه صفر قرار دادن حاصل مشتق مساحت است. بنابراين نتيجه گرفته مي شود موقعي كه h’ از صفر تا تغيير كند مساحت A تنزل مي نمايد و سپس همينكه h’ از تا h تغيير كند مقدار مساحت A ترقي مي نمايد. بنابراين حداقل مساحت موقعي است كه باشد و در اينصورت دو قاعده مثلث Aa و Ab طبق معادلات ۵ و ۶ با هم برابرند، يعني KL=LM
مثلث يا ذوزنقه هاي متعدد: نتيجتا قضيه فوق را مي توان در مورديكه تعدادي مثلث يا ذوزنقه هم داشته باشيم بسط داد، براي اثبات اين موضوع از شكل ۴-۱۶ استفاده مي كنيم.

شكل ۴-۱۶
ابتدا چهار مثلث EFG و FGH و GHI و HIJ را براي سهولت به دو مثلث بزرگ تبديل مي كنيم، براي اين كار كافي است خط FI را رسم كرده، نتيجتا چهار سطح مثلث را به دو سطح مثلث با همان مساحت تبديل مي نمائيم. دو مثلث GFI و GHI چون در قاعده GI مشتركند و ضمنا داراي ارتفاع مساوي h مي باشند، خط قاطع موازي با قاعده اين دو مثلث را قطع كرده بنابراين از تشابه دو مثلث نتيجه مي شود:
(۷)
نتيجه گرفته مي شود چون دو مخرج تساوي ۷ برابرند بايد صورتهاي آنها هم با هم برابر باشند.
بنابراين خواهيم داشت:
نتيجه گرفته مي شود چون دو مخرج تساوي ۷ برابرند بايد صورتهاي آنها هم با هم برابر باشند. بنابراين خواهيم داشت:
(۸)
(۹)
حال اگر به طرفين رابطه ۸ دو مقدار مساوي اضافه كنيم، نتيجه مي شود:
(۱۰) LQ+QM=MN+QM
LM=QN
QP=QN+NP
(11) QP=LM+NP
همانطور كه قبلا اثبات شد دو مثلث Aa=KFQ و Ab=QIP. وقتي حداقل مساحت را خواهند داشت كه دو قاعده آنها با هم مساوي باشد يعني رابطه زير برقرار باشد:
از طرفي مي دانيم كه
(۱۲)
و رابطه ۱۲ را با استفاده از معادلات ۹ و ۱۱ مي توان به صورت زير نوشت:
KQ=KL+LQ=KL+MN
QP=QN+NP=LM+NP
KL+MN=LM+MP (13)
با توجه به رابطه ۱۳ نتيجه مي شود كه KL و MN قاعده مثلثهاي فوقاني كه توسط خط توزيع D مسدود شده اند و LM و NP قاعده مثلثهاي تحتاني هستند كه توسط خط توزيع D مسدود گرديده اند.(شكل ۴-۱۷)
در مواردي كه ارتفاع مثلثها با هم متفاوت باشند، عينا چهار مثلث كوچك را به دو مثلث بزرگ تبديل كرده و دو مثلث GHI و GFI چون در قاعده مشترك هستند و خطي موازي قاعده هر دو آنها را قطع كرده است، بنابراين مي توان رابطه مشابه را در مورد آنها نوشت.

شكل ۴-۱۷
(۱۴)
(۱۵)
(۱۶)
حال اگر به طرفين تساوي رابطه ۱۵ دو مقدار مساوي QM را اضافه كنيم، در حاصل تغييري روي نخواهد داد.
LQ+QM=MN+QM
LM=QN (17)
QP=QN+NP
QP=LM+NP (18)
همانطوري كه قبلا اثبات شد دو مثلث Aa و Ab وقتي حداقل مساحت را خواهند داشت كه دو قاعده آنها با هم مساوي باشند، يعني رابطه زير برقرار باشد:
KQ=QP
KL+LQ=QN+NP
KL+MN=LM+NP (19)
با توجه به رابطه ۱۹ نتيجه گرفته مي شود كه MN و KL قاعده دو مثلث كوچك فوقاني و LM و NP دو قاعده مثلث كوچك تحتاني مي باشند، كه توسط خط توزيع D مسدود شده اند. بنابراين نتيجه گرفته مي شود كه بهترين خط توزيع خطي است كه مجموع قاعده مثلثهاي فوقاني خط توزيع برابر مجموع قاعده تحتاني خط توزيع باشد.
در بعضي مواقع پيدا كردن خط توزيع در فاصله بين خط اساس و خط پايان منحني به طوري كه مجموع قاعده مثلثهاي فوقاني مسدود به خط توزيع برابر با مجموع قاعده مثلثهاي تحتاني مسدود به خط توزيع باشد امكان پذير نيست. اگر حالت تساوي برقرار نگردد، ممكن است سه حالت پيش آيد:
حالت اول- تفاوت بين قاعده هاي سطوح فوقاني و تحتاني مسدود به خط توزيع هنگامي كه از خط اساس به سمت خط انتهاي منحني حركت مي كند مرتبا بزرگ مي شود، در اين حالت بهترين خط توزيع، خود خط اساس مي باشد. شكل ۴-۱۸ نمايشگر اين موضوع است.

شكل ۴-۱۸

مقادير زياد مي شوند.
حالت دوم- تفاوت بين قاعده هاي سطوح فوقاني و تحتاني مسدود به خط توزيع هنگامي كه از خط اساس به سمت خط انتهاي منحني حركت مي كند مرتب كوچك مي شود، در اين حالت بهترين خط توزيع، خط انتهاي منحني مي باشد. شكل ۴-۱۹ نمايشگر اين موضوع است.

شكل ۴-۱۹

مقادير كاهش پيدا مي كند
حالت سوم- اختلاف بين مجموع قاعده هاي فوقاني و تحتاني مسدود به خط توزيع در فاصله بين خط اساس و خط انتهاي منحني بدون آنكه صفر گردد، ناگهان تغيير علامت مي دهد و اين موقعي است كه منحني بروكنر شامل قطعه اي افقي باشد و خط توزيع بايد بر آن خط افقي منطبق گردد.(شكل ۴-۲۰)

شكل ۴-۲۰
اگر خط توزيع را از ox به طرف bb1 خط انتهاي منحني حركت دهيم تا در موقعيت c1 قرار گيرد، خواهيم داشت: ۱)B’C’+D’E’>C’D’+E’F’
اگر خط توزيع در موقعيت c2 قرار گيرد، خواهيم داشت:
۲)GH+IJ+KL>JK+LM
و اگر خط توزيع c3 قرار گيرد، خواهيم داشت:
۳)G’H’+I’J’+K’L'<H’I’+J’K’+L’M’

علت اين تغيير جهت وجود قسمتي افقي HI است كه يكمرتبه از جمله نامساوي ۱ خارج شده و به صورت H’I’ وارد قسمت دوم نامساوي ۳ شده است. در هر صورت جمع جبري بين قاعده هاي سطوح فوقاني و تحتاني صفر نمي شود و حاصل جبري مزبور براي وضعيت c2 كوچكتر از حالات ديگر است، لذا نتيجه گرفته مي شود كه خط افقي c2 كوچكترين عزم ممكن را دارد. بنابراين c2 به عنوان خط توزيع انتخاب مي شود.

علامت قراردادي- حمل خاك بايد طوري انجام پذيرد كه جهت حمل از خاكبرداري به سمت خاكريزي باشد. بنابراين جهت منحني بروكنر در بالاي خط توزيع هميشه بايد از خاكبرداري به سمت خاكريز يعني از راست به چپ و جهت منحني بروكنر در زير خط توزيع هميشه بايد از چپ به راست انجام گيرد، علامات ذكر شده در اشكال ۴-۲۱ و ۴-۲۲ و ۴-۲۳ و ۴-۲۴ نشان داده شده اند.

تعيين خط توزيع با در نظر گرفتن محلهاي قرضه و دپو- همان طوري كه قبلا بيان شد، خاكهي اضافي از خاكبرداري ها كه در خاكريز مصرفي ندارند بايد در محلهائي خارج از مسير راه انبار گردند كه اين عمل را دپو كردن و آن محل را به نام محل دپو مي گويند و معمولا آن را بر روي نقشه به صورت دو خط موازي به هم و با حرف D مشخص مي كنند(شكل ۴-۲۵). و اگر خاكهاي حاصل از خاكبرداريها كفاف خاكريزها را ندهند يا اينكه به علت نامناسب بودن خاك خاكبرداريها، بايد كمبود خاك و يا خاك مورد نياز را از محلهاي مناسب نزديك به خط پروژه تهيه كرد كه آن خاكها را قرضه و محل را محل قرضه خاك مي گويند، معمولا بر روي نقشه به صورت دو خط موازي عمود بر محور راه و با حرف B نمايش داده مي شود.(شكل ۴-۲۶). البته محلهاي قرضه يا دپو را نمي توان به ميل خود در طول پروژه انتخاب كرد، بلكه بايد طوري انتخاب گردند كه ضرر و زياني عايد صاحبان اراضي نگردد، بعلاوه بايد خاكهاي اضافي را در گودالهاي مجاور پروژه ريخت و خاك مورد نياز را از نقاط مرتفع مجاور، تهيه كرد. بعد از اينكه محل هاي قرضه و دپو در طول مسير تعيين گرديد، براي تعيين با صرفه ترين خط توزيع حالتهاي مختلف زير را بايد بررسي نمائيم.