روشهای تکراری پیش فرض در مسائل گسسته خطی
از منظر معکوس« بایسیان»

دانشکده ریاضیات و مرکزی برای مدل سازی سیستم های متابولیک کامل دانشگاه کمیس غربی کلوند، OH 44106 آمریکا
دریافتی ۳ فویه ۲۰۰۵ دریافتی صورت اصلاح شده ۲۴ آگوست ۲۰۰۵
چکیده:

در این مقاله ما با مسائل گسسته خطی که با روشهای تکراری قابل حل می باشد از نظر آماری معکوس بایسیان روبرو خواهیم شد پس از بررسی اجمالی روش های تکراری عمده برای حل مسائل ناقص خطی و برخی نتایج آماری اولیه و روشهای آماری استراتژیهای ترسیمی را مورد تجزیه و تحلیل قرار خواهیم داد. نمونه های محاسبه شده رابط بین این دو را تشریح می کند.

کلمات کلیدی: حل های معکوس( امتحانی) فضای فرعی« کریلا» و روش معکوس« بایسیان»
پیش فرضها مسائل ناقص

(۱) مقدمه
استفاده از روشهای تکراری برای حل سیستمهای خطی معادلات روشی انتخابی است هنگامی که ابعاد سیستم آنقدر بزرگ باشد که
فاکتورسازی ماتریس A را غیر عملی سازد یا هنگامی که ماتریس آن بطور صریح مجهول باشد و ما بآسانی بتوانیم حاصلضرب آن را با هر گونه بردار معلومی محاسبه کنیم. هنگامی که سیستم خطی در رابطه با گسستگی مسائل خطی ناقص سمت راست b اطلاعات و فرضیات را مورد بررسی قرار دهد، نقش

مسائل متوالی در ماتریس A افزایش می یابد و بنابراین حل مسائل برای یافتن خطا در داده ها مهم و ضروری به نظر می رسد. بمنظور حفظ خطا در نشان دادن صورت b برخی از روشهای بدست آوردن مجهولات بایستی مشخص شود در زمینه روشهای معکوس بمنظور حل مجهولات بواسطه توقف کردن تکرار قبل از همگرایی در حل سیستم های خطی بهتر است به تکرار های ناقص رجوع شود. تجزیه و تحلیل کامل در ویژگی های معلوم کردن به روش CG در معادلات کامل هنگامی که می توان از معیارهای بازدارندگی مناسب استفاده کرد در بخش ] ۱۰ [ قابل بحث می باشد.

در صورتیکهM ماتریس معکوس باشد، براساس ویژگی های طیفی MA همگرایی سریعترین برای روشهای حل تکراری ایجاد می کند. ماتریس M ماتریس شرطی سمت چپ برای سیستم خطی(۱) نامیده می شود قابلیت امتحان ماتریس M نشان میدهد که سیستم های (۱) و (۲) راه حل یکسانی دارند انتخاب یک ماتریس شرطی مقدم M نشان می دهد که چنین ماتریسی نه تنها ویژگی های طیفی ماتریس A را تغییر می دهد بلکه بمنظور حل سیستم های خطی با مضروب ماتریس A بآسانی می توان آن را در کل بردار ضرب کرد. در حقیقت در هنگام حل سیستم ۲ به روش تکرار لازم است ضرب ماتریس در بردار را در فرم مورد محاسبه قرار دهیم. سیستم خطی (۱) با معادله زیر قابل جانشینی است.

(۳)
ماتریس معکوس
در صورتی کهM ماتریس معکوس باشد در این مورد M ماتریس شرطی اولیه را ست نامیده می شود و از آنجائیکه هنگام حل سیستم خطی لازم است ضرب ماتریس در بردار را که بصورت نشان داده می شود محاسبه کنیم حل سیستم خطی با ضریب ماتریس A نیز ضروری به نظر می رسد یکی از شرایط برای

روشهای حل تکراری در سیستم های خطی را می توان در بخش ۱۹ مشاهده کرد زمانی که سیستم خطی از پراکندگی مسائل ناقص خطی ناشی می شود لازم و ضروری است که این مسائل را حل کرد در عوض تغییر مسیر از شتاب دهنده های همگرا به یک افزایش دهنده کیفیت در حل مسائل محاسبه شده به هیچ روش امکان پذیر نمی باشد. علاوه بر آن سمت و جهتی که معکوس ماتریس بکار می رود بسیار مهم است.در حل تکراری مسائل خطی یک شرط اولیه سمت راست مرتبط با داده های کاملاً منسجم و موجود در مورد حل در حالیکه شرایط لازم الاجرای سمت چپ داده هایی در مورد تمایز ویژگی های آماری ارائه می دهد در حالی که کاربرد این فرضیات در رابطه با روشهای تکراری در سیستم های خطی مشابه و مسائل خطی ناقص بر هم مرتبط است ساخت این پیش فرضیات مناسب کاملاً متغیر بوده و در موارد بعدی برای فهم اینکه چگونه این پیش فرضیات بر کیفیت حل مسائل اثر گذارنده مهم بنظر می رسد.

برخی انواع داده های قبلی در مورد حل ممکن است قابل تغیر به یک تغییرات مناسب در جهت حل های تکراری باشد بعنوان مثال داده هایی در مورد حد های بالایی و پائینی در حل اعداد صحیح بواسطه مراحل ترسیم سازی، پس از ترسیم روش تقریبی روش های تکراری با استفاده از روش های حل ترسیمی بعنوان یک سری حدسیات اولیه جدید آغاز می شود رجوع شود به] ۳ [ فرایند ادامه می یابد تا یک معیاری برای توقف حاصل شود این امر باعث می شود روشهای مؤثر محاسباتی نسبت به مدل های استاندارد تأثیر بهتری داشته باشد.

این مقاله به صورت زیر تنظیم شده است در بخش ۲ ما مختصراً برخی از تحقیقات در زمینه روشهای تکراری کریلا و را برای مسائل ناقس و گسسته خطی مورد بررسی قرار می دهیم بخس ۳ یک بررسی اجمالی در مورد نتایج آماری مورد نیاز می باشد بخش ۴ رابطه بین پیش فرضیات و مسائل معکوس آماری«

بایسیان» را با اطلاعات آماری در زمینه حل و نقص را عنوان میکند بخش ۵ چگونگی استفاده از استراتژیهای ترسیمی را باری فائق آمدن بر حدهای بالایی و پائینی در حل مسائل نشان میدهد. در بخش ۶ ما دیدگاهی را مورد چگونگی انتخاب حدهای مناسب برای یک مجموعه مسائل خطی ناقص هنگامی که راه حل هایی برای حل حدها بخوبی شناخته نشده باشد و چگونگی فائق آمدن بر آن ها را با پیش فرضیات سمت راست مورد بررسی قرار می دهیم. رابطه بین پیش فرضیات سمت چپ و ویژگی های آماری در بخش ۷ می آید بخش ۸ نمونه های حل شده ای از عملکرد پیش فرض ها و استراتژی های ترسیمی را در بخشهای پیشین ارائه می دهد. نتایج و رئوس مطالب در بخش ۹ موجود است.

 

۲ – رو شهای تکراری- پیش فرضها و مسائل ناقص
در این بخش ما نتایج مختصری در رابطه با روش های تکراری از پیش فرض شده برای استفاده خوانندگان برای ارائه یک سری اطلاعات آماری را نشان می دهیم خوانندگان با روشهای زیر فضایی« کریلا» و برای حل مسائل ناقص که در بخش بعدی خواهیم آورد آشنا خواهند شد حل های تکراری سسیتم های خطی

معادلات ناشی از مسائل ناقص خطی یک روش انتخابی است که هنگامی که بعد مسائل آنقدر بزرگ باشد که فاکتورسازی ماتریس را غیرممکن سازد نقص ماتریسهای مضروب این سیستم های خطی آنقدر زیاد می شود که برخی فرمها و روشهای معلوم سازی نیاز است قاعده سازی« تیکانفر»از مهمترین رو شهای قاعده سازی بر سیستم خطی را مطرح می کند یکی دیگر از روشهای قاعده سازی و روشی که ما در این مقاله به آن اشاره می کنیم روش تکراری ناقص است که مبنای آن در جملات تکراری اولیه روش حل محاسباتی ما را بر یک حل صریح و معلوم هدایت می کند اما جملات تکراری ادامه دارد و اجزای ناقص برای

مشخص کردن راه حلهای محاسبه شده می شود بنابراین برای ساخت روشهای تکراری منسب در حل مسائل ناقص گسسته خطی لازم است با معیارهای پایان دهنده مناسبی آشنا باشیم که از این تکراریات قبل از آغاز روشهای حل جلوگیری کنیم یک راه حل تقریبی اولیه را برای سیستم های خطی(۱) در نظر بگیرید روش« کریلا» راه حل های تقریبی را با حل مسائل در یک زیرفضائی مناسب از یک بردار اولیه و ماتریس A قابل تمایز است ارائه می دهد. در بخش انتهایی این مقاله ما فرض خواهیم کرد که مسائل حل و زیر فضای

« کریلا» یعنی جائیکه چنین مسائلی قابل حل است رو شهای تکراری را نشان می دهد. اولین روش تکراری« کریلا» در حل مسائل گسسته خطی بکار می رود که ترکیبی از روشهای قبلی است از آنجائیکه روش های قبلی CG تنها هنگامی که ضرایب ماتریس مثبت باشد بکار می رود، در صورتی که سیستم خطی(۱) سیستم بدون توان باش شکل های مختلف روش CG ، CGLS نامیده می شود که در معادلات معمولی بدون شکل واقعی معادلات معمولی مورد استفاده قرار می گیرد. روشهای CGLA,CG در بخش (۹) a مورد بررسی قرار می گیرد.

روشهای تقریبی با روشهایCG در حل مسائل مینیموم سازی بکار می رود.
(۵)
در اینجا یک مجهول صریح بوده و فضای فرعی« کریلا» می باشد .

روشهای تقریبی در معادلات تکراری با روشهای CGLS مسائل مینیمم سازی را حل میکند.
(۶)
در صورتی که:

و نشاندهنده حالت هندسه اقلیدسی است.

کمیت های گسستگی سیستم های خطی(۱) نامیده می شود که درواقع با حل های تقریبی در ارتباط است استفاده از روشهای CGLS برا ی حل مسائل ناقص گسستگی کمتر از حاصلضرب خطا در سمت راست باشد روش CGLS یک روش تشخیص مناسب است.
ایده مناسب از روش تکراری GMRES همواره با یک معیار پایان دهی مناسب بر ای حل معادلات ناقص و یا یک ماتریس جذری همراه است روشهای تقریبی با روشهای حل GMRES مسائل مینیموم سازی را حل می کند.

از آنجا که فضاهای فرعی« کریلا» در جائیکه مسائل مینیموم سازی حل شده قرار گرفته اند حالتهای گسستگی یک توالی را به حالت های طبیعی و بدون گسستگی درمی آورد. شکل تغییر یافته GMRES روش PRGMRES است که مسائل مینینوم سازی را در فضاهای فرعی« کریلا» حل میکند بنابراین در روش حل را به رتج A تبدیل می کند گرچه روش های محاسباتی پس از مراحل K از روش PRGMRES کاملاً متمایز از روش محاسباتی پس از مرحله k در روش CGLS است هر دو روش مسائل را به روش کاملاً در ستی حل می کند.

روشهایی که پراکندگی ساختار است و یا هنگامی که نقص زیاد است از این روش ها استفاده می کنیم برای ارائه بحثهای بیشتر در مورد PRGMRESبه بخش ۶ مراجعه کنید بحث مربوط به حل روشهای تکراری فضاهای فرعی« کریلا» در مسائل ناقص در ] ۴ [ دیده می شود.

دیدگاه اصلی این است که مشخص کنیم چگونه روش های تکراری ناقص با پیش فرضهایی برای مسائل ناقص ادامه پیدا میکند پس از ۱۲ بسیاری از پیش فرضهایی با حضور اولیه مقادیر A که با سیگنال ها و یا نقص هایی روبرو است سپس صورتهای قبلی را با برطرف کردن آخرین نقص ها جمع میکنیم. این صورتهای پیش فرض ۲ مسأله اصلی را در بر می گیرد اولاً جداکردن طیفهای نوری همواره ساده نبوده و دوم اینکه مسائل جداسازی عموماً بر میزان اختلالات و نقص ها در سمت راست بستگی دارد.

یک دیدگاه کاملاً متمایز برای حل و برطرف کردن این نقصها روشهای تکراری ناقص در مسائل ناقص دارای پیش فرضها بعنوان ابزاری برای رفع ۲ موضوع فوق می باشد که بهتر است از ویژگی های طیفی ماتریس A . اگر M معکوس باشد روش های حل سیستم های خطی دارای پیش فرضیات سمت راست برابر است با روش مربوط از سیستم اصلی بنا به آن پیش فرضیات سمت راست روش کاملاً متمایزی در حل معادلات می باشد بعلاوه از آنجائیکه حل مسائل ابتدایی و اصلی در رنج M صورت می گیرد اگر ماتریس از پراکندگی اپراتورهای متغیری حاصل شود روش امتحان آن یک روش ساده است. تغییر مسائل جذری اصلی بر مسائل شکل ۲ با استفاده از ماتریس متمایز اولیه یا ثانویه و روش حل مسائل تغییر یافته با پیش فرضیات سمت راست الگوریتم CGLS در بخش آورده شده است. استفاده مؤثر از یک نسخه پیش فرض الگوریتم CGLS با چنین ماتریس هایی مفید به نظر می رسد اما از آنجائیکه آنها معکوس نیستند بعنوان پیش فرضهایی برای روشهای GMRES و RR GMRES مناسب نمی باشند.

پیش فرضهای معکوس مرتبط با اولین و دومین ماتریس های متمایز اخیراً مورد بررسی قرار گرفته این پیش فرضها در روشهای CGLS و GMRES مورد استفاده قرار گرفته و می توانند راه حل هایی با کیفیت های بهتر ارائه نماید هنگامیکه هیچ پیش فرض مورد استفاده قرار نمی گیرد هر چند در جملات با تکرا رهای کمتری نیازی به استفاده از آن نیست برای جزئیات بیشتر و مقایسه پیش فرضهای noninvertible, invertible به بخش] ۷ [ مراجعه کنید.