چکیده

روش گشتاورهای تعمیمیافته((۱GMM بیزیرا برای وضعیتهای پیشنهاد میکنیمکه روشهای بر اساس
درستنمایی مشکل، اما در مقابل بدست آوردن شرطهای گشتاوری نسبتاٌ آسان است.

با بدست آوردن گشتاورها و الحاق نمودن آنها با همدیگر، تابع هدفی درجه دو وزنی در چارچوب GMMمی-سازیم و به منظور بکارگیری آن بعنوان تابع درستنمایی معمولی، منهای تابع درجه دو GMMکه تقسیم بر دو شده است را به توان e میرسانیم. پس از تقریب تابع درستنمایی به صورت فوق و تعیین توزیع پیشین پارامترها، برای نمونه گیری از توزیعهایپسین، از روشهای۲MCMCاستفاده میکنیم و برای بررسی عملکرد روشGMMبیزی پیشنهاد شده، یک مطالعه شبیه سازی در مدلهای خطی تعمیمیافته طراحی میکنیم. مقایسه نتایج شبیه سازیها با استفاده از روشهای GMMبیزی و درستنمایی بیزی نشان میدهد که نتایج تقریباً

یکسان هستند.

کلمات کلیدی: روش گشتاورهای تعمیمیافته، استنباط بیزی، مدلهای خطی تعمیمیافته، روشهای.MCMC

۱

۱٫ Generalized Method of Moment

۲٫Markov Chain Monte Carlo

.۱ مقدمه

روشهای بیزی از قضیه بیز و اصل درستنمایی پیروی میکنند. در استنباط بیزی با توجه به توزیع پیشین داده شده، استنباطها بر اساس توزیع پسین پارامترهای مدل انجام میشود.

در کاربردهای پزشکی دادههای چند متغیره اغلب از اندازه گیریهای طولی یا خوشهای نتیجه میشوند. بعنوان مثال در مطالعه چشمها یا دندانهای یک فرد طبیعی مشاهدات بصورت خوشهای هستند و لذا فرض مستقل بودن مشاهدات برقرار نیست. در مطالعههای طولی، اگرجه فرض میشود که افراد مختلف مستقل هستند، ولی با توجه به فرایند اندازهگیری مکرر از هر فرد در طول زمان، همبستگیهای را در بین مشاهدات مربوط به هر فرد ایجاد میکند و نوعاً بدست آوردن تابع درستنمایی برای جنین دادههایی، به دلیل ناشناخته بودن ساختار همبستگی مورد مطالعه مشکل میباشد. در این حالت میتوان مدل اثرات تصادفی را در نظر گرفت. اگرجه برآوردهای پسین بیزی نسبت به توزیع پارامتری که برای اثرات تصادفی غیر قابل مشاهده فرض شده است ممکن است حساس باشند. اگر یک توزیع پارامتری برای اثرات تصادفی فرض شده باشد آنگاه تابع درستنمایی را به آسانی میتوان بدست آورد.

روش گشتاورهایتعمیمیافته((۱GMMبطور وسیعی در اقتصادسنجی مطالعه شده است. وقتی که فرمول بندی درستنمایی مشکل، اما بدست آوردن گشتاورها نسبتآً آسان است این روش برای بهبود کارایی برآوردگر جالب و مفید است. اولین بار هنسن(۱۹۸۲) ۲ چارچوب جامعی برای GMM بنا کرد و توجیهی دقیق و نظریات مجانبی برای برآوردهای به این روش را ارائه نمود. پیشرفتهای بوجود آمده در تکنولوژی محاسبات، باعث افزایش در بکارگیری روشهای شبیهسازی برای برآورد پارامترها بر پایه شرطهای گشتاوری جامعه شده است.

یکی از کاربردهای عمده GMM، انجام استنباط در مدلهای نیمه پارامتری است که شرطهای گشتاوری از تعداد پارامترهای مجهول بیشتر است، بویژه وقتی کران کارایی پیچیده و شرطهای گشتاوری قابل دسترس هستند، GMM با

۲

ترکیب گشتاورها در ساختن برآوردگرهای کارا سودمند است.تحت برخی شرایط نظم در چمبرلین(۱۹۸۷)۱، برآوردگر GMM به کران کارایی نیمه پارامتری از نظر بیکل و همکاران(۱۹۳۳)۲ دست پیدا میکند.

۱٫Generalized Method of Moment

۲٫ Hansen

در الگوی بیزی، استنباط پسین از اصل درستنمایی پیروی میکند. فرض کنید توزیع پیشین برای پارامتر نامعلوم داده شده است، آنگاه توزیع پسین عبارت است از:

(۱)

که در آن تابع درستنمایی است. در صورتی که اطلاع کافی درباره تابع درستنمایی وجود نداشته باشد برآوردهای پسین بیزی و استنباطهای مربوطه میتوانند چالش برانگیز باشند.

زلنر(۱۹۹۷)۳ روش گشتاورهای بیزی را از طریق محاسبه ماکزیمم آنتروپی جگالیهایی که با شرط گشتاوری سازگار هستند پیشنهاد کرد. کیم(۲۰۰۲)۴ با مینیمم کردن فاصله معیار کولبک- لیبلر اطلاع محدود درستنمایی رابدست آورد. چرنوزیوکف و هانگ(۲۰۰۳)۵ نوع لاپلاس برآوردگری را مطالعه کردند که با الگوریتمهای MCMC بدست میآید. برای بیشتر دادههای طولی یا خوشهای، بدون دانستن ساختار همبستگی تحت مطالعه نوعاً بدست آوردن درستنمایی مشکل است برای غلبه بر این مشکل GMM بیزی را پیشنهاد میکنیم. گشتاورها نوعاً به توزیع نرمال با میانگین صفر همگرا هستند بر این اساس به دنبال این هستیم که جایگزینی مجانبی برای تابع درستنمایی بسازیم. به منظور جایگزینی تابع درستنمایی،منهای تابع درجه دوم GMM را بر دو تقسیم کرده و به توان e میرسانیم. اگر اطلاع خاصی درباره ساختار همبستگی موجود باشد میتوانیم شرطهای اضافی را در تابع درجه دو GMM الحاق کرده تا کارایی برآورد را بهبود بخشیم و آنگاه با استفاده از الگوریتمهای MCMC به آسانی میتوانیم برآوردهای پسین را بدست آوریم.

۳

۱٫Chamberlain

۲٫ Bickel et al

۳٫ Zellner

۴٫ Kim

۵٫ Chernozhukov and Hong

روش گشتاورهای تعمیمیافته بیزی

.۱ مدلهای خطی تعمیمیافته

مدلهای خطی تعمیمیافته چارچوب یکپارچهای برای انواع دادههای گسسته و پیوسته فراهم میکنند. فرض کنید برای امین مورد، مقدار ویژگی مورد مطالعه و بردار متغیر(های) کمکی متناظر آن است. برای تعیین رابطه بین و فرض میکنیم مقادیر مشاهده شده متعلق به توزیعی از خانواده نمایی باشندتابع چگالی به ازای داده شده عبارت است از:

(۲)

۴