ریاضی و موسیقی

موسیقی و صوت ، قدرت سحر انگیز ریاضیات …
در این نوشتار مختصر سعی کردیم به طور ساده و نه زیاد تخصصی ؛ به ریشه ریاضی صوت و موسیقی بپردازیم تا ببینیم که این شاخه از علم چه قدرت وصف نا پذیری در توصیف طبیعت دارد ، ابزار های قدرتمند ریاضی که سالها بعد از اختراعشان ما را در توصیف و توجیه پدیده های طبیعی یاری می کنند…
حدود سال ۱۸۰۰ ژان باپتیست فوریه مسئله سریهای مثلثاتی ( که تا قبل از این روی آن بسیار کار شده بود و به دلایلی توسط ژوزف لویی لاگرانژ و سایرین شدیدا مورد انتقاد قرار گرفته بود) را ارائه داد :

هر تابع متناوب را می توان با یک سری مثلثاتی از توابع سینوسی که فرکانسهایشان از نظر هارمونیکی مرتبط هستند نمایش داد…
اما استدلالهای ریاضی فوریه دقیق نبود ، و اشکال عمده ای که بر آن وارد بود تابع متناوبِ نا پیوسته ی موج مربعی بود ؛ چگونه ممکن بود مجموعی از توابع پیوسته سینوسی ، به یک تابع ناپیوسته همگرا شوند؟ یا توابعی که گوشه دارند ، مثل موج مثلثی . واقعا چطور ممکن است؟
ولی واقعا اینگونه هست . به هر حال دانشمندان بزرگ دیگری روی این مسئله کار کردند (که وارد جزئیات نمی شویم) و آن را تکمیل کردند تا این که امروزه سریهای مثلثاتی به نام سری های فوریه خوانده می شوند :

هر تابع متناوب (دارای شرایطی موسوم به شرایط دیریکله) را می توان با مجموع وزن دار هارمونیک های سینوسی نمایش داد…
منظور از وزن ، همان ضرییب (اندازه) تابع سینوسی است. (A sin(wt+d
A: ضریب یا وزن
w : فرکانس
d: فاز

به مجموعه ی این ضرایب ، ضرایب فوریه تابع می گویند . هر مجموعه از ضرایب فوریه ، تابعی متناوب را به طور یکتا مشخص می کند . (مگر با تغییراتی بسیار جزئی که عملا مهم نیستند.)
در سری فوریه ، یک فرکانس پایه وجود دارد که هارمونیک اصلی خوانده می شود و فرکانس سینوسی های دیگر مضارب صحیحی از این فرکانس پایه خواهند بود. بنابراین فرکانسهای موجود در یک تابع متناوب ، گسسته و همگی مضرب صحیحی از فرکانس پایه هستند ؛ که طیف فرکانسی گسسته نامیده می شود.
تا این لحظه مبحث صرفا ریاضی بود ، حال دو ساز مثل پیانو و فلوت را در نظر بگیرید:

یک نت خاص از هر دو ساز را به صدا در می آوریم، با دیرند و نواک مساوی . اگر نمودار تغییرات فشار آکوستیکی را بر حسب زمان برای دو صوت فوق رسم کنیم ، دقیقا با دو تابع متناوب مواجه می شویم.
البته رسم این نمودار شاید برای عموم مشکل باشد ؛ اما راههایی برای مشاهده هست. تغییرات فشار آکوستیکی ، با یک ترانسدیوسر (مثل میکروفون) به تغییرات یک سیگنال الکتریکی (مثل ولتاژ) بر حسب زمان تبدیل می شود ، که روی اوسیلوسکوپ قابل مشاهده است. یا ساده از آن ، نرم افزارهای ویرایش صوت مثل Cool Edit Pro هم میتوانند این سیگنالها را نمایش دهند.

گفتیم با دو تابع متناوب مواجه شدیم ، پس طبق نظریه ریاضی سری فوریه می توان این توابع را به سری فوریه بسط داد . اگر این کار را انجام دهیم ( این کار هم از طریق نرم افزار تحلیلی قدرتمندی مثل MATLAB امکان پذیر است! ) دقیقا می بینیم که فرکانس پایه و فرکانس هارمونیک های بعدی در هر دو صوت حاصل از پیانو و فلوت با هم برابرند. مثلا اگر نت A را به صدا در آوریم فرکانس اولین تابع سینوسی ۴۴۰ Hz خواهد بود و فرکانس یعدی ۸۸۰ Hz و … اما :
وزن توابع سینوسی متناظر در دو صوت فوق با هم برابر نیست ، و همین قضیه است که باعث می شود سیگنالهای زمانی که از دو صوت فوق ثبت کردیم یکسان نباشند؛ و صدای حاصل از دو صوت فوق متفاوت و قابل تشخیص باشد…

اگر در آزمایشگاه هم به عنوان مثال صوت حاصل از نت A این دو ساز را از یک فیلتر ساده پایین گذر عبور دهیم به طوری که فرکانسهای بالای ۴۴۰ Hz تضعیف و یا حذف شوند ، روی اوسکوپ فقط یک سیگنال سینوسی با فرکانس ۴۴۰ Hz مشاهده می شود.
تا کنون در مورد توابع متناوب صحبت کردیم . اما اگر تابع متناوب نباشد چطور؟

از نظر ریاضی برای توابع غیر متناوب ، مثلا توابع با عمر محدود نیز را بطه ای وجود دارد :
هر تابع نا متناوب (دارای شرایطی موسوم به شرایط دیریکله) را می توان با انتگرالی وزن دار از توابع سینوسی نمایش داد…
این نوع نمایش توابع نامتناوب را نمایش انتگرال فوریه تابع می نامند . در این حالت فرکانسها دیگر مضاربی از یک فرکانس پایه نیستند ، بلکه بینهایت به هم نزدیکند ، به همین خاطر مجموع به انتگرال تبدیل شده است. به مجموعه ی این ضرایب ، تبدیل فوریه تابع می گویند.یک تبدیل فوریه ، تابعی را به طور یکتا مشخص می کند.(مگر با تغییراتی بسیار جزئی که عملا مهم نیستند.)

بنابر این طیف فرکانسی حاصل از این توابع دیگر گسسته و دارای مقادیر مرتبط هارمونیکی نیست ، بلکه طیف پیوسته ای را از فرکانس صفر تا فر کانس بینهایت شامل می شود ، مثل طیف صدای انسان.
اگر دو فرد که از نظر محدوده صدایی مساوی هستند ( مثلا هر دو تنور هستند ) عبارتی را بخوانند ، در صدای هر دو فرد گستره پیوسته ی برابری از فرکانسها موجودند ، اما با ضرایب متفاوت ، که باعث تفاوت در سیگنال زمانی و نهایتا صدای متفاوت آن دو می شود که با گوش قابل تشخیص است… توجه می کنیم که سیگنال صدایی که در مجموع از یک ارکستر بر می خیزد متناوب نیست ، بنابر این طیف فرکانسی پیوسته ای دارد.

… و این ، مختصری از قدرت بیکران این شاخه گرانقدر از علم را به ما نشان می دهد ، واقعا بخش عمده ای از تغییرات جهان به صورت سینوسی ها و مجموع آنها هستند ، گویی تمام سیستمها و مکانیسمها اعم از طببعی مثل گوش ، یا ساخته دست بشر مثل فیلتر ها و … اصل برهم نهی ( Superposition ) را می دانند ؛ می دانند که به سینوسیها پاسخ دهند و این پاسخها را با هم جمع کنند تا پدیده هایی به وجود آیند که جهان ما را می سازند!
تنيدگي موسيقي در دل رياضيات

سيد عبدالله انوار در اين نشست به بررسي تأثيرات رياضيات، هندسه، منطق و فلسفه بر موسيقي ايراني-اسلامي پرداخت. انوار به پايه هاي علم موسيقي در فلسفه اشاره كرد و گفت: «هر آنچه مي خواهد خواص و عوارضش مورد بحث قرار گيرد بايد دانسته شود آن خود چيست و عناصر تشكيل دهنده اش چيست. به عبارت ديگر، چيزي كه عوارض آن مورد بررسي است و بر حسب اصطلاح اهل استدلال به نام «موضوع» مطرح است، ذاتش از چه ذاتياتي به وجود آمده و اين ذاتيات مجتمع، پس از اجتماع واحد چه خواص و ويژگي هاي دائمي يا غيردائمي دارد. چون امور با اين نحوه از شناسايي مطرح مي شود، در ذهن و در معرفي آن به ديگري به هيچ وجه با ابهام رو به رو نيست و آن چنان كه شايسته آن است مورد شناخت قرار گرفته است و هر چه اين عوارض روشن تر باشد، اين شيء بهتر در دامن شناسايي قرار مي گيرد.

با گسترش اسلام در مناطق مختلف، از پنجاب تا آندلس تحت لواي قرآن درآمد. آن وقت بود كه كم كم مسائل عقلاني طرح شد. بدين ترتيب پرسش هايي مطرح شد و به تبع آن علومي همچون كلام، منطق، رياضيات و فلسفه مورد توجه قرار گرفتند. در زمان مأمون عباسي در بغداد «بيت الحكمه» بر پا شد. پس، به ترتيبي كه در تاريخ مسطور است، عالماني به بيزانس فرستاده شدند و كتب ارسطو و جالينوس و بقراط و ساير يونانيان كه در طريق عقل خشك منطقي قدم زده بودند، به بغداد آورده شد.»

نگاه فلسفي ارسطو به موسيقي
انوار با نگاهي به فلسفه ارسطو كه به فلسفه اولي، تعليمي و طبيعي تقسيم مي شود، به تشريح اين فلسفه ها و فلسفه رياضي كه همان علم تعليمي است و موسيقي نيز شامل آن مي شود، پرداخت: «فلسفه اولي، همان چيزي است كه مسلمانان الهيات را در آن قرار دادند. علم تعليمي همان فلسفه رياضيات است كه در حد واسط حكمت الهي و حكمت

طبيعي قرار مي گيرد. اين مباني پس از ترجمه در دسترس مسلمانان قرار گرفت. خود فلسفه رياضي در چهار علم به بحث گذاشته مي شود: اول آن علم مجسطي است كه از هيئت عالم و وضع ستارگان، يعني نجوم و ملحقات آن بحث مي كند. دوم، علم هندسه است كه به وسيله اقليدس نزد يونانيان تدوين شد و به زبان عربي دو ترجمه دارد سوم علم حساب است كه به وسيله نيكوماخوس تدوين شد. اين نيكوماخوس غير از آن نيكوماخوسي است كه ارسطو كتاب اخلاق خود را براي او تدوين كرد. چهارم، علم موسيقي است كه هم از الحان –كه همان ملودي است- بحث مي كند و هم از ايقاع كه آن از ضربه بر روي پوستي يا طاسي به عمل آيد. عربان آن را از دو منبع گرفتند: يكي از منابع يوناني، خاصه از فيثاغورسيان و

ديگر از كشورهاي هند و ايران و همسايگان. و كتاب ممتع آن، كه امروز هم در دست ماست، همان «الموسيقي الكبير» است كه به دست فارابي تدوين شده است. در نزد قدما، موسيقي از دو وجه مورد توجه بوده است: يكي از جنبه علمي و نوازندگي كه با تمرين فراوان، ‌شاگرد در اين جنبه استاد فن مي شود و از نواختن تعليم مي گيرد، و ديگر از جنبه نظري. در اين جنبه موسيقي به دو بخش اصلي تقسيم مي شود: يكي بخش ملودي و الحان است و ديگري بخش ايقاع كه از ريتم ها بحث مي كند و بر حسب آن در نواختن دف و دايره و تنبك و ساير سازهاي كوبه اي (كه در آن كوبش مطرح است) ريتم ها به كار مي رود و امروزه سازهاي آن به نام سازهاي كوبه اي مشهورند.

در قسمت ملودي چون موسيقي دان ها از بعد استفاده مي كردند و بعد نسبت بين صداي دو نغمه بود، لذا اين بعد نسبت بين دو عدد را به ما مي داد؛ يعني نسبت «آ» به «ب» كه تركيب اين نسبت ها براي بيان آهنگ، يك سلسله محاسبات پيچيده را وارد موسيقي كرد.»

نغمه و نقره در سازهاي زهي و كوبه اي
عبدالله انوار در ادامه بحث، به نغمه در موسيقي و تأثير رياضيات بر ايجاد نغمه اشاره كرد: «در موسيقي بايد توجه داشته باشيم كه بحث ما نغمه است و اول اينكه نغمات بايد در توالي هم باشند. البته آمدن نغمه ها پشت سر هم گاهي متنافر است و گاهي نامتنافر و موسيقي دان كارش اين است كه توالي نغمات را جوري برقرار كند كه در گوش خوش بيايد. اگر شما بي نهايت نغمه داشته باشيد كه درنگ در همه آنها يكسان باشد، اين موسيقي نيست، بلكه يك توالي واحد است. موسيقي از نغماتي بحث مي كند كه هم در صوت و هم در

درنگ با هم اختلاف دارند. بنابر آنچه گفته شد، موسيقي ما دو تقسيم دارد: باب ايقاع كه بر اثر كوبش بر سازهاي كوبه اي حاصل مي شود و ديگري باب ملودي يا الحان كه بر اثر زخمه بر ساز زهي ايجاد مي شود. اما به هر روي چه در كوبش و چه در زخمه زدن بايد همواره صوت با درنگ زماني‌ همراه باشد. در كوبش ها كه قدما به جاي نغمه به آن «نقره» مي گفتند، اين نقرات هم بايد اولاً توليد صدا كنند و ثانياً بايد با زمان درنگ همراه باشند تا در گوش، صوت موسيقي به حساب آيند. براي اندازه گيري نقرات هم مي توان از خود نقرات استفاده كرد. توالي هاي بين نقرات بسيار مهم است و بايد فاصله بين دو نقره خيلي زياد و يا خيلي هم كوتاه نباشد. گاهي فاصله بين دو نقره تا آخر ملودي يكسان است كه آن را «متساوي الحرز» گويند و گاهي فاصله زماني بين دو نقره در ملودي يكسان نيست كه ‌آن را «نقرات متفاضل» مي گويند.

 

اما ما در موسيقي تنها به كوبش ها نمي پردازيم، بلكه از اصواتي هم صحبت مي كنيم كه از نواختن پديد مي آيند؛ از دميدن در ني يا نهادن انگشتي بر تاري. اين بخش از موسيقي كه از اين گونه اصوات بحث مي كند، در قديم به نام «لحنيات» معروف بوده است كه امروزه به آن ملودي مي گويند.

ملودي در واقع ‌نغمه اي است كه بر اثر زخمه بر زهي ايجاد مي شود كه بايد اين صوت با درنگ زماني همراه باشد، والا از بحث موسيقي خارج مي شود.
حالا برگرديم به اصل بحث اينكه رياضي چه نقشي در موسيقي داشته است. موسيقي دانان قديم براي پياده كردن نغمات از سازي زهي به نام «عود» استفاده كردند، چرا كه عود مورد اجماع موسيقي دانان قديم بود. عود پنج سيم دارد سوار بر پيكره اي كه انتهاي آن يك كاسه است، با يك دسته. در اين گونه آلات موسيقي زهي به دو گونه صوت ايجاد مي شود: يكي اينكه زخمه به سيم بزنيد و آزاد كنيد كه به آن صوت مطلق گويند و دوم اينكه زخمه اي به سيم بزنيد و بعد انگشت را آزاد نكنيد و بر آن بگذاريد كه صوت حاصل از اين نوع دوم متفاوت

با صوت مطلق است. بعد طول دسته را به ۹ قسمت مساوي تقسيم كردند و روي هر كدام يك نوار بستند. اندازه گيري در لحنيات با طول دسته پيدا شد. بعدها به نتايج ديگري رسيدند، مثلاً اينكه اگر دست روي ۹/۸ گذاشته شود، صوت مطبوع مي شود. و اين گونه بود كه موسيقي دانان نسبت را وارد موسيقي كردند. نسبت در موسيقي حاصل تقسيم دو نغمه است و نسبت اساس رياضي موسيقي است. نسبتي هست به نام ذوالكل كه نسبتي است با صورت ۲ و مخرج يك. اين نسبت با همان يك اكتاو امروز ما مطابقت دارد؛ يعني بيان ۸ نغمه را مي كند كه امروزه با دو، رِ، مي، فا، سل، لا، سي، دو معين مي شود.

اما بحث زيبايي نغمات در گوش بحث مهمي است. اجماع موسيقي دان ها گفته اند كه گوش ها در تشخيص صوت مطبوع و نامطبوع مثل هم نيستند. فارابي گفته است كه موسيقي‌اي كه من بحث مي كنم در اين منطقه جغرافيايي است و اين اصوات در اين منطقه براي گوش ملايم است و براي هر منطقه اي مطبوعيت جداگانه اي دارد.»