ریاضی کاربردی

ـ فرض كنيد تحقيقي در مورد گروهي از مريض‌ها انجام مي‌شود، به طوري كه احتياج به يك رژيم غذايي دارند كه بايستي حداقل ۲۰۰۰ كالري و حداقل ۶۰۰ واحد ويتامين D مورد لزوم از دو خوراك I و II كسب شود. هر واحد از خوراك I داراي ۴۰ كالري و ۸ واحد ويتامين D است و هر واحد از خوراك II داراي ۲۰ كالري و ۱۲ واحد ويتامين D است در ضمن هزينه هر واحد خوراك I برابر ۴ تومان و هزينه هر واحد خوراك II برابر ۵ تومان مي‌باشد. مسئله را به صورت يك برنامه‌ريزي خطي مدل‌بندي نماييد به طوري كه ضمن كسب حداقل كالري و ويتامين D مورد لزوم مقدار هزينه مينيمم شود.
حل. تعريف مي‌كنيم:

تعداد واحد خوراك نوع I كه فرد خريداري مي‌كند براي
اطلاعات مسئله را مي‌توانيم به صورت يكي از جدولهاي زير خلاصه نماييم:

حداقل مورد نياز خوراك I خوراك II
2000 20 4 كالري
۶۰۰ ۱۲ ۸ ويتامين D
5 4 هزينه

 

هزينه هر واحد ويتامين D كالري
۴ ۸ ۴ X1تعداد واحد خوراك I
5 12 20 X2 تعداد واحد خوراك II
600 2000 حداقل مورد نياز

با استفاده از هر كدام از دو جدول فوق، مدل مسئله به صورت زير قابل بيان است:

ـ در يك كارگاه بشقاب‌سازي بشقاب در دو اندازه كوچك و بزرگ ساخته مي‌شود براي ساخت يك بشقاب كوچك، يك دسيمتر مربع ورق استيل ۵/۱ نفر ساعت كار مورد نياز است. در صورتي كه براي ساخت يك بشقاب بزرگ دو دسيمتر مربع ورق استيل و ۳ نفر كار مورد نياز است. فروش هر بشقاب كوچك ۳۰ تومان و فروش هر بشقاب بزرگ ۵۰ تومان سود دارد. اگر در هفته ۴۰۰ دسيمتر مربع ورق استيل و ۵۰۰ نفر ساعت نيروي انساني در اختيار داشته باشيم و هر تعداد بشقاب از هر نوع كه توليد شود به فروش برسد يك مدل رياضي براي مسئله بنويسيد كه تعيين كند در هر هفته از هر نوع بشقاب چه تعداد توليد مي‌شود تا ضمن رعايت محدوديتهاي منابع، سود حاصل از توليد ماكزيمم شود.
حل. تعريف مي‌كنيم:

تعداد توليد هفتگي بشقاب نوع كوچك: x1
تعداد توليد هفتگي بشقاب نوع بزرگ: x2
مقدار در دسترس بزرگ كوچك
۴۰۰ ۲ ۱ ورق استيل
۵۰۰ ۳ ۵/۱ نيروي انساني
۵۰ ۳۰ سود

ـ در كارخانه‌اي دو نوع كالا توليد مي‌شود. براي توليد هر واحد از نو

ع اول، ۳ ساعت زمان و براي توليد هر واحد از نوع دوم، ۲ ساعت زمان لازم است. كارخانه در ۲۴ ساعت شبانه‌روز كار مي‌كند و از طرفي ماده اوليه براي توليد حداكثر ۱۰ واحد كالا از هر نوع داريم. هرگاه سود كالاي نوع اول ۴۰۰ تومان و سود كالاي نوع دوم ۳۰۰ تومان براي هر واحد باشد. از هر كالا چه تعدادي در شبانه روز توليد كنيم تا سود حاصل ماكزيمم شود. يك مدل رياضي براي بيان مسئله بنويسيد.
حل. تعريف مي‌كنيم:
تعداد كالاي نوع i براي

ـ يك كارخانه توليدي ۵ ماشين رنگ‌كاري و يك ماشين پرس دارد. اين ماشينها براي ساخت دو نوع محصول I و II به كار گرفته مي‌شوند. با تركيب يك واحد از I و يك واحد از II، يك محصول جديد به نام III‌ به دست مي‌آيد. ميزان به‌كارگيري هر كدام از اين ماشينها براي محصولات I و II در جدول زير داده شده است.

مدت زمان مورد نياز (دقيقه)
براي هر واحد
رنگ‌كاري پرس محصول
۲۰
۱۵ ۳
۵ I

II

چگونگي تقسيم كار روي ماشين‌ها را تعيين كنيد به طوريكه در مدت ۸ ساعت كار، تعداد محصولات نهايي III ماكزيمم گردد. يك مدل رياضي براي بيان مسئله بنويسيد.
حل. تعريف مي‌كنيم:
تعداد محصولات نوع I: x1

تعداد محصولات نوع II: x2
چون هر واحد از III از تركيب يك واحد از I و يك واحد از II ساخته مي‌شود بنابراين III به اندازه مي‌تواند توليد شود كه بايستي اين مقدار را ماكزيمم نماييم.

ـ چهار فرآورده به طور متوالي روي دو ماشين پردازش مي‌شوند. مدت زمان براي پردازش هر واحد از فرآورده‌ها روي دو ماشين (بر حسب ساعت) در جدول زير داده شده است:

زمان براي هر واحد (ساعت)
ماشين فرآورده ۱ فرآورده ۲ فرآورده ۳ فراورده ۴
۱ ۲ ۳ ۴ ۲
۲ ۳ ۲ ۱ ۲

هزينه كل توليد يك واحد از هر فرآورده مستقيماً با زمان مورد استفاده از ماشين متناسب مي‌باشد. فرض كنيد هزينه هر ساعت استفاده از ماشين‌هاي ۱ و ۲ به ترتيب برابر ۱۰ و ۱۵ تومان باشد. كل زمان در نظر گرفته شده براي تمام فرآورده‌ها روي ماشين‌هاي ۱ و ۲ برابر ۵۰۰ و ۳۰۰ ساعت است. اگر بهاي فروش هر واحد از فرآورده‌هاي ۱ و ۲ و ۳ و ۴ به ترتيب برابر ۶۵، ۷۰، ۵۵ و ۴۵ تومان باشد، براي بيشينه ساختن سود خالص كل، يك مدل رياضي براي بيان مسئله بنويسيد.
حل. تعريف مي‌كنيم:

ميزان توليد فرآورده i‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ام براي

ـ توليد كننده‌اي سه مدل (I، II و III) از فرآورده معيني را توليد مي‌كند. او از دو نوع ماده خام (A و B ) كه از آنها به ترتيب ۲۰۰۰ و ۳۰۰۰ واحد در دسترس دارد استفاده مي‌نمايد. مواد خام مورد نياز براي هر واحد از سه مدل در زير داده شده‌اند.

مقدار لازم براي هر واحد از مدل داده شده
ماده خام I II III
A 2 3 5
B 4 2 7

زمان كار مورد نياز براي هر واحد از مدل I دو برابر زمان كار مدل II و سه برابر زمان كار مدل III مي‌باشد. تمام نيروي كار كارخانه مي‌تواند معادل ۷۰۰ واحد از مدل I توليد كند برآوردي از بازار نشان مي‌دهد كه كمينه تقاضا براي سه مدل به ترتيب ۲۰۰ و ۲۰۰ و ۱۵۰ واحد مي‌باشد با وجود اين نسبتهاي تعداد واحد توليد شده بايد به نسبت ۵: ۲: ۳ باشند. فرض كنيد كه سود هر واحد از مدلها به ترتيب برابر با ۳۰ و ۲۰ و ۵۰ تومان باشد. يك مدل رياضي براي بيان مسئله بنويسيد تا بتوانيد تعداد توليد واحدهايي از هر فرآورده را كه سود كل را بهينه مي‌سازد به دست آوريد.
حل. تعريف مي‌كنيم:

ميزان توليد محصول مدل نوع I براي

توجه داشته باشيد كه مجموع نسبتهاي داده شده برابر ۱۰ است كه متغيرهاي اول تا سوم به ترتيب نسبتهاي ۳، ۲ و ۵ از آن را به خود نسبت مي‌دهند. لذا، مثلاً براي محصول نوع I داريم:

به همين نحو براي محصولهاي دوم و سوم يك رابطه مشابه وجود دارد.

ـ فرض كنيد مقدار خوراك مورد نياز در يك مرغداري ۱۰۰ كيلوگرم در روز باشد. غذاي ويژه بايد شامل موارد زير باشد:
۱) كلسيم، حداقل ۸/۰ درصد و حداكثر ۲/۱ درصد
۲) پروتئين، حداقل ۲۲ درصد
۳) الياف خام، حداكثر ۵ درصد
فرض كنيد كه اجزاي تركيبي مواد غذايي كه مورد استفاده قرار مي‌گيرند، عبارتند از سنگ آهك، ذرت و آرد سويا. محتواي غذايي اين اجزاي تركيبي در جدول زير داده شده‌اند.
جزء تركيبي كلسيم پروتئين الياف خام هزينه هر كيلو
سنگ آهك ۳۸/۰ ۰ ۰ ۴/۱۶
ذرت ۰۰۱/۰ ۰۹/۰ ۰۲/۰ ۳/۸۶
آرد سويا ۰۰۱/۰ ۵/۰ ۰۸/۰ ۱۲۵

يك مدل رياضي براي بيان مسئله بنويسيد به طوري كه مشخص كند از هر جزء تركيبي چه مقدار در بسته غذايي استفاده گردد تا ماده غذايي مورد نظر با حداقل هزينه تهيه شود، ضمن اينكه احتياجات غذايي مورد نظر نيز برآورده گردد.
حل. تعريف مي‌كنيم:
مقدار سنگ آهك مورد استفاده در بسته صد كيلويي: x1

مقدار ذرت مورد استفاده در بسته صد كيلويي: x2
مقدار آرد سويا مورد استفاده در بسته صد كيلويي: x3
بنابراين مدل برنامه‌ريزي خطي به صورت زير خواهد بود:

ـ براي كنترل كيفيت حداقل ۲۵۰۰ واحد از يك كالا در مدت ۷ ساعت قرار است از تعدادي بازرس از دو گروه A و B استفاده شود. يك بازرس گروه A در هر ساعت ۲۵ عدد كالا را با دقت ۹۷ درصد كنترل مي‌كند و هزينه بازرسي در هر ساعت ۴۰۰ تومان است. ي

ر ساعت ۳۵۰ تومان است. براي هر واحد كالا كه ناقص باشد و از زير دست بازرسان خارج گردد كارخانه بايد ۲۰۰ تومان جريمه بپردازد. با فرض آنكه از بازرسيهاي گروه A حداكثر ۱۰ نفر و از بازرسهاي گروه B حداكثر ۱۱ نفر در دسترس هستند، معين كنيد كه از هر كدام از بازرسها چه تعدادي به خدمت گرفته شوند تا ضمن مينيمم كردن هزينه پرداختي، كارخانه به هدف مطلوب برسد. يك مدل رياضي براي بيان مسئله بنويسيد.
حل. تعريف مي كنيم:
تعداد بازرساني كه از گروه A‌ به خدمت گرفته مي‌شوند: x1
تعداد بازرساني كه از گروه B به خدمت گرفته مي‌شوند: x2
هزينه در اين مسئله عبارت است از:

هزينه جريمه + هزينه ساعتي هر بازرسي
هزينه كارخانه براي يك ساعت از بازرس گروه A عبارت است از:

به طور مشابه هزينه كارخانه براي يك ساعت از بازرس گروه B‌ عبارت است از:

بنابراين مدل مسئله عبارت است از:

ـ شركتي سه محصول شيميايي توليد مي‌كند. براي اين كه محصولي به توليد برسد، مي‌بايست از چهار مرحله توليدي عبور كند. جدول زير زمان مورد نياز هر محصول جهت مرحله‌هاي مختلف و ظرفيت زماني هر مرحله را بر حسب دقيق در روز نشان مي‌دهد. چنانچه حداقل تقاضا براي هر محصول به ترتيب ۵۰، ۸۰ و ۷۰ واحد بوده و سود خالص هر واحد محصول به ترتيب ۳، ۲، ۵ باشد، به منظور حداكثر كردن سود كل توليدات اين شركت، مسئله را به شكل يك مدل برنامه‌ريزي خطي فرموله كنيد تا معين كند از هر محصول چه تعدادي توليد شود.
ظرفيت زماني محصول ۳ محصول ۲ محصول ۱ پروسه
۴۳۰ ۱ ۲ ۱ ۱
۴۶۰ ۲ – ۳ ۲
۴۲۰ – ۴ ۱ ۳
۴۴۰ ۴ ۳ ۵ ۴

حل.
ابتدا مي‌بايست متغيرهاي تصميم را تعريف نماييم. در اينجا مي‌خواهيم بدانيم از هر محصول چقدر بايد توليد كنيم. لذا متغيرهاي تصميم به شكل زير تعريف مي‌گردند:
X1= تعداد توليد محصول ۱

X2= تعداد توليد محصول ۲
X3= تعداد توليد محصول ۳
و يا به طور خلاصه مي‌نويسيم:
Xj= ميزان (مقدار) توليد از محصول j براي
حال با اين تعريف تابع هدف ما چنين خواهد بود:

كه دراينجا z معرف سود كل شركت مي‌باشد.
براي ظرفيت زماني چهار پروسه توليدي، چهار محدوديت زير را خواهيم داشت:

براي هر محصول، يك محدوديت حداقل تقاضا وجود دارد لذا خواهيم داشت:

نهايتاً چون مقدار منفي براي متغيرهاي ما بي‌مفهوم است داريم:

(البته بايد توجه داشت كه در اين مسئله، محدوديتهاي حداقل تقاضا، ضرورت نوشتن وضعيت متغيرها يعني را رفع مي‌نمايد.)
لازم به توضيح است كه چون xj معرف تعداد توليد محصولي خاص است لذا شرط صحيح بودن براي متغيرهاي تصميم نيز بايستي در نظر گرفته شود. اما معمولاً به جز در مسائلي كه شرط صحيح بودن الزامي است از نوشتن اين شرط صرف‌نظر مي‌شود و در عمل اگر پس از حل مسئله و تعيين جوابي كه بهترين مقدار را به تابع هدف مي‌دهد مقدار متغيري مثلاً به صورت x=3.5 محصول در يك دوره زماني است، آن را به صورت x=35 محصول در ده دوره زماني تعبير مي‌نماييم.
نكته: سعي كنيد در مسائلي كه فرموله مي‌كنيد نكات زير رعايت گردند.

۱٫ بين تابع هدف و محدوديتهاي از يكي از كلمات «به طوري كه»، «تحت شرايط»، «با قيود»، «مشروط به اين كه»، «Subject to» يا به طور خلاصه «S. t.» استفاده نماييد.
۲٫ متغيرها را به شكل مرتب در تابع هدف و محدوديتها، زير هم بنويسيد.
۳٫ در محدوديت‌ها، متغيرها در سمت چپ نامساوي و مقادير ثابت در سمت راست نامساوي قرار بگيرند.
۴٫ هر محدوديت صرفاً داراي يك علامت مساوي يا نامساوي ( و ) باشد.

ـ چهار محصول به طور متوالي به وسيله دو ماشين ساخته مي‌شوند. زمان توليد براي ساخت هر محصول در هر ماشين بر حسب ساعت در جدول زير مشخص شده است:
زمان براي توليد هر واحد (ساعت) ماشين
محصول ۴ محصول ۳ محصول ۲ محصول ۱
۲ ۴ ۳ ۲ ۱
۲ ۱ ۲ ۳ ۲

كل هزينه توليد هر واحد محصول بر اساس زماني است كه ماشين براي توليد آن مصرف مي‌كند. فرض كنيد كه هزينه هر ساعت كار ماشين ۱ و ۲ به ترتيب ۱۰ و ۱۵ واحد پول قراردادي است. كل ساعاتي كه براي توليد تمام محصولات روي ماشينهاي ۱ و ۲ در نظر گرفته شده است ۵۰۰ و ۳۸۰ ساعت مي‌باشد. اگر قيمت فروش هر واحد محصول ۱ و ۲ و ۳ و ۴ به ترتيب ۶۵ و ۷۰ و ۵۵ و ۴۵ واحد پول قراردادي باشد، مسئله را به صورت يك مدل برنامه‌ريزي خطي كه كل سود را ماكزيمم سازد فرموله كنيد.
حل. قبل از هر عملي اطلاعات داده شده براي مسئله را در جدول زير خلاصه مي‌كنيم:
ظرفيت موجود محصول ماشين هزينه هرساعت كار ماشين

۴ ۳ ۲ ۱
۵۰۰ ۲ ۴ ۳ ۲ ۱ ۱۰
۳۸۰ ۲ ۱ ۲ ۳ ۲ ۱۵
۴۵ ۵۵ ۷۰ ۶۵ قيمت فروش هر واحد محصول
۵- ۰ ۱۰ ۰ سود خالص هر واحد محصول

در اين جدول براي محاسبه سود خالص هر واحد محصول، هزينه كل توليد را از قيمت فروش آن كسر كرده‌ايم به عنوان نمونه هزينه توليد محصول ۱ با ۲ ساعت كار ماشين ۱، ۲۰(=۱۰*۲) و با ۳ ساعت كار ماشين ۲، ۴۵ (=۱۵*۳) و به عبارتي ۶۵ (=۴۵+۲۰) واحد پول برابر مي‌باشد و چون قيمت فروش آن نيز ۶۵ واحد است لذا سود خالص آن صفر خواهد بود.
متغير تصميم اين مسئله چنين خواهد بود:
xjمقدار توليد از محصول j براي
بنابراين داريم:
تابع هدف (حداكثر كردن سود خالص)

محدوديت ظرفيت موجود ماشين ۱

محدوديت ظرفيت موجود ماشين ۲

محدوديت غيرمنفي بودن توليدات

ـ يك كارخانه كلاه‌سازي دو نوع كلاه توليد مي‌كند. ساخت هر واحد كلاه نوع ۱، به اندازه دو برابر كلاه نوع ۲، نيروي انساني لازم دارد. اگر تمام كلاه‌ها فقط از نوع ۲ باشند، كارخانه مي‌تواند جمعاً ۵۰۰ كلاه در روز توليد كند. حداكثر تقاضاي روزانه براي كلاه‌هاي نوع ۱ و ۲ به ترتيب ۱۵۰ و ۲۵۰ كلاه است. فرض كنيد كه سود هر كلاه نوع ۱ و ۲ به ترتيب ۸ و ۵ واحد پول قراردادي است. به منظور ماكزيمم كردن سود معلوم كنيد كه از هر يك از كلاه‌هاي نوع ۱ و ۲ چند عدد بايد توليد گردد. يك مدل رياضي براي بيان مسئله بنويسيد.

حل. ابتدا خلاصه اطلاعات مسئله را در جدول زير مي‌آوريم.
كلاه نوع ۱ كلاه نوع ۲
حداكثر تقاضا ۱۵۰ ۲۵۰ ظرفيت موجود
نيروي انساني m2 m m500
سود خالص هر كلاه ۸ ۵

در اينجا اگر نيروي انساني لازم براي كلاه نوع ۲ را m فرض كنيم، اين ميزان براي كلاه نوع ۱ برابر m2 بوده و ظرفيت موجود كارخانه در اين راستا، m500 در روز برآورد مي‌گردد.
متغيرهاي تصميم اين مسئله چنين تعريف مي‌گردند:
تعداد كلاه توليد شده از نوع j :
با هدف حداكثر كردن سود داريم:

براي محدوديت نيروي انساني پس از حذف پارامتر m از طرفين نامعادله خواهيم داشت:

محدوديتهاي حداكثر تقاضا چنين مي‌باشند:

چون مقدار منفي براي توليدات مفهومي ندارد خواهيم داشت:

ـ يك كارخانه مي‌تواند سه مدل ۱ و ۲ و ۳ از محصولي را توليد كند. اين كارخانه دو نوع ماده خام A و B مصرف مي‌كند كه از آنها به ترتيب ۲۰۰۰ و ۳۰۰۰ واحد در دسترس است. مواد خام مورد نياز براي هر واحد از مدلهاي ۱ و ۲ و ۳ در جدول ذيل نشان داده شده است:
مواد خام مورد نياز مدلهاي مواد خام
۳ ۲ ۱

۵ ۳ ۲ A
7 2 4 B

نيروي انساني لازم براي هر واحد از مدل ۱ به اندازه دو برابر مدل ۲ و سه برابر مدل ۳ است. كل نيروي انساني كه كارخانه مي‌تواند در اختيار داشته باشد معادل توليد ۷۰۰ واحد از مدل ۱ است. قسمت بازاريابي اعلام كرده است كه حداقل تقاضا براي سه مدل به ترتيب ۲۰۰ و ۲۰۰ و ۱۵۰ واحد است. ليكن نسبت تعداد محصولهاي توليد شده بايد به صورت ۳: ۲: ۵ باشد. فرض كنيد كه سود هر واحد از مدلهاي ۱ و ۲ و ۳ به ترتيب ۳۰ و ۲۰ و ۵۰ واحد پول قراردادي است. به منظور تعيين تعدادي كه از هر مدل بايد توليد گردد تا سود كل ماكزيمم نمايد مسئله را به صورت يك مدل برنامه‌ريزي خطي فرموله كنيد.
حل. خلاصه اطلاعات مسئله و متغير تصميم‌گيري به شرح ذيل خواهد بود:

ظرفيت موجود محصولات توليدي مدل
۳ ۲ ۱
۵ ۲ ۳ نسبت توليدات
۱۵۰ ۲۰۰ ۲۰۰ حداقل تقاضا
۲۰۰۰ ۵ ۳ ۲ ماده خام A
3000 7 2 4 ماده خام B

m700 3/m 2/m m نيروي انساني
۵۰ ۲۰ ۳۰ سود هر واحد محصول

براي j=1, 2, 3 متغير xj را به صورت تعداد توليد مدل نوع j تعريف مي‌كنيم، بنابراين مشابه مسئله قبل به فرموله كردن مسئله مي‌پردازيم:

محدوديت موجودي ماده خام A
محدوديت موجودي ماده خام B
محدوديت موجودي نيروي انساني
محدوديت حداقل تقاضاي محصول ۱
محدوديت حداقل تقاضاي محصول ۲
محدوديت حداقل تقاضاي محصول ۳
محدوديت نسبت توليد محصولات

محدوديتهاي غيرمنفي بودن متغيرهاي تصميم در محدوديتهاي حداقل تقاضا لحاظ شده است.

ـ تاجري اين اختيار را دارد كه پولش را در دو طرح سرمايه‌گذاري كند. طرح A ضمانت مي‌كند كه بعد از سرمايه‌گذاري هر واحد پول قراردادي به اندازه ۷۰ درصد واحد پول قراردادي در يك سال عايدي به بار آورد، در صورتي كه طرح B عايدي ۲ واحد پول قراردادي را براي هر واحد تضمين مي‌نمايد. ناگفته نماند در طرح B سرمايه‌گذاري پس از دو سال عايدي خواهد داشت، به منظور ماكزيمم كردن درآمد در پايان سال سوم مبلغ ۱۰۰۰۰۰ واحد پول قراردادي را چگونه بايد سرمايه‌گذاري نمود؟ مسئله را به صورت يك مدل برنامه‌ريزي خطي فرموله كنيد.
حل. ابتدا به تشريح شماتيكي مسئله مي‌پردازيم.

سرمايه‌گذاري روي
طرح A طرح B
پس از يك سال ۷۰ درصد سود مي‌دهد به عبارت ديگر اصل سرمايه پس از يك سال، ۷/۱ برابر مي‌شود. پس از دو سال ۲۰۰ درصد سود مي‌دهد. به عبارت ديگر اصل سرمايه‌گذاري انجام شده پس از دو سال، ۳ برابر مي‌گردد.

ما به هر ميزان كه بخواهيم، با توجه به سرمايه موجود در ابتداي هر سال، بر روي دو طرح A و B سرمايه‌گذاري مي‌كنيم. سرمايه موجود در ابتداي سال اول ۱۰۰۰۰۰ واحد پول است كه تماماً بر روي دو طرح سرمايه‌گذاري مي‌گردد اما سرمايه موجود در ابتداي سال دوم، اصل سرمايه و سود حاصل از سرمايه‌گذاري انجام شده بر روي طرح A در ابتداي سال اول خواهد بود. «توجه داشته باشيد كه سرمايه‌گذاري انجام شده بر روي طرح B، هنوز درگير بوده و در پايان سال اول، بازگشتي ندارد.» در ابتداي سال سوم سرمايه موجود، مجموع بازگشتي حاصل از سرمايه‌گذاري انجام شده بر روي طرح A در ابتداي سال دوم و بازگشتي حاصل از سرمايه‌گذاري انجام شده بر روي طرح B در ابتداي سال اول مي‌باشد و …

شكل ص ۲۴

اگر Xij را ميزان (مقدار) سرمايه‌گذاري انجام شده در ابتداي سال i، بر روي پروژه j (i=1, 2, 3, …) j=A,B بناميم موجودي حاصله پس از سه دوره يك ساله (پايان سال ۳) با توجه به توضيحات داده شده و شكل شماتيكي آن، به خواهد رسيد كه هدف ما، بيشينه كردن آن است لذا مدل برنامه‌ريزي خطي اين مسئله به شكل زير درمي‌آيد.

 

توجه داشته باشيد كه در ابتداي سال سوم سرمايه‌گذاري بر روي B به علت آن كه دو ساله بازگشت سرمايه داشته و از دوره برنامه‌ريزي ما خارج مي‌گردد، منطقي نمي‌باشد و لذا مي‌توان متغير X3B را از ابتدا صفر فرض كرده و از مدل فرموله شده مسئله كنار گذاشت.

(محدوديت سرمايه‌گذاري در ابتداي سال اول)
(محدوديت سرمايه‌گذاري در ابتداي سال دوم)
(محدوديت سرمايه‌گذاري در ابتداي سال سوم)

لازم به ذكر است كه در هر سال، آن چه را كه داريم بر روي دو طرح (به علت آن كه سودده هستند) سرمايه‌گذاري مي‌كنيم به عنوان مثال در ابتداي سال دوم موجودي X1A 7/1 است كه با سرمايه‌گذاري روي طرحهاي A و B يعني X2A+X2B برابري مي‌كند.
از اينكه X3B در محدوديت‌ها بيان شده، بهتر است قيد X3B=0 به قيود اضافه گردد.

براي يك كارگاه توليدي شبانه‌روزي در ساعات مختلف روز تعدادي تكنسين به شرح زير مورد نياز است:
حداقل تكنسين مورد نظر ساعات شبانه‌روز
۴ ۶ ـ ۲
۸ ۱۰ ـ ۶
۱۰ ۱۴ ـ ۱۰
۷ ۱۸ ـ ۱۴
۱۲ ۲۲ ـ ۱۸
۴ ۲ ـ ۲۲

هر تكنسين در روز ۸ ساعت متوالي كار مي‌كند. هدف پيدا كردن كمترين تعداد تكنيسين است كه نياز فوق را برآورده سازد. مسئله را به صورت يك مدل برنامه‌ريزي خطي فرموله كنيد. فرض كنيد هر تكنسين در شروع يكي از دوره‌ها شروع به كار نموده و هشت ساعت متوالي كار مي‌كند. (لازم به ذكر است كه اين مسئله به شكلهاي مختلفي قابل بيان است و نمونه‌هاي مشابهي از آن در مسائل ديگر آمده است)
حل. طرح شماتيك مسئله به صورت ذيل است:
در شكل رسم شده دقت داشته باشيد كه آخرين دوره زماني روي محور طولها به صورت دو ساعت مي‌باشد و نه چهار ساعت.

شكل ص ۲۶

 

از آنجائي كه هر تكنسين در روز ۸ ساعت كار مي‌كند، بنابراين در دو شيفت متوالي برابر شكل فوق، حضور خواهد داشت لذا كافي است در هر شيفت، جمع افرادي را كه در آن شيفت و در شيفت قبل شروع به كار كرده‌اند با نياز آن شيفت مقايسه نمود.
مدل اين مسئله به شكل ساده زير درمي‌آيد:
متغيرهاي تصميم‌گيري را به صورت زير تعريف مي‌كنيم:
X1= تعداد تكنسيني كه از ساعت ۲ شروع به كار مي كنند.
X2= تعداد تكنسيني كه از ساعت ۶ شروع به كار مي‌كنند.
X3= تعداد تكنسيني كه از ساعت ۱۰ شروع به كار مي‌كنند.
X4= تعداد تكنسيني كه از ساعت ۱۴ شروع به كار مي‌كنند.
X5= تعداد تكنسيني كه از ساعت ۱۸ شروع به كار مي‌كنند.
X6= تعداد تكنسيني كه از ساعت ۲۲ شروع به كار مي‌كنند.

(عدد صحيح)

ـ يك شركت راه‌سازي اقدام به ترتيب راننده جهت ماشينهاي غلتك مي‌نمايد. هر راننده تربيت شده جهت تربيت ۱۰ نفر كارآموز جديد به كار گرفته مي‌شود. برنامه‌ كارآموزي يك ماه به طول مي‌انجامد. اين شركت از تجارب گذشته خود دريافته است كه از ۱۰ نفر كارآموز كه استخدام مي‌شوند فقط ۷ نفر برنامه را با موفقيت به پايان مي‌رسانند. (كارآموزان ناموفق در پايان اولين ماه استخدامشان اخراج خواهند شد.) اين شركت راننده‌هاي تربيت شده را علاوه بر مربي شدن براي كارآموزان جديد، براي رانندگي اين ماشينها نيز نياز دارد. نياز شركت در ماههاي آينده براي رانندگي به صورت زير است:

 

خرداد ارديبهشت فروردين ماه
۲۰۰ ۱۵۰ ۱۰۰ راننده مورد نياز

علاوه بر اين، اين شركت احتياج به ۲۵۰ راننده تربيت شده در ماه تير دارد. اين شركت داراي ۳۰ راننده در اول فروردين است. حقوق ماهيانه افراد به ترتيب زير است: هر كارآموز ۴۰۰۰ تومان، هر راننده تربيت شده (راننده يا مربي) ۱۰۰۰۰ تومان، هر راننده تربيت شده بيكار ۶۰۰۰ تومان (شركت بر اساس ضوابط قانون كار، نمي‌تواند آنها را به علت عدم نياز اخراج كند.)
يك مدل برنامه‌ريزي خطي آنچنان ارائه دهيد كه ضمن برآوردن نياز شركت، هزينه استخدام و تربيت راننده اين شركت را به حداقل ممكن برساند. (راهنمايي: از رابطه تعادلي زير استفاده كنيد:
تعدادي كه رانندگي مي‌كنند + تعدادي كه تعليم مي‌دهند
=

 

حل.
در اينجا فرض شده است كه به ازاي هر مربي، ۱۰ كارآموز وجود دارد. همچنين با توجه به اطلاعات داده شده در مسئله، اخراج رانندگان نيز در نظر گرفته نمي‌شود. جهت تشريح مسئله و تعريف متغيرهاي تصميم‌گيري به شكل شماتيكي ذيل توجه كنيد:

شكل ص ۲۹

در ابتداي هر دوره موجودي رانندگان در اختيار، به سه وظيفه رانندگي، مربيگري و يا بيكار بودن تقسيم‌ مي‌شوند و در انتهاي هر دوره ۷۰ درصد كارآموزان به موجودي اول دوره بعد اضافه مي‌گردند كه بالطبع موجودي اول دوره بعد را تشكيل مي‌دهند. بنابراين از رابطه تعادلي در هر مرحله، براي تعريف محدوديتها استفاده خواهيم كرد لذا خواهيم داشت:
متغير تصميم‌گيري:
تعداد راننده تربيت شده كه به كار مربيگري در ماه i مي‌پردازد = Xi1 براي (i=1, 2, 3)
تعداد راننده تربيت شده بيكار در ماه (i=1, 2, 3) Xi2=i

تابع هدف
(عدد ثابت) =Min. z
و يا
(عدد ثابت) =Min. z

در تابع هدف مقدار عدد ثابت، دستمزد پرداختي به رانندگاني است كه به فعاليت رانندگي اشتغال دارند.
اين ميزان براي ۴ ماهه فروردين تا تيرماه برابر ۷۰۰۰۰۰۰= (۲۵۰+۲۰۰+۱۵۰+۱۰۰۰) ۱۰۰۰۰ است. محدوديتهاي مسئله چنين مي‌باشند:
محدوديت تعادل در فروردين ماه

محدوديت تعادل در ارديبهشت ماه
محدوديت تعادل در خرداد ماه
محدوديت تعادل در تيرماه
و يا مي‌توانيم بنويسيم:

نهايتاً متغيرهاي تصميم‌گيري، غيرمنفي و عدد صحيح مي‌باشند:
(عدد صحيح)

ـ يك كارگاه راه‌سازي موقتي كه داراي يك برنامه ۴ هفته‌اي است با ۲۰ كارگر ماهر شروع به كار مي‌نمايد. در پايان چهار هفته نيز مي‌خواهد همه كارگران را اخراج نمايد. مي‌خواهيم يك برنامه استخدام، اخراج، آموزش و اشتغال به كار اصلي تحت شرايط زير آنچنان ارائه دهيم كه هزينه كارگاه در رابطه با اين كارگران حداقل باشد.
۱٫ هر كارگر ماهر اگر در عرض هفته به كار اصلي مشغول يا بيكار باشد ۱۵۰۰ تومان در هفته حقوق مي‌گيرد.
۲٫ هر كارگر ماهر كه به كار آموزش در هفته بپردازد ۲۰۰۰ تومان در هفته حقوق مي‌گيرد.
۳٫ كارگران تازه استخدام پس از يك هفته به كارگر ماهر تبديل مي‌شوند.
۴٫ هر كارگر ماهر مي‌تواند پنج كارگر تازه استخدام را آموزش دهد.

۵٫ حقوق هفتگي هر كارگر تازه استخدام ۱۰۰۰ تومان در هفته است.
۶٫ هزينه اخراج هر كارگر ماهر ۳۰۰۰ تومان است.
مسئله را به صورت يك مدل برنامه‌ريزي خطي فرموله كنيد.

حل. همانند مسئله قبل در اينجا فرض مي شود به ازاي هر مربي، ۵ كارآموز وجود دارد و موضوع اخراج كارگران نيز مطرح است.
روش حل مسئله كاملاً مشابه مسئله قبل مي‌باشد لذا از تشريح آن خودداري مي‌گردد.
لازم به ذكر است كه چون در پايان هفته چهارم تمامي كارگران اخراج خواهند شد، وجود مربي و كارآموز در هفته چهارم، بي‌مفهوم است لذا مي‌توان x43 را از ابتدا صفر فرض كرده و از فرمول مسئله خارج كرد.

همچنين توجه داشته باشيد كه چون اطلاعات داده شده براي كارگران داراي كار اصلي و بيكار، يكسان مي‌باشد، مي‌توان از يك نوع متغير تصميم (به عنوان مثال xi1) براي هر دو به صورت ادغامي استفاده كرد.
با توجه به آنچه كه گفته شد، متغير تصميم مسئله به شكل زير بوده و مدل مسئله به دنبال آن مي‌آيد.
(i=1,2,3,4) تعداد كارگران ماهري كه در هفته i‌ام به كار اصلي اشتغال دارند. =xi1
(i=1,2,3,4) تعداد كارگران ماهري كه در هفته iام بيكار هستند. =xi2
(i=1,2,3,4) تعداد كارگران ماهري كه در هفته i‌ام به مربيگري اشتغال دارند. =xi3
(i=1,2,3,4) تعداد كارگران ماهري كه در هفته i‌ام اخراج مي‌شوند. =xi4

(عدد صحيح)

ـ يك طرح توليد محصول شيميايي مي‌تواند با استفاده از دو روش مختلف و با تركيب مواد خام R1 و R2 محصولات O1 و O2 را حاصل نمايد. روش اول با تركيب ۷ تن از R1 و ۵ تن از R2 مي‌تواند۲ تن از O1 و ۶ تن از O2‌ در يك روز توليد كند. روش دوم با تركيب ۵ تن از R1 و ۸ تن از R2 مي‌تواند ۵ تن از O1 و ۴ تن از O2 در يك روز توليد كند. مقدار ۳۵۰ تن از R1 و ۴۰۰ تن از R2 جهت استفاده در اين طرح موجود است. حداقل تقاضا نيز براي محصولات O1‌ و O2 به ترتيب ۱۰۰ تن و ۱۲۰ تن است. به علت اختلاف در دو روش، سود خالص روزانه حاصل از روش اول ۳۰۰۰ تومان است در حالي كه سود روش دوم ۴۰۰۰ تومان در روز است.

با فرض اينكه در اين طرح، تغيير از يك روش به روش ديگر به راحتي ميسر باشد، مسئله را به صورت يك مدل برنامه‌ريزي خطي فرموله كنيد.
حل.
ابتدا اطلاعات مسئله را در جدول ذيل خلاصه‌ مي‌كنيم.

سود خالص روزانه (تومان) محصولات توليدي مواد اوليه مصرفي
O2 O1 R2 R1
3000 6 2 5 7 روش اول
۴۰۰۰ ۴ ۵ ۸ ۵ روش دوم
۴۰۰ ۳۵۰ موجودي مواد اوليه مصرفي
۱۲۰ ۱۰۰ حداقل تقاضاي محصولات توليدي

 

حال به راحتي مشاهده مي‌گردد كه اين مسئله به راحتي فرموله مي‌شود. متغير تصميم به شكل ساده زير تعريف مي‌گردد:
xi: تعداد روزهايي كه به روش i محصول توليد مي‌گردد. i=1,2
مدل برنامه‌ريزي خطي اين مسئله عبارت است از:

ـ يك كارگاه داراي يك ماشين مته و پنج ماشين فرز است كه براي توليد يك محصول مونتاژ شده از دو قطعه ۱ و ۲ به كار مي‌روند. بهره‌وري از هر ماشين براي توليد دو قطعه به صورت زير داده شده است:

زمان توليد (قطعه/ دقيقه) قطعه
ماشين فرز ماشين مته
۴ ۳ ۱
۳ ۵ ۲

هدف آن است كه تعادل كار بر روي ماشينها طوري انجام شود كه هيچ ماشيني بيش از ۳۰ دقيقه از هر ماشين ديگر در روز كار ننمايد. (تصور كنيد كه فرزكاري به طور يكنواخت بين هر پنج ماشين مربوطه تقسيم مي شود.) زمان كار مفيد را بين ماشينها طوري تقسيم‌بندي كنيد تا تعداد كل محصولات مونتاژي تكميل شده در ۸ ساعت كاري در روز ماكزيمم باشد. يك مدل برنامه‌ريزي خطي براي مسئله بنويسيد. (راهنماي: x1 و x2 را برابر تعداد قطعات توليد شده در روز اختيار كنيد و به علاوه هر قطعه بايد از ماشينهاي فرز و مته استفاده نمايد.)
حل.
به منظور تشريح مسئله به شكل شماتيكي زير توجه كنيد:

شكل ص ۳۴

چنانچه به تعداد x1 از قطعه ۱ و به تعداد x2 از قطعه ۲ توليد كنيم (x1 و x2 متغيرهاي تصميم مسئله خواهند بود.)
در نهايت به تعداد Min {x1 , x2} محصول نهايي خواهيم داشت كه هدف ما حداكثر كردن آن است. (به عنوان يك مثال عددي، چنانچه ۵۰ عدد از قطعه ۱ و ۲۰۰۰۰ عدد از قطعه ۲ توليد كنيم بديهي است كه تنها ۵۰ عدد يعني Min (50, 20000) محصول نهايي خواهيم داشت و مابقي قطعه ۲ يعني ۱۹۹۵۰ عدد آن، بلااستفاده خواهد ماند.) بنابراين مي‌توانيم بنويسيم:
(۱)

حال اگر تعداد محصول نهايي را برابر y (متغير تصميم سوم) قرار دهيم، يعني y=Min (x1 , x2) در اين صورت مي‌توانيم به جاي تابع هدف غيرخطي بالا، چنين بنويسيم:

(۲)
مجدداً به صورت مسئله باز مي‌گرديم و اطلاعات مربوط به محدوديتهاي مسئله را جمع‌بندي مي‌كنيم:

زمان توليد (قطعه/ دقيقه) قطعه
ماشين فرز ماشين مته
۴ ۳ ۱
۳ ۵ ۲
۵ * ۴۸۰ ۴۸۰ حداكثر زمان كار مفيد ماشينها (دقيقه)

به منظور ايجاد تعادل كار بر روي ماشينها، به گونه‌اي كه مسئله تشريح كرده است داريم:
(۴)
توجه داشته باشيد كه (۴×۱+۳×۲) زمان كار مفيد ماشين مته و (۳×۱+۵×۲) زمان كار مفيد هر ماشين فرز مي‌باشد، لذا با تبديل اين محدوديت غيرخطي به دو محدوديت خطي خواهيم داشت:

(۵)
حال مي‌توان مدل برنامه‌ريزي خطي اين مسئله را به شكل زير خلاصه كرد:

(۲)

(۳)

(۵)

ـ يك واحد از محصولي از چهار واحد زير مونتاژ A به علاوه سه واحد زير مونتاژ B تشكيل شده است. هر دو واحد زير مونتاژ A و B از مواد اوليه‌اي تشكيل شده‌اند كه از آنها به ترتيب ۱۰۰ و ۲۰۰ واحد در دسترس مي‌باشد. براي ساخت اين دو زير مونتاژ، سه بخش توليد دخالت دارند كه به روشهاي مختلفي زير مونتاژ را درست مي‌كنند. جدول زير ميزان مواد مورد لزوم را در هر بار توليد و ميزان توليد حاصل از هر زير مونتاژ نشان مي‌دهد:

خروجي هر زير مونتاژ در هر بار توليد مواد مورد لزوم ورودي در هر بار توليد بخش توليد
B A R.M.2 R.M.1
5 7 6 8 1
9 6 9 5 2
4 8 8 3 3

چنانچه هدف ماكزيمم كردن توليد محصول نهايي باشد، مسئله را به صورت يك مدل برنامه‌ريزي خطي فرموله كنيد.
حل. به منظور تشريح مسئله شكل شماتيكي زير را در نظر بگيريد.

شكل ص ۳۶

همان‌گونه كه ملاحظه مي‌شود، تفاوت چنداني بين اين مسئله و مسئله قبلي وجود ندارد. متغيرهاي تصميم، مشابه قبل تعريف مي‌شوند.
xi: تعداد مرتبه توليد توسط بخش i براي (i=1,2,3)

بدين ترتيب تعداد زير مونتاژهاي توليدي از نوع A برابر ۷X1+6X2+8X3 مي‌گردد. اما در توليد هر محصول نهايي، چهار زيرمونتاژ نوع A مصرف دارد. بنابراين حداكثر محصول نهايي كه از طريق توليدات زيرمونتاژهاي A ممكن مي‌گردد، (۷X1+6X2+8X3)/4 مي‌باشد. با همين استدلال تعداد زيرمونتاژهاي توليدي از نوع B، برابر ۵X1+9X2+4X3 مي‌گردد و حداكثر محصول نهايي كه از طريق توليدات زيرمونتاژهاي از نوع B ممكن مي‌شود (۵X1+9X2+4X3)/3‌است. اگر تعداد محصول نهايي را y بناميم، با توجه به شكل زير:
خواهد شد.

شكل ص ۳۶

بنابراين مدل برنامه‌ريزي خطي اين مسئله به شكل زير درمي‌آيد.

به طوري كه:

محدوديت ماده اوليه
محدوديت ماده اوليه
محدوديت غيرمنفي بودن متغيرهاي تصميم‌گيري

ـ يك كارخانه اسباب‌بازي توليد كننده سه نمونه اسباب بازي (كوچك، متوسط و بزرگ) مي‌باشد. كل كارگران توليد كننده اين كارخانه ۴۰۰ نفر است. در زير سود و زمان لازم براي توليد و همچنين مواد اوليه مورد لزوم را براي هر واحد از اين سه نمونه ملاحظه مي‌كنيد:
مواد اوليه (كيلوگرم) زمان توليد (ساعت) سود (واحد مالي) اندازه
۴/۰ ۰۵/۰ ۱ كوچك
۰/۱ ۱۰/۰ ۳ متوسط
۰/۲ ۱۵/۰ ۶ بزرگ

 

مقدار مواد اوليه در دسترس روزانه ۲۰۰۰۰ كيلوگرم است. اگر تعداد ساعات كاري هر كارگر در روز ۶ ساعت باشد و مدير كارخانه تصميم داشته باشد كه به علت فروش اسباب‌بازيهاي نوع كوچك آنها را به اندازه مجموع دو نمونه ديگر توليد كند، به منظور ماكزيمم كردن سود، متغيرهاي تصميم را تعريف كرده و مسئله را فرموله كنيد:
حل.
متغيرهاي تصميم را به صورت زير تعريف مي‌كنيم:
x1= تعداد توليد اسباب‌بازي نوع كوچك
x2= تعداد توليد اسباب بازي نوع متوسط
x3= تعداد توليد اسباب بازي نوع بزرگ

ـ يك كارخانه توليد لوازم خانگي با استفاده از روش فرم دادن، ۴ نوع محصول را عرضه مي‌كند. توليد در ۵ كارگاه پرسكاري، مته‌كاري، مونتاژ، تكميلي و بسته‌بندي انجام مي‌پذيرد. مديريت كارخانه مايل است تا بداند در ماه آينده از هر يك از محصولات به چه تعدادي توليد كند. در اين راستا اطلاعات زير در اختيار مدير كارخانه قرار داده شده است:

بخش ميزان توليد واحد محصول در ساعت ظرفيت موجود (ساعت)
محصول ۱ محصول ۲ محصول ۳ محصول ۴
پرس‌كاري
مته‌كاري
مونتاژ
تكميلي
بسته‌بندي ۰۳/۰
۰۶/۰
۰۵/۰
۰۴/۰
۰۲/۰ ۱۵/۰
۱۲/۰
۱۰/۰
۲۰/۰
۰۶/۰ ۰۵/۰
۰
۰۵/۰
۰۳/۰
۰۲/۰ ۱۰/۰
۱۰/۰
۱۲/۰
۱۲/۰

۰۵/۰ ۴۰۰
۴۰۰
۵۰۰
۴۵۰
۴۰۰
قيمت فروش
هزينه توليد ۱۰
۶ ۲۵
۱۵ ۱۶
۱۱ ۲۰
۱۴
حداقل فروش
حداكثر فروش ۱۰۰۰
۶۰۰۰ ۰
۵۰۰ ۵۰۰
۳۰۰۰ ۱۰۰
۱۰۰۰

همچنين از يك نوع ورقه خاص به ميزان ۲۰۰۰ متر مربع در اختيار است كه در محصولات ۲ و ۴ كاربرد دارد. براي توليد هر واحد محصول ۲، ۲ متر مربع و براي توليد هر واحد محصول ۴ به ميزان ۲/۱ متر مربع از اين ورقه مصرف مي‌شود. چنانچه هدف حداكثر كردن سود باشد، مسئله را به شكل يك مدل برنامه‌ريزي خطي فرموله كنيد:

حل.
براي فرموله كردن اين مسئله به صورت يك مدل برنامه‌ريزي خطي فرض كنيد كه x1 عبارت از تعداد محصول توليد شده از محصول i در ماه داده شده باشد و z كل در سود (فروش منهاي هزينه) باشد، مسئله عبارت از انتخاب مقادير غيرمنفي x1، x2، x3 ، x4 جهت ماكزيمم كردن كردن است به طوري كه:

(۱) محدوديتهاي مربوط به ظرفيت زماني (به عنوان مثال ماشين ساعت)
(پرس‌كاري)
(مته‌ كاري)
(مونتاژ)
(تكميلي)
(بسته‌بندي)
(۲) محدوديت مربوط به ورقه‌هاي فلزي موجود:

(۳) محدوديت مربوط به حداقل توليد و حداكثر فروش:

ـ مخلوط خاصي از محصولات مختلف را براي يك پالايشگاه نفت در نظر بگيريد. فرض كنيد كه پالايشگاه مي‌خواهد چهار نوع مشتق نفتي را در سه نوع مختلف بنزينهاي C , B , A به كار ببرد. مسئله اين است كه نحوه اختلاط اين مشتقات طوري باشد كه سود حاصل ماكزيمم گردد. مقدار در دسترس و هزينه هر كدام از اين چهار نوع مشتق در زير داده شده است:
نوع مشتقات ماكزيمم تعداد در دسترس روزانه (بشكه) هزينه هر بشكه
۱
۲

۳
۴ ۱۰۰۰
۲۰۰۰
۳۰۰۰
۴۰۰۰ ۷ واحد پول
۵ واحد پول
۳ واحد پول
۱ واحد پول

براي حفظ كيفيت هر يك از انواع بنزين لازم است تا ماكزيمم و مينيمم درصد هر يك از مشتقات در هر مخلوط مشخص باشد. اين مقادير همراه با قيمت فروش در جدول ذيل داده شده است:
نوع بنزين مشخصات نوع مشتقات قيمت فروش
A حداكثر ۱۰% از مشتق ۱ ۱۰ واحد پول
حداقل ۳۰% از مشتق ۲
حداكثر ۵۰% از مشتق ۳
B حداقل ۱۰% از مشتق ۱ ۲۰ واحد پول
حداكثر ۵۰% از مشتق ۳
C حداكثر ۷۰% از مشتق ۲ ۳۰ واحد پول

فرض مي‌كنيم كه سود برابر است با كل فروش منهاي هزينه كل اين مشتقات. اين مسئله را به شكل يك مدل برنامه‌ريزي خطي فرموله كنيد به طوريكه مشخص كند از هر نوع مشتق چه مقداري در توليد هر نوع از بنزينها مورد استفاده قرار بگيرد تا سود حاصل ماكزيمم گردد.
حل.
متغيرهاي تصميم را به شكل زير تعريف مي‌كنيم.
Xij تعداد بشكه به كار رفته از مشتق نوع i جهت توليد بنزين نوع j براي
(j=A, B, C) (i=1, 2, 3, 4)
براي به دست آوردن تابع هدف، لازم است تا هزينه كل را از فروش كل كسر كنيم.
(هزينه كل ـ فروش كل= سود)
لذا خواهيم داشت:

با ساده كردن، تابع هدف به شكل زير درمي‌آيد:

محدوديتهاي مربوط به حداكثر بشكه‌هاي در دسترس از مشتقات توسط روابط زير تعريف مي‌‌شوند:

حال به محدوديتهاي مربوط به مشخصات نوع مشتقات مي‌پردازيم:

نهايتاً با توجه به غيرمنفي بودن متغيرهاي تصميم‌گيري داريم:

ـ دو محصول با تركيب كردن سه ماده خام بر طبق مشخصات داده شده در جدول زير ساخته مي‌شوند. مواد خام در دسترس در هر ماه ۵۰۰۰، ۶۰۰۰ و ۱۵۰۰۰ كيلوگرم به ترتيب براي مواد شماره ۱ تا ۳ مي‌باشند. به فرض اينكه بدانيم قيمت هر كيلوگرم از مواد ۱ تا ۳ به ترتيب ۱۰، ۱۵ و ۲۰ دلار مي‌باشد و هر كيلوگرم از محصول A، ۱۰۰ دلار و هر كيلوگرم از محصول B، ۱۵۰ دلار به

فروش مي‌رسد و همچنين مخارج متفرقه محصولات ساخته شده غير از ماده خام، بدون در نظر گرفتن تركيب توليد برابر ۱۰ دلار براي هر كيلوگرم باشد. هدف عبارت است از تعيين مخلوطي از مواد براي به كار بردن در هر محصول و مقدار توليد در هر ماه تا اينكه ماكزيمم سود به دست آيد.
الف) اين مسئله را به فرم يك برنامه‌ريزي خطي فرموله هر گاه مشخصات تركيب سه ماده به صورت زير باشد.
۳ ۲ ۱ ماده
محصول
۹۰%
۲۰%
۱۵% A
30%
30%
35% B
ب) فرض كنيد در اين مسئله مشخصات تركيب سه ماده به صورت زير باشد. مجدداً مسئله را به صورت يك برنامه‌ريزي خطي فرموله كنيد:

۳ ۲ ۱ ماده
محصول
۹۰%
۲۰%
۱۵% A
30%
30%
25%-40% B

حل. الف) متغيرهاي تصميم را به صورت زير تعريف مي‌كنيم:
xij: مقدار ماده i به كار برده شده در ساخت محصول j بر حسب كيلوگرم (i=1, 2, 3, j=A, B) بنابراين، تابع هدف عبارت است از:
P=
(قيمت فروش هر كيلوگرم محصول B) + (وزن محصول A بر حسب كيلوگرم) (قيمت فروش هر كيلوگرم محصول A) (وزن ماده ۱ بر حسب كيلوگرم) (هزينه ماده ۱) ـ (وزن محصول B بر حسب كيلوگرم) * (وزن ماده ۳ بر حسب كيلوگرم) (هزينه ماده ۳) ـ (وزن ماده ۲ بر حسب كيلوگرم) (هزينه ماده ۲) ـ (وزن تبديل شده به محصول بر حسب كيلوگرم) (هزينه تبديل ماده به محصول براي هر كيلوگرم) ـ

محدوديت مقدار ماده ۱ در محصول A
محدوديت مقدار ماده ۲ در محصول A
محدوديت مقدار ماده ۳ در محصول A
محدوديت مقدار ماده ۱ در محصول B

محدوديت مقدار ماده ۲ در محصول B
محدوديت مقدار ماده ۳ در محصول B

محدوديت مقدار در دسترس ماده ۱
محدوديت مقدار در دسترس ماده ۲
محدوديت مقدار در دسترس ماده ۳

ب) تابع هدف و تمام محدوديتها، همانگونه مي‌باشند كه در قسمت (الف) نوشته شده‌اند به استثناي محدوديت مربوط به مقدار ماده ۱ موجود در محصول B كه به شكل زير تغيير مي‌كند:

ـ كارخانه توليد كننده‌اي دو نمونه محصول A,B توسط چهار ماشين مي‌باشد. در ضمن مي‌دانيم محصول A به دو روش و محصول B به چهار روش با استفاده از تركيب مختلف اين چهار نمونه ماشين مي‌توانند توليد شوند در جدول زير روشهاي ممكن توليد، زمان لازم استفاده از ماشينها و سود هر واحد بر حسب روش انتخاب شده توليد، داده شده است.

سود هر واحد (دلار) زمان لازم براي توليد بر حسب ساعت روش توليد محصول
ماشين ۴ ماشين ۳ ماشين ۲ ماشين ۱
۲ ۰ ۲/۰ ۰ ۵/۰ A

۵/۲ ۰ ۲/۰ ۴/۰ ۰

۵ ۰ ۳/ ۰ ۴/۰ ۱
B
4 4/0 0 0 4/0 2
4 0 3/0 6/0 0 3
3 4/0 0 6/0 0 4

۲۳ ۳۴ ۳۱ ۳۸ ظرفيت ماشينها در هفته بر حسب ساعت

در صورتي كه كارخانه قراردادي براي توليد حداقل ۱۰۰ واحد از محصول A و حداقل ۸۵ واحد از محصولB در هفته بسته باشد، مسئله را به صورت يك مدل برنامه‌ريزي خطي فرموله كنيد.
حل. متغيرهاي تصميم‌گيري را به صورت ذيل تعريف مي‌كنيم:
Xijk= تعداد توليد محصول نوع i توليد شده به روش j توسط ماشين k به طوري كه:
براي i=A j=12 و k=1,2,3,4 و براي i=B j=1,2,3,4 و k=1,2,3,4 مي‌باشد.
بنابراين تابع هدف به صورت زير مي‌باشد:

محدويتها عبارتند از:
محدديت وقت ماشين اول

محدوديت وقت ماشين دوم

محدوديت وقت ماشين سوم

محدوديت وقت ماشين چهارم

محدوديت حداقل مورد نياز محصول A در هفته

محدوديت حداقل مورد نياز محصول B در هفته

در ضمن به دليل عدم توان توليد بعضي محصولات توسط بعضي ماشينها محدوديتهاي زير را داريم:

ـ كارخانه‌اي سه نوع محصول B, A و C را مي‌تواند توليد نمايد. سود هر قطعه محصول B, A و C به ترتيب ۱۰، ۸ و ۱۵ واحد مالي مي‌باشد. ۵ نمونه ماشين مختلف براي توليد اين محصولات به كار گرفته مي‌شوند كه زمان لازم بر حسب ساعت كار براي هر محصول توسط هر نمونه ماشين و همچنين مقدار ظرفيت توليدي هر نمونه ماشين بر حسب ساعت كار در هفته در جدول ذيل داده شده است. به منظور ماكزيمم كردن سود، مسئله را از نظرهاي ذيل (به طور جداگانه) به صورت يك مدل برنامه‌ريزي خطي فرموله كنيد.
الف) هر ماشين طبق جدول بتواند هر نوع محصول را به تنهايي توليد كند. لذا ماشينهاي شماره ۴ از محصول B و شماره ۲ از محصول C نمي‌توانند توليد داشته باشند و از هر كدام از محصولات به ترتيب ۱۵۰، ۱۸۰ و ۹۰ واحد نياز داشته باشيم.