سيستمهاي کنترل

۱-۱ مقدمه:
کنترل خودکار پيشرفت علوم مهندسي نقشي حياتي داشته است. کنترل خودکار علاوه بر نقش بسيار مهمي که در سيستمهاي فضا پيما، هدايت موشک، روباتها و سيستمهاي مشابه داشته است. بخش مهم ناگسستني از فرآيندهاي صنعتي امروزي است. کنترل خودکار در کنترل عددي ماشينهاي ابزار، طراحي هواپيماهاي بي سر نشين و طراحي اتومبيل وکاميون کاملاً ضروري است. در فرايند صنعتي متنوعي چون کنترل فشار، دما، رطوبت، چسبندگي و جريان نيز کنترل نقشي اساسي دارد.

چون پيشرفت نظرية کنترل خودکار و کاربردهاي آن عامل دستيابي به کارايي بهينة سيستمهاي ديناميکي، ازدياد بازده، و تسهيل کارهاي تکراري دستي است، مهندسين و دانشمندان بايد درک خوبي در اين زمينه کسب کنند.

مرور تاريخي: اولين کار برجسته در زمينة کنترل خودکار، ناظم گريز از مرکز جيمز وات، براي کنترل سرعت ماشينهاي بخار در قرن هيجدهم است. ديگر کارهاي برجسته در مراحل اولية بسط نظريه کنترل توسط مينوسکي، هازن، نايکوييست وديگران انجام شده است. در ۱۹۲۲ مينورسکي بر روي کنترل خودکار کشتيها کارکرد و نشان داد که چگونه مي توان پايداري را با توجه به معادلات ديفرانسيل توصيف کنندة سيستم تعيين کرد. در ۱۹۳۲، نايکوييست روش نسبتاً ساده اي براي تعيين پايداري سيستمهاي حلقه بسته، براساس پاسخ حلقه باز به وروديهاي سينوسي، ارائه کرد. در سال ۱۹۳۴ هازن، که اصطلاح سرو مکانيسم براي سيستمهاي کنترل وضعيت از ابداعات اوست. طراحي که سيستم سرومکانيسم رله اي را مورد بحث قرار داد، که مي توانست ورودي متغيري را به خوبي دنبال کند.

در دهة ۱۹۴۰ روشهاي پاسخ فرکانسي (خصوصاً روش نمودار بوده که توسط بوده ابداع شد) امکان طراحي سيستمهاي کنترل حلقه بسته اي خطي يي را فراهم کرد که شاخصهاي عملکرد را براورده مي کردند. طي سالهاي آخر دهة ۱۹۴۰ تا سالهاي اول دهة ۱۹۵۰، ايوانز روش مکان هندسي ريشه ها را به طور کامل مورد بررسي قرار داد.

روشهاي پاسخ فرکانسي و مکان هندسي ريشه ها اساس نظرية کلاسيک کنترل هستند. اينها به سيستمهاي منجر مي شوند که پايدارند و مجموعه اي از خواسته اي کم و بيش دلخواه عملکرد را برآورده مي کنند. اين سيستمها در حالت کلي قابل قبول اند، ولي به هيچ مفهومي بهينه نيستند. از اواخر دهة ۱۹۵۰ به بعد، تاکيد از طراحي سيستمي که کار قابل قبولي دارد، به طراحي سيستمي بهينه معطوف گشته است.

چون دستگاههاي چند ورودي، چند خروجي امروزي روز به روز پيچيده تر مي شوند، توصيف يک سيستم کنترل امروزي باتعداد معادله انجام مي شود. نظرية کلاسيک کنترل که تنها به سيستمهاي يک ورودي- يک خروجي اختصاص دارد، براي تحليل اين سيستمهاي چند ورودي- چند خروجي توانايي کافي ندارد. از اواسط دهة ۱۹۶۰، به خاطر در دسترس بودن کامپيوترهاي ديجيتال، تحليل سيستمهاي پيچيده در حوزة زمان امکان پذير شده است. به همين خاطر نظرية جديد کنترل بر اساس تحليل و طراحي در حوزة زمان، با استفاده از متغيرهاي حالت پاگرفته است تا بتواند از عهدة تحليل دستگاههاي پيچيدة امروزي برآيد و سيستم کنترلي تحويل دهد که خواسته هاي مربوط به وزن، هزينه، و دقت را، که امروزه با وسواس بيشتر و تولرانس کمتر تعيين مي شوند، برآورده کند.

طي سالهاي ۱۹۴۰ تا ۱۹۸۰ تحقيقات گسترده اي در مورد کنترل بهينة سيستمهاي قطعي و اتفاقي، کنترل وفقي و يادگيرندة سيستمهاي پيچيده صورت گرفت. از ۱۹۸۰ تاکنون تحقيقات نظري کنترل حول مباحثي چون کنترل مقاوم، کنترل , و موضوعات مرتبط با آنها دورمي زده است.
اکنون کامپيوترهاي ديجيتال به خاطر ارزاني و کوچکي در سيستمهاي کنترل بسيار به کار برده مي شوند. نظرية جديد کنترل اخيراً در کاربردهاي غير مهندسي، چون سيستمهاي زيستي، دارويي، اقتصادي و جامعه شناسي به کار برده شده است.
تعاريف. قبل از شروع بحث راجع به سيستمهاي کنترل بايد برخي اصطلاحات را تعريف کنيم.
متغير کنترل شده و متغير تاثيرگذار. متغير کنترل شده، کميت يا شرطي است که اندازه گيري و کنترل مي شود متغير تاثيرگذار کميت يا شرطي است که تغيير داده مي شود تا بر متغير تحت کنترل تاثير بگذارد. معمولاً متغير تحت کنترل خروجي سيستم است. منظور از کنترل اندازه گيري متغير تحت کنترل و اعمال کاربرد متغير تأثيرگذار براي رساندن متغير تحت کنترل به مقدار مطلوب است.
در مطالعة مهندسي کنترل براي توصيف سيستمهاي نيازمند تعريف اصطلاحات ديگري نيز هستيم.
دستگاه. دستگاه مي تواند بخشي از يک وسيله، مثلاً مجموعه اي از اجزاء ماشين که يک کار انجام مي دهند، باشد. در اين کتاب هر جسم فيزيکي تحت کنترل (مثلاً يک وسيلة مکانيکي، کورة گرمايش، راکتور شيميايي، يا سفينه) دستگاه ناميده مي شود.
فرايند. فرايند عملي طبيعي و تدريجي يا يک رشتة تغير تدريجي است که به صورتي تقريباً معين يکي پس از ديگري انجام شده به هدفي مشخص مي انجامد، همچنين عملي مصنوعي که از يک رشته جنبشها و کارهاي کنترل شده براي سوق به هدفي مشخص صورت مي گيرد. در اين کتاب هر کاري را که بايد کنترل شود فرآيند مي ناميم.
فرايندهاي شيميايي، اقتصادي، و زيستي مثالهايي از اين فرايندها هستند.
سيستم. سيستم ترکيبي از اجزاست که باهم و براي انجام عملي مشخص کار مي کنند. سيستم تنها سيستم فيزيکي نيست. مفهوم سيستم را ميتوان به پديده هاي پوياي انتزاعي، مثلاً پديده هاي اقتصادي، نيز تعميم داد. بنابراين کلمة سيستم مي تواند تمام سيستمهاي فيزيکي، زيستي، اقتصادي، و غيره را شامل شود.
اغتشاش. اغتشاش سيگنالي است که در جهت تغيير شديد يک سيستم عمل مي کند. اگر اغتشاش در داخل سيستم توليد شود آن را داخلي مي ناميم، اغتشاش خارجي در خارج سيستم توليد مي شود و يک ورودي سيستم است.
کنترل با فيدبک. منظور از کنترل با فيدبک عملي است که مي کوشد اختلاف بين خروجي سيستم ورودي مرجع را به رغم وجود اغتشاش مي نيم کند، و اين کوشش بر اساس اين اختلاف صورت مي گيرد. در اينجا تنها اغتشاشاي پيش بيني نشده مورد نظر است، زيرا اغتشاشهاي معلوم را هميشه مي توان در داخل سيستم جبران کرد.

۱-۲ نمونه هاي از سيستمهاي کنترل
در اين بخش نمونه هايي از سيستمهاي کنترل رامعرفي مي کنيم.
سيستم کنترل سرعت. اصول اساسي ناظم سرعت وات براي يک ماشين در شکل ۱-۱ نشان داده شده است. مقدار سوختني که به ماشين مي رسد براساس تفاضل سرعت مطلوب و سرعت واقعي ماشين تنظيم مي شود. رشته عمليات کنترلي را مي توان به صورت زير بيان کرد:

سيستم كنترل سرعت
ناظم سرعت طوري تنظيم شده است که در سرعت مطلوب روغن تحت فشار به هيچ طرف سيلندر قدرت وارد نمي شود. اگر سرعت موتور را در اثر اغتشاش از اين حد مطوب کمتر شود، کاهش نيروي گريز از مرکز ناظم سرعت باعث کاهش شير کنترل به سمت پايين مي شود. اين حرکت باعث افزايش ورودي سوخت شده، سرعت افزايش مي يابد تا به حد مطلوب برسد. اگر سرعت موتور بيش از حد مطلوب شود، افزايش نيروي گريز از مرکز باعث بالارفتن شير کنترل شده، سوخت کمتري به ماشين مي رسد.

کاهش سوخت باعث کاهش سرعت ماشين و رسيدن آن به حد مطلوب مي شود.
در اين سيستم کنترل سرعت، دستگاه (سيستم تحت کنترل) ماشين و متغير تحت کنترل سرعت آن است. تفاضل بين سرعت مطلوب و سرعت واقعي سينگنال خطاست. سيگنال کنترل (مقدار سوخت) که به دستگاه (ماشين) اعمال مي شود، سيگنال کاراندازا است، ورودي خارجي که باعث تغيير تحت کنترل مي شود، اغتشاش است.بعنوان مثال تغيير غير منتظرة بار ماشين يک اغتشاش است.

سيستم کنترل دما. شکل ۱-۲ نمودار کنترل درجه حرارت يک کورة الکتريکي را نشان مي دهد درجه حرارت داخل کورة الکتريکي توسط دماسنج، که وسيله اي آنالوگ است سنجيده مي شود. مبدل A/D سيگنال آنالوگ دما رابه يک سيگنال ديجيتال دما تبديل مي کند. اين سيگنال از طريق يک مدار واسطه به کنترل کننده داده مي شود. دماي ديجيتالي با دماي برنامه ريزي شده در ورودي مقايسه مي شود، ودر صورت وجود اختلاف (خطا) سيگنالي از طريق کنترل کننده به کوره، باز هم از طريق يک مدار واسطة تقويت کننده وارد مي شود و رله دما را به حد مطلوب

مي رساند.

سيستم كنترل درجه حرارت
سيستمهاي اداري. سيستم اداري ممکن است از گروههاي بسياري تشکيل شده باشد. هر وظية محول شده به يک گروه عنصري پويا از اين سيستم است. در چنين سيستمي بايد فيدبک به صورت گزارشگري از کارهاي محول شده به کار مي رود تا سيستم به طور مناسبي عمل کند. تداخل بي گروههاي اري بايد مي نيمم شود تا تاخيرهاي زماني نامطوب در سيستم کم شود. هر چه تداخلها کمتر شود کار روانتر صورت مي گيرد.

سيستم اداري يک سيستم حلقه بسته است. طراحي خوب، مديريت کنترلي لازم را کاهش مي دهد. اغتشاشهاي اين سيستم کمبود کارمند يا وسايل،وقفه در ارتباطات، اشتباههاي انساني و غيره است.
ايجاد يک سيستم برآورد خوب براساس آماري کاري لازمة مديريت خ وب است. (اين حقيقتي شناخته شده است که پيش افتادن کار عملکرد چنين سيستمي را بهبود مي بخشد.)
براي استفاده از نظرية کنترل براي بهبود عملکرد چنين سيستمي بايد مشخصات ديناميکي گروههاي کاري را با معادلات نسبتاً ساده اي توصيف کنيم.
گرچه تعيين نمايش رياضي گروههاي کاري مسئلة مشکلي است، ولي کاربرد روشهاي بهينه سازي در مورد سيستمهاي اداري بهبود قابل ملاحظه اي در عملکرد آنها ايجاد مي کند.

نمودار بلوكي يك سازمان مهندسي
براي رسم نمودار بلوکي مي توان فعاليتهاي کارکردي را به صورت جعبه، و اطلاعات يا محصولات خروجي هر فعاليت را به صورت خطوط سيگنال نشان داد. شکل ۱-۴ يک نمودار بلوکي ممکن را نشان مي دهد.
۱-۳ کنترل حلقه بسته و کنترل حلقه باز

سيستمهاي کنترل فيدبک دار سيستمي که براي ايجاد ارتباط مطلوب بين خروجي و ورودي مرجع، از مقايسة آنها و تفاضلشان استفاده مي کند سيستم کنترل فيدبک دار ناميده مي شود. سيستم کنترل دماي اتاق نمونه از چنين سيستمي است. ترموستات با اندازه گيري دماي اتاق و مقايسة آن با يک درجه حرارت مرجع (دماي مطلوب) وسيلة گرمايش يا سرمايش را به کار مي اندازد يا آن را قطع مي کند تا دماي اتاق به رغم درجه حرارت بيرون مقدار مطلوبي داشته باشد.
سيستمهاي فيدبک دار تنها مهندسي منحصر نيست، بلکه در زمينه هاي غير مهندسي مختلفي نيز يافت مي شود براي مثال بدن انسان يک سيستم کنترل فيدبک دار بسيار پيشرفته دارد هم دماي بدن و هم فشار خون توسط فيدبکهاي زيستي ثابت نگهداشته مي شوند. در واقع فيدبک نقش حياتي دارد وبدن انسان را به اغشاشهاي خارجي نسبتاً غير حساس

مي کند، تا او بتواند در شرايط متغير محيطي کار خود را انجام دهد.
سيستمهاي کنترل حلقه بسته. سيستمهاي کنترل فيدبک دار را غالباًَ سيستمهاي کنترل حلقه بسته مي نامند. در عمل سيستمهاي کنترل حلقه بسته سيستمهاي کنترل فيدبک دار به يک معني به کار مي روند. در سيستم کنترل حلقه بسته سيگنال کارانداز خطا، که تفاضل سيگنال ورودي و سيگنال فيدبک شده است. براي کاهش خطا و آوردن خروجي به مقدار مطلوب به کنترل داده مي شود و سيگنال فيدبک شده مي تواند خود خروجي يا تابعي از خروجي و مشتق و انتگرال آن باشد. منظور از کنترل حلقه بسته استفاده از عمل فيدبک براي کاهش خطاي سيستم است.

سيستمهاي کنترل حلقه باز. سيستمهايي که در آنها خروجي بر عملي کنترلي تاثير ندارد سيستمهاي کنترل حلقه باز ناميده مي شوند. به عبارت ديگر خروجي سيستم کنترل حلقه باز نه اندازه گيري مي شود، و نه براي مقايسه با ورودي فيدبک مي شود. يک مثال نوعي ماشين لباسشويي است. خيس کردن، شستن و آبکشي براساس يک زمانبندي از قبل معلوم انجام مي شود. ماشين سيگنال خروجي را، که تميزي لباسهاست، اندازه گيري نمي کند.

در سيستمهاي حلقه باز خروجي با ورودي مرجع مقايسه نمي شود. پس به ازاي هر ورودي مرجع يک شرايط کاري ثابت وجود دارد، بنابراين دقت سيستم به تنظيم آن بستگي دارد. اگر اغتشاش وجود داشته باشد، سيستم کنترل حلقه باز نمي تواند وظيفة مطلوب را انجام دهد. سيستم کنترل حلقه باز را در عمل تنها موقعي مي توان به کار برد که رابطة ورودي و خروجي معلوم بوده، اغتشاش خارجي و داخلي وجود نداشته باشد. واضح است که چنين سيستمي يک سيستم فيدبک دار نيست. هر سيستم کنترلي که براساس زمانبندي کار مي کند حلقه بازست. چراغهاي راهنمايي که بر اساس زمانبندي کار مي کنند. نمونة ديگري ازکنترل حلقه باز هستند.

مقايسة سيستمهاي کنترل حلقه بسته و حلقه باز. يکي از مزاياي سيستمهاي کنترل فيدبک دار اين است که فيدبک پاسخ سيستم را نسبت به اغتشاش خارجي و تغيير پارامترهاي سيستم تقريباً بي اثر مي کند. بنابراين مي توان با استفاده از اجزاء ارزان و نه چندان دقيق دستگاه را به خوبي کنترل کرد، کاري که در سيستمهاي حلقه باز ناممکن است.

از ديدگاه پايداري، ساختمان سيستمهاي کنترل حلقه باز ساده رت است، زيرا در اين سيستمها مشکل ناپايداري وجود ندارد. ولي در سيستمهاي کنترل حلقه بسته پايداري يک مشکل اساسي است، اين مشکل باعث مي شود سيستم با دامنه اي ثابت يا متغير نوسان کند.
بايد تاکيد کرد که اگر در سيستمي ورودي از قبل معلوم است و اغشاش وجود ندارد بهترست کنترل به صورت حلقه باز انجام شود. سيستم کنترل حلقه بسته تنها هنگامي برتري خود را نشان مي دهد که اغتشاشهاي پيش بيني نشده و /يا تغييرات غيرقابل پيش بيني اجزاي سيستم وجود داشته باشد. توجه کنيد که توانايي تواني خروجي تا حدي هزينه، وزن و اندازة سيستم کنترل را تعيين مي کند. تعداد اجزاي سيستم کنترل حلقه بسته از تعداد اجزاي سيستم کنترل حلقه باز بيشترست. بنابراين سيستم کنترل حلقه بسته معمولاً گرانترست و توان بيشتري

مي خواهد براي کاهش توان لازم سيستم، مي توان در صورت امکان از کنترل حلقه باز استفاده کرد. معمولاً ترکيب کنترلهاي حلقه باز و بسته ارزانترست و عملکرد مطلوب براي کل سيستم را در پي دارد.
۲-۱ مقدمه

روش تبديل لاپلاس يک روش عملياتي است که کاربرد ان در حل معادلات ديفرانسيل خطي مزاياي زيادي دارد. با استفاده از تبديل لاپلاس مي توا بسياري از توابع معمولي، مثل توابع سينوسي، سينوسي ميرا و نمايي را به توابعي جبري از متغير مختلط s تبديل کرد. در صفحة مختلط مي توان عمليات مشتقجگيري و انتگرالگيري را به عمليات جبري تبديل کرد. به اين ترتيب معادلة ديفرانسيل خطي به يک معادلة جبري از متغير مختلط s تبديل مي شود. اگر اين معادلة جبري را حل کرده، متغير وابسته را برحسب s به دست مي آوريم. مي توانيم حل معادلظ ديفرانسيل (عکس تبديل لاپلاس متغير وابسته) را با استفاده از جدول تبديل لاپلاس، يا با روش بسط به کسرهاي جزيي به دست آوريم.

روش بسط به کسرهاي تبديل لاپلاس را در بخشهاي ۲-۵ و ۲-۶ معرفي خواهيم کرد.
يکي از مزاياي روش تبديل لاپلوس اين است که امکان کاربرد روشهاي ترسيمي براي پيش بيني عملکرد سيستم، بدون حل واقعي معادلات ديفرانسيل حاکم بر سيستم، را ميسر مي داند مزيت ديگر اين روش اين است که هنگام حل معادلة ديفرانسيل، مولفه هاي گذرا وحالت ماندگار جواب، يکجا بهدست مي آيد.

نماي کلي فصل. در بخش ۲-۱ مطالب مقدماتي بيان شده است. در بخش ۲-۲ متغيرها و توابع مختلط به اختصار مرور شده اند. در بخش ۲-۳ تبديل لاپلاس توابع زماني پرکاربرد در مهندسي کنترل به دست امده اند. بخش ۲-۴ شامل قضاياي مفيد تبديل لاپلاس است. و بخش ۲-۵ به عکس تبديل لاپلاس اختصاص دارد. با استفاده از تجزية (s)/A(s)B به کسرهاي جزيي معرفي مي شود، (s)A و (s)B چند جمله ايهايي از s هستند. در بخش ۲-۶ روشهاي محاسباتي MATLAB براييافتن بسط (s)A/ (s)B به کسرهاي جزيي، و يافتن صفرها و قطبهاي (s)A/ (s)B مورد بحث قرار گرفته است. سرانجام در بخش ۲-۷ به حل معادلات ديفرانسيل خطي مستقل از زمان به کمک تبديل لاپلاس پرداخته شده است.

۲-۲ مرور متغيرها و توابع مختلط
قبل از معرفي تبديل لاپلاس متغيرها و توابع مختلط را مرور مي کنيم. قضية اويلر را نيز بررسي مي کنيم، اين قضيه توابع سينوسي را به توابع نمايي مرتبط مي کند.
متغير مختلط. عدد مختلط يک بخش حقيقي دارد و يک بخش موهومي، که هر دو ثابت اند. اگر بخش حقيقي و / يا بخش موهومي متغير باشد، کميت مختلط را متغير مختلط مي نامند. در تبديل لاپلاس نماد s را به عنوان متغير مختلط به کار مي بريم، يعني

که بخش حقيقي و بخش موهومي آن است.
تابع مختلط. تابع مختلط (s)G، که تابعي از s است، يک بخش حقيقي و يک بخش موهومي دارد.

که در آن و کميات حقيقي اند. اندازة برابر و زاوية آن، برابر است. زاويه در جهت ساعتگرد نسبت به بخش مثبت محور حقيقي اندازه گرفته مي شود. مزدوج مخلتط (s)G عبارت است از .
توابع مختلطي که معمولاً در تحليل سيستمهاي مطرح مي شوند تابعي تک مقداري از s هستند و براي هر s خاصي به نحوي يکتا تعيين
مي شوند.
تابع مختلط را در يک ناحيه تحليلي مي نامند، اگر و تمام مشتقهايش در آن ناحيه وجود داشته باشند، مشتق تابع تحليلي عبارت است از

چون مي تواند از بينهايت مسير متفاوت به صفر ميل کند. مي توان ثابت کرد(در اينجا اثبات را بيان نمي کنيم) که اگر مشتق روي دو مسير خاص، يعني برابر باشند، مشتق روي هر مسير دلخواه يکتا ست و بنابراين مشتق وجود دارد.
براي مسير خاص (يعني مسير واقع بر محور حقيقي).

براي مسير خاص (يعني روي محور موهومي)

اگر اين دو مشتق برابر باشند

آنگاه مشتق به نحوي يکتا تعيين مي شود اين دو شرط را شرايط کوشي- ريمان مي نامند. اگر اين دو شرط ارضا شوند تابع G(s) تحليلي است.
به عنوان مثال تابع G(s) زير را در نظر بگيريد.
پس
که در آن
مي توان ديد که بجز در s=1 (يعني ) G(s) شرايط کوشي- ريمان را براورده مي کند:

پس در تمام صفحة s بجز تحليلي است. مشتق در تمام صفحه بجز در s=1 برابر است با

نقاطي از صفحة s که در آنها تابع G(s) تحليلي است نقاط عادي ناميده مي شود. نقاطي از صفحة s که در آنها تابع G(s) يا مشتقهاي آن به بينهايت ميل مي کند قطب ناميده مي شود. نقاطي که در آنها تابع G(s) برابر صفر است، صفرهاي تابع نام دارند.

در s=-p مقداري محدود و غير صفر داشته باشد، s=-p قطب مرتبه n ناميده مي شود. به ازاي n=1، قطب را قطب ساده مي نامند. به ازاي ، قطب را مرتبه دوم، مرتبه سوم، … مي نامند.
براي مثال تابع مختلط زير را در نظر بگيريد.

G(s) در و صفر دارد، در و قطب ساده دارد ودر قطب دوگانه (يا قطب مرتبه دوم) دارد. توجه کنيد که G(s) در صفر مي شود. چون به ازاي مقادير بزرگ s
G(s)
G(s) در صفر سه گانه (يا صفر مرتبه سوم) دارد. اگر نقاط بي نهايت ار در نظر بگيريم، تعداد صفرها و قطبهاي تابع G(s) برابرند. به طور خلاصه تابع G(s) پنج صفر و پنج قطب ( ) دارد.
قضية اويلر. بسط و به صورت سري تواني عبارت اند از

پس
چون
مي بينيم که
اين را قضية اويلر مي نامند.
با استفاده از قضية اويلر مي توانيم توابع سينوس و کسينوس را بر حسب تابع نمايي بنويسيم. توجه کنيد که و مزدوج مختلط است و

با جمع و تفريق اين دو معادله به دست مي آوريم.
(۲-۲)
(۲-۳)
۲-۳ تبديل لاپلاس
ابتدا تعريفي از تبديل لاپلاس و بحث مختصري راجع به شرايط وجود تبديل لاپلاس ارائه مي کنيم. سپس طي مثالهايي روش به دست آوردن تبديل لاپلاس چند تابع متداول را نشان مي دهيم.
تعريف مي کنيم.
تابعي از زمان به نحوي که براي
=s يک متغير مختلط
؟؟ = نمادي که نشان مي دهد بايد تبديل لاپلاس کميت جلوي آن توسط انتگرال تبديل لاپلاس محاسبه شود. = تبديل لاپلاس
تبديل لاپلاس عبارت است از

فرآيند عکس يافتن تابع زماني f(t) ازتبديل لاپلاس f(s) عکس تبديل لاپلاس نام دارد. نمادي که براي عکس تبديل لاپلاس به کار مي بريم ؟؟ است. عکس تبديل لاپلاس را ميتوان با انتگرال زير از f(s) به دست آورد.
(۲-۴) در و
که در آن c، طول همگرايي، ثابتي حقيقي است که بزرگتر از بخش حقيقي تمام نقاط تکين f(S) برگزيده مي شود. پس مسير انتگرالگيري بامحور موازي است و به فاصلة c از آن قرار دارد. اين مسير سمت راست تمام نقاط تکين قرار دارد.
محاسبة انتگرال عکس پيچيده به نظر مي رسد. درعمل براي يافتن f(t) به ندرت از اين انتگرال استفاده مي شود و روشهاي ساده تري براي يافتنم f(t) وجوددارد. اين روشهاي ساده را دربخشهاي ۲-۵ و ۲-۶ معرفي مي کنيم. تذکر مي دهيم که در اين کتاب هميشه فرض مي کنيم تابع زماني f(t) براي زمانهاي منفي صفرست، يعني براي ۰>t،۰=f(t)
وجود تبديل لاپلاس. تبديل لاپلاس تابع f(t) در صورتي وجود دارد که انتگرال لاپلاس همگرا باشد. انتگرال لاپلاس در صورتي همگراست که f(t) در هر فاصله اي واقع در ۰<t در تکه تکه پيوسته باشد و با ميل t به بي نهايت مرتبة نمايي داشته باشد. تابع f(t) در صورتي مرتبة نمايي دارد که حقيقي باشد و يک عدد مثبت وجود داشته باشد، به نحوي که با ميل t به بينهايت تابع زير به صفر ميل مي کند.

اگر به ازاي هاي بزرگتر از ،حد صفر باشد و به ازاي هاي کوچکتر از بينهايت، را طول همگرايي تابع f(t) مي نامند.
براي تابع

به ازاي به صفر ميل مي کند. براي اين تابع طول همگرايي است. ا انتگرال تنها در صورتي وجود دارد که ،بخش حقيقي s، بزرگتر از طول همگرايي باشد. پس عملگر s بايد به نحوي انتخاب شود که اين انتگرال همگرا باشد.
برحسب قطبهاي تابع f(s)، طول همگرايي با بخش حقيقي راست ترين قطب f(s) برابر است. مثلاً براي تابع f(s) زير

طول همگرايي برابر ۱- است.مي توان ديد که براي توابعي چون t ، ، و طول همگرايي صفرست. براي توابعي چون ، ، وغيره طول همگرايي –c است.ولي براي توابعي کهم سريعتر از توابع نمايي رشد مي کنند. نمي توان براي طول همگرايي مقداري برگزيد. پس توابعي چون و تبديل لاپلاس ندارند.
ولي بايد به خواننده تذکر دهيم که گرچه (براي ) تبديل لاپلاس ندارد، ولي مانع زماني زير
در =f(t) در ، ۰=
تبديل لاپلاس دارد، زيرا f(t) تنها در فاصلة محدود برابر است نه براي چنين تابعي را مي توان به صورت فيزيکي ساخت، سيگنالهايي را که مي توان عملاً توليدکرد، هميشه تبديل لاپلاس دارند.
اگر تابع f(t) تبديل لاپلاس داشته باشد، تبديل لاپلاس f(t) A که در آن A مقدار ثابتي است، برابر است با
اين مطلب به وضوح از تعريف تبديل لاپلاس نتيجه مي شود، چون تبديل لاپلاس يک عمل خطي است، اگر توابع تبديل لاپلاس داشته باشند، به ترتيب ، تبديل لاپلاس عبارت است از

در ادامه تبديل لاپلاس چند تابع متداول را به دست مي آوريم.
تابع نمايي. تابع نمايي زير را در نظر بگيريد.
براي ۰>t f(t)=0
براي ۰ t A=
که در آن A و ثابت هستند. تبديل لاپلاس اين تابع نمايي را مي توان به صورت زير يافت:
مي بينيم که تابع نمايي در صفحة مختلط يک قطب به وجود مي آورد.
در يافتن تبديل لاپلاس لازم داريم که بخش حقيقي s از (طول همگرايي) بزرگتر باشد. بلافاصله اين سوال پيش مي ايد که آيا تبديل لاپلاس به دست آمده در ناحية صفحة s معتبر است. براي پاسخ دادن به اين سوال بايد به نظرية متغيرهاي مختلط متوسل شويم. در نظرية متغيرهاي مختلط قضيه اي موسوم به قضية تعميم توابع تحليلي وجود دارد. اين قضيه مي گويد اگر دو تابع تحليلي روي يک خم دلخواه محدود، واقع در ناحيه اي که در ان هر دو تحليلي هستند برابر باشند. در تمام آن ناحيه برابرند. خم برابري معمولاً محور حقيقي يا بخشي از آن است. طبق اين قضيه f(s) را مي توان با گرفتن انتگرالي که در آن s مقدار دلخواهي بزرگتر از طول همگرايي دارد تعيين کرد و اين f(s) براي بقية مقادير s واقع در ناحيه اي که در آن f(s) تحليلي است. نيز معتبرست. بنابراين گرچه براي همگرايي مطلق بايد بخش حقيقي s بزرگتر از طول همگرايي باشد، ولي f(s) به دست امده در تمام صفحه sبه جز در قطبهاي f(s) معتبرست.
تابع پله. تابع پلة زير را در نظر بگيريد.
براي ۰>t f(t)=0
براي ۰<t =A
که در آن =A مقداري ثابت است. توجه کنيد که اين تابع حالت خاصي از تابع نمايي ، به ازاي a=0 است. تابع پله در t=0 تعريف نشده است. تبديل لاپلاس در اين تابع عبارت است از

در محاسبة اين انتگرال فرض کرده ايم بخش حقيقي s از صفر (طول همگرايي) بزرگتر است، و در نتيجه حد در صفرست. چنانچه در بالا گفتيم تبديل لاپلاس به دست آمده در تمام صفحة s بجز قطب واقع در s=0، معتبر است.