عناصر و اصطلاحات و مدارهاي كوانتومي

مقدمه :
در اين بخش مي‌خواهيم درباره اصطلاحات و عناصري كه در طراحي الگوريتم‌هاي كوانتومي لازم هستند، صحبت كنيم اصطلاحاتي چون كيوبيت، ثبت‌كننده‌ها، اعمال كنترل شده حالتهاي پايه محاسباتي و … برخي از اين عناصر معادل‌هاي كلاسيكي دارند ولي برخي ديگر مختص جهان كوانتومي بوده و معادل كلاسيكي ندارند.

۲-۱٫ بيت‌هاي كوانتومي و ثبت‌كننده‌ها «Quantum Bit’s and Registers»
bit مفهومي اساسي در فن‌آوري و علم اطلاعات است فلذا بيت‌هاي كوانتومي كه از اين به بعد آنها را كيوبيت خواهيم ناميد يكي از پايه‌هاي اساسي Q.C. است. در واقع كيوبيت يك شيء رياضي با خصوصيتي معين است به بيان دقيقتر يك كيوبيت عبارت از يك بردار واحد در فضاي ضرب داخلي دو بعدي است كه مي‌توانيم آنرا به صورت

{۱۰> 11>} نمايش دهيم. همواره علاقمند هستيم اين مفهوم رياضي را با يك خاصيت فيزيكي قابل لمس نماييم :
فرض كنيم S يك كميت دوبعدي از يك سيستم كوانتومي با حالتهاي متعامد ۰۱> و ۱۱> باشد كه اين حالتها مي‌توانند پايه‌هاي طبيعي بسط دهنده اين سيستم باشند آنگاه يك كيوبيت عبارت است از حالت كوانتومي ۱Ø> كه :

راههاي زيادي براي حقيقت بخشيدن به مفهوم فوق وجود دارد مي‌توان حالت ۱۰> را حالت پايه الكترون در اتم هيدروژن و ۱۱> را اولين حالت برانگيخته در نظر گرفت و يا يك سيستم اسپيني كه دو حالت اسپين بالا را ۱۰> و اسپين پايين را با ۱۱> نمايش دهيم

تفاوت اساسي بين كلاسيكي و بيت كوانتومي در آن است كه يك بيت كلاسيكي يا در حالت ۱۰> است و يا در حالت ۱۱> در حالي كه يك كيوبيت مي‌تواند هر بر هم نهي خطي از حالتهاي ۱۰> و ۱۱> را بپذيرد بنابراين مي‌تواند در تعداد غير قابل شمارشي از حالتها قرار داشته باشد. مفهوم اين جمله آن است كه ظاهراً مي‌توان اطلاعات فوق‌العاده زيادي حتي به صورت نامحدود در يك بيت كوانتومي با انتخاب مطالب α و β جاي داد اما عملاً ثابت شده است كه بيت كوانتومي مي‌تواند فقط در برخي حالتهاي محدود قرار داشته باشد مثلاً يك كيوبيت TRINE كيوبيتي است كه فقط يكي از سه حالت

و و يا را به خود بگيرد.
مي‌توانيم حالت ۱Ø> را با استفاده از نمايش هندسي كره بلوخ (Bloch sphere) مناسبتر بنويسيم چون همانگونه كه در شكل آمده ميتوانيم ۲-۱ را به صورت زير بنويسيم :
(۲)
كه در آن ، ، اعداد حقيقي هستند. عامل فازي مشاهده‌پذير فيزيكي نيست و لذا مي‌توان آنرا حذف كرد و لذا :

۲-۲ : اندازه‌گيري كيوبيت ها : qubit measuerment
يكي از مشكلات كيوبيت‌ها اين است كه تمامي آنچه كه وارد يك كيوبيت مي‌شود، لزوماً همان خارج نمي‌شود. دركل ، براي يك حالت نامعين از يك كيوبيت تك قابل تشخيص نيست و آن توسط يك اندازه‌گيري تصويري كاملاً امكانپذير نيست. فيزيك كوانتومي قواعد دقيقي مبني بر چگونگي استخراج اطلاعات استخراج اطلاعات از يك حالت كوانتومي ناشناس دهد. خروجي هر اندازه‌گيري تصويري از يك كيلوبيت ، بايد با عبارت كلاسيكي فرمولبندي شود. دقيقتر، مي‌توان از هر

اندازه‌گيري تصويري يك كيلوبيت، فقط يك بيت كلاسيكي از اطلاعات را تهيه كرد. بنابراين با وجود اينكه يك ارتباطي بين حالتهاي كوانتومي ممكن از يك كيوبيت منفرد وجود دارد، ولي اين حالتها نمي‌توانند از همديگر تشخيص داده شوند. هيچ اندازه‌گيري نمي تواند بيشتر ازيك بيت از اطلاعات را از دوكيوبيت داده شده، استخراج بكند. ازديدگاه اطلاعات، از يك كيوبيت مي‌توان توسط يك اندازه‌گيري تصويري دقيق، همان مقدار از اطلاعات كلاسيكي را به اندازه يك بيت كلاسيكي دريافت كرد، حقي ديگر به طور نامحدودي بسياري از حالتهاي بالقوه را داشته باشد.

۲-۳ : تحول كيوبيت (Qubit evolution) :
هر تحول كوانتومي يك كيوبيت يا هر عمل كوانتومي روي يك كيوبيت توسط يك ماتريس كياني معين مي‌شود :
(۴)
كه هر حالت كوانتومي را به حالت تبديل مي‌كند.
بعنوان مثال، تحول داده شده توسط ماتريس هادامارد (Hadamard)
(5)
كه چرخش هادامارد ناميده مي‌شود، حالتهاي >10 ، >11 ، >10 و >1 ‌‌ را بصورت زير تبديل مي‌كند :

كه درآن تبديل يافته ‌هادامارد حالتهاي پايه هستند.
همچنين تبديل ‌هادامارد را مي‌توان به صورت نگاشتي ازحالتهاي پايه نوشت :
(۷)
پاية >}17 ، > 10{ = پاية استاندارد يا پايه محاسباتي ناميده مي‌شود، پايه‌هاي دوتايي يا پايه‌هاي هادامارد و يا پايه‌هاي فوريه ناميده مي‌شود. مي‌توان ديد كه با بكاربردن H مي‌توانيم بين پايه‌هاي استاندارد و پايه‌هاي دوتايي ارتباط برقرار كنيم(معادلات ۲-۶). از تعريف H واضح است كه H2=I . همچنين پايه‌هايي را مي‌توان در نظر گرفت كه پايه‌هاي قطبش ناميده مي‌شوند وتوسط ۸ تعريف مي‌شوند :
(۸)

كه از اهميت خاصي برخوردارند.
اگرحالتهاي ۰>1 ، ۱۱> نسبت به حالتهاي پايه استاندارد اندازه‌گيري شوند. هر دو خروجي – ۰ و ۱- را با احتمال يكسان ۲/۱ بدست مي‌آيند. عمل H روي حالتهاي پايه استاندارد را مي‌توان همانند پرتاب يك سكه در نظر گرفت. مثلاً اگر روي شير سكه به طرف ناظر باشد احتمال اينكه پس از پرتاب شير يا خط بيايد ۲/۱ است.

۲-۴ : ثبت‌كننده‌هاي كوانتومي (Quantum Registers)
براي معرفي ثبت‌كننده‌هاي كوانتومي مناسب است با ثبت كننده دوكيوبيتي شروع كنيم.
۲-۴-۱ : ثبت‌كننده دو كيوبيتي
حاصلضرب تانسوري دوكيوبيت را يك ثبت‌كنندة دو كيوبيتي مي‌ناميم. فضاي هيلبرت متناظر با آن H4 مي‌باشد.
معمولاً پايه‌هاي استاندارد در فضايH4 بصورت زير نمايش داده مي‌شوند :
(۹)
بنابراين فرم عمومي يك ثبت‌كننده دو كيوبيتي برابر است با :
(۱۰)
اندازه‌گيري ثبت‌كننده‌هاي دوكيوبيتي :
اندازه‌گيري حالت نسبت به پايه‌هاي استاندارد ، خروجي‌هاي دوبيتي ij را با احتمال بدست مي‌دهد و منجر به فرو ريزش به حالت ij> مي‌شود.
اغلب لازم است كه فقط يك كيوبيت را اندازه‌ بگيريم. اين مطلب مي‌تواند براي استفاده مشاهده پذير انجام بگيرد :
درمورد كيوبيت اول
در مورد كيوبيت دوم
كه ، ۱و۰ = I زير فضاي استاندارد با بردارهاي ، زير فضاي استاندارد با بردارهاي i>} ، i>10{ ناميده مي‌شود.
بنابراين اگر كيوبيت اول اندازه‌گيري شود، خروجي حاصل بيتO با احتمال خواهد بود. و حالت پس از اندازه‌گيري عبارتست از :
(۱۱)
توجه كنيد كه حالت پس از تصوير شدن بهنجار شده است. به روشي مشابه آنچه گذشت مي‌توانيم خروجي ۱ را با اندازه‌گيري كيوبيت دوم با احتمال و حالت مربوطه بدست بياوريم.

تحول كوانتومي دو كيوبيتي :
از تبديلات يكاني كه روي حالتهاي دوكيوبيتي اثر ميكنند تبديل زير از اهميت ويژه‌اي برخوردار است :
(۱۲)
كه نمايش ماتريسي آن بصورت زير مي‌باشد.
(۱۳)

ماتريس XOR نگاشتي همانند گيت Controlled Not يا به اختصار CNOT را ايجاد مي‌كند.
۲-۴-۲ : ثبت‌كنندة n- كيوبيتي :
براحتي مي توان ثبت‌كننده‌هاي –nكيوبيتي را از تعميم ثبت‌كنندة ۲- كيوبيتي تعريف كرد :
براي ثبت‌كننده‌هاي –n كيوبيتي در فضاي هيلبوت n2- بعدسي كار ميكنيم كه مجموعه زير بردارهاي پايه اين فضا مي‌باشند.
(۱۴)
بردارهاي i> 1 را بردارهاي استاندارد يا پايه‌هاي محاسباتي مي‌ناميم.

كلي‌ترين فرم براي حالت يك ثبت‌كننده –n كيوبيتي عبارتست از :
(۱۵)
۲-۵ : گيت‌هاي منطقي كوانتومي (Logical quantum gutes)
يك گيت منطقي كوانتومي، يك وسيله ورودي – خروجي است كه ورودي‌هايش متغيرهاي كوانتومي گسسته مانند اسپين‌ها هستند. عمل چنين گيتي روي ورودي‌هاش بوسيله يك عملگر يكساني را توصيف مي‌شود كه متغيرهاي ورودي را ازيك حالت به حالت مي‌نگارد مشابه با گيت‌هاي منطقي كلاسيكي گيت‌هاي كوانتومي مي‌توانند براي تشكيل يك مدار كوانتومي به كار بروند. برحسب اينكه اين گيت‌ها بر سيستمهاي تك ذره‌اي ،دوذره اي يا –nذره‌اي اثر مي‌كنند به ترتيب به گيت‌هاي يك كيوبيتي ، دو كيوبيتي يا –nكيوبيتي تقسيم مي‌شوند. در ادامه برخي از گيت‌هاي منطقي مهم معرفي مي‌شوند.
۲-۵-۱ : گيت‌هاي تك كيوبيتي :

گيت‌هاي تك‌كيوبيتي براي تغيير دادن حالت يك كيوبيت بكار مي‌روند. يكي از گيت‌هاي مهم تك كيوبيتي گيت NOT مي‌باشد كه به صورت زير مي‌آوريم :
NOT-gate : ساده‌ترين گيت تك كيوبيتي گيت NOTمي‌باشد كه در محاسبات كلاسيكي نيز معروف مي‌باشد (بنابراين NOT يك گيت تك‌بيتي كلاسيكي است. اين گيت كه ما آنرا N مي‌ناميم به صورت زير عمل مي‌كند :
(۱۶) و

و نمايش ماتريسي آن به صورت زير است :
(۱۷)
كه نماد سمت چپ گيت NOT را دريك كوانتومي نشان مي‌دهد. و خط نماينده يك كيوبيت خواهد بود. بطور واضح اين گيت يك دوران ۱۸۰ را انجام مي‌دهد يعني مثلاً مي‌توان با بكاربردن اين گيت اسپين بالا را به اسپين پائين و برعكس تبديل كرد.
ريشه دوم NOT : V ريشه مربع NOT ، يك گيت كاملاً كوانتومي مي‌باشد يعني معادل كلاسيكي ندارد چنانكه از اسمش برمي‌آيد V خاصيت زير را داراست :
و نمايش ماتريسي آن بصورت زير مي‌باشد :
(۱۸)
يكبار ديگر اين گيت صرفنظر از عامل فاز عمومي شكل ديده آن زير را دارد :
(۱۹)
اثر V بردن يك حالت ويژه با برهمنهشتي از حالتهاي ويژه است. براي مثال :
(۲۰)
اين طبيعت كوانتومي V را مي‌ر ساند چون چنين برهمنهشتي معا دل كلاسيكي ندارد. بنابراين اين گيت نشان‌دهنده يك دوران ۹۰ درجه برروي كيوبيت‌ها مي‌باشد.
البته ، گيت NOT بخوبي مي‌تواند بر روي يك تركيب خطي عمل بكند. داريم :
(۲۱)

اين خطي بودن جوابگوي توازي كوانتومي است كه در تمامي الگوريتمهاي كوانتومي نظري با آن مواجه خواهيم شد. (بخش ۳-۱ را ببيند)
گيت هادامارد : (Hadamard gate)
ريشه موج NOT در تبديل كردن حالت ويژه به حالت برهمنهشت ، منحصر بفرد نيست. در دوران ۹۰ نيز اثر مشابهي دارد. يك گيت جالب كه نظير اين گيت مي‌باشد، گيت هادامارد مي‌باشد كه دوران زير را انجام مي‌دهد :
(۲۲)
و نمايش ماتريسي آن چنين است :
(۲۳)
اين گيت دو خاصيت مفيد دارد اولاً اين گيت >10 را به بر همنهشت كاملاً يكنواختي مي‌برد يعني ضرايب >10 و >11 يكسان هستند. ثانياً H واردن خودش مي‌باشد يعني با بكار بردن دو بار H معادل اين است كه هيچ كاري انجام نشده است :
(۲۴) H2=HH=1
گيت‌هاي دو كيوبيتي :
گيتهاي دوكيوبيتي براي تغيير دادن حالت دو كيوبيت بكار مي‌روند و روي سيستمهاي دو ذره‌اي اثر مي‌كنند و نمي‌توانند به مجموعه گيتهاي تك كيوبيتي تجزيه شوند. اين گيت‌ها در قالب محاسبات كوانتومي قرار دارند.