فلسفه ریاضی

مقدمه :

امروزه فلسفه رياضي يا فلسفه علم رياضيات بعنوان يكي از شاخه هاي فلسفي دامنه و عمق قابل توجهي برخوردار شده است و مكاتب و ديدگاههاي متعددي در حوزه اين دانش فلسفي شكل گرفته است. در اين ميان اين نكته روشن است كه دست يافتن به ديدگاهي كه پاسخگوي تمام مسائل و مباحث مطرح شده در فلسفه رياضي باشد آن هم بصورت مستدل و مقبول همه فلسفي انديشان امري ممكن به نظر نمي‌رسدوياآنكه بسيارصعب و دشوار است. اما متفكران بر اساس

اصول و مبادي و علايق ويژه خود به مباحث فلسفي در باب رياضيات پرداخته و هر يك به اندازه وسع علمي و حوزه مطالعاتي و پژوهشي خود گامهايي را براي تقريب به ماهيت و حقيقت رياضيات برداشته اند. در اين ميان متفكران و فلاسفه متفدم و معاصر مسلمان نيز از اين قاعده مستثني نيستند و در لابلاي آثار خود سعي در تفسير و تبيين رياضيات داشته اند.

اين كتاب شامل دو بخش است: بخش نخست اين تحقيق در صدد آن است تا بعنوان گامي آغازين و بطور عمده، در حال و هواي تفكر  فلاسفه و متفكران معاصر ايران – و نه متفكران پيشين – تاملاتي را در حوزه فلسفه رياضي صورتبندي نمايد. البته اين تبيين و تحليل الزاماً در تمامم موارد حاصل ديدگاه صريح و بي واسطه آنان نخواهد بود بلكه در مواردي، نتيجه  استتنتاج و استنباط بوده و افزوده هايي به همراه دارد.

 

چکيده :

فلسفه علم رياضيات يا فلسفه رياضي دانشي است انتزاعي، تحليلي و فلسفي درباره مفاهيم پايه و اصول اساسي و بنيادي رياضيات، ماهيت گزاره‌هاي رياضي، روش رياضي، رياضيات و واقعيت، رابطه رياضيات با علوم ديگر مانند فيزيك، منطق، متافيزيك و…، تحولات دانش رياضي و علل، جايگاه رياضيات در دسته‌بندي علوم، رياضيات و ايدئولوژي و مباحث متعدد ديگر .”كتاب حاضر از دو بخش تشكيل شده است .در بخش اول آراي متفكران معاصر ايران در مباحث فلسفه رياضي تشريح مي‌شود .و در بخش دوم آراي تحليلي و فلسفي ديگر متفكران در باب رياضيات درج گرديده است

حاصل آنكه در اين بخش سعي بر آن است تا حد امكان به تحليل و بسط ايده هايي كه در انديشه متفكران معاصر ايران آمده است، پرداخته شود.

بخش دوم اين نوشتار گزارشي است از آراي فلسفي و نظري ديگر فلاسفه و متفكران، از دوره يونان تا دوره معاصر، در باب مباحث رياضي، كه در قالب يك بخش گردآوري و تنظيم شده است. اميد آن است كه ارائه اين گزارش اسباب آشنايي با ديدگاههاي متعدد و متنوع را در باب ماهيت رياضيات و مباحث فلسفه رياضي فرآهم آورده و فضايي پرسش خيز و مساله انگيز براي خواننده ايجاد نمايد.

 

 

 

نظراتی درباره فلاسفه :

فلسفه معمولا بعنوان یک فعالیت و نیز بعنوان موضوعی ذهنی تعریف می‌شود. فلاسفه پیرو “رواقیون” آن را به فیزیک ، اخلاق و منطق تقسیم می‌کردند، برخی دیگر از فلاسفه در سال‌های اخیر برای آن تقسیم‌بندی ما بعدالطبیعه یا متافیزیک معرفت‌شناسی ، منطق و ارزش‌شناسی پیشنهاد کرده‌اند.

علاوه بر تقسیم‌بندی فوق‌الذکر از مسائل فلسفی ، معمولا بررسی مبانی یا انگاشتهای اصولی و مقاصد هر رشته علمی نیز فلسفه نامیده می‌شود. بر این اساس ما طبقه‌بندی‌هایی چون فلسفه فیزیک ، فلسفه هنر ، فلسفه تاریخ و البته فلسفه ریاضی و حتی فلسفه را داریم اچ ، گوردون هولفیش بیان می‌دارد که:

“فلسفه ماموریت دارد به انسان در تفکر عمیق‌تر به نتایج اعمال روزانه‌اش کمک کند تا انسان بتواند با حکمتی بیشتر ، آن نتایجی را برگزیند که به همه انسانها کمک می‌کند تا تفکرشان را عمیق‌تر سازند.”

یک فلسفه را می‌توان توضیحی دانست که در آن کوشش می‌شود تا از مجموعه‌ای طبعا پراکنده از تجربیات یک معنی استخراج کند. کار یک فلسفه مشتمل بر تنظیم تجربیات و ارزش‌ها است. فلسفه در جستجوی روابط در میان اشیایی است که معمولا منفک از هم بشمار می‌آیند.

در اینجا به فلسفه‌های معاصر ریاضی پرداخته شده است. فلسفه‌هایی که پیشرفت‌های اخیر ریاضی را بشمار آورده و متاثر از بحران‌های جاری این علوم می‌باشند. سه فلسفه اصلی معاصر از ریاضیات وجود دارد که هر یک از گروه متنابهی از ریاضیدانان و فلاسفه را جذب و هر یک دانش عظیمی از فرهنگ خاص خود را توسعه و گسترش داده است. این فلسفه‌ها عبارتند از: فلسفه منطق‌گرایی که راسل و وایتهد ارائه‌دهندگان اصلی آن هستند. فلسفه شهودگرایی که توسط براور رهنمون می‌شود؛ و فلسفه صورت‌گرایی که توسط هیلبرت رشد و گسترش یافته است.

فلسفه منطق گرایی :

سخن اصلی این فلسفه این است که ریاضیات شاخه‌ای از منطق است در این فلسفه به جای آنکه منطق فقط وسیله‌ای برای ریاضیات باشد. تبدیل به کل ریاضیات می‌شود. همه مفاهیم ریاضیات باید بر حسب مفاهیم منطقی فرمولبندی شوند، همچنین قضیه‌های ریاضی باید به عنوان قضایایی از منطق بیان اثبات شوند. در این دیدگاه تمایز بین منطق در ریاضیات صرفا به مناسبت جنبه عملی و آموزشی آن است. این نظریه برای نخستین بار توسط فرگه و بعدا توسط برترا اندراسل ، بی‌آنکه با فرگه ارتباطی یافته باشد عنوان گردید. وایتهد و راسل در کتاب عظیمی که بنام “اصول ریاضیات” تدوین کردند به دفاع از این نظریه پرداخته‌اند.

 

فلسفه شهودگرایان :

از شهودگرایان این است که اشیا و برهان‌های ریاضیات را فقط باید با طی گام‌های متوالی و متناهی ساخت، گام‌هایی که شهودا قابل اطلاق بر اعداد طبیعی‌اند. بر طبق نظریه ، پایه ریاضیات غایتا بر شهود اولیه قرار دارد که بدون شک بر حس و درک ما از “قبل و بعد” می‌باشد که به ما اجازه می‌دهد که تا یک شی مشخص و منفرد را درک کنیم، و پس ادراک‌های بعدی متوالیا و

بی‌پایان انجام می‌گیرد. در این روند ما رشته‌ای بی‌پایان بدست می‌آوریم که بهترین مثال آن رشته اعداد طبیعی است. سابقه شهودگرایی در فلسفه به زمان کانت ، فیلسوف آلمانی ، بر می‌گردد. ظاهرا درک کانت از اینکه حساب بر مبنای نیروی ذهنی شمارش قرار دارد این است که اعداد وقتی ، و فقط وقتی وجود دارند که به وسیه شمارش در دسترس باشند       .
اگر کانت با مجموعه‌ها آشنا بود شاید هم می‌گفت مجموعه‌ها وقتی و فقط وقتی وجود

دارند که عضوهای آنها را بتوان شمرد. لذا عددهای اصلی نامتناهی وجود نمی‌توانند داشت زیرا که به عقیده کانت عدد نامتناهی را شمردن نامقدور است. به دلیل مشابه کانت معتقد بود که در هندسه حداکثر طول وجود پیدا نمی‌کند، زیرا ، که هر چند می‌توان خط را از دو طرف امتداد داد اما آن را بطور نامتناهی نمی‌توان امتداد داد (زیرا که این عمل نیازمند وقت نامتناهی است) به این ترتیب هم در مورد اعداد هم در مورد خطوط ، کانت بجای پیروی از عقیده بی‌کران بالفعل به نظریه

بی‌کران بالقوه یا کلیات نامعین معتقد بوده است. ارسطو هم در بحث در مسائل فلسفی از قبیل پارادوکس معروف زنون مفهوم نظریه کبیران بالقوه کانت را بکار برده است. در زمان‌های جدید چهره اصلی شهودگرایان که فرد را ساختارگرا می‌نامند ال. جی بروئور ریاضی‌دان هلندی است. به عقیده شهودگرایان هر چند را که نتوان صحت سقمش را ثابت کرد نه صحیح است نه سقیم. بدین ترتیب شهودگرای “قانون طرد شق وسط” وارد می‌کند و بین صحیح یا سقیم شق ثابت “نه صحیح و نه سقیم” را می‌پذیرد.

فلسفه اشراق :

باید توجه داشت که مفهوم شهود در فلسفه شهودگرایی با شهود فلسفی ، آنگونه که بالاخص در بین فلاسفه استدلالی مرسوم بوده است متفاوت است. همانگونه که در فلسفه شهودگرایی ریاضی توضیح داده شد. سابقه شهودگرایی ریاضی به درک کانت فیلسوف آلمانی ، از عدد بر می‌گردد در حالی که فلسفه شهود در مبانی کلی فلسفی که ب

ه فلسفه اشراق معروف است به دوره پیش از ارسطو نسبت داده شده است. یعنی زمانی که فلسفه هنوز به جنبه صرفا استدلالی پیدا نکرده بود و “کشف و شهود ذهنی” هنوز عالی‌ترین راه برای دست‌یافتن به معرفت بوده است. سهروردی ، فیلسوف ایرانی و شیخ فلسفه اشراق نیز تعریف مشابهی برای حکمت اشراقی ارائه کرده است. که از تعاریف و عبارتی که سهروردی به کار برده است معلوم می‌شود که فلسفه (حکمت) اشراقی بر استدلال و کشف و شهود هر دو تکیه دارد که یکی از پرورش نیروهای عقلی حاصل می‌شود و دیگری از صفای نفس.

صورتگرایان :

از صورتگرایان این است که ریاضیات با سیستمهای نماد صوری سروکار دارد در واقع از این دیدگاه ریاضیات عبارت است از گردایه‌ای از چنین سیستم‌های مجردی که مفاهیم آن صرفا نمادهای بی معنی و احکام آن فرمول‌هایی هستند که با این نمادها بیان می‌شوند. این حوزه فلسفی توسط دیوید هیلبرت درست بعد از اتمام بنداشتی‌کردن هندسه توسط وی پایه‌گذاری شد. هیلبرت در کتاب مشهور خود ، مبانی هندسه ، که در سال ۱۸۹۹ میلادی به رشته تحریر در آورده است طی روشهای بنداشتی ملموس اقلیدس را به بنداشتهای صوری امروزی تبدیل نمود. دیدگاه صورتگرایانه زمانی توسط هیلبرت رشد و گسترش یافت که می‌خواست بحرانی را که توسط پارادوکس‌های تئوری مجموعه‌ها بروز کرده و نیز مبارزه‌ای که بوسیله شهودگرایان با ریاضیات کلاسیک شروع شده بود مرتفع سازد.

البته تا كنون اندكي هم از منطق رياضي گفته­ايم . منطق رياضي هم “در” رياضي بحث مي كند و هم “درباره رياضي”. به همين دليل ما يك فصل را (فصل ۳) مستقلا به منطق اختصاص داده ائيم.

 همه­ي علوم (اعم از عقلي و تجربي و نقلي و شهودي) درباره موجودات خاصي (اشياء انتزاعي، ذهني ، فيزيكي و….) بحث مي كنند. اما قلسفه ، يا در باره کل موجودات و بلکه خود “وجود”  بحث ميکند که به آن فلسفه اولي ميگويند و يا درباره يک حقيقت انتزاعي مثل”دين”، “هنر”،” زبان “علم”،” اخلاق”،  و ….. که به آن فلسفه هاي مضاف ميگويند.

همانطورکه گفتيم فلسفه اولي عبارت است از دانش مطالعه و بررسي “هستي” و “شناخت” . “هستي” كلي ترين موضوع ممكن براي مطالعه و بررسي است و بخشي از فلسفه اولي که مشخصا در باب هستي بحث ميکند هستي شناسي نام دارد . هر موضوع ديگري، كه در واقع نوع خاصي از هستي است ، موضوع علوم است نه فلسفه . مثلا “حركت” موضوع علم مكانيك و “عدد” موضوع علم حساب است. اما هر عقيده­اي درباره هستي مبتني بر پيش فرضي است در

باب”شناخت” و بر عكس. بنابراين متا فيزيك و معرفت شناسي به عنوان دو بخش عمده ي فلسفه اولي ارتباط وثيقي با هم دارند . فلسفه اولي خواه ناخواه با فلسفه هاي مضاف درگير است. به هر حال اتخاذ هر موضعي در فلسفه دين يا فلسفه علم يا هر فلسفه ديگري مستلزم رد يا قبول يک يا چند فرض اساسي درباره “جهان هستي” و “شناخت انسان” است. لذا بايد توجه داشت که فلسفه اولي در شناسايي وتعيين اين پيش فرضها و مبادي و چهار چوبها نقش تعيين کننده اي دارد.

اگر دين به ما ميگويد به چه چيز معتقد باشيم و چه احساساتي داشته باشيم و چه کارهايي انجام دهيم، فلسفه دين به ما ميگويد که خود اين دين ( اعتقادات و احساسات و اعمال خاص) چيست و تا چه اندازه درست و حتي با معني است.عناصر يک دين چه چيزهايي است وآيا ميتو

ان اين عناصر را بي طرفانه فهميد و پذيرفت؟آيا پذيرش دين براي زيست اخلاقي ضروري است؟چرا بشر به دين احساس نياز کرده است؟آيا  اين نياز هميشگي است؟ پذيرش يا وازنش هر پاسخي به اين پرسشها بيواسطه يا باواسطه به مسائل فلسفه اولي مرتبط ميشود. ربط و نسبت فلسفه اخلاق ،  فلسفه هنر و … نيز با اخلاق، هنر و…از يک سو و فلسفه اولي از سوي ديگر به همين منوال است.

معرفتهاي به دست آمده در برخي از اين فلسفه هاي مضاف را معرفتهاي مرتبه ۲ مي­گويند؛ زيرا درباره معرفتهاي مرتبه ۱ ( معرفتهاي به دست آمده در علوم) بحث ميكنند.مثل فلسفه علوم تجربي، فلسفه منطق، فلسفه رياضي، فلسفه فلسفه و… . يک معرفت مرتبه ۱ ، حاوي اطلاعاتي است درباره جهان (ملموس يا انتزاعي) اما معرفت مرتبه ۲ اطلاعاتي است درباره اطلاعات مرتبه پايين تر.بحث درباره معرفتهاي مرتبه ۱ به خاطر آنستکه ما پيش فرضها و مبادي و چهار چوبهاي آ

ن معرفتها را تحليل کنيم ، تا ببينيم اساسا  اين معرفت مرتبه ۱ بر چه پايه اي استوار است؟ و چه فرقي با ساير معرفتها و ساير حقائق انتزاعي مثل دين  دارد؟ و از اين طريق اطراف و اکناف آن معرفت مرتبه ۱ را بشناسيم و در باره آن واجد بصيرتي شويم.

روشن است که اگر يک رياضي خوان در مرحله مهارت باقي بماند رياضيدان نميشود و ما قصد داريم بگوييم که اولا: فهم نسبي و رو به تکامل معرفت رياضي در يک فرد مبتني بر بصيرت نسبي و رو به تکامل اوست؛ و ثانيا اگر کسي حتي واجد معرفت رياضي باشد اما فاقد يک بصيرت کافي باشد هرگز نميتواند مسئله اي جديد بيافريند يا روش و برهاني انقلابي ارائه دهد.

بصيرت رياضي در واقع همان شهود رياضي است. انديشمندان گذشته ما مثل ابن سينا به اين شهود حدس صائب نيز ميگفتند. حدس صائب يعني باور به گزاره صادقي که صدق آن براي شخص بقدري روشن است که در آن هيچ ترديدي ندارد لکن هنوز توجيهي همگاني براي اين باور خود نيافته است. البته حدس صائب مختص در رياضيات نيست و اساسا در هر علم و تکنيکي انسان کم کم به

لحاظ هوشي به مرحله اي ميرسد که احساس ميکند اولا  مهارتها و معرفتهاي قبلي خود را با  کمال وضوح و تمايز درک کرده است و ثانيا ارتباط بين اين دانسته ها را نيز به خوبي ميداند و ثالثا به باورهاي بي­سابقه­اي ميرسد که صادق و يقيني اند اما هنوز توجيهي همگاني براي آنها نيافته است و رابعا به مهارتها يا معرفتهاي بي سابقه اي دست ميابد.

 همانطور که ملاحظه ميشود خلاقيت رياضي در سايه بصيرت رياضي ممکن ميشود و فلسفه رياضي تلاشي است در جهت تقويت اين نوع  از شهود و بصيرت. در فلسفه رياضي ما با مرور سرگذشت اين علم و آناليز سوالات بنيادين و حتي بحران آفرين آن سعي ميکنيم که بصيرت رياضيدانان بزرگ را تجربه کنيم و از اين رهگذر علاوه بر عمق بخشيدن به معرفتهاي پيشين خود ، به آستانه حدسهاي جديد نيز نزديکتر مي­شويم.   

 

شايد بشود گفت که فلسفه رياضي از يک سوال معناشناختي شروع مي شود: اينکه «٤=٢+٢ صادق است.» به چه معناست؟ و ناگزير در پاسخ به اين پرسش برخي فرض هاي متافيزيکي مطرح ميشود: مثلاً اينکه اعداد در واقع، اشياء انتزاعي اند. و اين پاسخ پايان ماجرا نيست.

پرسش بعدي معرفت شناختي است: ما چگونه ميتوانيم اشياء انتزاعي را درک کنيم و همينطور بايد به گونه­اي به اين پرسش نيز پاسخ دهيم که اولاً پاسخ معناشناختي و متافيزيکي مارا توجيه کند؛ ثانياً ناسازگار، پيچيده و مبهم نباشد. مجموع اين سه موضع گيري ، يک بصيرت رياضي خاص را به ما عرضه مي کند و ما در پرتو اين بصيرت رياضي به مسائل فلسفه رياضي فکر مي کنيم.