چكيده
ما رفتار كارتل منابع غيرقابل تجديد را آناليز مي كنيم كه پيش بيني مي شود كه در برخي تاريخها در آينده اجباري شود تا به بازاري با اعضاء چند جانبه oligapolisitic منحل شود كه در آن، اعضاي آن ناچار هستند بصورت رقبايي با هم رقابت كنند. تحت فرضيه هاي معقول و مناسب در مورد تابع ارزش شركتهاي خاصي در تعادل oligopolistic كه در پي اين انحلال مي آيند،

ما نشان مي دهيم كه اين كارتل، در فاصله زماني مشابه، مقداري بيشتر نسبت به حالتي توليد مي كند كه هيچ تهديد تجزيه و انحلالي وجود ندارد و نشان مي دهيم كه نرخ استخراج آن، تابعي رو به كاهش از دوام (طول عمر) كارتل است، كه اوضاع و شرايطي وجود دارند كه تحت آن اوضاع و شرايط ، اين كارتل، يك مقدار جانبي منفي به موجودي منابع ضميمه مي كند؛ در كدام مورد، نرخ تخليه به مرور زمان در طول فاز كارتل، رو به افزايش خواهد بود، كه در مورد يك تاريخ معين تجزيه و انحلال، سهام تعادلي اختصاص يافته به فاز بعد از كارتل، بصورت تابعي از موجودي اوليه، افزايش مي يابد، در حاليكه موجوديهاي تعادلي اختصاص يافته به فاز كارتل، در ابتدا افزايش خواهند يافت اما بالاتر از سطح موجودي اوليه كلي، شروع به كاهش مي كنند.

واژه هاي كليدي : كارتلها ، تجزيه ، منابع طبيعي غير قابل تجديد
طبقه بندي JEL : L13 , Q3

۱- مقدمه
تئوري استاتيكي كارتلها به ما مي آموزد كه يك كارتل تشكل مي شود تا خروجي مربوط به صنعت oligopolistic يا كاملاً رقابتي را محدود كرده و بدين ترتيب قيمتها و سود را افزايش دهد. اين نتيجه به مورد كارتلي گسترش مي يابد كه با مسئله اي موقتي intertemporal مثل كارتلهاي منابع طبيعي مواجه مي شود: راجع به صنعت oligopolistic يا كاملاً رقابتي، آن تابع مسير خروجي است كه به مرور زمان، تا زمان اتمام و تخليه كامل، كاهش مي يابد، اما اعمال نيروي انحصاري آن عموماً باعث مي شد موجود منابع نسبت به موجودي صنعت oligopolistic يا كاملاً رقابتي، با سرعت كمتري تخليه مي شود. (هاتلينگ ، ۱۹۳۱ ، سوييني ، ۱۹۷۷، پينديك، ۱۹۷۸، استيگليتز و داسگوپتا ، ۱۹۸۲) .

نوشته ها و متون تئوريكي در مورد كارتلهاي منابع عمدتاً روي مطالعه بازده مسيرهاي قيمت گذاري صنعت تا حدي كارتلي با يك ريشه رقابتي، متمركز شده اند. برخي، روش ناش – كورنات را براي اين مسئله، اتخاذ كرده اند (سالانت، ۱۹۷۶؛ لويس واشمالنسي ، ۱۹۷۹؛ اولف و فولي ، ۱۹۸۰)، برخي ديگر روش استاكلبرگ را اتخاذ كرده اند همراه با كارتلي بصورت يك راهنما عمل مي كند و با توجه بسيار زيادي كه به مشكل عدم انطباق زماني موازنه حلقه باز در چنين موردي معطوف مي شود (گليبرت ، ۱۹۷۸؛ نيوبري ، ۱۹۸۱؛ اولف، ۱۹۸۲ ، گروت ، ويتاژن و زي اوو Zeeuw ، ۱۹۹۲ ، ۲۰۰۳).

در همه اين مقالات ، فرض مي شود كه اين كارتل تا زماني ادامه مي يابد كه موجودي منابع تحت كنترل آن، تمام شوند. اما دلايل مختلفي وجود دارند كه چرا اين نمي تواند، مثال و استدلال باشد: تنظيم كننده ها ممكن اسعت باعث تجزيه يك كارتل شوند يا اعضاي كارتل ممكن است در سواري رايگان (تسلط آزاد) روي محدوديتهاي بازدهي اعضايي كه به هدف آن، وفادار مي مانند، شكست بخورد. پس اين سؤال پيش مي آيد كه نتايج ولازمه هاي مسير خروجي بهينه كارتل چيستند در حاليكه مي دانيم كه در برخي زمانها در آينده، آن ناچار است به صنعتي oligopolistic تجزيه شود؟

در مورد يك كارتل استاتيكي ، هيچگونه نتيجه اي وجود ندارد: آن به سادگي در مدت وجودش، خروجي (بازده) انحصاري مشابه وقتي كه هيچ تجزيه اي صورت نگرفته، ايجاد مي كند و سپس صنعت به بازده تعادل oligopoly استاتيك برگشت مي كند. اما وقتي كه كارتل با مشكلي موقتي intertepcral‌ مواجه مي شود، پاسخ ، زياد آسان نيست، زيرا وضعيت اوليه اي كه بعد از تجزيه با oligopolsti مواجه شده به تصميمات كارتل در طول حياتش، بستگجي دارد. ما روي كارتلي كردن صنعتي كه منبعي غير قابل احياء را استخراج مي كند، متمركز مي شويم.

اينها N‌ شركت يكسان هستند فرض مي شود كه موجودي هاي اوليه، اندازه يكساني داشته باشند. كارتلي كه توسط اين N شركت تشكيل مي شود، پيش بيني مي شود كه بعضي وقتها در آينده، ناچار است تجزيه و منحل شود. بعد از انحلال، همه شركتها، رقباي كورنات (Cournot) مي شوند. به نظر مي رسد كه تحت چنين اوضاع و شرايطي، اين كارتل ممكن است بخواهد موجودي باقيمانده را براي كاهش رقابت و همچشمي آنها از آن تاريخ به بعد، انتخاب كند. هدف اين مقاله، مطالعه استدلالهاي اين، براي مسير استخراج كارتل مي باشد. ما نشان مي دهيم كه يك كارتلي كه تجزيه و انحلالي را پيش بيني مي كند را قبل از اينكه موجوديهاي منبع تمام شوند،

نه تنها برمي گزيند كه در طول حياتش با سرعتي بيش از حالت ديگر توليد كند، به اين سرعت، تابعي رو به كاهش از طول عمر كارتل است، بلكه حتي ممكن است بخواهد منبع را با سرعتي روز افزون برعكس آنچه كه معمولاً از يك صنعت منبع غير قابل احياء تحت توابع سود مقعر، چه كارتلي باشد، چه نباشد، تخليه و مصرف كند. ضمناً نشان مي دهيم كه تا چند سطح موجودي اوليه ، هرچه موجودي اوليه بيشتر شود، مقدار موجودي تخليه شود

(مصرف شده) در طول فاز كارتل، بيشتر مي شود، اما اينكه بالاتر از اين سطح موجودي هاي اوليه، اين رابطه، معكوس مي شود: بيشتر موجوديهاي اوليه، موجودي تخليه شده كمتري را در طول فاز كارتل نشان مي دهند و بيشتر آن براي فاز بعد از كارتل، باقي مانده است. اين مدل در بخش ۲، توسعه مي يابد. در بخش ۳، ما معادله (تعادل) كارتل موقتي و زودگذر را مشخص مي كنيم. بخش ۴ به برخي ملاحظات و نتايج اختصاص مي يابد.

۲- مدل :
ما فرض مي كنيم كه كارتل بايد تقارن اوليه اش را با اختصاص سهميه هايي برابر به اعضايش در طول فاز كارتل، حفظ كند و براي آساني بيان، توجهش را به معادلات تقارن در فاز oligopoly‌محدود مي كند. Q نرخ خاص استخراج شركتي نمونه است و Q=nq ، نرخ (سرعت) استخراج صنعت مي باشد. تابع تقاضاي معكوس p(Q)‌است و فرضيه هاي زير را ايفا مي كند:
A1
A2(pQ) و كه ديفرانسيل پيوسته دوگانه است P(Q)
A3
A4p(Nq)q به ماكزيممي بي نظير و غير عادي مي رسد q(0,4) كه براي
متقاعد كند كه : C(q) فرض مي شود كه تابع هزينه استخراج
A5(Cq)
C(q) با c(q)>0 و c(q)۰ تابعي ديفرانسيلي پيوسته دو گانه است
توجه كنيد كه اين فرضيات براي منفي شدن سود جانبي و درآمد جانبي بالاتر از سطح خروجي (بازده) جايز شمرده مي شوند. و بدين ترتيب شامل تابع تقاضاي الاسيسته ثابتي نمي باشند.
فرض كنيد كه كارتل مي داند كه بعد از چند دوره زماني معين T ، منحل و تجزيه خواهد شد. با استفاده از انديسهاي C و O‌به ترتيب براي كارتل و aligopoly‌ و به شرط تقارن كامل كه در له شركت در صنعت نگه داشته مي شود، مسئله كارتل مي تواند بصورت فرمول زير درآيد:

(۱)
(۲)
(۳)
و N ميزان تخفيف است.
Vi(xc(T)) تابع ارزش هر شركت خاص در بازه ي aligapoly است كه در T‌با موجودي اوليه xc(T) شروع مي شود. ما فرض مي كنيم كه قابل ديفرانسيل گيري باشد. تحت تقارن در T ، براي همه I داريم xi(t)=xD موجودي باقيمانده هر شركت هنگام انحلال مي باشد. پس
(۴)اگر T=0‌باشد، آنگاه XD=XD و مشكل، به آساني مشكل بازي اليگوپلي بين N شركت با منابع يكسان مي باشد. مسير خروجي معادله حاصل بصورت

{ q(t)/t[۰ , T m (x0)} مي باشد كه Tm(x0)(۰ , ] دوره زماني اتخاذ شده توسط انحصارگر براي اتمام منبع مي باشد. آسان است نشان دهيم كه
Tm(x0) T0(x0) .
در واقع نتيجه انحصارگري براي همه T Tm(x0) رخ مي دهد. موردي كه
T(۰ , Tm (x0)) موردي جالب از كارتل موقت و زودگذري است كه اكنون به آن برمي گرديم.
۳- معادله كارتل موقتي :

همانطور كه قبلاً در بالا ذكر كرديم، كارتل موقت مي خواهد كه سود شركت نماينده را افزايش دهد مي داند كه بعد از آن، همه شركتها، رقباي كورنات (Cournot) خواهند شد. مسير خروجي حاصل در طول فاز كارتل بصورت/ t  [O ,T)} ‌ {q(t) و در طول فاز اليگوپلي ، بصورت {q(t)/t[T , Tc (x0) = T 0(xD)+T1} مي باشد كه Tc(x0) زمان كل اتخاذ شده براي اتمام ذخاير منبع x0 هنگاميكه كارتل موقت داشته باشيم، مي باشد و T0(xD) زمان اتخاذ شده توسط اليگو پلي براي مصرف و اتمام منابع است وقتي كه با ذخير XD شروع كنيم. مقدار كنوني هاميلتوني مرتبط با مسئله كارتل موقت بصورت :

(۵)
كه m(t)‌مقدار كور مرتبط با ذخاير منبع مي باشد. علاوه بر (۱) و (۲) ما شرايطي ضروري نيز داريم :
(۶)
(۷)
و شرايط نوسنجي (transvesality)
(8)
اول شرايط نوسنجي transvr sality‌ (۸) را در نظر بگيريد كه شرايطي مرزي براي (۷) ايجاد مي كند. آن مي گويد كه ارزش گذاشتن يك واحد اضافه از ذخيره منبع براي هر عضو در زمان انحلال بايد برابر با آن ارزش براي خود شركت و هريك از رقبايش باشد كه شروع به بازي اليگوپلي مي كنند كه با واحد اضافه منبع دنبال مي شود. اين مورد اخير به خصوصيات تابع ارزش Vi (x) بستگي دارد. روشن است كه

(۹)
چرا كه، در اين مورد، هيچيك از شركتها هيچ ذخيره منبعي ندارند و هيچ فروشي وجود ندارد. بعلاوه ، اگر ما  را سود معامله كورنات – ناشي بازي ايلگوپلي استاتيك مطابق در نظر بگيريم، داريم :
(۱۰)
چون اگر هر شركت قرار باشد ذخيره بسيار زيادي از منبع داشته باشد، فشار عدم قابليت تجديد، ممكن است بالا برود (مقدار كور (shdow value) موجودي، صفر مي شود) و مسئله اليگوپلي (انحصار فروش) به مسئله اي استاتيكي كاهش مي يابد كه تا ابد تكرار مي شود.
همانطور كه x به بينهايت نزديك مي شود، تابع (x) vi‌ به r‌/  از بالا يا از پايين، نزديك مي شود. ما توجهمان را به اين مورد معطوف مي كنيم و فرض مي كنيم :

A6 (x) Vi در x‌دقيقاً نيمه مقعر است در x فقط يك نقطه ماكزيمم دروني دارد و در x>x يك نقطه عطف دارد، طوريكه :

كه اين در شكل ۱ توضيح داده مي شود.
توجه كنيد كه وضعيت سنجش ارزش (نوسنجي) (۸) از شرط درجه اول براي تعيين xD حاصل مي شود. در اين معادله، xD نيز باشد شرط درجه دوم را جبران كند.

(۱۱)
با شرط (۷)، مي توانيم براي هر t[Q , T]‌و هر s[o , t]‌، بنويسيم «
(۱۲)
كه(s , x(s))‌  به مقدار منسوب در t=s‌توسط كارتل به افزايش جانبي ذخاير هر عضو در آن تاريخ اشاره دارد، به شرطي كه ذخاير آنها x(s) بشود. اما از ساختار اين مسئله باي فاز كارتل، مي دانيم كه، براي xD معين داريم :
(۱۳)
كه z(t-s , x(s)) = x(s) – xD ، ذخيره اي است كه هنوز در طول فاصله زماني كه، با xD كه از فاز كارتل باقي مانده، مصرف مي شود( تخليه مي شود) . معادله (۱۳) مي گويد كه ، با xD معين، مقدار كور (shodovalue) به كارتلي كه بطور جانبي به ذخاير موجود در s‌اضافه مي شود، مشابه مقدار كوري است كه بطور جانبي به ذخاير (x(s) – xD) باقيمانده اضافه مي شود تا در طول فاصله زماني T-s باقيمانده تا انحلال ، تخليه شود مخصوصاً ، در مورد s=0 ، داريم :

(۱۴)
و با جايگزيني در رابطه (۱۲) داريم :
(۱۵)
كه (T , z(T , x0)) ، مقداري براي كارتل، در t=0 از واحد جانبي ذخيره تخليه شده توسط هريك از اعضاي آن در طول كل فاز كارتل مي باشد. بعلاوه، از رابطه (۱۳) مي دانيم كه :
(۱۶)
(۱۷)

بنابراين، شرايط درجه اول و درجه دوم (۸) و (۱۱) براي تعيين xD مي توانند به ترتيب بصورت زير نوشته شوند :
(۱۸)
(۱۹)
با جايگزيني (۱۵) در (۱۶) ، مي توانيم حل بي شرطي براي آن شرط بصورت زير بنويسيم :
(۲۰)

بنابراين (۲۱)
از آنجا كه با فرضيات A3 وA5 ، تابع سود، دقيقاً مقعد است و بنابراين سود جانبي (سمت چپ (۶)) كاهش مي يابد ، qc(t) تعريف شده و بي مانند است. اصول بعدي موضوع اكنون، مفيد مي شوند :
• اصل ۱ – در حالت تعادل ،
اثبات : با مشتق گيري از (۲۱) ، داريم.
كه از (۶):
(۲۲)

مخرجب با فرضيات A3 و A5 منفي مي شود. بنابراين :
كه قسمت (i ) را ثابت مي كند و
كه قسمت (ii) را ثابت مي كند.
اصل ۲ – xD(t , x0) تابعي با كاهش يكنواخت از T مي باشد.
اثبات : با مشتق گيري از (۱۸) با ثابت نگه داشتن x0 داريم :
مخرج، با شرط درجه دوم (۱۹) ، منفي است. درست مثل صرت كسر، آنرا از (۱۲) و (۱۳) مي دانيم، پس داريم :

مشتق گيري نسبت به s و استفاده از (۱) ، درمي يابيم كه :
يا با استفاده از ۰۱۶) و قرار دادن s=0 داريم :
با قسمت (iii ) از قضيه ۱ .
بنابراين، صورت كسر، مستقل از علامت  (T , z (T , x0)) ، مثبت مي شود.
اصل ۳ – براي هر x0>x يك T (x0)‌بي نظير وجود دارد طوريكه xD(T (x0 ) , x0)= x و برلي T>(<)T ، xD(T (x0) ,x 0 ) (>) x .

اثبات : از قضيه ۲ ، مي دانيم كه xD(T , x0) /  T<0 . بعلاوه ، xD (D,x0) = x0 ، چون هيچ فاز كارتلي وجود ندارد و lim xD (T , x0) = 0‌ چرا كه براي يك صاحب انحصار هيچوقت مطلوب نبوده كه مقداري از منبع را در Tm(x0) استخراج نشده باقي بگذارد. براي x0> بايد اين مورد باشد كه xD=x‌، xD=xD (t (x0) , x0) را از پايين، يكبار و فقط يكبار قطع مي كند.

فرض كنيد كه x0>. با فرضيه A6 و اصل ۳، خواهيم داشت و <)0) براي T>(<) T(x0) . كه در پي اين و شرط (۸) مي آيد كه اگر (x0) T= آنگاه (t)=0 . همينطور، اگر (x0) T> بايد داشته باشيم (t) >0 و اگر (x0) T> بايد داشته باشيم (t) >0 و اگر (x0) T< ، آنگاه براي همه t[O , T] بايد داشته باشيم (t) <0 . با جايگزيني (t) =0 در شرط (۶) ، مي يابيم كه اگر (x0) = T‌ ،

آنگاه كارتل ، در صورتي كه وجود داشته باشد، مي خواهد كه منبع را با نرخ ثابت qc(t)=qsm تخليه كند ، كه)/T qsm=(x0- ، نرخ ثابت خروجي را نشان مي دهد كه مي تواند براي يك صاحب انحصار استاتيكي، مطلوب باشد. از آنجا كه، با فرضيات A3 و A5 ، سمت چپ (۶) تابعي نزولي از qc(t)‌است،اگر (o) <0 باشد، خواهيم داشت qc(0)>qsum و اگر (o) >0 باشد، qc(O) <qsmمي باشد.

قضيه ۱ – براي هر x0>0 ، نرخ استخراج كارتل ، qc(t) ، t[O , T]‌، تابعي نزولي از طول فاز كارتل است.
اثبات : با مشتق گيري از (۲۰) نسبت به T داريم :

بوسيله () و قسمت (i) اصل (۱) .
بنابراين، براي هر x0، هر چقدر زمان پيش بيني شده تا انحلال، كوتاهتر باشد، نرخ خروجي كارتل بيشتري از خروجي انحصاري ديناميكي در هر زمان در مدت فاز كارتل، منشعب مي شود.
اكنون ممكن است مسير خروجي فاز كارتل را هنگاميكه x0> است، بصورت زير مشخص كنيم :
قضيه ۲ – براي هر x0> ، نرخ تخليه ذخاير منبع در طول فاز كارتل بصورت زير خواهد بود.
۱- صعودي به مرور زمان با شروع از qc(O) >qsm ، اگر T<T(x0)
2- ثابت در qc(O) =qsm ، اگر (x0) T=

۳- نزولي به مرور زمان با شروع از qc(O) <qsm اگر كه(x0) T>
اثبات : از شرايط (۶) و (۷)، مي دانيم كه وقتي (x0) T<(>) و بنابراين (T)<(>)0 ، در بالا برقرار شد. به همين دلايل، وقتي(x0) T= و بنابراين۰= (T) باشد، سود جانبي بايد صفر باشد و qc(t) بايد براي(x0)] t[۰ , ثابت باشد، به شرط اينكه ) / T (x0) qc(t) = qsm = (x0- ، و خروجي انحصاري استاتيك.