كنترل فعال متمركز و نامتمركز سازه‌هاي بلند در حالت سه بعدي با پسخورجابجايي و سرعت

نياز به ترازهاي ايمني بالاتر در سازه‌هاي بااهميت، تامين پايداري و ايجاد محدوديت‌هايي در خصوص ميزان لرزش به لحاظ احساس ايمني ساكنين در سازه‌هاي بلند از اهداف اصلي طراحان و مهندسان عمران مي‌باشد. در اين گونه سازه‌ها بكارگيري سيستم‌هاي كنترل ارتعاشات سازه‌اي به صورت فعال و غيرفعال مرسوم بوده و برخي از آنها نيز كاربردي شده‌اند. در اين مقاله كنترل متمركز سازه‌هاي بلند تشريح شده و در خصوص نامتمركز كردن اين كنترل به گونه‌اي كه بر رفتار كلي سازه تاثير مثبت داشته باشد، پژوهش گرديده است.

در اين پژوهش سازه به صورت سه بعدي مدل شده و الگوريتم كنترل فعال بهينه لحظه‌اي، با پسخور جابجايي و سرعت جهت حل معادلات كنترل استفاده شده است. روابط حاكم بر پايداري سازه در حالت نامتمركز و نوشتن الگوريتم حل معادلات به گونه‌اي كه پايداري سازه در كليه حالت‌ها برقرار باشد، بحث و اثبات گرديده و در انتها نمونه‌هاي عددي از حل روابط و معادلات حاكم با توجه به حالت‌هاي گوناگون از نامتمركزسازي كنترل در سازه‌‌هاي بلند ارائه شده است. يكي از حالت‌‌هاي نامتمركزسازي كنترل به تقسيم سازه اصلي با تعداد ۳n درجه آزادي به زيرسازه‌‌هايي با تعداد ۳ni درجه آزادي گفته مي‌شود كه مجموع تعداد درجه آزادي زير سازه‌ها برابر با تعداد درجه آزادي سازه اصلي مي‌باشد.
واژه‌هاي كليدي: سازه‌هاي بلند، متمركز، نامتمركز، سه بعدي، پسخور

۱٫ مقدمه
كنترل فعال (Active Control) ‌سازه‌ها به طور كلي شامل دو بخش الگوريتم‌هاي مورد نياز جهت بدست آوردن مقدار نيروي كنترل و مكانيزم‌هاي اعمال نيرو مي‌باشد. در اين نوع كنترل، از الگوريتم‌هاي گوناگوني كه داراي ديدگاه‌هاي كنترلي متفاوتي مي‌باشند، استفاده مي‌شود. الگوريتم‌هايي نظير كنترل بهينه، كنترل بهينه لحظه‌اي (Instantaneous Optimal Control)، جايابي قطبي (Pole Assignment)، كنترل فضاي مودي (IMSC)، پالس كنترل و الگوريتم‌هاي مقاوم (Robust) مانند ، ، كنترل مود لغزش (Sliding Mode Control) و غيره از جمله الگوريتم‌هاي به كار رفته در كنترل سازه مي‌باشند. با توجه به تعريف‌هايي كه از كنترل فعال توسط آقاي يائو (Yao) و ساير پژوهشگران شده است يك سيستم كنترل فعال شامل بخش‌هاي زير مي‌باشد (شكل ۱):

شكل ۱: الگوريتم كلي كنترل فعال سازه در حالت كنترل متمركز
سيستم‌هاي كنترل را مي‌توان در دو دسته سيستم‌هاي معمولي و سيستم‌هاي بزرگ مقياس (Large Scale Systems) در نظر گرفت. در سيستم‌هاي معمولي، كنترل سازه به صورت متمركز مناسب بوده و نيازي به تقسيم سيستم به سيستم‌هاي ريزتر نمي‌باشد ولي در سيستم‌هاي بزرگ مقياس نظير ساختمان‌هاي بلند و حجيم، اندازه سيستم كنترلي و حجم آن در انتقال و جابجايي اطلاعات و فرمان‌ها، به ويژه با توجه به اينكه نيروهاي لرزه‌اي در مدت زمان كوتاهي (كمتر از دقيقه) بر سازه وارد مي‌شوند، مشكل ايجاد كرده و تأخير زماني قابل توجهي در صدور فرمانها به وجود مي‌آورد. بر اين اساس تلاش مي‌شود تا هر بخش از سيستم به صورت مستقل كنترل شود. به هر بخش زيرسيستم گفته شده و يك سيستم از تعداد معيني زيرسيستم (Subsystem) تشكيل مي‌شود (شكل ۲).

شكل ۲: الگوريتم كلي كنترل فعال در حالت كنترل غيرمتمركز با سه زيرسيستم
شيوه ريز كردن يك سيستم به چند زير سيستم بستگي به طرح سيستم از نظر سازه‌اي، درجات آزادي آن و ميزان گستردگي فيزيكي آن دارد. كنترل غيرمتمركز در آغاز در مورد سيستم‌هاي قدرت بكار رفته و سپس توسط افرادي مانند يانگ و سيلژاك (Yanng & Siljack) گسترش يافته است. در اين كنترل، آقايان ونگ و ديويدسون (Wang & Davidson) مساله پايداري سيستم را بررسي كردند. آنها يك شرط لازم و كافي را براي اينكه سيستم تحت قوانين كنترلي با پس‌خور محلي و جبران‌سازي ديناميكي پايدار باشد، بيان كردند.

كنترل غيرمتمركز در مهندسي عمران اولين بار توسط ويليامز و ژو (Williams & Xu) در سازه‌هاي فضايي انعطاف‌پذير بررسي شد. سپس رياسيوتاكي و بوساليس (Ryaciotaki & Boussalis) از روش كنترل تطبيقي مدل مرجع (Reference Adaptive Control Theory Model) براي تعيين قانون كنترلي غيرمتمركز استفاده كردند. آقايان ديكس و همكاران (Dix et al)

چندين روش غيرمتمركز را براي سازه‌هاي فضايي بيان كردند. هينو و همكاران (Hino et al) در مورد مسئله كنترل يك سازه ساختماني چند درجه آزادي مانند يك ساختمان بلندمرتبه با بهره‌گيري از كنترل تطبيقي ساده غيرمتمركز بحث كرده‌اند. آقايان رفويي و منجمي‌نژاد (Rofooei & Monajeminejad) نسبت به كنترل نامتمركز سازه‌هاي بلند با بهره‌گيري از كنترل بهينه لحظه‌اي اقدام نمودند. آنها ابتدا به بررسي دلايل ضرورت استفاده از كنترل غيرمتمركز پرداخته شده و سپس با طراحي كنترل‌كننده‌ها و ماتريس بهره (Gain Matrix) به بررسي دو حالت كنترل يكي با بهره‌گيري از پس‌خور سرعت و ديگري كنترل با بهره‌گيري از پس‌خور سرعت و جابجايي پرداختند.

آقايان منجمي‌نژاد و رفويي در ارتباط با كنترل غيرمتمركز در سازه‌هاي بلند، به بررسي الگوريتم مود لغزشي (Sliding Mode) به صورت غيرمتمركز پرداختند. مراحل طراحي كنترل‌كننده در روش مود لغزشي شامل دو مرحله است. مرحله اول شامل طراحي سطوح لغزش بوده و مرحله دوم طراحي رابطه كنترل يا قانون رسيدن (Reaching Law) را در بر مي‌گيرد. بايد توجه داشت كه نامتمركز بودن كنترل، قابليت اعتماد را به پايداري سيستم افزايش داده و در صورت از كار افتادن كنترل يكي از زيرسيستم‌ها، سيستم كنترل دچار آسيب كلي نخواهد گرديد. كنترل نامتمركز مي‌تواند در دو حالت با درنظر داشتن تاثيرات درجات آزادي مشترك بين زيرسيستم‌ها و يا بدون درنظر داشتن اين تاثيرات انجام شود كه البته در حالت با درنظر داشتن تاثيرات درجات آزادي به پايداري هر زيرسيستم و كل سيستم كنترل مي‌توان اطمينان بيشتري داشت.

در اين مقاله كنترل متمركز و نامتمركز سازه‌هاي بلند در حالت سه بعدي با درنظر داشتن درجات آزادي مشترك بين زيرسازه‌ها و اثر دوگانه آنها بر يكديگر بررسي گرديده است. الگوريتم مورد استفاده كنترل بهينه لحظه‌اي‌ (Instantaneous Optimal Control) مي‌باشد كه توسط آقايان يانگ و همكارانش بسط داده شده و از پس‌خور سرعت و پسخور سرعت و جابجايي جهت محاسبه نيروهاي كنترل استفاده گرديده است. روش نامتمركز كردن كنترل در اين مقاله بر اساس تعداد درجات آزادي بوده و براي هر دو جهت x و y الگوريتم محاسبه نيروهاي كنترل يكسان مي‌باشد. نمونه‌هاي عددي نيز با بكارگيري الگوريتم كنترل نامتمركز حل و نتايج آنها با حالت كنترل متمركز مقايسه گرديده و ارائه شده‌اند.

۲٫ الگوريتم حل
۱-۲٫ روابط حالت متمركز و نامتمركز و مقايسه آنها
ساختمان بلند با n3 درجه آزادي و n طبقه شكل ۳ در نظر گرفته شده و تحت اثر شتاب زمين قرار داده مي‌شود. در حالت پيچشي فرض مي‌شود سازه با سيستم كنترل ارتعاشي مجهز شده است. اگر جابجايي نسبي ترازهاي مختلف سازه بلند نسبت به تراز پايه باشد، معادله حركت سيستم ارتعاشي به شكل ماتريسي زير مي‌تواند نوشته شود:

در اين حالت، ماتريس‌هاي و U زير مي‌توانند تعريف شوند:
بردار تغيير مكان درجات آزادي سازه:

بردار نيروهاي كنترل

كه در آن: n: تعداد طبقات ساختمان و ۳a: تعداد كنترل كننده‌ها مي‌باشد.
ماتريس جرم [M]، با فرض متمركز بودن جرم سازه در هر طبقه ماتريسي قطري مي‌باشد:

ماتريس سختي خواهد شد:

بردار ضريب تاثير لرزه سازه به صورت زير مي‌باشد:

ماتريس ميرايي از نظر شكلي، شبيه ماتريس سختي است، با اين تفاوت كه مقادير Cyi, Cxi و Cθi جايگزين مقادير Kθi, Kyi, Kxi مي‌شوند.

كه ضرايب ميرايي سيستم در هر طبقه مي‌باشد.
در اين روابط xi‌ را مي‌توان به دو صورت زير تعريف كرد:
xi: جابجايي طبقه i-ام نسبت به يك دستگاه اينرسي (تغيير مكان نسبي) xi: جابجايي طبقه i-ام نسبت به طبقه زيرين آن (Drift)
H در حالتي كه x جابجايي نسبت به دستگاه اينرسي باشد به صورت زير است:

در فضاي حالت با تعريف بردار حالت، معادله سيستم به صورت زير در مي‌آيد: (در حالت ميرايي)

حال اگر مطابق شكل (۲) هرچند طبقه كنار هم به صورت يك زيرسيستم برگزيده شود، در اين صورت براي موردي كه سه زيرسيستم تعريف گردد، مي‌توان روابط زير را نوشت:

كه در آن بردار ، بردارهاي جابجايي طبقات و U1, U2, U3 بردارهاي نيروي كنترل مي‌باشد.

در آن xi: جابجايي طبقه iام نسبت به دستگاه اينرسي و Uk نيروي كنترل kامين كنترل كننده مي‌باشد.
براي هر زيرسيستم مي‌توان معادلات زير را نوشت:

براي بردن معادلات هر زيرسيستم به فضاي حالت، براي زيرسيستم مياني (شماره ۲) خواهيم داشت:

براي زيرسيستم‌هاي ۱ و ۳ نيز به روش مشابه مي‌توان معادله حالت را بدست آورد. در حالت كلي در فضاي حالت اين معادلات به صورت زير مي‌شود:

در حالت كلي اگر يك سيستم به N زيرسيستم و هر يك با ni طبقه تقسيم شود، معادله كلي زيرسيستم iام در فضاي حالت برحسب جابجايي طبقات نسبت به دستگاه اينرسي به صورت زير درمي‌آيد:

كه در آن Ui: فرمان كنترلي زيرسيستم كنوني و Ui-1: فرمان كنترلي زيرسيستم قبلي (فوقاني) است.
همين‌طور كه از اين رابطه ديده مي‌شود در اين حالت معادله يك زيرسيستم به فرمان‌هاي كنترلي زيرسيستم فوقاني آن بستگي دارد.
۳٫ طراحي كنترلرها
بر اساس معادله فضاي حالت مقدار نيروي كنترلها تابعي از جابجايي و سرعت مي‌باشد و مي‌توان نوشت:

كه در حالت سه بعدي اگر كليه درجات آزادي داراي كنترل باشد، ماتريس G ماتريسي ۳n×۶n بوده و اگر در تعداد a طبقه داراي كنترل باشيم، ماتريس به ابعاد ۳a×۶n است.
در اين رابطه ماتريس‌‌هاي R و Q ماتريس‌هاي وزني مي‌باشند. ماتريس Q در حالت سه بعدي جمع سه ماتريس Qt, Qy, Qx مي‌باشد:
Q=Qx+Qy+Qt
در رابطه بالا هر يك از ماتريس‌هاي Qt, Q¬y, Qx, Q به شرح زير مي‌تواند تعريف شود:

با توجه به مستقل بودن روابط در جهت x, y، مولفه‌هاي qxy¬, qyx صفر خواهند بود. به روش مشابه مي‌توان براي Qx6n*6n، Qt, Qy نيز روابط زير را نوشت:

كه اگر اين سه ماتريس در رابطه كلي پايداري لياپانوف جايگذاري شود، مي‌توان نوشت:
AT.Q+Q.A=A¬T(Qx+Qy+Qt)+(Qx+Qy+Qt)A=-Io
(A¬TQx+QxA)+(A¬TQy+QyA)+ (A¬TQt+Qt.A)=-Iox-Ioy-Iot
با تو جه به استقلال عمل نسبي هر يك از سه راستا مي‌توان رابطه كلي بالا را به سه رابطه جداگانه تبديل كرد:

طراحي كنترلرها براي حالت با پسخور جابجايي و سرعت
در اين حالت براي رابطه كلي نيز بايد ماتريس Io مثبت و نيمه معين باشد و با توجه به اينكه ماتريس Q=Qx+Q¬y+Qt است، با فرض مولفه‌هاي

و اعمال اين مولفه‌ها در رابطه زير مي‌توان نوشت (براي نمونه جهت x):

به روش مشابه مي‌توان براي ساير راستاها نيز اين مساله را اثبات نمود. با توجه باينكه ρ يك عدد كوچك بزرگتر از صفر مي‌باشد ( ) در نتيجه ماتريس Io مي‌تواند به گونه‌اي تعريف شود كه مثبت و نيمه معين باشد و در اين صورت پايداري سيستم تامين و تضمين مي‌شود.
با جايگذاري ماتريس Q پيشنهادي در رابطه ماتريس بهره (Gain Matrix) اين ماتريس به شكل زير درخواهد آمد:

در اين حالت نيز مي‌توان ماتريس G با ابعاد ۳n*6n را تعريف نمود كه بوده و عناصر قطري با عرض باند ۶ و غيرصفر بوده و ساير مولفه‌ها صفر مي‌باشند.
حال اگر فرض شود كه سيستم با ۳n درجه آزادي به سه زيرسيستم با درجات آزادي ۳n3, 3n2, 3n1 تقسيم شود و ۳n=3n1+3n2+3n3 باشد، مي‌توان براي ماتريس G تقسيم‌بندي زير را انجام داد:

و در نتيجه براي نيروهاي كنترل اعمالي بر هر زيرسيستم مي‌توان روابط زير را براي ماتريس بهره آنها نوشت:

كه مشابه حالت با پسخور سرعت، با توجه به ارتباط نداشتن زيرسيستم‌‌هاي يك و سه و نبودن ارتباط معكوس بين زيرسيستم‌هاي همسايه، ماتريس‌هاي G در آنها صفر بوده و و جود خارجي ندارند.
نيروهاي كنترل براي هر زيرسيستم مي‌توانند به صورت زير نوشته شوند:

۴٫ نمونه عددي
براي بررسي عددي الگوريتم پيشنهاد شده و اثبات يكي بودن نتايج دو حالت كنترل متمركز و نامتمركز اين نمونه ارائه شده است. در اين نمونه يك ساختمان ۲۵ طبقه موردنظر است كه جرم كليه طبقات آن يكسان فرض شده و برابر ton750mi= مي‌باشد. سختي هر ۵ طبقه با يكديگر يكسان و سختي از ترازهاي پايين به بالا كاهش مي‌يابد. مقدار اين سختي در ۵ طبقه پايين برابر MN/m4500 و در ۵ طبقه آخر MN/m900 است. ماتريس ميرايي نيز برابر K×۰۵/۰=C درنظر گرفته شده است. زمان تناوب ۵ مود اول لرزش سازه به ترتيب برابر ۲۱/۰،

۲۷۵/۰، ۳۹/۰، ۶۴/۰ و ۵۸/۱ بوده و از مولفه S-E زلزله طبس ۱۳۷۵ (۱۹۷۸) با PGA=0.84g به عنوان برانگيختگي بيروني اعمالي به سازه بهره گرفته شده است. در اين سازه فرض شده در كليه ترازها عملگر (actuator) وجود داشته و سازه در حالت غيرمتمركز با تعداد درجات آزادي گوناگوني در هر زيرسيستم بررسي خواهد گرديد. براي كنترل سازه از الگوريتم كنترل بهينه لحظه‌اي با ماتريس‌هاي وزني زير استفاده شده است:

با توجه باينكه سازه داراي سه درجه آزادي (طولي، عرضي و پيچشي) در هر تراز مي‌باشد. ماتريس I و Q به ترتيب ابعاد ۷۵×۷۵ و ۱۵۰×۱۵۰ را خواهند داشت. ماتريس بهره در حالت با پسخور جابجايي و سرعت بوده و در اين ماتريس و كليه قسمت‌هاي محاسبات برابر S 005/0= مي‌باشد، شبيه‌سازي و مدل در محيط matlab بوده و نتايج در حالت‌هاي مختلف بررسي شده‌اند.
در نمونه حاضر سختي سازه در هر دو جهت x, y يكسان درنظر گرفته شده و ورودي شتابنگاشت زلزله در اين دو راستا يكي مي‌باشد ورودي شتابنگاشت پيچشي بر سازه وارد نمي‌شود.