متغير تصادفي

تابعي است از فضاي نمونه به مجموعه اعداد حقيقي كه به هر پيشامد ساده از فضاي نمونه يك عدد حقيقي نسبت دهد.
تكيه گاه يك متغير تصادفي:

مجموعه مقاديري كه يك متغير تصادفي اخذ مي كند (برد متغير تصادفي) را تكيه گاه يك متغير تصادفي مي گوييم.
متغيرهاي تصادفي پيوسته و گسسته:

متغير تصادفي پيوسته:
اگر تكيه گاه يك متغير تصادفي به صورت يك فاصله از مجموعه اعداد حقيقي باشد متغير متغير تصادفي را از نوع گسسته گوييم.
متغير تصادفي گسسته:

اگر تكيه گاه يك متغير تصادفي به صورت يك مجموعه متتاهي يا يك مجموعه متناهي شما را باشد، متغير تصادفي را از نوع گسسته گوييم.
مثال ۱: سكه اي را آنقدر پرتاب مي كنيم تا براي اولين بار شير بيايد. اگر متغير تصادفي x را برابر پيشامد زوج بودن شماره پرتاب هاي لازم تا مشاهده اولين شير درنظر بگيريم، تكيه گاه و نوع متغير تصادفي x را مشخص كنيد.

نوع متغير، تصادفي گسسته است.
مثال ۲: از داخل دايره اي به شعاع R نقطه اي به تصادف انتخاب مي كنيم و متغير تصادفي y را برابر فاصله انتخابي تا مركز دايره درنظر مي گيريم. تكيه گاه و نوع اين متغير تصادفي را بيابيد.

نوع آن پيوسته است.

توابع تصادفي در حالت پيوسته و گسسته
• تابع احتمال در حالت گسسته: تابعي كه توزيع احتمال را روي تكيه گاه يك متغير تصادفي مشخص مي كند را تابع احتمال متغير تصادفي گسسته گوييم كه معمولاً با علامت نمايش مي دهيم.
ويژگي هاي تابع احتمال گسسته
۱٫
۲٫
مثال ۳: تابع زير را درنظر بگيريد:

الف) مقدار k را چنان بيابيد كه تابع احتمال متغير تصادفي گسسته y باشد.
ب) احتمالات زير را بيابيد.

الف)

ب)

مثال ۴: ظرفي محتوي ۲ مهره سياه و ۳ مهره سفيد است. از داخل ظرف ۳ مهره انتخاب مي كنيم. اگر X نشان دهنده تعداد مهره هاي سفيد در بين ۳ مهره انتخابي باشد، تابع چگالي احتمال X را در حالت هاي زير بيابيد.
الف) مهره ها با جايگزيني انتخاب شوند.
ب) مهره ها با هم خارج شوند.
الف:

ب:

• تابع احتمال در حالت پيوسته: تابعي كه چگونگي توزيع احتمال را براي متغير تصادفي پيوسته X روي تكيه گاه آن مشخص مي كند را تابع احتمال متغير تصادفي پيوسته X گوييم كه آن را با علامت نمايش مي دهيم.
ويژگي هاي تابع احتمال پيوسته
۱٫
۲٫
نكته: در صورت مشخص بودن تابع چگالي احتمال متغير تصادفي x، آنگاه احتمال اينكه X بين دو مقدار a, b قرار گيرد برابر است با:

مثال ۵: متغير تصادفي x داراي تابع چگالي احتمال زير مي باشد. مطلوب است:
الف) مقدار K.
ب) احتمال پيشامد را بر حسب a.
ج) احتمال پيشامد .

الف:

ب:

ج:

مثال ۶: متغير تصادفي X داراي تابع چگالي احتمال زير است. مقدار k را بيابيد.

تابع توزيع
براي هر عدد حقيقي x فاصله نيم بازي به صورت و متغير تصادفي x را درنظر مي گيريم. احتمال اينكه X در اين فاصله نيم باز باشد، برابر است با:

اين احتمال يك تابع نقطه اي از x است كه آن را با نمايش مي دهيم و تابع توزيع X مي ناميم.
تابع توزيع پيوسته و گسسته
تعريف تابع توزيع گسسته:
اگر x يك متغير تصادفي گسسته روي يك مدل احتمال باشد براي هر داريم:

تعريف تابع توزيع پيوسته:
اگر x يك متغير تصادفي پيوسته باشد، آنگاه تابع توزيه برابر است با:

با توجه به تعريف تابع توزيع داريم:

اگر X يك متغير تصادفي گسسته با تابع توزيع باشد، آنگاه داريم:

خواص تابع توزيع:
۱٫ براي هر داريم:

۲٫ يك تابع غيرنزولي است، يعني:

۳٫

۴٫ براي هر عدد حقيقي تابع از راست پيوسته است، يعني:

مثال ۷: متغير تصادفي x داراي تابع احتمال چگالي زير است:

الف) مقدار k را بيابيد.
ب) تابع توزيع آن را بدست آوريد.

مثال ۸: تابع توزيع در حالت پيوسته:
نقطه M رابه تصادف داخل دايره اي (c) به شعاع ۴ و مركز o انتخاب مي كنيم. فرض كنيد متغير تصادفي x اندازه پاره خط oM باشد. تابع توزيع X را بيابيد.
X مي تواند يكي از اعداد فاصله نيم باز را بپذيرد.

مساحت دايره CX
مساحت دايره C

مثال ۹: تابع توزيع در حالت گسسته: يك كلاس ۱۱ شاگرد دارد. ۵ نفر از اين شاگردان ترم ۳ كامپيوتر و ۶ نفر ديگر ترم ۵ عمران هستند. از اين كلاس ۲ شاگرد به تصادف و بدون جايگذاري انتخاب مي كنيم. اگر متغير تصادفي x ميانگين ترم ۲ شاگرد انتخابي باشد:
الف) تابع احتمال و تابع توزيع متغير تصادفي x را بيابيد.
ب) احتمال را بيابيد.
حل.

الف:

ب:

توزيع تابع احتمالات دو متغيره
اگر y, x دو متغير تصادفي باشند، توزيع احتمال براي وقوع همزمان آنها به صورت تابع دو متغيره نشان داده مي شود و معمولاً آنرا توزيع احتمال توام Y, X گويند.
اگر y, x دو متغير تصادفي گسسته باشند، يعني تابع به فرم زير تعريف مي شود.

كه نتايج Y, X به صورت همزمان اتفاق مي افتد.
تعريف: تابع را يك تابع احتمال توام متغير تصادفي گسسته y, x گويند هرگاه داشته باشيم:
۱٫ به ازاي هر y, x:
2.
نكته: براي محاسبه احتمال قرار گرفتن y, x در يك ناحيه A در صفحه XY به صورت زير عمل مي كنيم:

توزيع احتمالات حاشيه اي:
با داشتن تابع احتمال توام متغير تصادفي y, x مي توان تابع احتمال X به تنهايي و Y به تنهايي را محاسبه كرد كه به آنها توابع احتمال حاشيه اي گويند.
تابع احتمال حاشيه اي y, x در متغيرهاي تصادفي گسسته برابر است با:

متغيرهاي تصادفي مستقل:
اگر توزيع احتمال توام متغير تصادفي گسسته (X,Y) در (x,y) باشند و به ترتيب توزيع هاي حاشيه اي Y, X به ازاي y, x باشند، دو متغير y, x را مستقل گويند اگر و تنها اگر به ازاي تمام مقادير (x,y) داشته باشيم:

مثال ۱۰: از داخل جعبه‌اي كه شامل ۳ توپ آبي، ۲ توپ قرمز و ۴ توپ سبز است، به تصادف يك به يك و بدون جايگذاري انتخاب مي‌كنيم. اگر x توپ‌هاي آبي و y توپ‌هاي قرمز باشند، مطلوب است:
الف) تابع احتمال توام و حاشيه‌اي y, x.
ب)
ج) آيا دو متغير y, x مستقلند؟

حل.
الف:

با محاسبه احتمالات مربوط به نقاط ديگر جدول توزيع احتمالات توام X, Y به صورت زير بدست مي‌آيد:
X
Y 0 1 2 fyy

۱

تابع احتمالات توام x, y را به صورت زير نيز مي‌توان نوشت: