قبل از مطالعه‌ي مطالب اصلي مقاله دانستن قضاياي زير الزامي است:
قضيه ۲۰٫۲٫۱ ]قضيه ۲٫۲؛۲[ فرض كنيد R يك حلقه‌ي جابجايي باشد، آن گاه متناهي است اگر و تنها اگر R متناهي باشد يا حوزه صحيح باشد. به ويژه اگر آن گاه R متناهي است و ميدان نمي باشد.

برهان : فرض كنيد =Z(R)* متناهي و ناتهي است. آن گاه x,y غير صفر از ۱R وجود دارد كه xy=0. فرض كنيد I=ann(x) آن گاه متناهي است و براي هر . اگر R نامتناهي باشد آن گاه وجود دارد كه نامتناهي است و براي هر ، (r-s)y=0 بنابراين نامتناهي است و اين يك تناقض مي باشد پس R بايد متناهي باشد.

قضيه ۲۱٫۲٫۱ ]قضيه ۲٫۳؛۲[ فرض كنيد R يك حلقه‌ي جابجايي باشد. آن گاه همبند است و و مجاور باشند. اگر xy=0 آن گاه d(x)y)=1. حال فرض كنيم ، اگر x2=y2=0 آن گاه x-xy-y مسيري به طول ۲ مي باشد بنابراين d(x,y)=2. اگر x2=0 و آن گاه وجود دارد: با by=0. اگر bx=0 آن گاه x-b-y مسيري به طول ۲ مي باشد، اگر ، آن گاه x-bx-y مسيري به طول ۲ مي باشد. يعني d(x,y)=2. به طور مشابه اگر y2=0 و . بنابراين فرض مي كنيم x2,xy,y2 غير صفر باشند، بنابراين وجود دارد: به طوري كه ax=by=0 . اگر a=b آن گاه x-a-y مسيري به طول ۲ مي باشد. پس . اگر ab=0 آن گاه x-a-y مسيري به طول ۳ مي باشد. بنابراين و اگر آن گاه x-ab-y مسيري به طول ۲ مي باشد بنابراين و مي باشد.

قضيه ۲۲٫۲٫۱ ]قضيه ۲٫۱۳؛ ۲[ فرض كنيد R يك حلقه جابجايي متناهي با باشد آن گاه گراف ستاره است اگر و تنها اگر كه F ميدان متناهي است .
برهان : فرض كنيد يك گراف ستاره است و با توجه به نتيجه‌ي ۲۳٫۲٫۱ ولم ۲۴٫۲٫۱ كه در ادامه آماده است مي توان فرض كرد (R,M) موصفي است و براي و فرض كنيد M=ann(x) و را به طور دلخواه درنظر مي گيريم كه ab=ac=ad=x چرا كه و بنابراين a(b-d)=a(b-c)=0 توجه كنيد كه ann(a)={a,x} و b-c=b-d=2 بنابراين c=d كه x است پس و حكم ثابت شد.

نتيجه ۲۳٫۲٫۱ ]نتيجه ۷-۲؛ ۲[ فرض كنيد R يك حلقه ‌ي جابجايي متناهي است آن گاه يك رأس وجود دارد به طوري كه با همه‌ي رئوس مجاور است اگر و تنها اگر كه F ميدان متناهي است يا R حلقه‌ي موضعي مي باشد. به علاوه براي عدد اول P و عدد اگر و اگر R موصفي باشد مي باشد.
لم ۲۴٫۲٫۱ فرض كنيد R يك حلقه جابجايي متناهي باشد. اگر دقيقاً يك رأس مجاور با همه‌ي رئوس داشته باشد آن گاه كه F ميدان متناهي است با يا R موصفي است با ايده ال ماكسيمال M كه و بنابراين يا ۲n-1 براي عدد اول P و .
فصل دوم
۱٫۲-شعاع
تعريف ۱٫۱٫۲ دريك گراف همبند G، ماكسيمم فاصله بين دو رأس مجزا در G را قطر (diameter) گراف مي ناميم.
تعريف ۲٫۱٫۲ براي هر رأس x از گراف همبند Gماكسيمم فاصله x تا رئوس ديگر خروج از مركز x (eccentricity) ناميده مي شود و با نماد e(x) نمايش مي دهيم.
تعريف ۳٫۱٫۲ مجموعه رئوس با خروج از مركز مي نميال را مركز گراف مي ناميم. (center)
تعريف ۴٫۱٫۲ دريك گراف همبند G مي نيمم مقدار خروج از مركز گراف G را شعال (radius) گراف G مي ناميم. (در ادامه خواهيم گفت كه قطر و شعاع گراف G صفر است اگر G يالي نداشته باشد و مواردي كه مجموعه رئوس گراف تهي است را بررسي نمي كنيم)

مثال ۵٫۱٫۲ درگراف پترسن (petersen) قطر، ۲، خروج از مركز، ۲ و مركز مجموعه اي شامل تمامي رئوس و شعال گراف نيز ۲ مي باشد.

مثال ۶٫۱٫۲ ]تمرين ۲٫۱٫۴۷؛۱۵[ مي دانيم كه اگر يك گراف همبند با شعاع r و قطر d داشته باشيم آن گاه مي باشد. حل:
diam G=d(x0,y0¬)
d(x0¬,y0)<d(x0,z)+d(y0,z)طبق نامساوي مثلث :
radG=d
e(z)=radG : e(z)= max d(z,f)
rad G= min e(p) = e(z)
e (x0)= max d (x0,f) = d (x0y0): diam G= maxe (p) = e (x0)
d(x0,y0)< d (x0,z)+d(y0z) = e(z)+ e(z) = 2e(z) = 2rad G
درقضيه ۲۰٫۲٫۱ نشان داده شده است كه اگر R يك حلقه ي جابجايي باشد آن گاه همبند است و حداكثر ۳ قطر دارد. درزير مثال هايي از حلقه ها با گراف مقسوم عليه صفري با قطر ۰، ۱، ۲، يا ۳ آورده شده است

.
مثال ۲٫۱٫۲ قطر گراف ، ۲ قطر گراف و ، ۱ و قطر و ، ۰ مي باشد.

علاوه براين درقضيه ۲۱٫۲٫۱ نشان داده ايم كه متناهي است و ناتهي است اگر و تنها اگر R متناهي باشد يا حوزه صحيح نباشد.
در ادامه نتايج زير را اثبات مي كنيم: شعاع گراف مقسوم عليه صفر از هر حلقه‌ي جابجايي و يكدار نوتري كه حوزه صحيح نباشد . و ۱و يا ۲ مي باشد. گراف مقسوم عليه صفر از يك حلقه R داراي شعاع دقيقاً صفر است وقتي كه گراف دقيقاً ۱ رأس داشته باشد. در ]۲٫۱ مثال ؛ [ اثبات شده است كه R ايزومري است با يا .

داراي دقيقاً يك رأس مي باشد. X0
توجه كنيد كه هر گراف G با شعاع ۱ لزوما حداقل يك رأس متصل به رئوس ديگر دارد . در ادامه دو نتيجه مهم بيان شده است . ]نتيجه هاي ۲٫۷و۲٫۶ ؛ ۲[
قضيه ۸٫۱٫۲ فرض كنيد R يك حلقه جابجايي و يكدار نوترمي باشد . آنگاه يك رأس از وجود دارد كه با همه رأس هاي ديگر مجاور است اگر وتنها اگر يك حوزه صحيح است يا Z(R) يك ايده آل R است . به علاوه اگر R متناهي باشد آنگاه يك رأس از وجود دارد كه با همه رأس هاي ديگر مجاور است يا R حلقه موضعي مي باشد .

برهان : ۱ فرض كنيد (R) Z ايده آل پوچ ساز نباشد ، يك رأس مجاور با رئوس ديگر باشد. و‌ در غير اين صورت z(R)=z يك ايده آل پوچ ساز باشد . بنابراين I در بين پوچ ساز ماكسيمال مي باشد . پس ايده آل اول مي باشد . اگر آن گاه a3=2a=0 و بنابراين كه تناقض مي باشد . پس a2=aو‌‌‌ بنابراين مي توان فرض كرد R=R1*Rz و رأس (۰ ,۱) كه مجاور با رئوس ديگر مي باشد . براي و راس c,0 يك مقسوم عليه صفر مي باشد (c,0)=(c,0)(1,0)=(0,0) كه تناقض است مگر آنكه c =0 . بنابراين . اگر R2حوزه صحيح نباشد آن گاه وجود دارد كه (۱,b) يك مقسوم عليه صفر (R) است كه با (۱و۰) مجاور نيست و اين يك تناقض مي باشد پس R2 بايد حوزه صحيح باشد . Z(R) پوچ ساز نبود پس در بين ايده آل هاي ماكسيمال است پس اول مي باشد

.
اگر براي هر حوزه صحيح كه (۱ و۰ ) با رئوس ديگر مجاور مي‌باشد .
نتيجه ۹٫۱٫۲ فرض كنيد R يك حلقه جابجايي ويكدار نوتر مي باشد شعاع صفر است اگر وتنها اگر يا شعاع ، ۱ است اگر وتنها اگر كهA حوزه صحيح است ، يا Z(R) يك ايده آل R ميباشد به علاوه اگر R متناهي باشد شعاع ، ۱ است اگر وتنها اگر كه F يك ميدان متناهي است يا R حلقه موضعي است.
برهان : با توجه به قضيه بديهي مي باشد .
قضيه ۱۰٫۱٫۲ فرض كنيد R يك حلقه جابجايي و يكدار نوتر ميبا شد كه حوزه صحيح نيست آنگاه شعاع حداكثر ۲ مي باشد.
برهان: طبق نتيجه‌ي قبل فرض مي كنيم Z(R) ايده آل نباشد. دو حالت درنظر مي‌گيريم.
۱- R حلقه‌ي تحويل يافته باشد.
۲- Rحلقه‌ي تحويل نيافته باشد