خلاصه‌ي مطالب
برآن شدم تا با تلاش مستمر مطالبي را از نظر گراميتان بگذرانم كه بديع باشد و قابل ارائه، اميدوارم رضايت خاطر شما خوانندگان گرامي را جلب نمايم. دراين‌جا خلاصه‌اي از مطالبي كه مطالعه خواهيد كرد آورده شده است.

دريك حلقه‌ي جابجايي و يكدار R، گراف مقسوم عليه صفر ، گرافي است كه رأس هاي آن مقسوم عليه هاي صفر غيرصفر R مي باشند كه درآن دو رأس مجزاي xو y مجاورند هرگاه xy=0. اين مقاله اثباتي براين مطلب است كه اگر R نوتري باشد آن گاه شعاع ،۰،۱ و يا ۲ مي باشد و نشان داده مي‌شود كه وقتي R آرتيني مي‌باشد اجتماع مركز با مجموعه {۰} اجتماعي از ايده آل هاي پوچ ساز است. زماني كه مركز گراف مشخص شده باشد مي توان قطر را تعيين كرد و نشان داده

مي‌شود كه اگر R حلقه‌ي متناهي باشد آن گاه ميانه زير مجموعه اي از مركز آن است. زماني كه R آرتيني باشد با به كاربردن عناصري از مركز مي‌توان يك مجموعه‌ي غالب از ساخت و نشان داده مي شود كه براي حلقه‌ي متناهي ، كه F ميدان متناهي است، عدد غالب مساوي با تعداد ايده آل هاي ماكسيمال مجزاي R است. و هم‌چنين نتايج ديگري روي ساختارهاي بيان مي‌شود.
واژه هاي كليدي
مجموعه هاي مركزي؛ حلقه‌ي جابجايي؛ مقسوم عليه صفر؛ گراف مقسوم عليه صفر

فصل اول
۱-مقدمه
حلقه‌ي جابجايي و يكدار R داده شده است. گراف مقسوم عليه صفر، ، گرافي است كه رأس هاي آن مقسوم عليه هاي صفر غيرصفر حلقه R مي باشند، بين دو رأس مجزاي x و y يال وجود دارد اگر وفقط اگر xy=0 باشد. گراف مقسوم عليه صفر حلقه‌ي R با نشان داده مي شود. اين تعريف از ابتدا توسط livings Ston (1999) و Anderson بيان شد كه تعداد زيادي از ويژگي هاي اساسي مورد بررسي قرار گرفت. تعريف اصلي توسط Beck (1988) و Nasser (1993) و Anderson بيان شد كه همه‌ي عناصر حلقه به عنوان رأس هاي گراف انتخاب مي شدند.

و Anderson et al.(2001) , De meyer and Schnieider (2002), Smit (2002) مقاله‌هاي ديگري درارتباط با گراف مقسوم عليه صفر از حلقه هاي جابجايي ارائه دادند. اين ساختار هاي گرافيكي به شكل موضوع هاي جبري ديگر توسط Cannon et al.(2005) and DeMeyer et al.(2002), Redmond (2002)2003,2004) تعميم داده شده است، كه در ادامه به آن مي پردازيم.

درطول اين پژوهش برآنيم كه نتايجي را روي حلقه هاي يكدار و جابجايي متناهي بيابيم. اين نتايج براي عمومي ترين موارد ممكن بيان مي شود. هدف ارائه دادن همه‌ي نظريه هاي كاربردي از مركزيت گراف و تحقيق درمورد مفاهيم تقريباً محض از گراف هاي مقسوم عليه صفر مي باشد. ابتدا نشان داده مي شود كه شعاع هاي گراف مقسوم عليه صفر يك حلقه نوتري و جابجايي و يكدار ۰، ۱، ۲ مي‌باشد. اين قضيه دربخش هاي بعدي براي تعريف خصوصيات سه مجموعه مركزي (مركز،

ميانه و مجموعه هاي غالب با اندازه‌ي مي نيمال) درگراف هاي مقسوم عليه صفر از حلقه‌هاي جابجايي و يكدار به كاربرده مي شود. و نيز ارتباط بين اين مجموعه ها مورد بررسي قرار مي گيرد. به عنوان پيامدي از اين نتايج، ويژگي هاي ديگري از را بيان مي كنيم كه از جمله‌ي آن ها قطر و كران ها روي تعداد يال هاي گراف مي‌باشد.
۲-پيش نيازها

بالطبع لازمه‌ي پردازش به مبحث مجموعه هاي مركزي و شعاع ها در گراف هاي مقسوم عليه صفر حلقه هاي جابجايي واقف بودن به تعاريفي است كه آن را بايد پيش نياز ناميد:
تعريف ۱٫۲٫۱ پوچ ساز (annihilator) x مجموعه‌ي عناصر مي باشد به طوري كه xy=0 به عبارت ديگر
تعريف ۲٫۲٫۱عنصر ناصفر x درحلقه‌ي R را يك مقسوم عليه صفر (zero dirisor) گوييم هرگاه عنصر ناصفري از R مانند موجود باشد به طوري كه xy=0.
مجموعه‌ي مقسوم عليه هاي صفر حلقه‌ي R را با Z(R) نشان مي دهيم كه به صورت زير مي‌باشد:

تعريف ۳٫۲٫۱عنصر راعنصر پوچ توان R (nillpotent) مي ناميم هرگاه موجود باشد به طوري كه xn=0.

تذكر: بديهي است كه هر عنصر پوچ توان يك مقسوم عليه صفر حلقه مي‌باشد.
تعريف ۴٫۲٫۱ پوچ راديكال (nillradical) حلقه‌ي R ايده آلي شامل همه‌ي عناصر پوچ توان حلقه R مي باشد كه به صورت nill (R) نمايش داده مي شود.
تعريف ۵٫۲٫۱اشتراك همه‌ي ايده آل هاي ماكسيمال حلقه‌ي R را راديكال جيكوبسن R (Jacobson) مي ناميم و با J(R) نمايش مي دهيم.
تعريف ۶٫۲٫۱ حلقه‌ي R راتحويل يافته يا تقليل يافته (reduced) مي ناميم هرگاه عنصر پوچ توان غيرصفر نداشته باشد.

اكنون مروري داريم بر بعضي از تعريفات و نمادهاي نظريه گراف:

تعريف ۷٫۲٫۱گرافي مانند G=(V,E) ساختاري است مركب از يك مجموعه‌ي متناهي مانند V از رئوس (گره ها) كه با نماد V(G) نشان داده مي شود و يك زير مجموعه از زير مجموعه هاي دو عنصري V مانند E از يال ها، و دو رأس از V مانند w,v مجاورند اگر يالي مانند e از E آن دو را به هم وصل كند. يالي كه رأسي را به خودش وصل كند طوقه نام دارد.
V={a,b,c,d}
E={(a,b), (b,c), (a,c), (c,d)}

تعريف ۸٫۲٫۱گراف G كه بين دو رأس آن بيش از يك يال وجود داشته باشد را گراف چندگانه مي ناميم.

تعريف ۹٫۲٫۱گراف G را ساده مي نامند هرگاه طوقه و يال چندگانه نداشته باشد.
تعريف ۱۰٫۲٫۱ دو رأس را مجاور گويند هرگاه كماني از يكي به سوي ديگري وجود داشته باشد.
تعريف ۱۱٫۲٫۱ گراف Gرا همبند گويند هرگاه بين هر جفت از رئوس آن مسيري وجود داشته باشد.
تعريف ۱۲٫۲٫۱گراف ساده‌ي n رأس را گراف كامل مي نامند هرگاه هر رأس آن با همه رئوس ديگر مجاور باشد. يك گراف كامل n رأسي را با kn نمايش مي دهيم.

 

تعريف ۱۳٫۲٫۱ گراف G را گراف دو بخشي كامل مي ناميم هرگاه: اگر مجموعه‌ي رأس ها اجتماعي از دو مجموعه‌ي مجزاي B,A باشد، هر عضو از A با هر عضو از B مجاور باشد ولي هيچ دو عضو از A و هيچ دو عضو از B مجاور نمي باشند، گراف دو بخشي كامل را با kn,m نمايش مي دهيم كه درآن به طور مثال اگر:
V={1,2,3,4,a,b,c,d}
A={1,2,3,4}
B={a,b,c,d}

گراف دو بخشي كامل k4,4
تعريف ۱۴٫۲٫۱گراف ستاره درختي است كه يك رأس مجاور با همه‌ي رئوس دارد. گراف دو بخشي كامل k1,m يك گراف ستاره مي باشد كه در آن و كه هيچ دو عضو از B مجاور نمي باشند.
به طور مثال اگر:
V={1,a,b,c,d}
A={1}
B={a,b,c,d}

تعريف ۱۵٫۲٫۱ گرافي مانند( را زير گراف G=(V,E) مي نامند اگر زير مجموعه‌ي V و زير مجموعه‌اي از E باشد. اگر W زير مجموعه اي دلخواه از V باشد زير گراف القايي G به وسيله‌ي W عبارت است از گراف H=(W,F) كه در آن F يالي در f است هرگاه f={v,u} يالي در E باشد و هر دوي v,u در W باشند.

تعريف ۱۶٫۲٫۱ درجه هر رأس x درگراف G كه با نماد deg(x) نشان داده مي شود تعداد رأس هايي از گراف G است كه با X مجاورند به عبارت ديگر تعداد يال‌هاي گذرنده از هر رأس را درجه آن رأس مي‌ناميم.
تعريف ۱۷٫۲٫۱ طول كوتاه ترين مسير در گراف G كه از x آغاز و به y ختم مي شود را فاصله‌ي دو رأس x و y مي ناميم و با نماد d(x, y) نمايش مي دهيم.

بعد از آشنايي با مباحث فوق به موضوع اصلي يعني گراف هاي مقسوم عليه صفر مي‌پردازيم. تعاريف ذيل از گراف هاي مقسوم عليه صفر حاصل تلاش اساتيد بزرگي است كه جاي تعمق و تأمل بسيار دارد:
نخستين تعريف از گراف مقسوم عليه صفر، ، توسط Anderson living ston (1999) بيان شد:
فرض كنيد R يك حلقه جابجايي و يكدار باشد و Z(R) مجموعه مقسوم عليه هاي صفر حلقه R باشد. يك گراف ساده از حلقه R كه رأس هاي آن

Z*(R)= Z(R)-{0} (مجموعه‌ي مقسوم عليه هاي غيرصفر ازحلقه‌ي R باشند و دو رأس مجزاي مجاور باشند اگر و تنها اگر xy=0، مي توان ساخت.
ايده‌ي اصلي در مورد گراف هاي مقسوم عليه صفر توسط Beck (1988) بيان شده بود كه البته موضوع مورد علاقه وي رنگ آميزي گراف ها بود. Naseer وAnderson درسال ۱۹۹۳ اين چنين بيان كردند: اگر R يك حلقه‌ي جابجايي ويكدار باشد R به يك گراف ساده كه رأس هاي آن عناصر حلقه‌ي R مي باشند، نظير مي‌شود.
مثال: ۱۸٫۲٫۱ با توجه به تعاريف اوليه‌ي گراف هاي مقسوم عليه صفر، گراف حلقه‌هاي به صورت زير مي باشد:

گراف گراف

كه درآنها تمامي عناصر حلقه به عنوان رئوس گراف در نظر گرفته مي‌شوند.
تعريف بعدي توسط F.R.De Meye and T.M chenzie and k.schneider (2002) ارائه شد كه درزير بيان شده است:
يك گراف غيرجهت دار به هر نيم گروه S صفردار جابجايي چندگانه متناظر مي‌شود. رئوس گراف بوسيله مقسوم عليه هاي غيرصفر از S نام گذاري مي‌شوند و دو رأس x و y به وسيله يك يال به يكديگر متصل مي شوند هرگاه xy در S مساوي صفر شود. (xy=0).

تعريفي كه Beck بيان كرد اين چنين بود: براي هر حلقه جابجايي R گراف مقسوم عليه صفر G(R) را مي توان گرافي در نظر گرفت كه رئوس آن مقسوم عليه هاي صفر R (شامل ۰) مي باشند با دو رأس b,a كه مجاورند هرگاه ab=0. مشكل Beck درمورد رنگ آميزي گراف ها بود كه هيچ دو راسي كه دريك گراف مجاورند هم رنگ نباشند.
و درنهايت تعريف كلي تري توسط Redmond (2002) ارائه شد كه مبناي مباحثي است كه دراين مقاله از نظر گراميتان مي گذرد:
براي يك حلقه جابجايي و يكدار R، گراف مقسوم عليه صفر R، كه با نشان داده مي شود گرافي است كه رئوس آن مقسوم عليه هاي صفر غير صفر R مي‌باشند و دو رأس مجزاي y,x مجاورند هرگاه حاصل‌ضرب آن ها صفر باشد. (xy=0)

مثال ۱۹٫۲٫۱ گراف برطبق تعريف اخير به صورت زير مي باشد :

گراف گراف گراف
قبل از مطالعه‌ي مطالب اصلي مقاله دانستن قضاياي زير الزامي است:
قضيه ۲۰٫۲٫۱ ]قضيه ۲;۲٫۲ [فرض كنيد R يك حلقه‌ي جابجايي باشد، آن گاه متناهي است اگر و تنها اگر R متناهي باشد يا حوزه صحيح باشد. به ويژه اگر آن گاه R متناهي است و ميدان نمي باشد.
برهان : فرض كنيد =Z(R)* متناهي و ناتهي است. آن گاه x,y غير صفر از ۱R وجود دارد كه xy=0. فرض كنيد I=ann(x) آن گاه متناهي است و براي هر . اگر R نامتناهي باشد آن گاه وجود دارد كه نامتناهي است و براي هر ، (r-s)y=0 بنابراين نامتناهي است و اين يك تناقض مي باشد پس R بايد متناهي باشد.

قضيه ۲۱٫۲٫۱ ]قضيه [ ۲;۲٫۳فرض كنيد R يك حلقه‌ي جابجايي باشد. آن گاه همبند است و .
برهان: فرض كنيد و مجاور باشند. آن گاه d(x,y)=1. حال فرض كنيم ، اگر x2=y2=0 آن گاه x-xy-y مسيري به طول ۲ مي باشد بنابراين d(x,y)=2. اگر x2=0 و آن گاه وجود دارد: با by=0. اگر bx=0 آن گاه x-b-y مسيري به طول ۲ مي باشد، اگر ، آن گاه x-bx-y مسيري به طول ۲

مي‌باشد. يعني d(x,y)=2. به طور مشابه اگر y2=0 و . بنابراين فرض مي كنيم x2,xy,y2 غير صفر باشند، بنابراين وجود دارد: به طوري كه ax=by=0 . اگر a=b آن گاه x-a-y مسيري به طول ۲ مي باشد. پس . اگر ab=0 آن گاه x-a-b-y مسيري به طول ۳ مي باشد. بنابراين و اگر آن گاه x-ab-y مسيري به طول ۲ مي باشد بنابراين و مي باشد.

قضيه ۲۲٫۲٫۱ ]قضيه ۲٫۱۳؛ ۲ [ فرض كنيد R يك حلقه جابجايي متناهي با باشد آن گاه گراف ستاره است اگر و تنها اگر كه F ميدان متناهي است .
برهان : فرض كنيد يك گراف ستاره است و با توجه به نتيجه‌ي ۲۳٫۲٫۱ ولم ۲۴٫۲٫۱ كه در ادامه آماده است مي توان فرض كرد (R,M) موضعي است و براي و فرض كنيد M=ann(x) و را به طور دلخواه درنظر مي گيريم كه ab=ac=ad=x چرا كه و بنابراين
a(b-d)=a(b-c)=0 توجه كنيد كه ann(a)={a,x} و b-c=b-d=2 بنابراين c=d كه تناقض است پس و حكم ثابت شد.
نتيجه۲۲٫۲٫۱پ ]نتيجه ۷٫۲؛ ۲ [ فرض كنيد R يك حلقه ‌ي جابجايي متناهي است آن گاه يك رأس وجود دارد به طوري كه با همه‌ي رئوس مجاور است اگر و تنها اگر كه F ميدان متناهي است يا R حلقه‌ي موضعي مي باشد. به علاوه براي عدد اول P و عدد اگر و اگر R موصفي باشد مي باشد.
لم ۲۴٫۲٫۱فرض كنيد R يك حلقه جابجايي متناهي باشد. اگر دقيقاً يك رأس مجاور با همه‌ي رئوس داشته باشد آن گاه كه F ميدان متناهي است با يا R موضعي است با ايده ال ماكسيمال M كه و و بنابراين يا ۲n-1 براي عدد اول P و .

 

فصل دوم
۱٫۲-شعاع
تعريف ۱٫۱٫۲ دريك گراف همبند G، ماكسيمم فاصله بين دو رأس مجزا در G را قطر (diameter) گراف مي ناميم.
تعريف ۲٫۱٫۲براي هر رأس x از گراف همبند Gماكسيمم فاصله x تا رئوس ديگر خروج از مركز x (eccentricity) ناميده مي شود و با نماد e(x) نمايش مي دهيم.

تعريف ۳٫۲٫۱مجموعه رئوس با خروج از مركز مي نيمال را مركز گراف مي ناميم. (center)
تعريف ۴٫۱٫۲ دريك گراف همبند G مي نيمم مقدار خروج از مركز گراف G را شعاع (radius) گراف G مي ناميم. (در ادامه خواهيم گفت كه قطر و شعاع گراف G صفر است اگر G يالي نداشته باشد و مواردي كه مجموعه رئوس گراف تهي است را بررسي نمي كنيم)
مثال ۵٫۱٫۲ درگراف پترسن (petersen) قطر، ۲، خروج از مركز، ۲ و مركز مجموعه اي شامل تمامي رئوس و شعاع گراف نيز ۲ مي باشد.

مثال ۶٫۱٫۲ ]تمرين ۲٫۱٫۴۷؛۱۵ [ مي دانيم كه اگر يك گراف همبند با شعاع r و قطر d داشته باشيم آن گاه مي باشد. حل:
diam G=d(x0,y0¬)
d(x0¬,y0)<d(x0,z)+d(y0,z)طبق نامساوي مثلث :
radG=d
e(z)=radG : e(z)= max d(z,l)
rad G= min e(p) = e(z)
e (x0)= max d (x0,l) = d (x0y0): diam G= maxe (p) = e (x0)
d(x0,y0)< d (x0,z)+d(y¬۰,z) = e(z)+ e(z) = 2e(z) = 2rad G

درقضيه ۲۰٫۲٫۱ نشان داده شده است كه اگر R يك حلقه ي جابجايي باشد آن گاه همبند است و حداكثر ۳ قطر دارد. درزير مثال هايي از حلقه ها با گراف مقسوم عليه صفري با قطر ۰، ۱، ۲، يا ۳ آورده شده است.
مثال ۲٫۱٫۲ قطر گراف ، ۲ قطر گراف و ، ۱ و قطر و ، ۰ مي باشد.

علاوه براين درقضيه ۲۱٫۲٫۱ نشان داده ايم كه متناهي و ناتهي است اگر و تنها اگر R متناهي باشد يا حوزه صحيح نباشد.
در ادامه نتايج زير را اثبات مي كنيم: شعاع گراف مقسوم عليه صفر از هر حلقه‌ي جابجايي و يكدار نوتري كه حوزه صحيح نباشد ۰ و ۱و يا ۲ مي باشد. گراف مقسوم عليه صفر از يك حلقه R داراي شعاع دقيقاً صفر است وقتي كه گراف دقيقاً ۱ رأس داشته باشد. در ]۲٫۱ مثال ؛ ۱۹[ اثبات شده است كه R ايزومرف است با يا .

داراي دقيقاً يك رأس مي باشد.
توجه كنيد كه هر گراف G با شعاع ۱ لزوما حداقل يك رأس متصل به رئوس ديگر دارد . در ادامه دو نتيجه مهم بيان شده است . ]نتيجه هاي ۲٫۷و. ۲٫۶؛ ۲ [
قضيه ۸٫۱٫۲فرض كنيد R يك حلقه جابجايي و يكدار نوتري باشد . آن‌گاه يك رأس از وجود دارد كه با همه رأس هاي ديگر مجاور است اگر وتنها اگر كه A يك حوزه صحيح است يا Z(R) يك ايده آل R است . به علاوه اگر R متناهي باشد آن‌گاه يك رأس از وجود دارد كه با همه رأس هاي ديگر مجاور است يا R حلقه موضعي مي باشد .

برهان : فرض كنيد (R) Z ايده آل پوچ ساز نباشد ، يك رأس مجاور با رئوس ديگر باشد. و‌ در غير اين صورت z(R)=I يك ايده آل پوچ ساز باشد . بنابراين I در بين پوچ سازها ماكسيمال مي باشد . پس ايده آل اول مي باشد . اگر آن گاه a3=a2a=0 و بنابراين كه تناقض مي باشد . پس a2=aو‌‌‌ بنابراين مي توان فرض كرد R2 * R1 = R و رأس (۰ ,۱) كه مجاور با رئوس ديگر مي باشد . براي و راس (c,0) يك مقسوم عليه صفر مي باشد (c,0)=(c,0)(1,0)=(0,0) كه تناقض است مگر آنكه c =0 . بنابراين . اگر R2حوزه صحيح نباشد آن گاه وجود دارد كه (۱,b) يك مقسوم عليه صفر R است كه با (۱و۰) مجاور نيست و اين يك تناقض مي باشد پس R2 بايد حوزه صحيح باشد . Z(R) پوچ ساز نبود پس در بين ايده آل هاي ماكسيمال است پس اول مي باشد .

اگر براي هر حوزه صحيحA كه (۰ و۱ ) با رئوس ديگر مجاور مي‌باشد . اگر z(R)=ann(x) براي آن گاه x با همه‌ي رئوس ديگر مجاور مي‌باشد.
نتيجه ۹٫۱٫۲ فرض كنيد R يك حلقه جابجايي ويكدار نوتر مي باشد شعاع صفر است اگر وتنها اگر يا شعاع ، ۱ است اگر وتنها اگر كهA حوزه صحيح است ، يا Z(R) يك ايده آل R ميباشد به علاوه اگر R متناهي باشد شعاع ، ۱ است اگر وتنها اگر كه F يك ميدان متناهي است يا R حلقه موضعي است.
برهان : با توجه به قضيه بديهي مي باشد .
قضيه ۱۰٫۱٫۲ فرض كنيد R يك حلقه جابجايي و يكدار نوتري باشد كه حوزه صحيح نيست آن‌گاه شعاع حداكثر ۲ مي باشد.

برهان: طبق نتيجه‌ي قبل فرض مي كنيم Z(R) ايده آل نباشد. دو حالت درنظر مي‌گيريم.
۱- R حلقه‌ي تحويل يافته باشد.
۲- Rحلقه‌ي تحويل نيافته باشد.
اگر R حلقه‌ي تحويل يافته باشد و كه Pi ها ايده آل هاي اول مي نيمال مي باشند و چون Z(R) ايده آل نيست مي باشد. (حلقه نوتري است پس ايده ال هاي آن متناهي مي باشند)
براي =۱,…,n iو و پس و درنتيجه: وجود دارد به طوري كه .
حلقه‌ي R كاهش يافته است پس:
j=m