مقدمه
بحث قابليت اعتماد از جالبترين مباحث آمار است كه براي هر نوع سليقه و ضرورتهاي علمي مطلبي ارزنده دارد از لحاظ كاربرد علوم در صنعت، تكنولوژي و ساير علوم نقش اساسي و انكارناپذير دارد. مجموعه اي كه ملاحظه مي‌كنيد بحثي از مدليابي قابليت اعتماد است در فصل اول مفاهيم پايه‌اي كه ضرورت دارد مثل تابع قابليت اعتماد و تابع مخاطره آمده است در فصل دوم توزيع هايي كه در قابليت اعتماد كاربرد دارند ملاحظه مي‌شود فصل سوم مبحثي از انتخاب مدلها در قابليت اعتماد دارد كه شامل بخش هايي ويژه است در فصل ۴ مبحث برازش مدل را با استفاده از آزمونهايي رايج در علم آمار داريم. در اين مجموعه سعي شده است از مثالهايي زياد و پركابرد و نمودارهاي متناسب با آن استفاده شود.

در تهيه اين پروژه از ۳ منبع:
۱- تئوري قابليت اعتماد گرتس باخ
۲ – مدل بندي قابليت اعتماد لينراس، ولستنهلم
استفاده شده است.

اميدوارم مطالب آماده شده مورد استفاده قرار بگيرد.
تيرماه ۱۳۸۵
فاطمه ابوالقاسم
۸۱۰۳۴۹۴۷

تابع قابليت اعتماد:
فرض كنيد T‌ يك متغير تصادفي پيوسته كه نشان دهنده ويژگي طول عمر است مي‌باشد كه زمان شكست ناميده مي‌شود با تابع چگالي احتمال f(t) و فرض كنيد T‌ يك مقدار نامنفي است و مقياس اندازه گيري تعريف مي‌شود يك درك ويژه از T‌ علامت گذاري كردن T‌ است. تابع توزيع به صورت زير است:

F(t) تجمع احتمال شكست را همانطور كه t‌ افزايش پيدا مي‌كند توصيف مي‌كند. F(t) در حال افزايش در زمان t=0، صفر است و متمايل به يك است وقتي t‌ به بي نهايت ميل مي‌كند همچنين f(t)‌ با مشتق گيري از F(t)‌ بدست مي‌آيد.

شكل (۱-۱)- توابع توزيع و قابليت اعتماد
صدمين صدك از توزيع T، مقدار tp‌را مي‌گيرد.

چنين نكاتي در يك توزيع طول عمر مناسب اند مثلا طول عمر ضمانت شده توليد مصرف كننده تابع قابليت اعتماد R(t) بصورت زير است:
R(t1=1-F(t)= P(T>t)

اين احتمال وقتي كه طول عمر از t‌ متجاوز مي‌شود را بيان مي‌كند و اندازه عمده‌اي از قابليت اعتماد است. مي‌گوييم قابليت اعتماد در to است. تابع قابليت اعتماد تكميل كننده F(t) است مقدار يك در t=0‌ مي‌گيرد و متمايل به صفر است وقتي t‌ به بي نهايت ميل مي‌كند.
F(t) و R(t)‌برهم منطبقند وقتي دو تابع مقدار ۵/۰ مي‌گيرند. مقدار t‌ در اين نقطه t0/5‌ ميانه است كه يك اندازه ممكن براي متوسط طول عمر است.
مثال (۱-۱): يك توليد كه داراي تابع قابليت اعتماد زير است:

كه t‌ سالها را اندازه مي‌گيرد ضمانت ۶ ماهه دارد احتمال شكست توليد در زمان گارانتي بوسيله داده شده است.
تعيين مدت زمان گارانتي لازم براي احتمال شكست ۰/۰۱‌، يعني t0/01 از طريق حل معادله زير بدست مي آيد :

بنابراين يك زمان گارانتي مناسب براي اين توليد ممكن است تنها ۳ ماه باشد. در آناليز قابليت اعتماد متوسط زمان براي شكست سيستم (MTTF) اغلب از موضوعهاي مورد علاقه است كه بصورت زير مي‌باشد:
(۱-۱)
اكنون مي‌توانيم نشان دهيم وقتي T‌ روي بازه تعريف مي‌شود، MTTF‌ ناحيه بين R(t)‌ و محور t‌ است. اين يك مقايسه مفيد از توابع قابليت اعتماد گوناگون است. با ارزيابي طرف راست (۱-۱‌) درمي‌يابيم كه:

در tR(t)، R(t)‌ همانطوركه t‌ به بي نهايت ميل مي‌كند متمايل به صفر است خيلي سريعتر از وقتي كه t‌ متمايل به بي نهايت است. بنابراين:
(۲-۱)
در نمودار (۲-۱)‌ ناحيه تحت R2(t) واضحا بزرگتر از ناحيه تحت R1(t) است. و با قابليت اعتماد بزرگتري در تمام t‌ همراه است. در نمودار (۳-۱)‌ توزيع هاي طول عمر MTTF يكسان دارند اما در واقع خيلي متفاوت اند.

شكل (۱-۲)- MTTF R2 بزرگتر از R1 دارد.
شكل (۱-۳)- دو تابع قابليت اعتماد با MTTF‌ يكسان يك
يك عامل مهم در انتخاب مدل بهتر طول عمر مورد نياز توليد است. واضح است كه براي مقادير كم t، R2(t) رضايت بخش تر است. حال با اين مدل قابليت اعتماد يك مرتبه شروع به سرازيري رفتن مي‌كند عامل تفاوت بين اين مدلها MTTF‌ نيست اما مي‌تواند واريانس باشد، اندازه واريانس درجه‌اي است كه توزيع طول عمر را گسترش مي‌دهد كه مقدار آن اينگونه بيان مي‌شود:

(۳-۱)
انحراف معيار است، ريشه دوم واريانس و همان واحد t‌ را دارد.
تابع مخاطره
تابع چگالي احتمال مقدار احتمال غيرشرطي شكست در زمان t‌ است. اما بيشتر مورد استفاده در آناليز قابليت اعتماد است تا ببيند كه چگونه يك بخش سيستم كه در زمان t‌ باقي مي‌ماند متمايل به شكست است.

يك فاصله كوچك زماني [t,t+ t] را در نظر بگيريد احتمالي غير شرطي كه يك واحد سيستم در اين فاصله شكست مي‌خورد است. براي هاي خيلي كوچك اين مقدار تقريبا مي‌باشد.
فرض كنيد برآمد A «باقي ماندن آنسوي t» و برآمد B‌ شكست در زمان باشد برآمد A‌ شامل برآمد B‌ مي‌شود. احتمال اينكه واحدهاي سيستم در زمان داده شده است كه هيچ شكستي در زمان [۰,t]‌ رخ نداده است به صورت زير است:

تابع h(t)‌ مخاطره ناميده مي‌شود. تابع مخاطره چگونگي تمايل واحدي از سيستم را به شكست بعد از يك مدت زمان توصيف مي‌كند.
(۴-۱)
تابع مخاطره تجمعي به شكل زير است:

بنابراين

تنها لازم است بدانيد يكي از توابع R(t), f(t) , h(t)‌ قادر خواهد بود دو تاي ديگر را استنباط كند همانطور كه در شكل (۱-۴) نشان داده شده است تابع مخاطره مهم است زيرا تعبير طبيعي مستقيم و اطلاعاتي درباره طبيعت تابع در انتخاب يك مدل مناسب طول عمر مفيد است.
شكل (۱-۴)- ارتباط بين R(t) , f(t) , h(t)

تابع مخاطره ممكن است شكلهاي متفاوتي به خود بگيرد:
(i) بنابراين و اين تابع قابليت اعتماد توزيع نمايي با پارامتر است. اين طور در نظر گرفته مي‌شود كه يك واحد سيستم هر لحظه اززمان سالم مي‌ماند كه به آن ويژگي عدم حافظه گفته مي‌شود. مثلا يك اختراع الكترونيكي ممكن است تحت كنترل بعضي محيط ها كه فرآيند تصادفي هستند ماندن يك موج نيرو يا ديگر تكان ها قرار بگيرد اگر اين اختراع وقتي تكان ها اتفاق مي افتد شكست بخورند اما در غير اين صورت زمان بين تكان ها نشان دهنده زمان شكست اختراع است.

h(t) (ii) ‌ تابع افزايشي از t‌ است واحدي است براي خراب شدن سيستم در طي فرسودگي، كوفتگي يا خسارات جمع شده در عمل اين رايج ترين مدل است.
h(t) (iii)‌ تابع كاهشي از t‌ است، اين تابع كمتر رايج است اما ممكن است در قسمتي از فرآيند توليد كه كيفيت اجزا پايين است كه زود شكست مي‌خورند واقعي باشد. ممكن است فرآيندي استفاده شود تا اين بخش‌هاي معيوب را برطرف سازد تا اجزايي با كيفيت بالاتر كه فرسودگي آهسته و تدريجي را نشان مي دهند بوجود آيد.

بطور مشابه يك اختراع مكانيكي ممكن است زماني كه كار مي‌كند به يك قطعه‌اي كه اجزا را تبديل به جامد مي‌كند احتياج پيدا كند تا اختراع را بعد از اينكه قابل اطمينان تر مي‌شود سفت كند. شكل كامل با مدلي كه تابع “Bath tub” ناميده مي‌شود داده شده در اينجا ما با خطر كاهش جزئي روبرو هستيم كه بوسيله يك زمان ثابت شكست كه، «عمر مفيد» و به صورت نهايي «فرسوده شدن» ناميده مي‌شود پيروي كند جائيكه ميزان خطر افزايش پيدا مي‌كند شكل (۱-۵) معمولا مفيد نيست كه بصورت مدل bath tub‌ كامل در سطح پيچيده مدل بندي مي‌كنيم اغلب صورت‌هاي متفاوت بطور جداگانه رفتار مي‌شوند.