مدل رقومی زمین و آنالیز جریان های سطحی آب

چکیده:
در دهه های اخیر، پیشرفت در علومی نظیر متوگرامتری، لیزر اسکن و فتوگرامتری فضایی مرزهای بدست آوردن اطلاعات زمینی را توسعه داده است. این تکنیک های جدید راهکارهای تازه ای را در ادامۀ نتایج به امغان آورد. مدل رقومی زمین (OTM) تنها برای نمایش داده های توپوگرافی زمین

، بلکه سایر داده ها همپون توزیع جمعیت، شبکه داده ها، و غیره را نیز به طور پیوسته جمع آوری می کند. این گزارش علمی ابتدا به مرور روش های عمده در تولید مدل های رقومی زمین خواهیم پرداخت. ارزیابی عملکرد این مدل ها، در رابطه با کاربرد آنها در مدل های عددی که جریان آب سطحی را شبیه سازی می کند، صورت گرفته است. بررسی چگونگی جریان های آب برای مثال سیل در یک منطقه مهم می باشد.

لغات کلیدی: مدل رقومی زمین، خطوط منحنی میزان، مدل ارتفاعی زمین، شبکه نامنظم مثلثی، آنالیز جریان آب های سطحی

۱- مقدمه: چند سال پیش، روش های تهیه داده های ژئوگرافیکی بر پایه اندازه گیری های میدانی، به طور دستی، با استفاده از اسنادهای ابتدایی صورت می پذیرفت. این فرآیند گران، زمان بر و کم دقت بود.

امروزه، با روش ها و تکنیک های مدرن، مثل تصاویر ماهواره ای (LIOAR) Light Direction & Ranging تکنولوژی سنجش و سیستم موقعیت یابی جهانی (GPS) ، داده ها به صورت اتوماتیک با دقت بالا به دست می آیند. معمولاً اینگونه داده ها با سایر انواع اطلاعات در سیستم اطلاعات ژئوگرافیکی (GIS) ترکیب می شوند. هسته این نوع سیستم، پایگاه داده ای است که ارتباط داده ها همانند، تراکم جمعیت یا تعداد موارد بیماری خاص در دورۀ زمانی مشخص به صورت ژئورفرنس امکانپذیر می باشد.

این کار قسمتی از پروژه ایست که با مسائل جریان آب سطحی ارتباط دارد. یکی از آنها پیش بینی مشکلات آب باران، مثل سیل یا فرسایش زمین، در منطقه نزدیک شهر پتروپویس در برزیل می باشد. هدف اصلی ما استخراج مدلی (OTM) است که قابلیت اتصال به روش های عددی برای

شبیه سازی جریان آب سطحی در منطقه را داشته باشد. فرض این است که اگر ما مسیر اصلی جریان آب منطقه را دنبال کنیم، قادر به پیش بینی و در نتیجه جلوگیری از وقوع سیل خواهیم بود. این روش همچنین قادر به شناسایی مناطق پرخطر می باشد هنگامیکه مقدار بارندگی معینی می تواند باعث رانش و زیرش زمین بشود.

طرح کلی این مقاله به صورت زیر می باشد: در بخش بعدی به بررسی مهمترین مدل های زمین خواهیم پرداخت. سپس به بحث بر روی انواع اطلاعات کاربردی در آنالیز و شبیه سازی جریان آب که قابل استخراج از یک OTM هستند خواهیم پداخت. در آخر، به توضیح چهارچوب پیشنهادی سیستمی که امکان جمعبندی مدل های OTM و هیدرولوژیکی را فراهم می کند می پردازیم.

۲- مدل های رقومی زمین OTMs: زمین توسط عوارض فیزیکی قطعات خشکی تعریف می شود. توپوگرافی آن نمود این عوارض در مجموعه ای از ترکیبات ساختاری می باشد. یک مدل رقومی زمین (OTM) نمایش زمین و توپوگرافی آن می باشد، که بر روی کامپیوتری به صورت ساختاری داده ای و مجموعه ای رابطه ای ذخیره شده است. زمین ماهیتی پیوسته و نامنظم دارد. به همین جهت یافتن مدلی ریاضی که قابلیت انطباق کامل در تمام زمین را داشته باشد بسیار سخت است.

بنابراین، OTM ها معمولاً ارائه کننده زمسنس هستند که تقریبی از واقعیت می باشد. برای بدست آوردن این تقریب، مجموعه ای از نقاط از طریق نمونه برداری جمع آوری شوند. هر یک از این نقاط دارای ارتفاع می باشد. واضح است که عملیات نمونه برداری مرحله حساسی است که اگر از نمونه نادرستی استفاده شود چه بسا عوارض مهمی حذف گردند

. براساس این نقاط نمونه برداری شده، یک OTM بایستی قادر به محاسبه بعضی خصوصیات منطقه همچون ارتفاع، شیب، میدان دید، زهکش در هر نقطه ای از آن باشد. فرآیند امترپولاسیون (درونیابی) بر پایه شبکه از نقاط نمونه برداری ویژه قابل انجام می باشد. این شبکه با داده های ویژه ای که در OTM مورد استفاده قرار می گیرند تعریف می شود. در مقاله (mark 1978) ساختاری برای داده های OTM با طبقه بندی داخلی براساس چگونگی محاسبه ارتفاع پیشنهاد شده است. ساختار پیشنهادی در شکل ۱ بیان شده است. در قسمت بعدی این بخش به طور اجمالی بر روی انواع OTMهای مناسب برای تحقیق مورد نظر بحث می کنیم.

افقی OLG
خطوط قائم
جدولی نامنظم TIN
OTM نقاط منظم OEM
سطوح مشخص
ریاضی منطقه ای سطوح اتفاقی
جهانی multi quoratic
فوریه
شکل۱

۲-۱- مدل های جدولی: ساختار جدولی یا مجزا ارتفاع ها را از طریق انترپولاسیون داده های منطقه ای بدست می آورد. روش انترپولاسیون به ساختار داده ها و میزان پیوستگی درخواستی برای سطح تقریبی بستگی دارد. روش های امترپولاسیون متفاوت بر روی پیوستگی سطح و نتایج آن موثر خواهد بود.

۲-۱-۱- گراف های خطی رقومی (OLGs): یک گراف خطی و قومی (DLG) همانطور که در شکل ۲ نشان داده شده است متشکل از خطوط منحنی میزان می باشد. هر منحنی میزان با استفاده از مجموعه ای از نقاط معین (دارای مولفه Z) بدست آمده است در این مدل ها برای سایر عوارض زمین، که با منحنی میزان نمایش داده نمی شود. از عوارض نقطه ای بهره می برند. (در شکل ۹، B) نقاط و خطوط منحنی میزان در یک مدل DLG به طور واضح نشان داده شده است.

اهمیت DLGها مواقعی است که اطلاعات سطح زمین و توبوگرافی را باید از منحنی میزان های نقشه های کاغذی استخراج کرد. فرآیند رقومی کردن این نقشه های قدیمی البته با صرف وقت، کار ساده است.
مدل DLG در مفاهیم بصری کاربرد دارد. نه تنها کاربران با این نوع نمایش ارتفاعات آشنا هستند، بلکه در ترسیم خطوط و نقاط در مقایسه با سطوح پیوسته با افکت های بصری ارزانتر می باشد. این سادگی هم معایبی دارد که عدم وجود یک سطح پیوسته تشخیصی دقیق را در نقاط ویژه مشاهداتی با اشکال مواجه می کند.

شكل ۲، مثالي از مدل گراف هاي خطي و قومي
مهمترین نقص DLG ها نقصان اطلاعات در بین خطوط منحنی ها می باشد. برای یک نقطه, ما فقط اطلاعات مربوط به منحنی های همجوار با آن را داریم. اما مدل هیچ اطلاعاتی در مورد منحنی بعدی که ارتفاع بیشتر یا کمتری را دارد را بیان نمی کند. برای مثال, برای تعیین شیب زمین در یک نقطه ما به اطلاعاتی در حوالی آن نیاز خواهیم داشت. یک راه حل برای غلبه بر این مشکل استفاده از مجموعه ای از منحنی هاست که اساس آن رابطه داخلی بین خطوط منحنی ها در قطعات محدود (قطعات مرزی) می باشد. تحلیل هر یک از این قطعات یک راهنمایی می باشد همانطور که در شکل ۳ نشان داده شده است آیا خطی در قطعه مورد نظر هست یا نه.
با وجود اینکه این روش درست به نظر می رسد, مواردی همچون شکل ۴ هستند که پاسخگو نمی باشد. طبقه بندی اشتباه ممکن است هنگامیکه یک منحنی محدب نباشد اتفاق بیافتد. در این موارد, می بایستی آزمایش نقطه ؟ مضاعفی را برای کلاسه بندی صحیح این قطعات انجام داد.
۲٫۱٫۲ مدل های رقومی ارتفاعی OEMs : یک مدل رقومی ارتفاعی (OEM) از شبکه منظم نقاط مختصات دار x,y همراه با مولفه z تشکیل شده است. بنابراین, در این مدل, نمونه برداری از یک روش ثابت پیروی می کند. در شکل ۵ یک OEM نشان داده شده است.

OEM ها به طور گسترده قابل دسترسی هستند. در روش منظم نمونه برداری می تواند از تصاویر رقومی که از ماهواره ها یا عکس های هوایی بدست آمده اند استفاده کرد. به علاوه, این مدل ها برای برنامه نویسی و ذخیره سازی خیلی مناسبند, چون داده های منظم آنها در ساختاری همچون ماتریس می توان ذخیره کرد. دسترسی به هر داده ای به طور مستقیم و اتفاقی بر اساس اندکس های ماتریسی می باشد.

همانطور که راهکارهای ثابت مزایایی دارند معایبی نیز دارند. دستیابی به تعادل مناسب بین نمونه ها و جزئیات سطح شکل خواهد بود. در یک سطح آزمایشی مناطقی با عوارض نامنظم هستند که کاملاً یکنواخت و مسطح نشان داده شده اند. برای محاسبه جزئیات کوچکتر یک منطقه ذوعارضه, ما باید قدرت تفکیک را بالا ببریم. این قدرت تفکیک باعث ایجاد افزونگی نقاط نمونه برداری در مناطق سطح می شود. در غیر اینصورت, اگر قدرت تفکیک کمتری انتخاب کنیم, برای مناطق مسطح مناسب اما برای نمایش جزئیات مناطق کوهستانی مناسب نخواهد بود.

یک روش ساده برای حل این مشکل استفاده از ساختارهای داده انتخابی مثل Quadtree (چند شاخه ای) می باشد. این روش ساختار داده می تواند اطلاعات را به صورت سلسله مراتبی سازماندهی کند, تا در موراد مورد لزوم افزایش جزئیات امکانپذیر باشد. شکل ۶ مثالی از این ساختار داده را نشان می دهد. ارتباط ساختار درختی در راست و تطابق آن با تقسیم بندی جز به جز منطقه ای. Figure 6

۳٫۱٫۲ شبکه نامنظم مثلثی TINs : یک شبکه نامنظم مثلثی مجموعه ای از قائم های نامنظم است که با خطوط مستقیم برای ایجاد پیوستگی مرتبط می شوند, مجموعه ای از عوارض مثلثی که همپوشانی ندارند . شکل ۷ یک مدل TIN را نشان می دهد.
در صورتیکه روش نمونه برداری از عوارض منطقه باشد نه توسط یک شبکه منظم, یک TIN از یک OEM کاراتر و موثر خواهد بود. مناطقی که پرشیب تر است نمونه ها متراکم تر و در زمین های مسطح نمونه برداری با تراکم کمتر ارائه خواهد شد.

یک معیار ساده برای جمع آوری نقاط سطح زمین می تواند باشد. قله ها, دره ها و گذرها توسط پل ها و کانال ها در بدنه یک TIN به هم متصل می شوند . برای افزایش دقت نقاط مهم در منطقه می توان نمونه های بیشتری جمع آوری کرد. مجموعه نهایی در مثلث بندی به روش دلونی (Delawray Tri) بدست خواهد آمد.
وقتی مختصات گریدهای منظم را نداریم, تمام مختصات های قائم می بایستی ذخیره شوند. به علاوه, مجاورت نیز در بعضی ساختارها باید نشان داده شود در حالیکه اتصال مثلث ها اختیاری است.
با وجود این الزامات, TIN ها از OEM ها مناسب تر هستند. به خصوص در مسئله ذخیره سازی که نقاط کمتری را در مناطق مسطح مورد نمونه برداری قرار می گیرد.
۲٫۲ مدل های محاسباتی : ساختارهای داده محاسباتی یا پیوسته ارتفاعات را توسط یک عملگر (تابع) مدلسازی ارزیابی می کنند. این عملگر مدلسازی معمولا به عنوان یک تقریب قطعه گرا (قطعه ای) ایجاد می شود.

۱٫۲٫۲ قطعات سطوح : در مقاله [Burno.1996] ما يك راه حل اختياري بر اساس روش المان معين (FEM) يافتيم. اين يك كنترنيت جهاني مدل صفحه اي نازك است كه توان عملگر براي يافتن راه حل مناسب بايد حداقل باشد.

به طور ويژه O C R2 يك منطقه مستطيلي در نظر مي گيريم، حدود ناحيه مطلوب —- اين راه حل در فضاي قابل قبول همانطور كه توضيح داده خواهد شد جستجو مي شود. به علاوه، ما يك مجموعه نمونه داريم —–. هر — موقعيت (مختصات) Zi ارتفاع زميني انداز گيري شده و — خطاي محاسباتي خواهد بود. همچنين، مجموعه مختصات زميني با — نشان داده خواهد شد.
از اين به بعد، ما يك مجموعه كنترنيت هايي داريم كه راه حل —- را مي بايستي راضي كنند. به طور خلاصه : (۱)
هم ارز است با
(۲)
(۳)
به طور صريح، اين محدوديت ها را با تعريف —- بازنويسي مي كنيم، و بدين ترتيب مجموعه عبارتست از : — توان عملگرد ببه صورت زير تعريف مي شود. اولاً ، يك محصوصل داخلي در — تعريف مي كنيم كه از عملگرد دوگانه خطي — بدست مي آيد.
(۵)—-
كه — و —- قائم هاي O هستند—- را بعنوان محصول داخلي == در نظر بگيريد). علائم زير را به عنوان مشتق دوم تابع – در نظر مي گيريم :
(۶)
اولين ترم در معادله (۵) تركيبي از منحني هاي ميانگين وگوسي را دارد. براي انطباق نرم، تابع توان را در معادله زير استفاده كرده ايم (۷)
بنابراين، براي لحاظ كردن مسئله بهينه سازي مي توان نوشت )۸(
گام بعدي براي تكميل مسئله تعيين فضاي V مي باشد. گزينه هاي فضاي V به روش هاي پيدا كردن جواب بستگي خواهد داشت. در مقاله (Bueno,1996) يك فرم ضعيف (ناقص) از مسئله در معادله ۸ بيان شده است. بنابراين فضاي V يك فضاي Sobolev خواهد بود، كه در پايين تعريف شده است.

اولاً، ما انتگرال مربعي را در فضاي برداري عملگر — در نظر مي گيريم ، مثل (۹) كه به — و به نرم — دلالت دارد : —
— با استفاده از علائم (۱۱)ژ
—- يك جفت عدد مثبت هستند و —– . پس، فضاي برداري عملگرد، — مثل —- اگر — باشد يك معناي —- است كه — با — بيان مي شود. اين فضاي داراي نرم طبيعي زير مي باشد (۱۲).
سرانجام مسئله بهينه سازي حل شد : (۱۳)
وقتيكه —- از عبارت V بدست مي آيند.
واضح است كه — به علاوه، ساير ويژگي هاي مهم عبارتند از : —.
يك هدف اصلي در اين كار اين است كه عملگر – توسط عبارت v به دست مي آيد همانطور كه — نرم — است كه به طور توپولوژيكي با نرم بدست آمده از انتگرال )۱۲( هم ارز و معادل مي باشد. بنابراين، خصوصيات پوششي در هر يك از آنها مي تواند قرار بگيرد.

از ويژگي ۲، مي توانيم يك سري زير قطعات —- از ابعاد معيني مانند آن ايجاد كرد، اگر —- پايه Vm باشد مي تواند براي بدست آوردن — كامل شود، كه، — و —-.
بنابراين يك سري از تقريبات بدست خواهد آمد. FEM يك روش سيستماتيك براي بدست آوردن سري هايي . FEM مورد استفاده در [Bueno.1996] المان هاي اصلي زير را دارد.
۱٫ عامل تجزيه – براي يك محدوده با قدرت تفكيك h براي يك CFK.
2. يك فضاي — بالاي – با ويژگي هاي زير : (a) تكامل : — كه — يك مجموعه چندجمله اي از درجه ۲ در k مي باشد. (b) تركيب : —

فضاي Spline تطابقي با (vh) ، فضاي المان معين معادل ناميده مي شود. اين يك فضاي بعدي برداري معين مي باشد، و بنابراين، مي توانيم بنويسيم : —
كه مجموعه — اساس اين فضا مي باشد. در مقاله [Buerno] فضاي Spline قابليت انطباق بر مسئله thin-plate را بايستي دارا باشد.
بنابراين، مسئله (۱۳) به Vh محدود مي شود. به هيمن جهت، ما توابع را با Vh بيان مي كنيم :
—-
كه مي تواند به اين صورت نيز نوشته شود. (۱۴)
كه — و Q ماتريس هايي با مولفه هاي زير هستند : (۱۵)
اين ماتريس تبديل ناميده مي شود.
با انجام عمليات مشابه با كنترنيت ها خواهيم داشت

كه —-. در آخر، خواهيم داشت (۱۶)
كه ماتريس از رابطه — بدست مي آيد .
براي ساده كردن محاسبات، سري مثلث هاي — را كه — از – بدست مي آيد، و انطباق با فضاهاي — صورت مي گيرد، را در نظر مي گيريم. همچنين، — ابهامي كه در مورد مسئله (۱۶) پيش مي آيد اين است كه ما در مورد — مطمئن نيستيم. براي يافتن اين ابهام، اين مسئله در مقاله [Bueno] براي راضي كردن كنرنيت ها در توابع ساده تري مورد بحث قرار گرفته است.

بنابراين، تابع — با تابع خطي قطعه اي — همراه است تا كنترنيت ها را راضي كرده و – را در قائم هاي مثلث هاي —درونيابي كند. براي مثال، درونياب هاي خطي بر اساس مثلث بندي (مولفه هاي —) . در اين صورت مسئله ۱۶ با يك مسئله مخلوط جايگزين مي شود.
— در ابتداي اين بخش و — يك درونياب خطي در مثلث بندي تعريف شده اند.
شكل ۸ به فهيمدن روابط بين مسائل ۱۶ و ۱۷ كمك مي كند.
در هر صورت، مسئله يافتن يك راه حل از طريق – به خودي خود باقي است. براي يافتن آن از يك مسئله كمكي به صورت زير استفاده خواهيم كرد. —- داده شده است كه — عبارتست از —