مدل هاي فازي – چه هستند وچرا

مجموعه هاي فازي درواقع تعميمي برتئوري مجموعه هاي قراردادي مي باشد كه درسال ۱۹۶۵ به عنوان روشي رياضي براي روشن كردن ابهامات درزندگي روزمره توسط زاده معرفي شد. [۱].

ايده اصلي مجموعه هاي فازي ساده است وبه راحتي مي توان آن را دريافت. فرض كنيد هنگامي كه به چراغ قرمز مي رسيد بايد توصيه اي به يك دانش آموز راننده درباره زمان ترمز كردن بكنيد. شما مي گوييد « در۷۴ فوتي چهارراه ترمزكن » يا توصيه ي شما شبيه به اين است « خيلي زود از ترمزها استفاده كن »؟

البته دومي ؛ دستورالعمل اول براي انجام دادن بسيار دقيق است. اين نشان مي دهد كه دقت مي تواند بي فايده باشد ، تا زماني كه راه هاي مبهم وغير دقيق مي توانند تفسير وانجام گيرند. زبان روزمره مثال ديگري است از استفاده وانتشار ابهامات. بچه ها بسرعت تفسير وانجام دستورالعمل هاي فازي را ياد مي گيرند. (ساعت ۱۰ به رختخواب برو). همه ما اطلاعات فازي نتايج مبهم واطلاعات غير دقيق را به خاطر مي سپاريم وازآن ها استفاده مي كنيم وبه خاطر همين مسئله قادر هستيم تا در موقعيت‌هايي كه به يك عنصر تصادفي وابسته است تصميم گيري كنيم. بنابراين مدل هاي محاسباتي از سيستم‌هاي حقيقي بايد قادر باشند كه عدم قطعيت هاي آماري وفازي را تشخيص دهند ، مشخص كنند ، تحت كنترل خود درآورند ، تفسير كنند وازآن استفاده كنند.

تفسير فازي ازاطلاعات يك راه بسيار طبيعي ، مستقيم و خوش‌ظاهر براي فرموله كردن وحل مسائل مختلف است. مجموعه هاي قراردادي شامل اشيايي است كه براي عضويت در ويژگي‌هاي دقيقي صدق مي كنند. مجموعه H كه اعداد از۶ تا ۸ مي باشد يك CRISP است ؛ ما مي نويسيم . به طور مشابه H توسط تابع عضويت (MF) كه مطابق زيرتعريف مي شود نيز توصيف مي گردد.

مجموعه H ونمودار درسمت چپ شكل ۱ نشان داده شده اند هرعدد حقيقي r يا درH است يا نيست از آنجا كه كليه اعداد حقيقي را به دو نقطه (۱،۰) مي‌برد ، مجموعه Crisp معادل منطق دو مقداره است : هست يا نيست ، روشن يا خاموش ، سياه يا سفيد ، ۱ يا ۰ . درمنطق مقادير مقادير حقيقت ناميده مي شوند، با ارجاع به اين پرسش « آيا r درH است؟ » جواب مثبت است اگروتنها اگر ؛ درغيراين صورت نه.

مجموعه ديگرF ازاعداد حقيقي كه نزديك به ۷ هستند را درنظر بگيريد ازآنجا كه ويژگي «نزديك به ۷» نامعلوم است ، تابع عضويت يكتايي براي F وجود ندارد . به هرحال مدل كننده براساس پتانسيل كاربرد و ويژگي ها F بايد تصميم بگيرد كه چه باشد . ويژگي هايي كه براي F به نظرخوب مي رسد شامل اين موارد است (I) حالت عادي يا طبيعي (ii) يكنواختي (براي r نزديكتر به۷ ،‌ به ۱ نزديكتراست وبرعكس) و (iii) تقارن (اعدادي كه فاصله مساوي از چپ وراست ۷ دارند بايد عضويت يكساني داشته باشند).

با توجه به اين موارد ضروري هركدام از توابع نشان داده شده درطرف راست شكل ۱ مي‌تواند نمايش مناسبي براي F باشد. گسسته است درحالي پيوسته است ولي هموارنيست (نمودار مثلثي) يك نفر مي تواند به راحتي يك MF براي F بسازد به نحوي كه هرعدد عضويت مثبتي در F داشته باشد ولي انتظار نداريم براي اعداد « خيلي دوراز۷» براي مثال ۲۰۰۰۰۹۷ زياد داشته باشيم! يكي از بزرگترين تفاوت ها بين مجموعه هاي Crisp ومجموعه‌هاي فازي اين است كه اولي هميشه MF يكتايي دارد درحالي كه هرمجموعه فازي بي‌نهايت MF دارد كه مي توانند آن را نشان دهند. اين درواقع هم ضعف است وهم قدرت ؛ يكتايي قرباني مي شود ، ولي سود پيوسته اي كه به خاطر انعطاف پذيري همراه خواهد داشت.

مدل فازي را قادر مي سازد كه با بيشترين سود دريك موقعيت داده شده تطبيق داده شود. درتئوري مجموعه هاي قراردادي ، مجموعه هاي اشيايي واقعي براي مثال اعداد در H معادلند و به صورت ايزومورفيك با يك تابع عضويت يكتا مانند توصيف مي شوند. ولي معادل مجموعه اي ، از اشياي واقعي وجود ندارد. مجموعه هاي فازي همواره ( وفقط) توابعي هستند از «مجموعه جهاني » به نام X به [ ] . اين مسئله درشكل ۲ نشان داده شده است كه درواقع مشخص مي سازد مجموعه فازي تابع است از X به [ ] . همانطور كه تعريف شده هرتابع [ ‌] يك مجموعه فازي است.

 

تازماني كه اين در رياضيات رسمي درست است ، بسياري از توابع كه دراين زمينه توصيف مي‌شوند نمي توانند به طور مناسبي براي تصوريك مجموعه فازي تفسير شوند . به عبارت ديگر، توابعي كه X را به بازه واحد مي برند ممكن است مجموعه هاي فازي باشند ولي تنها زماني مجموعه فازي مي شوند كه يك سري ويژگي هاي غير دقيق ولي ذاتي ، منطقي وتوصيفي را با اعضاي X تطبيق دهند.
اولين سؤال و در واقع سؤالي كه معمولا درمورد اين طرح پرسيده مي شود ، مربوط است به رابطه فازي واحتمال . آيا مجموعه هاي فازي يك مبدل هوشمند براي مدل هاي آماري است ؟ درواقع نه . شايد يك مثال كمك كند.

مثال ۱: مجموعه همه آب ها رابه عنوان مجموعه جهاني درنظر بگيريد وهمچنين مجموعه فازي { مايعات قابل آشاميدن }‌=‌L را داريم . فرض كنيد شما يك هفته بدون مايعات درصحرا بوده ايد وحالا دو بطري A وB داريد. به شما گفته مي شود كه عضويت (فازي) مايع درون A در L ، ۹/۰ وهمچنين احتمال اينكه مايع درون B متعلق به L باشد هم ۹/۰ است. به عبارت ديگر A شامل مايعي است كه با درجه عضويت ۹/۰ قابل شرب است درحالي كه B شامل مايعي است كه به احتمال ۹/۰ قابل شرب است . با اين جفت بطري مواجه مي شويد وبايد ازيكي كه انتخاب كرده ايد بنوشيد ، اول كدام را براي نوشيدن انتخاب مي كنيد ؟ چرا؟ بعلاوه

بعداز مشاهده درباره محتواي دو بطري مقدار (محتمل) براي عضويت واحتمال چه مي‌باشد؟ [ پاسخ اين معما دركلاس بحث مي شود ] سؤتفاهم رايج ديگردرباره مدل هاي فازي اين است كه آن ها به عنوان جايگزين هايي براي مدل هاي Crisp (يا احتمالاتي) پيشنهاد مي شدند. براي توضيح اين مسئله نخست از شكل هاي ۱و۲ توجه كنيد كه هرمجموعه Crisp فازي است ولي نه برعكس . بسياري از طرح ها كه ازايده فازي استفاده مي كنند آن را از طريق محاط كردن وجا دادن بكار مي برند يعني ما تلاش مي كنيم تا ساختارقراردادي را حفظ كنيم وبه آن اجازه مي دهيم تا درخروجي هرزمان كه مي‌تواند و هرزمان كه بايد برجسته شود.

مثال ۲ : وضع رياضي‌دان اوليه را درنظر بگيريد ، او مي دانند كه سري تيلور براي تابع حقيقي (زنگي شكل) در واگرا است ولي نمي تواند بفهمد چرا ، مخصوصا كه f دراين نقاط بي نهايت بار مشتقپذير است. امروزه به عنوان دانش معمول هر دانش آموز ازتوابع مختلط تابع دو قطب در دارد. بنابراين تابع مختلط كه محاط شده به وسيله صورت كسر است ، نمي تواند بسط سري تواني همگرا درنقطه اي روي مرز دايره به شعاع واحد درصفحه داشته باشد ؛ درحالت خاص در ، يعني درنقاط حقيقي . اين مثال يك اصل كلي در رياضيات مدلي را نشان مي دهد . يك مسئله حقيقي (ظاهراً لاينحل) را درنظر بگيريد ؛ فضا را گسترش بدهيد وجواب را دراين فوق مجموعه خيالي جستجو كنيد درنهايت جواب بدست آمده را به قيدهاي حقيقي اوليه محدود كنيد.

درمثال ۲ ما درمورد پيچيده سازي تابع f بوسيله محاط كردن يا درنظر گرفتن اعداد حقيقي درصفحه مختلط صحبت كرديم ، درادامه با عمل آسان سازي ازنتيجه كلي براي حل مسئله اصلي استفاده مي كنيم . بسياري از مدل‌هاي فازي از طرح مشابهي پيروي مي‌كنند مسئله هاي واقعي كه شامل عدم قطعيت هاي آماري نمي باشند ابتدا « فازي» مي شوند سپس يك نوع آناليز وتحليل برروي مسئله بزرگترصورت مي گيرد و درنهايت نتيجه براي حل مسئله اصلي خاص و

ويژه مي شود. درمثال ۲ بازگشت به خط حقيقي عمل آسان سازي ناميده مي شود ؛ درمدل هاي فازي اين بخش ازفرآيند به عنوان دقيق سازي شناخته مي شود. اين عمل معمولا ضروري است ، البته هرچند كه ما به يك دانش آموز آموزش مي دهيم تا « از ترمز خيلي زود استفاده كند» ولي درحقيقت پدال ترمز دريك لحظه بايد درست وآماده عمل كند. به عبارت ديگرما نمي توانيم يك موتور را نصحت كنيم كه « تند حركت نكن » هرچند كه اين دستورالعمل از كنترل كننده فازي مي آيد ولي ما بايد ولتاژومقدار آن را به مقدار مخصوص ومعيني تغييردهيم مثال ۲ نشان مي دهد كه اين به سختي يك ايده يا داستان است ؛ درعوض بايد به آن به عنوان روشي سودمند توجه كنيم.

مثال ۳:به عنوان آخرين وشايد واقعيترين مثال درمورد كاربرد مدل هاي فازي ، سيستمي كه درشكل ۳ نشان داده شده را درنظر بگيريد كه يك آونگ وارونه ساده را نشان مي دهد . اين آونگ براي چرخش درصفحه شكل وحول محور متصل به ماشين آزاداست. مسئله كنترل اين است كه با وارد كردن يك نيروي باز گرداننده F(t) درلحظه t ، درپاسخ به تغييرات خطي وزاويه اي موقعيت يا سرعت ، پاندول را درهمه زمان ها عمود نگه داريم . اين مسئله مي‌تواند به روش هاي مختلفي

فرموله شود. دريكي از ساده ترين صورت ها از تئوري كنترل استفاده مي شود . خطي سازي معادلات حركت به يك مدل از سيستم منتهي مي شود كه ويژگي هاي ثبات واستحكام توسط امتحان بخش حقيقي مقادير ويژه ازماتريس ثابت هاي سيستم مشخص مي گردد. مسير پايين در شكل ۳ اين حالت را نشان مي دهد . همانطور كه در وسط مسير پايين شكل ۳ نشان داده شده اگر آنگاه پاندول ثابت وساكن خواهد ماند. اين رويه درمهندسي كنترل بسيار پيش پا افتاده

است تا آنجا كه بسيار از طراحان اصلا درمورد استفاده ازاعداد موهومي درحل مسايل حقيقي فكرنمي كنند ، ولي واضح است كه اين روند دقيقا مانند مثال ۲ است – يك مسئله حقيقي با گذر موقت به يك مجموعه بزرگتر وخيالي ، تحليل موقعيت درابرمجموعه ودرنهايت با خاص كردن نتيجه براي بدست آوردن جواب دلخواه حل مي شود.
مسير بالا درشكل ۳ راه حل ديگري را براي

اين مسئله كنترل نشان مي دهد كه برپايه مجموعه هاي فازي است. اين روش هم ، براي موازنه وتثبيت پاندول مشهور ومطرح است وراه حلي را ارائه مي كند كه دربعضي موارد بسيار بهتراست ، براي مثال كنترل كننده فازي نسبت به تغييرات درطول وجرم پاندول حساسيت بسيار كمتري دارد [۲]. دوباره به اصل محاط كردن توجه كنيد : فازي كردن ، حل ، عمل عكس فازي كردن ، كنترل مدل هاي فازي با موارد مشابه به تفاوت ندارند. بعضي مواقع بهترعمل مي كنند وبعضي مواقع هم نه.

 

اين جداً تنها معيار نيست كه بايستي براي قضاوت هر مدل بكار برد، و اين روزها مدارك بيشتري وجود دارد كه شيوه هاي فازي براي مسايل واقعي اغلب جايگزين خوبي براي طرحهاي آشناتر و محبوب‌تري مي‌باشند. اين نقطه اي است كه بحث ما اكنون به آن بر مي‌گردد. اكنون اجازه دهيد اندكي در باره تاريخ مجموعه هاي فازي بحث نماييم. موفقيت عظيم كاربردهاي تجاري كه حداقل تا حدي مبتني بر تكنولوژي هاي فازي توسط شركتهاي ژاپني مي باشد كنجكاوي بسياري را درباره سودمندي و استفاده از منطق فازي براي كاربردهاي علمي و مهندسي بر انگيخته است. در طي پنج يا ده سال گذشته مدلهاي فازي جانشين تكنولوژي هاي قراردادي تر در كاربردهاي علمي و سيستم هاي مهندسي خصوصاً در سيستم هاي كنترل و شناخت الگو گرديده‌اند. اخيراً مقاله اي در Newsweek خاطر نشان كرد كه ژاپني ها هزاران الگو در لوازم فازي كه تنوع بسياري دارند منجمله ماشين لباسشويي، تهويه هوا، دوربين تلويزيوني، جاروبرقي ، كنترل ترن زير زميني و كشتي و اتومبيل بكار برده‌اند.

اساساً اين تكنولوژي است كه باعث علاقه در اين حوزه شده است. از ۱۹۶۵، مؤلفان بسياري موارد فازي را در بخشهاي مربوط به رياضيات، علوم و مهندسي تعميم دادند. به هر حال علاقه به مدلهاي فازي تا زماني كه كاربردهاي ميداني آن آشكار نشد بسيار عموميت نداشت. دلايل اين تأخير در محبوبيت بسيار مي باشد. اما شايد دقيق ترين توضيح در حقايق برحسته كه در توسعه هر تكنولوژي مسئله اي اساسي مي باشد نهفته باشد كه به طور موجز در شكل ۴ نشان داده شده است.

محور افقي شكل ۴ زمان است و محور عمودي انتظار است و انتظار چه كسي؟ خوب، معمولاً انتظار آدمهايي كه تاوان توسعه تكنولوژي را مي پردازند، اما توصيه مي كنم در اينجا اين محور را به مفهوم وسيع تري بگيريد، براي سودمندي، البته از چشم مصرف كننده. بخش اساسي و بسيار پر اهميت شكل ۴ خط مجانب است كه به تحويل تكنولوژي به ارزش مورد انتظار بسيار پايين تري از آنچه كه مصرف كنندگان اوليه در نظر داشتند منجر مي شود. سالهاي مربوط به محور زمان مربوط به مدلهاي فازي هستند و البته با بهترين تخمين (به استثناي مورد اولي) وقتي به اين شكل نگاه مي كنيد ممكن است مايل به حذف اين مدلها و

جايگزيني تكنولوژي جديد مطلوب خود براي موردي كه نشان داده شده باشيد. هر تكنولوژي سير تكامل خود را دارد و همه آنها الگويي را كه در شكل ۴ نشان داده شده پيروي نمي كنند.(اما ممكن است شگفت زده شويد كه ببينيد چند تاي آنها از اين الگو پيروي مي كنند. براي مثال، سعي كنيد كه با در نظر گرفتن

تاريخ، افراد و حوادث مربوط به آنان را مشخص كنيد براي نمونه شبكه عصبي محاسباتي، هوش مصنوعي، فركتال ها، اعداد مختلط و غيره هر تكنولوژي جديد با خوش بيني و ساده نگري شروع مي گردد . مخترع يا مخترعين در ايده هاي خودشان غرق مي شوند، همكاران نزديك آنها هستند كه، هيجان بسيار زيادي ر تجربه مي كنند. اكثر تكنولوژي ها بيش از حد خوش بينانه هستند و اغلب بيش از ايجاد درآمد براي ادامه كار را نويد مي دهند زيرا منبع مالي و كسب در آمد بخش جدايي ناپذير رشد علمي است كه بدون آن انقلابي ترين ايده ها و تخيل بسيار بالا از مرحله جنيني عبور نمي كنند. Hype ساخت دست طبيعي است كه بيش از حد خوش بينانه است و اكثر تكنولوژي ها به سرعت ساخته مي‌شوند كه به نوك Hype برسند. در پي آن، هميشه تقريباً عكس العمل آن ايده ها وجود دارد كه كاملاً رشد نيافته اند، و اين ناچاراً به شكست مي انجامد و در امتداد آن بد بيني را به دنبال دارد. بسياري از تكنولوژي هاي جديد تا اين نقطه تكامل مي يابند و سپس ناپديد مي شوند.

مواردي نيز تداوم مي يابند. زيرا فردي، سودمندي در آن براي (=سوء استفاده كننده واقعي) ايده هاي اساسي مي يابد.

استفاده يا سودمندي خوب به چه معناست؟ براي مثال، امروزه سودمندي هاي فراواني در اعداد حقيقي براي اعداد مختلط وجود دارد، همانطور كه در مثال هاي ۲ و ۳ديديم. اما رياضي دانان بسياري تا زماني كه رياضي داناني چون وسل ،آرگاند ، هميلون و گاوس اعداد موهومي را از نقطه نظر هندسي به وجود آوردند، اين چنين فكر نمي كردند و البته در بافت مدلهاي فازي استفاده خوب مترادف با تركيب محصولاتي است كه در بالا بدان اشاره شد. علاقه به سيستم هاي فازي در حوزه دانشگاهي، صنعت و دولت همچنين با رشد سريع كنفرانس هاي ملي و بين المللي روشن مي گردد. همچنانكه در بالا بدان اشاره شد كاربردهاي موفقيت آميز مدلهاي فازي به لحاظ كاربردهاي تجاري در ژاپن بسيار شهرت يافته اند.
MITI در ژاپن LIFE ، را در ۱۹۸۸ با بودجه سالانه حدود ۲۴۰۰۰۰۰۰ دلار (دلار آمريكايي) براي هفت سال شروع كرد. ]۰۰۰[

«نظريه مجموعه‌هاي فازي»
ويرايش شده از
J-S.R.Hang ، C,T,sun و E,Mizutani، Neuro-Fuzzy and soft computing ، فصل ۲ Prentice Hall ، ۱۹۹۷
X را فضايي از اشياء و x را يك عنصر نوعي از x در نظر مي گيريم. يك مجموعه ي كلاسيك A، ، بصورت مجموعه اي از عناصر يا اشياء ، كه هر عنصر (x)مي تواند يا عضو مجموعه باشد يا نباشد، تعريف شده است. با تعريف يك «تابع مشخصه(يا عضويت)» براي هر عنصر ، مي توانيم يك مجموعه كلاسيك A را به وسيله ي يك مجموعه از زوجهاي مرتب يا كه به ترتيب اشاره بر يا دارند نمايش دهيم . بر خلاف مجموعه ي قراردادي فوق الذكر، يك مجموعه فازي درجه اي را كه از آن يك عنصر متعلق به مجموعه است، بيان مي كند. بنابراين تابع عضويت يك مجموعه فازي اجازه دارد مقادير بين ۰ و ۱ را داشته باشد كه درجه‌ي عضويت هر عنصر در داخل مجموعه را مشخص مي‌كند.

تعريف ۱:(مجموعه فازي و توابع عضويت): اگر X ومجموعه اي از اشياء باشد كه بطور كلي با x مشخص مي شوند ، در اين صورت يك مجموعه ي فازي A داخل X بصورت مجموعه اي از زوجهاي مرتب به شكل تعريف مي‌شود بطوريكه تابع عضويت (يا براي اختصار MF) براي مجموعه ي فازي A ناميده مي‌شود. MF هر عنصر از X را تا يك «درجه ي عضويت» (يا «مقدار عضويت») بين ۰ و ۱ (شامل شده) ]به شكل نمودار[ ترسيم مي‌كند.
به شكل آشكار ، تعريف مجموعه فازي يك تعميم ساده از تعريف يك مجموعه ي كلاسيك است كه در آن تابع مشخصه اجازه دارد هر مقداري بين ۰ و ۱ را اختيار كند. اگر مقدار تابع مشحصه به ۰ و ۱ محدود شود، A به يك مجموعه كلاسيك كاهش مي‌يابد.

براي وضوح، به مجموعه هاي كلاسيك به عنوان مجموعه هاي متداول، مجموعه هاي crisp، مجموعه هاي غير فازي يا فقط مجموعه ها نيز مراجعه خواهيم كرد. اغلب به X به عنوان «مجموعة جهاني » يا بطور ساده«جهان» رجوع مي شود و ممكن است شامل اشياء گسسته (مرتب يا نامرتب) بوده يا اينكه يك فضاي پيوسته باشد. با مثالهاي زير اين مسئله روشن خواهد شد.

مثال ۱(مجوعه هاي فازي، جهان گسسته ي نامرتب): X را مجموعه ي شهرهايي كه يك نفر ممكن است براي زندگي انتخاب كند قرار دهيد بصورت {لس آنجلس ، بوستون ، سان‌فرانسيسكو }=X مجموعه ي فازي «شهر مطلوب براي زندگي»=A ممكن است به شكل مقابل شرح داده شود: {(۸/۰٫ بوستون)، (۹۶/۰، لس آنجلس)، (۹/۰، سان فرانسيسكو)}=A به وضوح جهان مباحثه X گسسته است و اشياء نامرتب را شامل مي شود، در اينجا سه شهر بزرگ در ايالت متحده ، همان طور كه مي توان ملاحظه كرد. درجه هاي عضويت مذكور كه در بالا ليست شد كاملاً فردي و شخصي است و هركس مي تواند با سه مقدار متفاوت اما درست براي نشان دادن برتري خود حاضر شود.

مثال ۲(مجموعه هاي فازي با جهان گسسته ي مرتب): X را مجموعه ي تعداد فرزنداني كه يك خانواده ممكن است براي داشتن انتخاب كند بصورت مقابل قرار دهيد، . اكنون مجموعه فازي «تعداد فرزندان مطلوب در خانواده»=B ممكن است به شكل مقابل شرح داده شود:

در اينجا ما يك جهان گسسته ي مرتب X داريم. MF براي مج

موعه فازي B در شكل (a)5 نشان داده شده است. مجدداً درجه هاي عضويت اين مجموعه فازي آشكارا ، مقاديري فردي و شخصي هستند.
مثال ۳(مجموعه هاي فازي با جهان پيوسته): Xرا مجموعه ي سن هاي ممكن براي انسان بصورت قرار دهيد. در اين صورت مجموعه ي فازي «سن حدود ۵۰ سال»=C ممكن است بصورت بيان شود بطوريكه . اين در شكل (b)5 نشان داده شده است. از مثالهاي در پيش آمده واضح است كه ساختمان يك مجموعه فازي وابسته به دو چيز است، شناسايي يك جهان مباحثه مناسب و تعيين يك تابع عضويت شايسته. تعيين توابع عضويت فردي(وابسته به طرز تفكر شخصي) است، كه يعني توابع عضويت تعيين شده براي يك مفهوم توسط افراد متفاوت ممكن است بطور قابل توجهي تفاوت داشته باشد. اين فرديت از تفاوتهاي

شخصي افراد در بيان كردن مفاهيم مطلق(مجرد) ناشي مي شود و ارتباط چنداني به تصادف و تصادفي بودن ندارد . بنابراين «فرديت» و «تصادفي نبودن» مجموعه هاي فازي تفاوت عمده بين مطالعه ي مجموعه هاي فازي و نظريه‌ي احتمال كه با رفتار علمي و بدون نظر خصوصي با پديده هاي تصادفي سروكار دارد، است. مجموعه هاي فازي تفاوت عمده بين مطالعه ي مجموعه هاي فازي و نظريه احتمال كه با رفتار علمي و بدون نظر خصوصي با پديده هاي تصادفي سروكار دارد، است.
در عمل، وقتي كه جهان مباحثه X يك فضاي پيوسته است، ما معمولاً آنرا به چندين مجموعه فازي كه MF هاي آنها X را در حالتي كم و بيش يكنواخت بپوشاند، تقسيم مي كنيم. اين مجموعه هاي فازي كه معمولاً داراي اسمهايي هستند كه با صفتهايي كه در كاربرد روزمره ي زباني ما ظاهر مي‌شوند مطابقت دارند (مانند«بزرگ»، «متوسط» يا «كوچك»)، «مقادير زباني» يا «برچسب هاي زباني » ناميده مي شوند. بنابراين جهان مباحثه X معمولاً «متغير زباني» ناميده مي شود. مثالي درباره‌ي اين در زير مي آيد.

مثال ۴(متغيرهاي زباني و مقادير زباني): فرض كنيد «سن»=X، در اين صورت مي توانيم مجموعه هاي فازي «جوان»، «ميانسال» و «پير» را در اين مورد تعريف كنيم. اگر «سن» مقدار «جوان» را بخود بگيرد، در اين صورت بيان «سن ، جوان است» را خواهيم داشت و به همين شكل براي بقيه ي مقادير مثالي از MF ها براي اين مقادير زباني در شكل ۶ آمده است بطوريكه جهان مباحثه X بطور كامل توسط MF ه

ا پوشيده شده است و انتقال از يك MF به ديگري نرم و تدريجي است. اكنون بياييد بعضي از واژه ها و اصطلاحات بكار رفته در اين نوشته را تعريف كنيم.
تعريف ۲ (تكيه گاه) : تكيه گاه يك مجموعه‌ي فازي A ، مجوعه‌ي تمام نقاط x داخل X است بطوريكه .
تعريف ۳ (مغز يا هسته) : مغز يا هسته يك مجموعة فازي A مجموعه تمام نقاط x داخل X است بطوريكه .
تعريف ۴ (حالت عادي) : يك مجموعه‌ي فازي عادي است اگر مغزش ناتهي باشد . به بيان ديگر، هميشه بتوانيم حدال يك نقطه پيدا كنيم بطوريكه .
تعريف ۵(نقاط متقاطع ): يك نقطه ي متقاطع از يك مجموعه ي فازي نقطه ي است بطوريكه .
تعريف ۶(يگانه فازي) :يك مجموعه فازي كه با تكيه‌گاه آن يك تك نقطه در X با باشد يگانه ي فازي

ناميده مي شود.
تعريف ۷ (برش ، برش قوي) : مجموعه ي برش يا تراز از يك مجموعه فازي A يك مجموعه ي crisp است، كه به صورت تعريف شده است. مجموعه ي برش قوي يا تراز قوي نيز به شكل مشابه تعريف شده است:

تعريف ۸(تحدب):يك مجموعه فازي A محدب است اگر و فقط اگر براي هر و هر ، . به شكل جايگزين، A محدب ا
تعريف ۹(اعداد فازي) :يك عدد فازي A يك مجموعه ي فازي در اعداد حقيقي است كه شرايط حالت عادي و تحدب را مي پذيرد. بيشتر مجموعه هاي فازي بكار رفته در نوشته جات شرايط حالت عادي و تحدب را مي پذيرند ، بنابراين اعداد فازي اساسي ترين نوع مجموعه‌هاي فازي را از كار خود كنار مي گذارند. اجتماع، اشتراك و مكمل اصلي‌ترين اعمال روي مجموعه هاي كلاسيك هستند. برپايه‌ي اين سه عمل تعدادي هويت مي تواند بنا نهاده شود. مشابه اعمال اجتماع، اشتراك و مكمل براي مجموعه هاي معمولي، مجموعه هاي فازي اعمال مشابهي دارند كه ابتدا در مقاله ي اصلي «زاده»]۱[ تعريف شدند. قبل از معرفي اين سه عمل مجموعه هاي فازي، نخست ما نظريه «شامل بودن» كه نقش مركزي در مجموعه هاي معمولي و فازي ايفا مي كند تعريف خواهيم كرد. البته تعريف شامل بودن يك تعميم طبيعي از اين تعريف براي مجموعه هاي معمولي است.

تعريف ۱۰ (محدود كردن يا زير مجموعه) : مجموعه ي فازي A در مجموعه ي فازي B است (يا بطور هم ارز، A يك زير مجموعه‌ي B است يا A كوچكتر مساوي B است، ) اگر و فقط اگر براي هر x، .
تعريف ۱۱(اجتماع(انفصال)) : اجتماع دو مجموعه ي فازي A و B، مجموعه فازي C است كه به شكل يا نوشته مي شود، كه MF آن به صورت مقابل با MF هاي A و B مرتبط است:

تعريف ۱۲(اشتراك(اتصال)) : اشتراك در مجموعه فازي A و B، مجموعه ي فازي C است كه به شكل يا نوشته مي شود، كه MF آن به صورت مقابل با MF‌هاي A و B مرتبط است:

تعريف ۱۳(مكمل(نفي)) :مكمل مجموعه فازي A، كه با يا not A مشخص مي شود، به صورت تعريف مي شود.
دقت كنيد كه اعمال معرفي شده در اين سه تعريف (۱۱ تا ۱۳) دقيقاً مانند اعمال مشابه براي مجموعه هاي معمولي عمل مي كنند ، اگر مقادير توابع عضويت به ۰ و ۱ محدود شوند. به هر حال، قابل فهم است كه اين توابع تنها شكل ممكن تعميم اعمال مجموعه ي crisp نيستند. براي هر كدام از سه عمل مذكور مجموعه ها، چندين گروه متفاوت از توابع يا خواص مطلوب متعاقباً در درون متن پيشنهاد شده است(مثلاً مجموع جبري براي اجتماع و حاصلضرب براي اشتراك) در حالت

كلي اجتماع و اشتراك مجموعه هاي فازي مي توانند به ترتيب به وسيلة عملگرهاي ‏T-conorm(S-norm) و T-norm تعريف شوند. اين دو عملگر توابع به شكل هستند كه بعضي خواص شركت پذيري، جابجايي پذيري، يكنواختي و مرز مناسب را مي پذيرند همان طور كه توسط زاده ]۱[ اشاره شده است يك تعريف ذاتي اما هم ارز براي اجتماع، «كوچكترين» مجموعه ي فازي است كه هم شامل A و هم شامل B باشد. به طور جايگزين، اگر D هر مجموعه ي فازي شامل هم A و هم B باشد، در اين صورت آن شامل است. به طور مشابه، اشتراك A و B «بزرگترين» مجموعه فازي است كه هم در A و هم در B مشمول باشد.
(ادامه متن ويرايش شده است از

J.M.Mendel “Fuzzy logic sysytem for Engineering:A Tutorial” proc. of IEEE (3)83، ۱۹۹۵)
دو قانون بنيادي(ارسطويي) نظريه مجموعه crisp عبارتند از:۱)قانون تناقض : (يعني يك مجموعه و مكمل آن بايد جهان مباحثه را شامل شوند.)
۲)قانون ميانه ي منع شده : (يعني يك شي مي تواند در يك مجموعه يا مكمل آن باشد. نمي تواند هم زمان در هر دو قرار بگيرد.) به راحتي ديده مي شود كه براي هر مجموعه‌ي فازي كه non-crisp است(يعني كه تابع عضويت آن، تنها مقادير ۰ و ۱ را اختيار نمي‌كند(به مقادير ۱و۰ محدود نيست)) هر دو قانون شكسته مي شود(يعني براي مجموعه‌هاي فازي و در حقيقت بطوريكه داريم و به عنوان مثال، مي توانيم از شكل ۶ ببينيم كه چطور يك شخص ۳۰ ساله جوان است، با

تابع عضويت ۵/۰ و جوان نيست با تابع عضويت ۵/۰، در واقع، يكي از راههاي نشان دادن تفاوت بين نظريه ي مجموعه crisp و نظريه ي مجموعه فازي اين است كه توضيح دهيم اين دو قانون در نظريه مجموعه فازي برقرار نيستند. نتيجتاً، هر رياضيات ديگري كه بر نظريه مجموعه crisp تكيه دارد مانند احتمال (بر پايه ي تكرار) بايد از نظريه فازي متفاوت باشد.

 

ما اكنون مفهوم رابطه ها در مجموعه هاي فازي و crisp را معرفي خواهيم كرد؛ اين در حركت به سمت منطق فازي كمك خواهد كرد. يك رابطه crisp حضور يا عدم حضور وابستگي، اثر متقابل يا به هم پيوسته بودن بين عناصر دو يا چند مجموعه را نمايش مي‌دهد. براي دو مجموعه X و Y داده شده، يك رابطه R بين X و Y خود يك مجموعه R(x,y) زير مجموعه اي از است. براي مثال رابطه ي ترتيبي «كوچكتر از» (<) رابطه اي است كه در كه بصورت تعريف مي شود. نقطه ي (۱۲۳،۱) متعلق به LT(R,R) است در حاليكه به وضوح (۱،۱۲۳) متعلق به آن نيست.(توجه: با Y*X، به ضرب دكارتي مجموعه هاي X و Y اشاره داريم كه مجموعه اي از زوجهاي مرتب با مقاديري به ترتيب از X و Y است. يعني .

تعريف ۱۴(رابطه ي فازي): يك رابطه ي فازي، درجه اي از حضور يا عدم حضور وابستگي، اثر متقابل يا به هم پيوسته بودن بين عناصر دو يا چند مجموعه را نمايش مي دهد. مثالهايي از رابطه‌هاي (دوتايي) فازي عبارتند از:

x خيلي بزرگتر از y است، y خيلي نزديك به x است، z خيلي سبزتر از y است. X و Y را در جهاني مباحثه قرار دهيد . يك رابطه ي فاري R(x,y)، يك مجموعه فازي در فضاي حاصلضرب X*Y است ، يعني يك زير مجموعه‌ي فازي از Y*X است و با تابع عضويت مشخص مي شود. يعني

تفاوت بين يك رابطه ي فازي و يك رابطه ي crisp اين است كه براي اولي هر مقدار عضويتي در بازه ي [۰,۱] مجاز است در حاليكه براي دومي تنها ۰و ۱ قابل اختيار هستند. علت آن كه يك رابطه ي فازي نه تنها بهم پيوستگي بين عناصر دو يا چند مجموعه (مثلاً آن طور كه يك رابطه ي crisp انجام مي دهد) بلكه درجه يا حد اين وابستگي را هم بيان مي‌كند، نيز همين است. از آنجائيكه رابطه هاي فازي مجموعه‌هاي فازي در فضاي حاصلضرب هستند. اعمال نظري مجموعه ها مي توانند با استفاده از تعاريف ۱۱ تا ۱۳ براي آنها تعريف شود.