مسائل كار و انرژي

مسئله ها
۱٫ كارگري براي هل دادن صندوقي به جرم ۵۲kg ، نيرويي برابر با ۱۹۰N در جهت زير سطح افقي بر آن وارد مي كند. صندوق به اندازه ۳٫۳m جابجا مي شود. (الف) كارگر، (ب) نيروي گرانش، و (ج) نيروي عمودي وارد بر صندوق از زمين، هر يك چقدر كار روي صندوق انجام مي دهند؟
حل: دياگرام مسأله به صورت زير است.

(الف)
(ب) زيرا نيروي وزن بر جابجايي عمود است.

(ج) ، چون نيروي قائم بر جابجايي عمود است.
۲٫ جسمي به جرم ۱۰۶kg با سرعت ۵۱٫۳ m/s روي خطي راست حركت مي كند. (الف) اين جسم را با شتاب كند كننده متوقف مي كنيم. چه نيرويي لازم است، جسم طي چه مسافتي متوقف مي شود، و اين نيرو چقدر كار انجام مي دهد؟ (ب) اگر شتاب كند كننده باشد، جواب اين پرسشها چه مي شود؟
حل:
۳٫ كارگري صندوقي به جرم ۲۵kg را روي سطح شيبداري با زاويه شيب به بالا هل مي دهد؛ اين كارگر نيرويي براي با ۱۲۰N ، موازي با سطح شيبدار، به صندوق وارد مي كند. صندوق ۳٫۶m جابجا مي شود. (الف) كارگر، (ب) نيروي گرانش، و (ج) نيروي عمود بر سطح شيبدار، هر يك چقدر كار انجام مي دهند؟

(الف)
(ب)

(ج) ، زيرا نيرو بر جابجايي عمود است.
۴٫ با استفاده از ميدان الكتريكي مي شود از فلزات الكترون خارج كرد. براي اينكه يك الكترون از تنگستن جدا كنيم، ميدان الكتريكي بايد ۴٫۵eV كار انجام بدهد. فرض كنيد كه ميدان الكتريكي در طي مسافت ۳٫۴nm اثر مي كند. حداقل نيرويي كه ميدان بايد بر الكترون وارد كند تا الكترون از فلز كنده شود، چقدر است؟
حل: از رابطه W=Fd داريم:

۵٫ با استفاده از يك طناب، جسمي به جرم M را با شتاب ثابت رو به پايين g/4 ، به اندازه مسافت d در امتداد قائم پايين مي آوريم. (الف) طناب چقدر كار روي جسم انجام مي دهد؟ (ب) نيروي گرانش چقدر كار انجام مي دهد؟

حل: دياگرام مسأله به صورت زير است.
(الف) بنابر قانون دوم نيوتن به ازاي داريم لذا بنابراين:

(ب)
۶٫ كارگري جسمي به وزن را روي سطح افقي تا مسافت (يعني ) منتقل مي كند. جسم با سرعت ثابت حركت مي كند و نيروي كارگر در جهت زير سطح افقي به جسم وارد مي شود. ضريب اصطكام جنبشي ۲۱/۰است. كارگر چقدر كار روي جسم انجام مي دهد؟
حل: دياگرام مسأله به صورت زير است.

لذا داريم ولي

بنابراين:

كه مي دهد:

بنابراين:

۷٫ الواري به جرم را به اندازه با سرعت ثابت، روي سطح شيبداري با زاويه به طرف بالا هل مي دهيم. براي اين كار، يك نيروي ثابت افقي به الوار وارد مي كنيم. ضريب اصطكاك جنبشي بين الوار و سطح شيبدار ۱۹/۰ است. (الف) كار نيروي اعمال شده و (ب) كار نيروي گرانشي را حساب كنيد.
حل: دياگرام مسأله به صورت زير است.

بنابر قانون دوم نيوتن (چون سرعت ثابت است شتاب نداريم a=0) داريم:

چون لذا
لذا

كه مي دهد و بنابراين در راستاي سطح شيبدار داريم:

(ب)

۸٫ قطعه يخي به جرم kg 2/47 روي سطح شيبداري به طول و ارتفاع m 902/0 به طرف پايين مي لغزد. كارگري به اين قطعه يخ در راستاي موازي سطح شيبدار طوري به طرف بالا نيرو وارد مي كند كه يخ با سرعت ثابت پايين بيايد. ضريب اصطكاك جنبشي ميان يخ و سطح شيبدار ۱۱۰/۰ است. (الف) نيرويي را كه كارگر وارد مي كند و (ب) كاري را كه كارگر روي قطعه يخ انجام مي دهد، و (ج) كاري را كه گرانش روي قطعه يخ انجام مي دهد پيدا كنيد.
حل: دياگرام مسأله به صورت زير است.

چون سرعت ثابت است پس (a =0) بنابر قانون دوم نيوتون داريم:

ولي لذا

زيرا
(ب)

(ج)

۹٫ شكل زير آرايه اي از قرقره ها را نشان مي دهد كه به كمك آن كشيدن بار سنگين L به طرف بالا آسانتر مي شود. فرض كنيد اصطكاك در همه جاي سيستم ناچيز است، و وزن كل دو قرقره اي را كه بار به آنها وصل است lb 0/20 بگيريد. مي خواهيد باري به وزن lb 840 را ft 0/12 بالا ببريم. (الف) حداقل نيروي F لازم براي اين كار چقدر است؟ (ب) چقدر كار بايد در برابر گرانش انجام داد تا بار تا اين ارتفاع بالا برود؟ (ج) نقطه اثر نيروي اعمال شده را به چه مسافتي بايد حركت داد تا بار ft 0/12 بالا برود؟ (د) نيروي F چقدر كار بايد انجام بدهد تا بار به اندازه مورد نظر بالا برود؟

حل: (الف) lb 215 ، (ب) (ج) ، (د)
۱۰٫ جسمي به جرم kg 0/5 روي خط راستي بر سطح افقي بدون اصطكاكي حركت مي كند. طي حركت نيرويي وابسته به مكان بر آن وارد مي شود، كه به صورت شكل زير است. اين نيرو، طي تغيير مكان ذره از مبدأ تا چقدر كار انجام مي دهد؟

حل: مساحت زير منحني نيرو – جابجايي = كار انجام شده،

۱۱٫ جسمي به جرم kg 10 در راستاي محور x حركت مي كند. تابع شتاب جسم بر حسب مكان، به صورت شكل زير است. كار خالص انجام شده روي ذره، طي حركت آن از x =0 تا چقدر است؟

حل: چون لذا

۱۲٫ ثابت نيروي فنري است. (الف) چقدر كار لازم است تا فنر، از حالت آزاد، به اندازه mm 60/7 كشيده شود؟ (ب) چقدر كار لازم است تا فنر را، از اين حالت، mm 60/7 ديگر بكشيم؟
حل: (الف)

(ب) در اينجا لذا

۱۳٫ نيروي وارد بر جسمي، است. كار انجام شده طي حركت جسم از x =0 تا را (الف) با رسم منحني F (x) و حساب كردن مساحت زير منحني و (ب) با محاسبة تحليلي انتگرال به دست بياوريد.
حل: (الف) با توجه به جدول زير داريم:
۰
۰

(ب)

۱۴٫ (الف) كار انجام شده توسط نيروي شكل زير را، طي تغيير مكان ذره از تا تخمين بزنيد. بازه ها را كوچكتر كنيد و ببينيد كه تا چه حد مي توانيد به جواب دقيق J6 نزديك شويد. (ب) معادله تحليلي اين منحني، است كه در آن . كار را با انتگرال گيري به دست بياوريد.
حل: (الف) مساحت هر مستطيل ۵/۰ است و زير منحني درباره [۳ و۱] در حدود ۱۲ مستطيل كه معادل j6 است.

(ب)

۱۵٫ شكل زير فنري را نشان مي دهد كه يك شاخص به انتهاي آن متصل است، مجاور فنر، خط كشي كه بر حسب ميلي متر مدرج شده، آويزان است. مطابق شكل. سه وزنة متفاوت را به نوبت از فنر مي آويزيم. (الف) اگر هيچ وزنه اي به فنر آويزان نباشد، شاخص چه عددي را نشان مي دهد؟
(ب) وزن W چقدر است؟

حل: چون
لذا با توجه به دو شكل اول (از سمت چپ) داريم:

(ب) وقتي را در يكي از معادله هاي فوق قرار دهيم و لذا براي شكل سوم داريم.

۱۶٫ با انتگرال گيري در امتداد قوس، نشان بدهيد كه كار گرانش، در مثال ۴ برابر با –mgh است.
حل:
۱۷٫ جسمي به جرم kg 675/0 روي ميز بدون اصطكاكي قرار دارد و به ريسماني متصل است كه از سوراخي در ميز مي گذرد؛ جسم با سرعت ثابت روي دايره اي افقي به مركز اين سوراخ حركت مي كند.(الف) اگر شعاع دايره m 500/0 و سرعت m/s0/10 باشد، كشش ريسمان چقدر است؟ (ب) مشاهده مي شود كه اگر m 200/0 ديگر از ريسمان را به درون سوراخ بكشيم، و در نتيجه شعاع دايره را به m 300/0 برسانيم، كشش ريسمان ۶۳/۴ برابر مي شود. كل كاري كه ريسمان، طي اين كاهش شعاع، روي جسم گردان انجام مي دهد چقدر است؟
حل: (الف) N 135 ، (ب) J 0/60 .
18. انرژي جنبشي هر يك از اين اجسام را در سرعتهاي مشخص شده حساب كنيد. (الف) يك بازيكن فوتبال به جرم kg110 و با سرعت m/s 1/8 ؛ (ب) گلوله اي به جرم g 2/4 و با سرعت m/s 950 ؛ ناو هواپيما بر نيميتس به جرم ۶۱۴۰۰ تن و با سرعت ۰/۳۲ گره.
حل:
۱۹٫ يك الكترون رسانش در مس، در دماي نزديك به صفر مطلق، eV 2/4 انرژي جنبشي دارد. سرعت آن چقدر است؟
حل: از رابطه داريم:

۲۰٫ پروتوني در يك شتاب دهنده خطي شتاب مي گيرد، در هر مرحله دستگاه، پروتون در جهت حركتش شتاب مي گيرد. اگر پروتون با سرعت اوليه به يكي از اين مراحل، كه طول آن cm50/3 است وارد شود (الف) سرعت پروتون در پايان اين مرحله و (ب) مقدار انرژي جنبشي اي كه در اثر اين شتاب به انرژي قبلي اش افزوده مي شود. چقدر است؟ جرم پروتون است. انرژي را بر حسب الكترون ولت بيان كنيد.
حل: (الف)

(ب)

۲۱٫ نيرويي بر ذره اي، كه روي خط راست حركت مي كند، وارد مي شود. نمودار سرعت- زمان ذره در شكل زير نشان داده شده است. علامت (مثبت يا منفي) كاري را كه نيرو، در هر يك از بازه هاي AB ، BC ، CD و DE روي ذره انجام مي دهد پيدا كنيد.

حل: در فاصله AB ، جسم با شتاب ثابتي حركت مي نمايد و چون شتاب جسم در جهت سرعت است، لذا نيرويي وارد بر جسم و جابجايي جسم هم جهت اند، بنابراين كار انجام شده توسط نيروي مورد نظر در فاصله AB مثبت است. در مسير BC جسم سرعت ثابت دارد، پس شتاب صفر بوده و لذا نيرو و كار هم برابر صفر مي باشد. در مسير CD با گذشت زمان، سرعت جسم با شتاب ثابتي كم مي شود، لذا جهت شان مخالف هم است، كه مي دهد نيروي وارد بر جسم و جابجايي هم جهت هاي مخالفي دارند و لذا كار انجام شده منفي مي باشد. در مسير DF ، با گذشت زمان، سرعت جسم با شتاب ثابتي زياد مي شود، لذا هم جهت اند و در نتيجه جابجايي و نيرو هم، هم جهت اند، پس كار انجام شده مثبت مي باشد.
۲۲٫ براي سفر به ماه، يك موشك ساترن V به جرم كه حامل يك فضاپيماي آپولو است، بايد به سرعت گريز (يعني ) در نزديكي سطح زمين برسد. سوخت موشك بايد حاوي چقدر انرژي باشد؟ آيا عملاً سيستم به همين مقدار انرژي نياز دارد يا كمتر يا بيشتر؟ چرا؟
حل:

۲۳٫ اتومبيلي به وزن lb2800 را در نظر بگيريد. اين اتومبيل از چه ارتفاعي بايد سقوط كند تا انرژي جنبشي آن برابر با همين انرژي در زماني باشد كه با سرعت mi/h55 حركت مي كند؟ آيا جواب به وزن اتومبيل بستگي دارد؟
حل: ft100 ، خير. توجه كنيد كه كار انجام شده توسط نيروي گرانشي زمين روي اتومبيل، در سقوط برابر است با W=mgh و چون از قضيه كار – انرژي داريم زيرا ، پس لذا .
۲۴٫ اتومبيلي به جرم kg 1100 ، با سرعت km/h 46 در جاده اي افقي حركت مي كند. راننده طوري ترمز مي كند كه اتومبيل kJ 51 انرژي جنبشي از دست مي دهد. (الف) سرعت اتومبيل در اين حالت چقدر است؟ (ب) ترمز بايد چقدر ديگر از انرژي جنبشي اتومبيل را بگيرد تا اتومبيل كاملاً متوقف شود؟
حل: از رابطه داريم لذا (ب) از رابطه به ازاي فوق استفاده كنيد.