معادلات دیفرانسیل – روش های تفاضل متناهی

«روش‌هاي تفاضل متناهي»
روابط واضح يا غيرواضح بين مشتقات و مقادير توابع در نقاط آغازي وجود دارد.
نقاط آغازي بر روي [a,b] مي تواند به وسيله [j= 1,2,…,N] و xj= a+jh به طوريكه ، ، در نظر گرفته شود.
اين عبارت براي مشتقات تحت شرايط مقادير تابعي است.
جواب مسأله مقدار مرزي يك تفاضل متناهي بوسيله جاي‌گذاري معادله ديفرانسيل در هر نقطه آغازين به وسيله يك معادله تفاضلي بدست مي آيد.
با در نظر گرفتن شرايط مرزي در معادلات تفاضلي، سيستم جبري معادلات مورد حصول حل مي شود، اين يك جواب عددي تخميني براي مسأله مقدار مرزي بدست مي دهد.
– Linear Second Order Differential Equations

[معادلات ديفرانسيل خطي مرتبه دوم] ‍[صفحه ۵, ۴ ]
به معادله ديفرانسيل مرتبه دوم زير توجه مي كنيم:
، (۴۶)
در رابطه با شرايط مرزي نوع اول: ، (۴۷)
مقدار قطعي u(m) از با مشخص شده و مقدار تقريبي آن با ، با استفاده از سريهاي تيلورها مي توانيم مشخص كنيم كه:
( .۴۲)

به طوري كه و
(۴۹)

به طوري كه
ما فرض كرديم كه پيوستگي بدين صورت است:

به طوري كه .
با در نظر گرفتن شرايط در ۴۸ ، ۴۹ و جايگذاري در ۴۶ ، تفاضل تقريبي متناهي معادله ديفرانسيل مذكور در به صورت زير است:
( .۵۰)
شرايط مرزي ( .۴۲) به صورت زير تبديل مي شود:
( .۵۱)
پس از ضرب با ، ( .۵۰) مي تواند به صورت زير نوشته شود:
و ( .۵۲)
به طوري كه:
و و
سيستم ( .۵۲) در نوشتار ماتريسي، پس از لحاظ شرايط مرزي، تبديل مي‌شود به:
( .۵۳) Au=b
به طوري كه:

حل سيستم معادلات خطي ( .۵۳) جواب تفاضل متناهي معادله ديفرانسيل ( .۴۶) را ارائه مي دهد كه پاسخگوي شرايط مرزي مدنظر است.

اشتباه بريدگي داخلي. (p.565) (خطاي برش)
غلط بريدگي داخلي از معادله ( .۵۲) بوسيله
( .۵۴)
نشان داده مي شود. به طوري كه
بسط هر شرط در طرف اول معادله ( .۵۴) در سري تيلور آن مول ، بدست مي دهد:
( .۵۵)
به طوري كه .
بنابراين روش مذكور، روش حل معادله مرتبه دوم مي باشد.

شرايط مرزي اشتقاقي: (p.596)
هم اكنون توجه خود را به شرايط مرزي نوع سوم معطوف مي كنيم:

( .۵۶)
تفاضل تقريبي معادله ديفرانسيل ( .۴۶) در گره‌هاي داخلي j=1,2,…,N ، بوسيله معادله ( .۵۲) داده شده كه داراي N+2 مجموع در N معادله مي‌باشد. هم اكنون ما نياز داريم دو يا چند معادله متناظر براي شرايط مرزي ( .۵۶) بيابيم.
با حذف شرايط در ( .۴۸) ، تفاضل تقريبي متناهي ( .۵۶) به صورت زير مي باشد:
در : يا
( .۵۷)
در يا
( .۵۸)
به طوري كه و ، مقادير تابعي در و مي باشند. گره‌هاي و خارج از بازه [a,b] قرار دارند و گره‌هاي غيرواقعي خوانده مي‌شوند:
ديفرانسيل:
مقادير و مي توانند با اين فرض كه معادله تفاضلي ( .۵۲) براي N+1 و j= 0 در نقاط مرزي و باقي مي ماند و مي تواند ناديده گرفته شود.
جايگذاري مقادير و در ( .۵۷) و ( .۵۸) در معادلات ( .۵۲) به ازاي N+1 و j= 0 ما را مي رساند به:

( .۵۹)
معادلات ، ( .۵۲) ، و يك سيستم سه‌گانه از معادلات بوجود مي آورند.
تا زماني كه تفاضل تقريبي ( .۵۲) براي معادله ديفرانسيل ( .۴۶) و تفاضلات تقريبي ( .۵۹) براي شرايط مرزي ( .۵۶) ، همگي مرتبه دوم هستند. تمام معادلات براي ، همچنين مرتبه دوم هستند.
به طور متقابل، ما نمي توانيم از نقاط غيرواقعي ، استفاده كنيم. در اين مورد ما مي توانيم از تقريب هاي زير استفاده كنيم:

يا
( .۶۰)
( .۶۱)
يا

تا زماني كه تقريب هاي ( .۶۰) ، ( .۶۱) از نوع اول هستند، تمام معادلات
( .۶۰) ، (۷٫۶۲) و (۷٫۶۱) براي j= 0,…,N+1 نمي توانند مرتبه دوم بمانند. اين معادلات همچنين يك دستگاه معادلات تشكيل مي دهند.

يا
( .۶۲)

يا
( .۶۳)
تا زماني كه تقريب هاي ( .۶۲) و ( .۶۳) از مرتبه دوم هستند، تمام معادلات ( .۶۲)، ( .۵۲) و ( .۶۳) براي همچنين از مرتبه دوم هستند. اگر ما را از ( .۶۲) كه از اولين معادله مجموعه ( .۵۲) استفاده مي كند. و را از ( .۶۳) كه از آخرين معادله مجموعه ( .۵۲) حذف كنيم سپس معادلات حاصله يك دستگاه معادلات سه‌گانه تشكيل مي‌دهند.

روش مرتبه چهارم در غياب در ( .۴۶) . (p.598)
به معادله ديفرانسيل زير توجه كنيد:
( .۶۴)
كه در ارتباط با شرايط مرزي نوع اول ( .۴۲) است.
براي اين مسئله ما مي توانيم يك روش مرتبه بالاتر يا مرتبه چهارم بسازيم. ما معادله ديفرانسيل را به صورت زير:
( .۶۵)
و يك روش Numeruv براي حل آن مي نويسيم.

( .۶۶)

( .۶۷)

شرايط مرزي اشتقاقي براي ( .۵۶) . (p.598)
بار ديگر توجه خود را به شرايط مرزي نوع سوم معطوف مي كنيم:
( .۶۸)
( .۶۹)
نظر به اينكه روش Numeruv ( .67) براي ( .۶۵) از مرتبه چهارم مي‌باشد، به تقريبات مرتبه چهارم براي و نياز داريم. با ، و با استفاده از بسط سري تيلور مي نويسيم:
( .۷۰)
با استفاده از قانون سيسمون براي بررسي كران انتگرال طرف راست داريم:

( .۷۱)
به طوري كه و
تخمين خطا از مي باشد.
هم اكنون به يك تخمين براي نياز داريم. با استفاده از سري‌هاي تيلور مي نويسيم:
( .۷۲)
تخمين خطار از مي باشد. اگر تخمين ( .۷۲) در ( .۷۱) مورد استفاده قرار گيرد، سپس مرتبه‌اش را با حفظ مي كند. بنابراين با شكل دادن ( .۷۱) ، ( .۷۰) و ( .۷۲) تخمين زير را داريم:
( .۷۳)
( .۷۴)
به طوريكه با حل كردن براي داريم:

كه از مي باشد با جايگذاري در ( .۶۸) ، تقريب تفاضلي صحيح از داريم كه در x =a صحيح است به صورت زير:
( .۷۵)
به طور مشابه مي نويسيم:
( .۷۶)
بار ديگر با استفاده از قانون سيسون براي بررسي طرف راست انتگرال داريم:

( .۷۷)

به طوري كه ؛

تخمين خطار از است.
هم اكنون با استفاده از بسط سري تيلور مي نويسيم:
( .۷۸)
تقريب خطا از مي باشد. بنابراين با شكل دادن ( .۷۶) ، ( .۷۷) و (۷٫۷۸) تقريب را بدين صورت داريم:
( .۷۹)
به طوري كه ( .۸۰)
با حل كردن براي بدست مي آوريم.
( .۸۱)
كه از است.
با جايگذاري در ( .۶۹) تقريب تفاضل را كه در x =b صحيح است بدست مي آوريم كه بدين صورت است.
( .۸۲)
به جاي تقريبي كه در ( .۷۸) داده شده، همچنين مي توانيم از عبارت زير استفاده كنيم:

پس بجاي تقريب داده شده در (۷٫۸۰) داريم:
( .۸۳)
مثال ۱٫ حل كنيد مسأله مقدار مرزي زير را با و به كار بردن متد فوق.
؛ ؛
حل. بازه بسته [۰,۱] را به چهار زير جازه تقسيم مي كنيم، نقاط گره‌اي عبارتند از:
، ؛
روش حل معادله ديفرانسيل مرتبه دوم يك دستگاه معادلات زير را بدست مي دهد.

با ضرب در طرفين معادله بالا بدست مي آوريم:

براي داريم.

با به كار بردن شرايط مرزي داريم:

مثال ۲: مسأله مقدار مرزي زير را وقتي حل كنيد.
؛ و
حل: با به كار بردن روش حل معادله ديفرانسيل مرتبه دوم
وقتي ؛ ما چهار نقطه گره‌اي داريم: و كه عبارتند از ۰ ، ، و ۱٫
سيستم معادلات زير را بدست مي آوريم: