معادلات دیفرانسیل مرتبه اول و دوم و بالاتر

منابع :
معادلات دیفرانسیل معمولی (دانشگاه فردوسی مشهد)، معادلات دیفرانسیل و کاربرد آن ها (دانشگاه فردوسی مشهد)، معادلات دیفرانسیل و کاربرد آن (جورج اف. سیمونز)، معادلات دیفرانسیل رهیان ارشد

«فهرست مطالب»
عنوان : صفحه :

فصل اول : مقدمه
۱ .۱ ) مقدمه
۱ . ۲ ) مرتبه، درجه و نوع معادله دیفرانسیل
۱ . ۳ ) جوابهای معادله دیفرانسیل
۱ . ۴ ) تشکیل معادله دیفرانسیل از یک رابطه اولیه
۱ . ۵ ) تعیین مسیرهای متعادمد یک دسته منحنی

فصل دوم : معادلات دیفرانسیل مرتبه اول
۱ . ۲ ) مقدمه
۲ .۲ ) معادلات جدا شدنی
۲ . ۳ ) معادلات همگن
۲ . ۴ ) معادلات کامل
۲ . ۵ ) عامل انتگرالساز

۲ . ۶ ) معادلات دیفرانسیل خطی
۲ . ۷ ) معادلات خاص
۲ . ۸ ) حالتهای خاص
۲ . ۹ ) معادلات دیفرانسیل مرتبه اول درجهn.
فصل سوم : معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و بالاتر

۳ . ۱ ) معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم خطی
۳ . ۲ ) معادلات همگن یا ضرایب ثابت
۳ . ۳ ) روش ضرایب نامعین
۳ . ۴ ) روش عملکردهای معکوس.
۳ . ۵ ) معادله اویلر.

۳ . ۶ ) استفاده از یک جواب مشخص جهت یافتن جواب دیگر
۳ . ۷ ) روش تغییر پارامترها.
۳ . ۸ ) قضیه آبل.
۳ . ۹ ) شکل نرمال معادله مرتبه دوم.
۳ . ۱۰ ) روش کاهش مرتبه.

«معادلات دیفرانسیل»

«فصل اول»
مرتبه اول و دوم و بالاتر
۱ . ۱ ) مقدمه :
معادله دیفرانسیل معادله ای است که شامل مشتقات اول یا بالاتر باشد معادلات دیفرانسیل به دو دسته تقسیم می شوند : معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جزئی یا پاره ای.
معادلات دیفرانسیل معمولی شامل مشتقات معمولی بوده و دارای یک متغیر مستقل هستند. معادلات دیفرانسیل پاره ای شامل مشتقات جزئی یا پاره ای بوده و دارای بیش از یک متغیر مستقل هستند.

شکل کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه nام معمولی به صورت زیر است :

۱ . ۲ ) مرتبه، درجه و نوع معادله دیفرانسیل :
مرتبه : مرتبه بالاترین مشتق بوجود در معادله دیفرانسیل را مرتبه آن معادله دیفرانسیل نامند.
درجه : توان بالاترین مرتبه مشتق موجود در معادله دیفرانسیل را درجه آن معادله دیفرانسیل می نامند.

مثال ) مرتبه و درجه معادلات زیر را تعیین کنید؟
مرتبه ۲، درجه ۳ :
مرتبه ۲، درجه ۱ :
معادلات دیفرانسیل معمولی را می توان به دو دسته خطی و غیرخطی تقسیم کرد : هرگاه معادلات دیفرانسیل برحسب متغیر وابسته و. مشتقات آن یعنی و خطی باشد آن را خطی می نامیم.
معادله زیر یک معادله دیفرانسیل مرتبه nام خطی در حالت کلی را نشان می دهد :

در غیر اینصورت معادله غیرخطی است.
اگر باشد معادله همگن واگر غیر صفر باشد معادله ناهمگن است.
مثال ) مرتبه و نوع معادلات دیفرانسیل زیر را مشخص کنید؟
غیرخطی و مرتبه اول :
خطی و مرتبه دوم :

غیرخطی و غیرهمگن
۱ . ۳ ) جوابهای معادله دیفرانسیل :
جواب عمومی : جوابی است که دارای یک یا چند ثابت دلخواه بوده و به ازای هر مقدار از این ثابتها در معادله دیفرانسیل صادق باشد.
جواب عمومی معادله دیفرانسیل مرتبه nام دارای n ثابت دلخواه است.
مثال ) جواب معادله دیفرانسیل عبارت از :

جواب خصوصی : هرگاه ثابت های موجود در جواب عمومی یک معادله دیفرانسیل تحت شرایط مرزی یا شرایط اولیه تعیین شوند جواب حاصل را جواب خصوصی معادله دیفرانسیل گویند.
جواب غیرعادی (پوش منحنی) : جوابی است که منحنی نمایش آن بر کلیه منحنی های مربوط به جواب عمومی مماس باشد.

برای تعیین جواب غیرعادی (پوش منحنی) با فرض اینکه جواب عمومی معادله دیفرانسیل مربوطه باشد پارمتر C را از دستگاه معادلات زیر حذف می کنیم :

اگر نتوانیم پارامتر C را از دستگاه فوق حذف کنیم جواب را به صورت پارامتری برحسب C بیان می کنیم.
جواب غیرعادی باید در معادله دیفرانسیل صادق باشد.
مثال ) جواب ویژه یا غیرعادی معادله کلرو عبارت است از :

برای تعیین جواب غیرعادی C را از دستگاه معادلات زیر حذف می کنیم :

• جواب غیرعادی را نمی توان از جواب عمومی بدست آورد.
• معادلات دیفرانسیل خطی فاقد جواب غیرعادی هستند.
۱٫ ۴ ) تشکیل معادله دیفرانسیل از یک رابطه اولیه :
برای بدست آوردن معادله دیفرانسیل، ثابتهای موجود در معادله دسته منحنی را حذف می کنیم. هرگاه معادله دسته منحنی دارای n ثابت باشد.
باید n بار مشتق بگیریم و با استفاده از این مشتقات و معادله دسته منحنی، ثابتها را حذف کنیم.
مثال ) تابع جواب های کدام معادله دیفرانسیل است؟

از بسط دترمینان فوق داریم :

• هرگاه بخواهیم با استفاده از معادله دسته جواب

معادله دیفرانسیل مربوطه دست یابیم از بسط دترمینال زیر استفاده می کنیم :

۱ . ۵ ) تعیین مسیرهای متعامد یک دسته منحنی
دو دسته منحنی را متعامد گویند هرگاه هر عضو از یک دسته بر تمامی اعضای دسته دیگر عمود باشد برای تعیین مسیرهای متعامد یک دسته منحنی ابتدا معادله دیفرانسیل آن دسته منحنی را تعیین می کنیم و در معادله حامله که به صورت است با قراردادن (یا ) به جای (یاy’) معادله دیفرانسیل متعامد را مشخص کرده با حل این معادله دیفرانسیل معادله مسیرهای متعامد را بدست می آوریم هرگاه معادله دیفرانسیل در مختصات قطبی داده شده باشد با جایگزینی به جای معادله دیفرانسیل مسیرهای متعامد حاصل می شود.

مثال ) معادله مسیرهای قائم بر دسته منحنی های کدام است؟
حل ) ابتدا معادله دیفرانسیل مربوط به دسته منحنی های را بدست می آوریم :

با جایگزینی داریم :

یا
«فصل دوم»
«معادلات دیفرانسیل مرتبه اول»
۲ . ۱ ) مقدمه
معادلات دیفرانسیل مرتبه اولی که برای آنها راه حل می توان ارائه نمود به چهار دسته کلی به صورت زیر طبقه بندی می شوند :
الف ) معادلات جداپذیر
ب ) معادلات همگن
ت ) معادلات کامل
ث ) معادلات خطی
حل یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول در حالت کلی مسأله ای مشکل است زیرا یم روش کلی برای همه حالتها وجود ندارد. حتی معادلۀ به ظاهر سادۀ را در حالت کلی نمی توان حل کرد.
۲ . ۱ ) روشهای مستقیم :

معادله دیفرانسیل مرتبه اول را درنظر می گیریم اگر مستقل از باشد آنگاه معادله را با انگرالگیری از طرفین نسبت به می توان حل کرد.
مثال : معادله را حل کنید؟
حل : با انتگرالگیری از طرفین نسبت به x داریم :

این روش برای معادلات مرتبه بالاتر به صورت هم قابل اجرا است.
یک روش ساده دیگر وقتی است که متغیرهای از هم جدا می شوند در چنین حالتی تابع را می توان به صورت دو تابع نوشت :

که توابعی فقط از یک متغیر هستند. بنابراین این معادله را می توان به صورت نوشت با انتگرالگیری از طرفین نسبت به x داریم.

مثال : معادله را حل کنید :
حل : این معادله را به صورت می نویسیم که پس از انتگرالگیری داریم :

که جواب عمومی معادله است و شامل یک ثابت حقیقی دلخواه است بنابراین معادله دارای جوابهای بسیار است. که با هر مقدار خاصی از بدست می آید.
۲ .۲ ) معادلات جداپذیر :
تعریف ۱ : معادله دیفرانسیل مرتبه اول به صورت :

یا شکل دیفرانسیلی معادل آن :

را جداپذیر می نامیم. دلیل این نامگذاری آن است که در معادلات فوق متغیرهای y , x در جملات جداگانه ظاهر می شوند.
معادله را جداشدنی گویند هرگاه توان آن را به شکل زیر بیان کرد :

یا
که برای تعیین جواب معادله، آن را به شکل زیر می نویسیم :

با انتگرالگیری از معادله فوق جواب معادله دیفرانسیل به دست می آید.
• هرگاه معادله دیفرانسیل به صورت باشد با تغییر متغیر می توان آن را به معادله دیفرانسیل جداشدنی تبدیل کرد.
• هرگاه معادله دیفرانسیل به صورت باشد می توان با تغییر متغیر آن را به معادله دیفرانسیل جداشدنی تبدیل کرد.

که با جایگذاری در معادله دیفرانسیل اصلی به معادله جداشدنی تبدیل می شود.

۲ . ۳ ) معادلات همگن :
تعریف ۱ : تابع دومتغیری f(x,y)را همگن و از درجه n می نامییم هرگاه به ازای هر و به ازای هر زوج که در حوزه تعریف تابع باشند، داشته باشیم :

هرگاه معادله دیفرانسیل به شکل باشد در صورتی آن را همگن می گوییم که یک تابع همگن از درجه صفر باشد. معادله دیفرانسیل همگن را همواره می توان به صورت زیر بیان کرد :

هرگاه معادله دیفرانسیل به شکل باشد در صورتی آن را همگن می گوییم که توابع همگن هم درجه باشند.
برای حل معادلات همگن از تغییر متغیر استفاده می کنیم :

با جایگذاری در معادله داریم :

که یک معادله جدایی پذیر است که به سادگی حل می گردد.
مثال : معادله : همگن است زیرا توابع و هر دو همگن و از درجه ۲ هستند. تگر در معادله توابع N , M همگن و از درجهm باشند، آنگاه داریم :

در این صورت معادله به شکل زیر نوشته می شود :

تعریف می کنیم :

آنگاه معادله همگن به صورت زیر درمی آید :
(۲)
برای حل معادله (۲)، قرار می دهیم یا آنگاه داریم :

و با قراردادن در (۲) خواهیم داشت :

(۳) : یا
معادله (۳) یک معادله دیفرانسیل جداپذیر است و اگر جواب عمومی آن باشد، آنگاه جواب عمومی چنین است :

مثال : در معادله با شرط هنگامی که است، gرا بیابید؟
حل : معادله همگن است بنابراین از تغییر متغیر استفاده می کنیم :

• معادلات به شکل همگن بوده و با استفاده از تغییر متغیر حل می شود.
• هرگاه معادله دیفرانسیل به شکل باشد داریم :
دو خط را درنظر می گیریم :
الف ) اگر دو خط بر هم منطبق باشند یعنی باشد با استفاده از تغییر متغیر یا معادله را به معادله جدایی پذیر تبدیل می کنیم.
ب ) اگر دو خط متقاطع باشند یعنی باشد مبدأ را به نقطه تقاطع دو خط انتقال می دهیم یعنی اگر نقطه تقاطع دو خط باشد با استفاده از تغییر متغیر زیر معادله مربوطه به معادله همگن تبدیل می شود.

با این تغییر متغیر معادله داده شده به صورت درمی آید که یک معادله همگن است.
ج ) اگر دو خط موازی باشند یعنی باشند با استفاده از تغییر متغیر یا معادله را به معادله همگن تبدیل می کنیم.

۲ . ۴ ) معادلات کامل :
اگر دسته منحنی داده شده باشد معادلۀ دیفرانسیل آن را می توان به شکل و یا نوشت.
مثلاً معادلۀ دیفرانسیل دسته منحنی به صورت است. حال، وضعیت عکس را درنظر می گیریم و بحث را با معادلۀ زیر شروع می کنیم :
(۱)
هرگاه تابع وجود داشته باشد به قسمی که :
(۲)
(۱) را می توان به شکل
یا
نوشت که جواب عمومی آن عبارت است از :

در چنین حالتی عبارت را دیفرانسیل کامل و معادلۀ (۱) را معادلۀ دیفرانسیل کامل می گوییم.
شرط لازم و کافی برای اینکه معادله دیفرانسیل یک معادله دیفرانسیل کامل باشد این است که :

در این صورت تابعی مانند موجود است به شکلی که :

روش محاسبه :
روش حل این معادله به صورت زیر است :
۱ ) هر کدام از معادلات را که ساده تر باشد انتخاب می کنیم.
۲ ) با فرض اینکه از آن داریم :

۳ ) از عبارت فوق نسبت به y مشتق می گیریم :

۴ ) از تساوی فوق را به دست آورده و در نتیجه به دست می آید.
۵ ) با تعیین به دست می آید و جواب معادله به صورت خواهد بود.
در برخی حالات می توان برای حل این معادلات کلیه حملات را دسته بندی و انتگرال گیری کرد.
• هر معادله دیفرانسیل جداشدنی کامل است ولی هر معادله دیفرانسیل کامل جداشدنی نیست.
۲ . ۵ ) عامل انتگرال ساز (معادلات غیرکامل)
هرگاه معادله کامل نباشد در برخی از موارد می توان با ضرب یک عامل به طرفین معادله آن را به معادله دیفرانسیل کامل تبدیل کرد که این عبارت را عامل انتگرال ساز می نامیم.
اگر یک عامل انتگرال ساز و معادله فوق غیرکامل باشد معادله زیر کامل خواهد بود:

۱ ) هرگاه باشند :

در این حالت تابعی از x است.
۲ ) هرگاه باشد :

در این حالت تابعی از y است.
دو حالت فوق بیشترین اهمیت را در تعیین عامل انتگرال ساز دارند.
چند حالت دیگر دارای اهمیت کمتری هستند در زیر آورده شده اند :
۳ ) هرگاه باشد :

۴ ) هرگاه باشد :

۵ ) هرگاه باشد :

۶ ) هرگاه باشد :

۷ ) هرگاه باشد :

۸ ) هرگاه معادله دیفرانسیل همگن و باشد :

۹ ) هرگاه معادله دیفرانسیل فوق به شکل باشد :

* هرگاه یک معادله دیفرانسیل دارای یک عامل انتگرال ساز باشد آن معادله می تواند دارای بی شمار عامل انتگرال ساز باشد.
مثال ) عامل انتگرابل ساز معادله کدام است؟

*هرگاه معادله دیفرانسیل دارای عامل انتگرال ساز به شکل باشد طرفین معادله را در آن ضرب کرده و شرط همگن بودن را اعمال می کنیم و با استفاده از برقراری این شرط، را تعیین می نماییم.
معادله دیفرانسیل زیر را درنظر می گیریم :

هرگاه باشد معادله دیفرانسیل فوق دارای عامل انتگرال ساز خواهد بود. که با ضریب به طرفین دیفرانسیل فوق و اعمال شرط کامل بودن معادله به دستگاه معادلات زیر می رسیم که حل این دستگاه معادلات به دست می آید :

۲ . ۶ ) معادلات دیفرانسیل خطی :
مهمترین نوع معادلات دیفرانسیل معادلات خطی هستند که در آنها مشتق بالاترین مرتبه تابعی خطی از مشتقات مراتب پایین تر است. بنابراین شکل کلی معادلۀ خطی مرتبه اول بصورت زیر است :

هرگاه باشد معادله همگن و
اگر معادله ناهمگن است.
معادلات خطی مرتبه اول همگن به سادگی به معادلات جدایی پذیر تبدیل شده و حل می شوند :

که با انتگرال گیری از طرفین معادله فوق می توان به جواب رسید.

جواب معادلات خطی مرتبه اول غیرهمگن به صورت زیر است :

توجه شود که عامل انتگرال ساز معادلات دیفرانسیل مرتبه اول خطی عبارت است از :

مثال ) جواب کلی معادله را بدست آورید؟
حل ) معادله فوق یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی است.

• هرگاه معادله دیفرانسیل مرتبه اول نسبت به x به صورت تابعی از یک معادله خطی باشد یعنی :
یا
جواب معادله به صورت زیر خواهد بود :

که نشان می دهد که جای عوض شده است.
• معادله دیفرانسیل مرتبه اول زیر را درنظر می گیریم :

با تغییر متغیر معادله فوق را می توان به معادله مرتبه اول خطی برحسب z تبدیل کرد :

معادله مرتبه اول خطی
۲ . ۷ ) معادلات خاص :
برخی از معادلات هستند که با انجام تغییراتی می توانیم آنها را به معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول تبدیل کنیم.
۲ . ۷ . ۱ ) معادله برنولی :
شکل کلی معادله برنولی به صورت زیر است :

در حالتی که باشد معادله، معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی و در حالتی که باشد معادله، معادله جدایی پذیر خواهد بود.
برای حل معادله فوق ابتدا طرفین را بر تقسیم می کنیم :

با تغییر متغیر داریم :
یا
با جایگذاری در معادله اصلی :

که معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول است.
• عامل انتگرال ساز از معادله برنولی عبارت است از :

معادله برنولی تعمیم یافته : معادله را معادله برنولی تعمیم یافته می نامند.
برای حل این معادله از تغییر متغیر استفاده می کنیم و داریم :

معادله بر نولی :
۲ . ۷ . ۲ ) معادله ریکاتی :
معادله ریکاتی تعمیم طبیعی معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول است و به شکل زیر بیان می شود :

این معادله با روشهای مقدماتی قابل حل نیست ولی اگر یک جئاب خصوصی آن یعنی مشخص باشد جواب عمومی آن به صورت خواهد بود که در آن جواب عمومی معادله دیفرانسیل خطی است.
* اگر در معادله دیفرانسیل درجه اول جواب خصوصی را بدهد آن معادله ریکاتی می باشد.
۲ . ۷ . ۳ ) معادلات گرانژ و کلرو :
شکل عمومی معادله گرانژ به صورت برای حل این معادله ابتدا را برابر قرار می دهیم و داریم :

سپس از طرفین نسبت به مشتق می گیریم و خواهیم داشت :

که یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول است.
معادله کلرو به صورت است که برای حل آن کافی است به جای ، عدد ثابت cرا قرار می دهیم.
۲ . ۸ ) حالتهای خاص :
۲ . ۸ . ۱ ) معادلات به شکل
در این حالت با فرض داریم :

جواب عمومی معادله دیفرانسیل داده شده از حذف pدر دستگاه معادلات زیر حاصل می شود :

در صورتیکه نتوانیم p را از دستگاه ذکر شده حذف کنیم جواب معادله به صورت پارامتری خواهد بود.
۲ . ۸ . ۲ ) معادلات به شکل
در این حالت با فرض داریم :

جواب عمومی معادله دیفرانسیل داده شده از حذف pدر دستگاه معادلات زیر حاصل می شو د :

در صورتیکه نتوانیم p را از دستگاه ذکر شده حذف کنیم، جئاب معادله به صورت پارامتری خواهد بود.
۲ . ۸ . ۳ ) معادلات دیفرانسیل فاقد متغیر وابسته :
این معادلات که به شکل هستند در سه حالت مورد بررسی قرار می گیرند.
۱ ) اگر بتوانیم x را برحسب به صورت بیان کنیم با فرض داریم :

جواب عمومی معادله دیفرانسیل داده شده از حل دستگاه زیر بدست می آید :

۲ ) اگر بتوانیم را به صورت بیان کنیم معادله از نوع جدایی پذیر خواهد بود:

۳ ) اگر نتوانیم را برحسب هم بیان کنیم از تغییر متغیرهای و استفاده می کنیم :

جواب عمومی معادله دیفرانسیل از حل دستگاه معادلات زیر بدست می آید :

۲ . ۸ . ۴ ) معادلات دیفرانسیل فاقد متغیر مستقل :
این معادلات که به شکل هستند در سه حالت مورد بررسی قرار می گیرند:
۱ ) اگر بتوانیم را برحسب به صورت بیان کنیم با فرض داریم :

جواب عمومی معادله دیفرانسیل از حل دستگاه معادلات زیر حاصل می شود :