مهندسين اغلب براي رسيدن به سطح بالايي از روند توليدات و يا كيفيت

Six sigma ، به بهينه سازي و ارزيابي فرآيندهايي مي‌پردازند كه داراي ويژگي هاي كيفي متعددي هستند. توابع فعلي كيفيت در عين اينكه مي‌توانند در تحقق بخشيدن به اهداف چند گانه موثر واقع شوند داراي نقاط ضعفي نيز هستند. يكي از اين نقاط ضعف و محدوديت ها اين است كه توابع فعلي نمي‌توانند توضيح روشني براي اثر مشترك ميانگين و پراكندگي كيفيت داشته باشند. به همين دليل مهندسين كه هنگام توليد محصولات، از اين توابع استفاده مي‌كنند يا نمي‌توانند به محصولات مورد نظر خود برسند و يا در صورت توليد اين محصولات، آنها را با صرف هزينه‌هاي اضافي بدست مي‌آورند. در اين مقاله تابع مطلوبيتي مطرح شده است كه فاقد اين نقاط ضعف است. اين تابع پيشنهادي قادر است با توجه به فرضياتي كه در مبحث Six sigma مطرح است « محصول موثر »   را تخمين بزند.

همچنين بهتر از توابع ديگر مي‌تواند ميزان تغييرات را توجيه كند. براي آنكه متوجه شويد اين تابع پيشنهادي تا چه اندازه مي‌تواند به شما در رسيدن به سطح بالاتري از كيفيت كمك كند و در ارزيابي دقتي قابليتهاي فرآيند ياري‌تان نمايد مثالي دربارة جوش‌كاري قوسي براي شما ارائه داده‌ايم.

توجه: yield به معني بازده نيز هست اما در اين متن در همه جا اين كلمه به صورت «محصول» ترجمه شده است.
ما معتقديم هنگامي‌كه داده‌هاي مربوط به پراكندگي در دسترس شما قرار دارد بهتر است از اين تابع مطلوبيت براي تسهيل بخشيدن به بهينه‌سازي چند معياري استفاده كنيد.
Copyright @ 2003 john wiley & sons , Ltd
كلمات كليدي:
بهينه‌سازي چند معياري                  multicriterion optimization :
روش سطحي جواب                       respanse surface methodologh :
طراحي نيرومند ـ طراحي درست و صحيح                   robust design :

 
۱ ـ مقدمه
مهندسين هنگام طراحي محصولات يا فرآيندها، پارامترهاي طراحي  رابه گونه‌اي طراحي مي‌كنند كه منجر به تركيب مناسبي از ويژگي‌ها يا معيارهاي كيفي   بشود. براي مثال در جوش‌كاري قوسي، مهندس هنگام توليد قسمت خاصي از يك محصول، بايد سرعت حركت و زاوية‌ مشعل جوشكاري را به گونه‌اي تنظيم كند كه ميزان گودافتادگي، تحدب و زمان چرخه، مطلوب شود. هدف روش‌هاي سطحي جواب يا RSM ها، مدل‌سازي ويژگي‌هاي فرآيند است به طوري كه بتوان هنگام بهينه‌سازي فرآيند ازاين مدل‌ها بهره گرفت.(براي اطلاع بيشتر به           Box & Draper ، Khuri & cornell و Myers & Montagomery رجوع كنيد). اين نوع مدل سازي مستلزم تجربه است. هر فردي با استفاده از RSM ها مي‌تواند مدل‌هايي را دربارة ويژگي‌هاي فرآيندي كه درحال مطالعه‌اش است ايجاد كند و ميزان تغييرپذيري فرآيند را تخمين بزند. در كنار اين مدل‌ها بايد با استفاده از اطلاعاتي كه قابل حصول هستند اهداف خاص را مشخص كرد. بطوري كه پس از بهينه‌سازي اين اهداف،‌‌ آن چيزي كه حاصل مي‌شود واقعاً يك محصول مطلوب باشد.

توابعي كه مجموعه‌اي از ويژگي‌ها را به يك هدف خاص تبديل مي‌كنند توابع مطلوبيت نام دارند و به صورت   نوشته مي‌شوند. منابعي كه دربارة توابع مطلوبيت وجود دارند عبارتند از: castillo و همكارانش، Derringer  ، Derriger & suich ، Harrington ، kim& Lin توجه داشته باشيد توابع مطلوبيت معمولاً دربارة بستة ] ۱ و۰  [قرار دارند.
اولين توابع مطلوبيت توسط هارينگتون (Harrington) مطرح شدند. وي توابع توان دار را براي محاسبه مطلوبيت‌هايي در نظر گرفت كه با معيارهاي فردي۱   همراه بودند و استفاده از از ميانگين هندسي را براي ارزش‌گذاري اين معيارها و محاسبة مطلوبيت كل در نظر گرفت. Derringer  ، Derriger & suich ، فرم‌هاي توابعي و طرح‌هاي ارزش‌گذاري به متد هارينگتون را مورد انتقاد قرار دادند زيرا به اعتقاد آنها اين فرم‌ها و متدها بيش از اندازه سخت بودند. در عوض، اين افراد مجموعه توابعي را معرفي كردند كه به كمك آنها مي‌شود ارزش هدف۲ را در هر منطقه‌اي بين مشخصات محصول قرار داد. براي ايجاد سهولت در كار، castillo و همكارانش مطلوبيت معيارهاي فردي ذكر شده توسط Derringer را بسط و توسعه دادند. اين عمل بسيار سودمند بود زيرا باعث شد مهندسين و طراحان مبتني بر گراديان (gra dient – based) هنگام بهينه‌سازي توابع مطلوبيت عملكرد بهتري داشته باشند. kim و Lin توابع قبلي را كه دربارة‌ مطلوبيت وجود داشت مورد انتقاد قرار دادند زيرا به اعتقاد آنها اين توابع به وابستگي بين yi حساسيت داشتند همچنين توابع اصلاح شده‌اي را براي معيارهاي فردي پيشنهاد دادند كه به كمك آنها مي‌توان خطاهاي احتماعي RSM را پيش‌بيني كرد. اخيراً روش‌هاي     Six sigma و مفاهيم طراحي مربوط به آن تأثير بسزايي بر روي طراحي فرآيندها دارند.

هدف Six sigma اين است كه ورودي‌هاي   را به گونه‌اي تعيين مي‌كند كه ميانگين و واريانس ويژگي‌هاي طراحي منجر به ايجاد درصد بالايي از واحدهايي شوند كه با ويژگي طراحي مطابقت داشته باشند (حتي زماني كه فرآيند به طور پيش‌بيني نشده‌اي تغيير كند).
بنابراين مفهوم «مطلوبيت» در طراحي محصول الزاماً به معناي كنش متقابل بين ميانگين و واريانس ويژگي‌هاي خاص است. مهمترين ايرادي كه از تعريف قطعي استاندارد       Six sigma مي‌توان گرفت اين است كه استاندارد عموماً بر حسب يك معيار كيفي واحد تعريف شده است (رجوع شود به Harry). انگيزه‌ي مهمي‌كه باعث شده است تابع مطلوبيت جديدي در اين مقاله مطرح شود اين است كه بتوان تعريف گسترده‌اي از كيفيت Six sigma ارائه داد و اين استاندارد را به گونه‌اي تعميم داد كه معيارهاي چندگانه را نيز در برگيرد. به طور كل ممكن است بعضي از معيارها؛ مشخصات محصول همخواني نداشته باشند و برخي ديگر مربوط به هدفي بشوند كه محصول يا فرآيند به خاطر آن طراحي شده است هدف، بدست آوردن تابع مطلوبيتي است كه بعد از حل آن مشخص شود كه آيا طراح محصول يا فرآيند به سطح كيفي Six sigma رسيده است يا خير.

به طور خلاصه، تحقيقاتي كه بر روي توابع مطلوبيت صورت گرفته است منجر به ايجاد توابع مطلوبيت انعطاف‌پذيري شده است: توابعي كه اجازه مي‌دهند تكنيك‌هاي تحقيقاتي gradient – based (مبتني بر گراديان) عملكرد خوبي داشته باشند و نيز باعث مي‌شوند وابستگي‌هايي كه به دليل كمبود اطلاعات به وجود مي‌آيند تأثير كلي بر روي تصميم‌گيري داشته باشند اما اين توابع و روش RSM نيز داراي نقاط ضعف مهمي‌هستند كه عبارتند از:‌
•    اغلب RSM هايي كه براي مدل‌سازي ارزش‌هاي ميانگين فرآيند به كار مي‌روند، مي‌توانند اطلاعاتي را درباره‌ي ميزان تغييرپذيري فرآيند در اختيار كاربر قرار دهند. اكثر اوقات يك كنش و تأثير متقابل بين ميانگين و انحراف معيار وجود دارد و اين دو تأثير بسزايي بر روي محصول و درنتيجه ميزان سوددهي دارند. ما معتقديم بهينه‌سازي همزمان چند ميانگين و واريانس با استفاده از توابع مطلوبيت استاندارد مشكل آفرين است زيرا اهميت نسبي هر يك از اين ميانگين‌ها تا حد زيادي به واريانس ويژگي‌ها بستگي دارد.
•    همانگونه كه در بخش ۴ نشان خواهيم داد (بخش مورد پژوهش) روش‌هاي فعلي به راحتي به ايجاد موقعيت‌هايي مي‌انجامد كه نمي‌توان در اين موقعيت‌ها اهداف كيفي را تحقق بخشيد.
•    تفسير توابع موجود سخت و دشوار است. در جدول (۱) بعضي از ارزش‌هاي معيار مطلوبيت به متد هارينگتون تفسير شده‌اند اما بقية افراد نتوانسته‌اند با توجه به استانداردهاي صنعتي، تفسير واضح و روشني از توابع خود ارائه دهند.
•    در مبحث مطلوبيت، رابطه‌اي بين مطلوبيت و سود يا بهرة مورد انتظار به طور كامل مورد بررسي قرارگرفته است. با توجه به اينكه توابع مطلوبيت با محصول (و در نتيجه با سود) متناسب نيستند اين احتمال وجود دارد كه با توصيه‌هايي كه در اين‌باره مي‌شود حتي نتوان به طور تقريبي سود مورد انتظار را به حداكثر رسانيد.
علاوه بر اين، مبحث «به حداكثر رساندن محصول» (plante , tsui , Barton) باعث ايجاد اهداف سودمند و بالقوه‌اي شده است. ولي اين روش‌ها نمي‌توانند براي ويژگي‌هايي كه هيچ مشخصه‌اي برايشان وجود ندارد به كار روند. از اين رو استفاده از اين ويژگي‌ها براي ايجاد تابع مطلوبيت يك محصول موثر، ادامه‌اي از كارهاي قبلي به حساب مي‌آيد.

به خاطر داشته باشيد روش ديگري كه براي بهينه‌سازي معيارهاي چندگانه وجود دارد كه به عبارتست از «برنامه‌ي پشتيباني از تصميم» يا DSP يعني تصميم بر روي انتخاب‌هايي كه برتر از انتخاب‌هاي فعلي و شناخته شده نيستند. DSP داراي امتيازات مهمي‌است اما مهندسين معتقدند كه روش‌هاي مطلوبيت آسانتر هستند (براي اطلاع بيشتر به castillo و همكاران، و هارينگتون مراجعه كنيد) همچنين توابع مطلوبيت را مي‌توان در كنار DSP مورد استفاده قرارداد. در اين مقاله ما تابع مطلوبيتي را ارائه داده‌ايم كه نقاط ضعف ساير توابع را ندارد. برخلاف ديگر توابع مطلوبيت موجود، تابع پيشنهادي ما تفسير حدسي و ساده‌اي دارد زيرا اين تابع قادر است قسمت‌هايي را كه با فرضيات موجود تطابق دارد پيش‌بيني كند. در بخش اول مقاله، فرمول‌هاي مربوط به اين تابع را مورد بررسي قرار مي‌دهيم سپس مثالي ارائه مي‌دهيم كه در آن تابع پيشنهادي ما به كار رفته است. در پايان نيز مزايا و معايب اين تابع را نسبت به ديگر توابع موجود مورد بررسي و مقايسه قرار مي‌دهيم.

۲ ـ بررسي و مرور مبحث توابع مطلوبيت
در اين بخش در نظر داريم موضوع تابع مطلوبيت را مورد مرور و بررسي قرار دهيم. در متد هارينگون، محاسبة تابع مطلوبيت شامل دو مرحله مي‌شود. در مرحلة اول به منظور تعيين مطلوبيت فردي، هر معيار و جواب تحت بررسي قرار مي‌گيرد. معيارها دو نوع هستند: معيارهاي دو طرفه (two-sided criteria) كه مقادير قابل قبول آنها هم به حد تعيين بالا  و هم حد تعيين پايين  بستگي دارد. و معيارهاي يك طرفه (one-sided criteria) كه مقادير قابل قبولشان فقط به يك حد واحد بستگي دارد. درمورد معيارهاي دوطرفه مي‌توان ازطريق فرمول زير محاسبة مقدار جواب مقياس‌دار   ، مطلوبيت را مشخص كرد:
 
سپس لازم است كاربر براي معيار   و مطلوبيت فرضي do يك مقدار در نظر بگيرد مثلاً:   و do=0/63 (اين اعداد بايد مستقل از مقادير معيارهاي ديگر باشند) سپس با جايگذاري اين جفت عدد يعني   در معادلة، پارمتر n را محاسبه كند:
 
در مرحله بعد، مطلوبيت براي يك شاخص دو طرفه،‌ از معادلة زير بدست مي‌آيد:
(۳)                 
در مورد معيارهاي يك طرفه، مطلوبيت فردي به روش زير محاسبه مي‌شود. مهندس بايد دو جفت  و   را با معيارهاي   و    در نظر بگيرد و فرض كند كه   است (البته اين قضيه نبايد تعميم داد). سپس با استفاده از فرمول زير هر يك از مقادير جواب را مقياس دارد نمايد:‌
(۴)              و        
سپس با استفاده از رابطه‌اي خطي زير مقدار مقياس‌دار
  را كه متناظر با جواب واقعي   است محاسبه كند:
 
و مطلوبيت شاخص يك طرفه را با استفاده از فرمول زير تخمين بزند:
(۶)                   
در مرحلة دوم براي اينكه بتوان مطلوبيت سيستم را به روش هارينگتون برآورده كرد بايد با استفاده از فرمول زير مطلوبيت معيارهاي فردي را با يكديگر تركيب كرد:
( ۷ )                 
در اين فرمول   ارزش هر معيار است و   
جدول ۱ ـ سيستم ارزيابي هارينگتون براي تفسير ميران مطلوبيت d
ارزش    توصيف
۱
۱-۸/۰
۸/۰-۶۳/۰
۶۳/۰-۴/۰
۴/۰-۳/۰

۳/۰-۰
۰    رضايت كامل و كيفيت بالا(هر گونه پيشرفتي بالاتر از اين نقطه داراي ارزش قابل ملاحظه‌اي نخواهد بود).
قابل قبول و عالي (بيانگر كيفيت يا عملكردي است كه فراتر از هر گونه عملكرد تجاري صورت گرفته است).
قابل قبول و خوب (بيانگر پيشرفت و بهبود در كيفيت تجاري است.
قابل قبول و ضعيف (كيفيت قابل قبول ايت اما بهبود بيشتري مورد نظر است) .
بينابين (اگر حد تعييني وجود داشته باشد آنگاه بعضي از محصولات درست در نقطه Max يا min اين حد قرار مي‌گيرند)
غير قابل قبول (محصولاتي كه داراي چنين كيفيتي هستند پذيرفته نمي‌شوند.)
كاملاً غير قابل قبول

اين بحث وجود دارد كه ۱=   براي تمام جواب‌هاي i در اكثر موارد كافي خواهد بود (براي اطلاع بيشتر به هارينگتون مراجعه كنيد). Derringer در تحقيقات بعدي نشان داده است كه انتخاب ارزش‌هاي نابرابر   چه امتيازات خاصي دارد‌. يعني اگر به جاي تغيير دادن برخي از پارامترهاي مطلوبيت (مثل  ) عمل ارزش‌گذاري را انجام دهيم به روش مستقيم‌تري براي اصلاح اهميت نسبي دست خواهيم يافت .
اغلب،‌‌ توابع مطلوبيت استاندارد موقعيتي را به وجود مي‌آورند كه در آن ميانگين فرآيند درجايي درون حدهاي تعيين قرار مي‌گيرد. (براي اطلاع بيشتر به Derringher  ،suich &   Harington ، Montgomery و Pande و همكارانش مراجعه كنيد) اما هيچيك از اين توابع هنگام تعين شيب توابع، و اينكه ميانگين دقيقاً در كجاي حدها بايد واقع شود از انحراف معيار فرآيند استفاده نمي‌كنند. همچنين هيچ يك از توابع مطلوبيتي كه تاكنون وجود داشته است تفسير ساده‌اي نداشته‌اند تنها استانداردهايي كه براي تفسير توابع مطلوبيت وجود دارد همان است كه درجدول (۱) مي‌بينيد.

۳ ـ روش پيشنهادي
تابع مطلوبيت پيشنهادي بر اساس برآوردهايي است كه از محصول به عمل آمده است يعني بخشي از واحدهاي محصول كه با فرضيات six sigma (كه اين فرضيات در اكثر موارد به عنوان استانداردهاي پيش فرض تعادلي مي‌شوند) تطابق دارند. اين فرضيات به طور گسترده توسط pande و همكارانش توصيف شده‌اند. در اين بخش فرمولهايي را براي محاسبة محصولاتي كه داراي حد تعيين يك طرفه و دو طرفه هستند مطرح مي‌كنيم. سپس دستورالعمل‌هايي را براي تفسير ميزان مطلوبيت ارائه مي‌دهيم. اين دستورالعمل‌ها براساس فرآيندها و استانداردهاي كيفي‌اي هستند كه توسط Harry  تعريف شده‌اند. در پايان اين بخش نيز حساسيت تابع پيشنهادي به فرضياتي كه دربارة  اندازة تغييرات ميانگين و تغييرپذيري فرايند وجود دارد را مورد بررسي قرار مي‌دهيم. همچنين مي‌گوييم كه چگونه مي‌توان اين كميت‌ها را به عنوان ضريب تعديل  براي ويژگي‌هايي كه حد تعيين ندارند به كار برد.

۱ ـ ۳ ـ دو نوع فرمول و راه حل
همانگونه كه در بخش قبل گفتيم،‌‌ در متد هارينگتون، در مرحلة اول، جهت تعريف تابع پيشنهادي بايد براي هر معيار و جواب يك مطلوبيت فردي تعيين كرد هريك از شاخصهاي كيفي داراي ميانگين   و انحراف معيار  هستند. اين ميانگين‌ها و انحراف معيارها ممكن است خود به عنوان مشخصه يا ويژگي‌هايي در نظرگرفته شوند كه با پارمترهاي   همراه هستند. مسئلة ديگر،‌ توجه به مفهوم تغيير (شيفت)  از ميانگين به سمت حد تعيين مربوطه است. در مبحث six sigma مهندسين تشويق شده اند كه به مفاهيم ضمني تغيير يا شيفت   در طراحي فرآيندها و محصولات خود توجه داشته باشند (براي اطلاع بيشتر به Harry مراجعه كنيد).
در مواردي كه مشخصه‌هاي فردي I داراي حد تعيين بالا (USL) و حد تعيين پايين ((LSL و ميانگين، انحراف معيار و دامنة تغييرشان (شيفت) به ترتيب   است تابع مطلوبيت پيشنهادي به صورت زير مي‌گردد:
(۸)             
كه در آن:        
 
در اين معادله،   تابع توزيع تجمعي براي متغيرهاي تصادفي نرمال واحد است (براي اطلاع بيشتر به khuri و cornell رجوع كنيد) و
 
و:                                  
در اين روش، مطلوبيت  متناظر با برآورد محافظه كارانة  بخشي از محصولاتي است كه با فرضيات six sigma (كه استاندارد هستند) مطابقت دارند. فرضيات به اين صورتند كه مشخصة كيفي به طور نرمال توزيع شده است و تغييري (شيف) از ميانگين به سمت حد تعييني كه به ميانگين نزديكتر است صورت گرفته است.   با محصول متناظر است (تحت اين فرضيه كه تغيير و شيفت مثبت بوده است) و  با اين فرضيه كه تغيير و شيفت منفي بوده است با محصول متناظر است. مينيمم مقدار اين دو تغيير (شيفت) به عنوان «محافظه كار» در نظر گرفته مي‌شود.
گرچه فرضية «نرمال بودن» در مبحث six sigma ، استاندارد است ولي در بعضي موارد بهتر است مطلوبيت را براساس تابع توزيع متفاوتي قرارداد. اين مسئله در اكثر موارد رعايت مي‌شود زيرا دنبالة توزيع مشخصه‌هاي كيفي، مطلوبيت را بر اساس تابع توزيع متفاوتي قرارداد. اين مسئله در اكثر موارد رعايت مي‌شود زيرا دنبالة توزيع مشخصه‌هاي كيفي، محصول را كنترل مي‌كند و ممكن است توزيع واقعي نسبت به توزيع نرمال داراي دنباله‌هاي سبك‌تر يا سنگين‌تر باشد.
با انجام يك آزمون فرضية در مورد ميزان بلندي  و چولگي مي‌توان اين موضوع را مورد آزمايش قرارداد. (براي اطلاع بيشتر به Mantgomevy مراجعه كنيد). در صورتي كه تبديل نرمالي در ارزش‌هاي مشخصه، حدهاي تعيين و تابع توزيع صورت نگيرد معادله (۸) نمي‌تواند بر آورد محافظه كارانه‌اي از محصول ارائه دهد.