مفاهیم مکانیک کوانتم به روایت مدل های ریاضی
مکانیک کوانتم سرانجام در سال ۱۹۲۶ توسط دو مدل ریاضی به طور کامل در قالب فرمول آمد (غالبا این نقطه را شروع دوره ی کوانتم جدید می دانند). این دو مدل که در ابتدا مستقل می نمودند حاصل ارائه ی دو فیزیک دان آلمانی اروین شرودینگر و ورنر هایزنبرگ بودند. ولی چند سالی طول کشید تا مفاهیم عمیق و انقلابی مکانیک کوانتم در قالب ریاضیات بیان شوند و همه ی پیچیدگی های آزمایش های کوانتم به تفاسیری از مدل های ساده ی ریاضی تبدیل شوند. این اتفاق به همت کسانی چون پل دیراک، شرودینگر، جردن، لانده امکان پذیر شد و دست آخر کتاب ماندگار جان فون نویمان در مبانی ریاضی کوانتم تقریبا همه ی آن چیزی که می توانست در آزمایش های کوانتم قدیم مشاهده شود را در بیان ریاضی می آورد.

با ارائه ی دو مدل هایزنبرگ و شرودینگر در سال ۱۹۲۶ هر آن چه موضوع مکانیک کوانتم بود قابل محاسبه شد ولی چیزی که در این متن عمدتا به آن خواهم پرداخت نه این دو مدل ریاضی بلکه توصیفات دقیق تئوری ریاضی کوانتم از واقعیت و انتزاع مفاهیم انحصاری کوانتم است که در نتیجه ی کوشش های دیراک، … و نویمان به دست آمد. اهمیت این مفاهیم انتزاع شده در این حد است که بتوانیم آن را یک طرح schema بنامیم در حالی که دو مدل مذکور صرفا مدلی ریاضی برای واقعیت طبیعی هستند و البته این جا تفاوت مدل و طرح مشخص می شود.

قبل از هر چیز مطلبی را از مکانیک کلاسیک یادآوری می کنم. در مکانیک کلاسیک مکان یا در حالت کلی موقعیت (که وابستگی به زمان ندارد) هر سیستم توسط تعدادی متغیر که مختصات آن سیستم گفته می شوند تعیین می شوند. به تعداد این مختصات درجه ی آزادی آن سیستم می گوییم. ولی از آن جایی که به تجربه دریافته ایم که هر سیستم مکانیکی کلاسیک به ازای هر درجه ی آزادی خود یک معادله ی دیفرانسیل مرتبه ی دو دارد، برای مشخص شدن آینده و گذشته ی یک سیستم کلاسیک باید علاوه بر مختصات سیستم در یک لحظه سرعت تغییرات هر متخصه را نیز اندازه گیری کنیم. به مجموعه ی این اعداد که تمام اطلاعات رفتاری سیستم را برای همه ی لحظات در اختیار می گذارد حالت سیستم می گوییم. بدیهی است که متغیرهای حالت دو برابر متغیرهای مختصات هستند.

اولین مفهومی که در مکانیک کوانتم با آن رو به رو خواهیم شد مفهوم مشاهده پذیر observable است؛ از آن جایی که در این تئوری بسیاری اعداد در معادلات و عبارات ظاهر می شوند ولی همه ی آن ها قابل اندازه گیری نیستند. در مکانیک کوانتم به هر پدیده ای که قابل اندازه گیری باشد یک مشاهده پذیر می گوییم. پدیده ای قابل اندازه گیری است که مکانیسمی برای به دست آوردن یک عدد حقیقی دقیق از آن موجود باشد. دومین مفهوم مکانیک کوانتم همین مکانیسم اندازه گیر است؛ به مکانیسمی که یک مشاهده پذیر را اندازه می گیرد دستگاه (اندازه گیر) apparatus آن مشاهده پذیر می گوییم.

پس هر مشاهده پذیر دستگاه ویژه ی خود را دارد که به ازای هر اندازه گیری درست یک عدد حقیقی دقیق از آن گزارش می دهد. مجموعه ی اعدادی که از اعمال دستگاه بر روی مشاهده پذیر آن حاصل می شود را طیف ویژه مقدارهای spectrum of eigenvalues آن مشاهده پذیر می گوییم و هر عدد را یک ویژه مقدار eigenvalue از آن مشاهده پذیر می گوییم.
همان گونه که در آزمایشگاه نیز موکد شد، مشاهده پذیر مفهومی کلی تر از کمیت فیزیک کلاسیک است. زیر بر خلاف کمیت فیزیک کلاسیک، مشاهده پذیر یک عدد نیست بلکه پدیده ای است قابل اندازه گیری. یعنی فقط وقتی با یک عدد قابل بیان است که با دستگاه متناظرش در کنش قرار گیرد. بنابراین می توان گفت اصلا کار یک دستگاه این است که مشاهده پذیر خود را تبدیل به عدد کند (یا آشکار کند) یا به گونه ای دیگر می گوییم دستگاه مشاهده پذیر را معین کرد definite یا آن را به مقدار دقیق sharp value برد. اگر یک مشاهده پذیر معین شده باشد واکنش دستگاهش با آن فقط یک عدد از طیف ویژه مقدارها را می دهد. یعنی مشاهده پذیر در یک عدد گیر می کند تا طی فرایندی از حالت دقیق در بیاید و دوباره وارد آن شود.

گاهی واکنش یک مشاهده پذیر و دستگاهش، مشاهده پذیر دیگری را از حالت معین در می آورد (یعنی اندازه گیری دومی را کاملا نامعتبر می کند). یا به عبارتی دو مشاهده پذیر داریم که هر دو با هم عدد (آشکار) نمی شوند. چنین دو مشاهده پذیری را ناسازگار incompatible observables می گوییم. ولی اگر این گونه نباشد آن دو را سازگار compatible observables می گوییم.

یک سیستم کوانتمی system پدیداری کوانتمی است که به کمک مجموعه ای از مشاهده پذیرهای دو به دو سازگار، کاملا (کامل به این خاطر که تمام اطلاعات کافی در مجموعه یافت شود) قابل نمایش representation باشد. اعضای چنین مجموعه ای می توانند همگی با هم عدد باشند یا به عبارتی به ازای این مجموعه از مشاهده پذیرها یک مجموعه از دستگاه ها وجود دارد که می توانند با هم به سیستم اعمال شوند و معتبر باشند. این نکته قابل تامل است که مفهوم سیستم کوانتمی صرفا یک مجموعه از مشاهده پذیرها نیست بلکه

[موکد می کنم که] پدیداری است که با مجموعه ای قابل نمایش representation است. برای یک سیستم کوانتمی تعداد نامحدودی نمایش وجود دارد یعنی تعداد نامحدودی مجموعه از مشاهده پذیرها که به تجربه دریافته ایم (و اکنون نیز آن را به عنوان یک اصل تعریف کرده ایم، زیرا از آن جا که می گوییم پدیداری است که با مجموعه ای قابل نمایش باشد، اطلاعاتی که یک نمایش می دهد باید قابل تبدیل به اطلاعات نمایش دیگر باشد و در نتیجه تعداد اعداد دو نمایش باید برابر باشند) تعداد اعضای مشاهده پذیرهای یک نمایش از یک سیستم کوانتمی مقدار ثابتی است و بستگی به نمایش ندارد. به این تعداد ثابت تعداد مشاهده پذیرها یا درجه ی آزادی سیستم کوانتمی می گوییم. خوب حالا می توانیم هرگاه از یک

سیستم کوانتمی صحبت می کنیم، فقط از یک مجموعه ی مشاهده پذیر گفتگو کنیم و بگوییم در فلان نمایش سیستم هستیم. مثل این که گاهی می گوییم در دستگاه مختصات کارتزین هستیم یا قطبی یا کروی یا …

وقتی در یک نمایش از یک سیستم هستیم می توانیم مشاهده پذیرهای آن نمایش را با کمک دستگاه های آن نمایش اندازه بگیریم و همچنین هر کدام از مشاهده پذیرهای آن نمایش را نیز به ویژه مقدار ببریم و معین کنیم. به چنین وضعیتی یک حالت از سیستم کوانتمی می گوییم. یعنی حالت کوانتمی quantum state یک سیستم حالتی پدیداری phenomenal state از یک پدیدار است که توسط یه مجموعه از اعداد قابل نمایش باشد. [باز به تمایز این دو اشاره می کنم که] سیستم با مجموعه ای از مشاهده پذیرها قابل نمایش است و حالت با مجموعه ای از اعداد قابل نمایش. ساده این که حالت کوانتمی یک حالت از سیستم کوانتمی است. طبیعی است که اگر مجموعه ی دستگاه های اندازه گیر را تغییر دهیم یا به

نمایش دیگر رویم سیستم به حالت هایی می رود که ویژه ی آن مشاهده پذیرها یا آن دستگاه ها یا آن نمایش است. به حالت های یک نمایش خاص ویژه حالت های eigenstate آن نمایش می گوییم. دوباره طبیعی است که بسیار ممکن است ویژه حالت های یک نمایش، ویژه حالت های یک نمایش دیگر نباشند ولی جملگی حالت های سیستم هستند.
لازم است اضافه کنم که مشاهده پذیرها هیچ گاه به صورت آزاد وجود ندارند بلکه همیشه در نمایش های سیستم های مختلف ظاهر می شوند. در نتیجه در واقعیت نمی توان از یک تک-مشاهده پذیر صحبت کرد. بنابراین بسیار جالب توجه است بدانیم کوچک ترین سیستم کوانتمی (با کمترین درجه ی آزادی (مشاهده پذیر)) چیست: اسپین یک الکترون یک نمونه از

کوچک ترین سیستم های کوانتمی است که فقط یک مشاهده پذیر دارد و هر حالت آن یک عدد است. این که اسپین یک الکترون یک سیستم کوانتمی است اصلا مطلبی بدیهی نیست، زیرا پدیدار الکترون معمولا به همراه مکانش ظاهر می شود یعنی قاعدتا اگر بخواهیم الکترون را کامل توصیف کنیم باید مکان و اسپین را با هم نمایش دهیم ولی شواهدی نشان می دهند که مکان الکترون و اسپین آن دو سیستم کوانتمی مستقل هستند که با هم مجتمع شده اند.
نکته ی دیگری که نقطه ی تفاوت مکانیک کوانتم و کلاسیک است اطلاعات کمتری است که از حالت کوانتمی

نسبت به حالت کلاسیک به دست می آید. به تجربه دریافته ایم که تعداد اعدادی که حالت کوانتمی یک سیستم را مشخص می کند نصف تعداد اعدادی است که حالت همان سیستم را در مکانیک کلاسیک مشخص می کند. مثلا اگر در مکانیک کلاسیک مکان و سرعت یک جسم حالت آن را مشخص می کند در مکانیک کوانتم فقط یکی از این دو برای مشخص کردن حالت کوانتمی کافی و معتبر است. این که این اطلاعات قابل اندازه گیری در کوانتم نصف اطلاعات کلاسیک هستند با چند اصل قابل اثبات است.
خوب حالا فرض کنید یک سیستم کوانتمی را که در یکی از حالات خود است با یک مجموعه دستگاه مورد بررسی قرار می دهیم. نمایشی که درباره ی آن صحبت می کنیم نمایش مربوط به دستگاه ها است و فرض کنید حالت مذکور هیچ کدام از ویژه حالت های نمایش نباشد. سیستم را با مجموعه دستگاه ها در یک واکنش قرار می دهیم تا سیستم به یکی از ویژه حالت های نمایش مربوط به دستگاه ها رود. اما دستگاه به کدام ویژه حالت این نمایش می رود؟

 

درست از این نقطه مفهوم تصادف و احتمال وارد مکانیک کوانتم می شود. مکانیک کوانتم درباره ی این که سیستم به کدام ویژه حالت دستگاه اندازه گیر می رود هیچ نمی تواند بگوید جز یک عدد که آن را احتمال گذار transition probability می گوییم. احتمال گذار عددی است که احتمال رفتن از یک حالت سیستم به حالت دیگر سیستم را بیان می کند. احتمال گذار از جهت عملی و واقع گرایانه مهم ترین مفهومی است که در مکانیک کوانتم وجود دارد زیرا احتمال گذار تنها مهم ترین چیزی است که کوانتم می تواند حساب کند، پیش بینی کند و آن را در آزمایشگاه تجربه کنیم. و جالب این جاست که احتمال گذار یک مشاهده پذیر نیست و نمی توان آن را در آزمایشگاه یا واقعیت اندازه گرفت و جالب تر این که به واسطه ی محاسبه ی همین احتمال گذار در پدیده های مختلف، مکانیک کوانتم یکی از قوی ترین و اثبات شده ترین تئوری های قرن گذشته است. خلاصه این که کوانتم می تواند حساب کند احتمال گذار دقیقا چه قدر است و چگونه با زمان تغییر می کند.

اجازه دهید از این پس به مجموعه دستگاهی که مجموعه ی مشاهده پذیر یک سیستم را اندازه می گیرد به اختصار دستگاه apparatus بگوییم. تا این جا یک سیستم S داریم و تعدادی دستگاه مثل A1 و A2 که هر دستگاه سیستم را به ویژه حالت های نمایش خود می برد. تعداد ویژه حالت های این دو نمایش لزوما با هم برابر نیست. ولی می توان به سادگی و با کمک یک اصل (برگشت پذیری) نشان داد که تعداد ویژه حالت های هر نمایش از یک سیستم باید یکسان باشد. مثلا اگر با کمک دستگاه A1 بتوانیم سیستم را کلا به چهار ویژه حالت این نمایش با نام های بالا، پایین، چپ و راست ببریم با کمک دستگاه A2 هم باید بتوانیم به چهار ویژه حالت نمایش A2 برویم که نام های آن ها را خوب، بد، زیبا و زشت می گذاریم. این تعداد برای یک سیستم کوانتمی بسیار تعیین کننده و مهم است زیرا گاهی عددی محدود و گاهی نامحدود، گاهی به تعداد اعداد طبیعی و گاهی به تعداد اعداد حقیقی است.

در نهایت این بخش را با یک مثال از واقعیت تمام می کنم. سیستم کوانتمی را اسپین الکترون می گیریم و لااقل سه مشاهده پذیر و در نتیجه سه دستگاه و در نتیجه سه نمایش از آن را بررسی خواهیم کرد. اول این که دستگاه اندازه گیر اسپین مولفه ی بالا-پایین آن را اندازه بگیرد، دیگر دستگاهی که مولفه ی چپ-راست اسپین را اندازه بگیرد و آخر این که مولفه ی جلو-عقب آن را اندازه بگیرد (البته نیازی نیست از سه دستگاه استفاده کنیم، با چرخاندن یک دستگاه بقیه به دست می آیند). همان طور که قبلا ذکر شد تعداد مشاهده پذیرها در هر نمایش باید یکی باشد که همین گونه در هر نمایش فقط یک مشاهده پذیر داریم. تعداد ویژه حالت های یک نمایش نیز باید یکسان باشد که همین گونه در هر نمایش دو ویژه حالت داریم. یعنی در نمایش بالا-پایین دو ویژه حالت بالا و پایین را داریم و …