.۱ مقدمه

شاخصهاي جمعیتی (همچون نرخ باروري، نرخ مرگومیر، نرخ رشد جمعیت) همواره نقش بسزایی در تصمیمگیريهاي کلان جمعیتی داشتهاند. از این بین، نرخ مرگومیر مهمترین عامل در تغییر الگوي جمعیت کشورها (بهویژه، کشورهایی با سطح باروري پایدار) بهحسابمیآید.

داشتن تصویري درست از آینده جمعیت براي برآورد صحیح جمعیت سالخورده در سالهاي آتی بهمنظور برنامهریزيهاي دقیق مالی جهت تأمین آینده این قشر از جامعه، ساخت جداول آتی عمر مطابق با محتملترین الگوي مرگومیر و قیمتگذاري صحیح سالانه هاي عمر (همچون حقوق بازنشستگی) ، تنها بخشی از کاربردهاي پیشبینی مقادیر آتی نرخ مرگومیر در جمعیتشناسی و بیمه آمار است.
دراینراستا، مدلبندي و پیشبینی نرخ خام مرگ در هر سن و سال خاص، بهعنوان یک شاخص کلی از نرخ مرگومیر، از دیرباز، مورد توجه جمعیتشناسان قرار گرفته استاین. مطلب ناشی از امکان ساده و سریع تبدیل این کمیت به سایر شاخصهاي مرگومیر و عناصر یک جدول عمر است. ازاینرو، هر تلاشی در جهت افزایش دقت پیشبینی الگوي آتی مرگومیر، تأثیر مستقیمی در بهبود نتایج در هر یک از کاربردهاي فوق خواهد داشت.

این مقاله تلاشی در جهت بررسی توانایی روش تحلیل مجموعه مقادیر تکین۱، به عنوان یک روش ناپارامتري در تحلیل سريهاي زمانی، در مدلبندي و پیشبینی نرخ مرگومیر است. این بررسی بر اساس مقایسه دقت نتایج این روش با چند عضو از یک خانواده مشهور و پرکاربرد در این حوزه (لی-کارتر)۲ صورت گرفته

است(.(Lee and Carter, 1992

۱٫ Singular Spectrum Analysis (SSA) 2. Lee- Carter (LC)

مقایسه روش تحلیل مجموعه مقادیر تکین در پیشبینی نرخ ۲۵ /…

ازاینرو، ابتدا، به معرفی روش لی-کارتر و در ادامه، توسیع هیندمن-اولا۱ خواهیم پرداخت. روش هیندمن-اولا با حفظ ساختار مدل لی-کارتر، با نگاهی تابعی سعی در مدلبندي و پیشبینی بلندمدت نرخ خام مرگ کل جمعیت دارد. در ادامه، بر اساس آنچه که گولیندینا و همکاران۲ درخصوص مبانی نظري و کاربردي روش تحلیل مجموعه مقادیر تکین بیان کردهاند، به شرح این روش خواهیم پرداخت.

هیندمن و اولا، بر اساس یک ملاك مقایسهاي انتخابی، نشان دادند که توسیع پیشنهادي آنها از دقت بیشتري نسبت به روش لی-کارتر و چند توسیع آن برخوردار است. ازاینرو، به ارزیابی دقت عملکرد روش تحلیل مجموعه مقادیر تکین در مقایسه با روش هیندمن-اولا در این حوزه خواهیم پرداخت.

ازآنجاکه یک بانک اطلاعاتی جامع از دادههاي مرگومیر در ایران وجود ندارد و الگوي مرگومیر کشور فرانسه نیز، به عنوان نماینده اي از الگوي مرگومیر حاکم در کشورهاي توسعهیافته، به الگوي مرگومیر ایران نزدیک است، ارزیابی عملکرد روش تحلیل مجموعه مقادیر تکین بر اساس نرخ خام مرگ کل جمعیت این کشور انجام خواهد شد.
.۲ ادبیات موضوع

مدلبندي نرخ مرگومیر پیشینهاي طولانی دارد. برجستهترین محققین در این حوزه، دموآور۳، گومپرتس۴، میکام۵، سانگ۶ و وایبول۷ هستند. ازسويدیگر، پیشبینی نرخ مرگومیر، پیشینه کوتاهتري دارد. روشهایی که تا حدود بیستوپنج سال قبل به

۱٫ Hyndman – Ullah (HU) 2. Golyandina et al., 2001 3. De Moivre, 1725 4. Gompertz, 1825 5. Makeham, 1867 6. Sang, 1868 7. Weibull, 1939

/ ۲۶ پژوهشنامه بیمه/ سال بیستونهم/ شماره /۱ بهار /۱۳۹۳ شماره مسلسل ۱۱۳

منظور پیشبینی نرخ مرگومیر مورد استفاده قرار میگرفتند، نسبتاً ساده و تا حدودي مبتنی بر سلیقه فردي بودند. اما طی بیست سال گذشته، روشهاي پیشرفتهتري در این حوزه ارائه شده است. این روشها کارشناسان بیمه آمار و جمعیتشناسان را به استفاده بیشتر از روش هاي آماري سوق دادهاند. از میان این روشها، روش لی-کارتر با توجه به ساختار ساده و کاربرد موفق آن در بسیاري از کشورها، بیشتر مورد استفاده جمعیتشناسان و کارشناسان بیمه آمار قرار گرفته است.

پیدایش روش لی-کارتر به تغییر الگوي امید به زندگی از سال ۱۹۰۰ در ایالات متحده آمریکا برمیگردد. این اتفاق زمینهاي براي کار تحقیقاتی لی و کارتر روي مدلبندي و پیشبینی بلندمدت نرخ مرگومیر کل جمعیت ایالات متحده به نام “مدلبندي و پیشبینی سريهاي زمانی جمعیتی” شد. گرچه این روش بر اساس دادههاي مرگومیر ایالات متحده آمریکا، دادههاي ۱۹۰۰ تا ۱۹۸۷، طراحی شده بود، عملکرد بسیار خوبی در مدلبندي و پیشبینی بلندمدت نرخ مرگومیر بسیاري از کشورهاي توسعهیافته از جمله شیلی (۱۹۹۴)، ژاپن (۱۹۹۶)، کشورهاي عضو ۱G7 (2000)، انگلستان (۲۰۰۳)، سوئد (۲۰۰۴)، ایتالیا (۲۰۰۵) داشته است.

یکی از توسیعهاي قابل توجه از مدل لی-کارتر را هیندمن و اولا۲ ارائه کردند. روشهاي بسیاري در حوزه پیشبینی هموار۳ مرگومیر ارائه شده است؛ روش

.۱ گروه G7 متشکل از وزراي دارایی و رئیس بانکهاي مرکزي هفت کشور پیشرفته اقتصادي شامل فرانسه، کانادا، آلمان، ایتالیا، ژاپن، انگلستان و امریکا بوده که همه ساله در جلسات خود به بحث در خصوص مسائل اقتصادي رایج در دنیا میپردازند.
۲٫ Hyndman and Ullah, 2007

.۳ رویکرد پیشبینی هموار مرگومیر، اغلب در حوزه تحلیل تابعی دادههاي مرگ ومیر مطرح شده که در آن به کمک یک روش هموارسازي مناسب، دادههاي دورافتاده مرگ ومیر در مدلبندي حذف میشوند. در نتیجه، ازآنجاکه دادههاي دورافتاده در این رویکرد شناسایی و حذف شدهاند، مدلبندي حاصل هموار خواهد بود.

مقایسه روش تحلیل مجموعه مقادیر تکین در پیشبینی نرخ ۲۷ /…

هیندمن-اولا نمونهاي از این رده است که علاوهبر اینکه عضوي از خانواده لی-کارتر بهحسابمیآید، با رویکردي تابعی سعی در پیشبینی استوار لگاریتم نرخ خام مرگ کل جمعیت هر سن دارد.

ازسويدیگر، روش تحلیل مجموعه مقادیر تکین، به عنوان یک روش ناپارامتري نسبتاً جدید، با استفاده از روش تجزیه ویژه مقدار به کاهش سطح نوفه، مدلسازي

و پیشبینی سريهاي زمانی میپردازد. سادگی، عدم وابستگی به پیشفرضهاي محدودکننده رایج در سایر روشها (همچون مانایی، خطیبودن سري و نرمالبودن باقیماندهها) و کارایی مناسب در تحلیل سريهاي زمانی با طول کم از جمله دلیلهاي گسترش روزافزون استفاده از این روش در علوم مختلف است. ازاینرو، با توجه به تواناییهاي این روش، بررسی عملکرد آن براي اولین بار، در مدلبندي

و پیشبینی نرخ خام مرگ، هدف این مقاله بوده است.

.۳ روش لی-کارتر
فرض کنید، , و , ، به ترتیب، بیانگر تعداد افراد فوتشده و تعداد افراد در
معرض مخاطره فوت در سن و سال باشند. نرخ خام مرگ در سن و سال
در یک جامعه با ( , ) نمایش داده شده و به کمک رابطه زیر محاسبه میشود: t
dx,t m(x,t)=

ex,t
که در آن، t=t1, t 1+1,…, t1+h-1=tn، t1 نخستین زمان تحت مطالعه و x=x 1 ,…,xk است .(Wilmoth, 2002) ساختار مدل پیشنهادي لی و کارتر به شکل زیر است:
lnm(x,t)= ax+bxkt+ϵx,t (1)
:ln ( , ) – لگاریتم طبیعی نرخ خام مرگ مشاهدهشده در سن و سال ؛

/ ۲۸ پژوهشنامه بیمه/ سال بیستونهم/ شماره /۱ بهار /۱۳۹۳ شماره مسلسل ۱۱۳

– : متوسط لگاریتم طبیعی نرخ خام مرگ در سن ؛ – : روند اصلی موجود در لگاریتم طبیعی نرخهاي خام مرگ تمامی سنها در

طول زمان؛
– ضرایب : بیانگر این مطلب هستند که با تغییر در سطح مرگومیر
مرگومیر در سن به چه میزان تمایل به تغییر دارد. براي مثال، مقدار این پارامتر()

براي گروه سنی نوزادان و کودکان بزرگتر از گروه سنی سالمندان است (در این

مدل، مقادیر پارامتر در طول زمان ثابت درنظرگرفتهمیشود)؛
– , : مؤلفه خطا در سن و سال است. این مؤلفه با میانگین صفر و واریانس
بیانگر آن دسته از تغییرهاي خاص سنی در نرخ مرگومیر است که به کمک

این مدل منعکس نمیشود.

.۳-۱ برازش مدل

مدل (۱) را درنظربگیرید. ازآنجاکه هیچ متغیر توضیحی در سمت راست این رابطه وجود ندارد، مدل را نمیتوان به کمک روشهاي رایج رگرسیونی برازش داد. ازطرفدیگر، ساختار مدل تحت هر یک از تبدیلهاي زیر ثابت است:
∀ c ∈R, c≠۰;{ax,bx,kt}→ ax ,cbx , kct
ازاینرو، پارامترهاي مدل به منظور ∀ c ∈R;{ax,bx,kt}→{ ax-cbx,bx,kt+c}

یافتن یک مجموعه جواب یکتا براي هر سن به
کمک دو قید زیر استاندارد میشوند: b xk =0, k tn
(2)
دو قید فوق مفهوم جمعیتی نیز دارند. قید اول=۱ x ∑ t ∑
x=x1 t=t1
کلی مرگومیر در طول بازه n بیانگر مجموع انحرافها از روند
۱ است؛ بنابراین، مجموع این انحرافها صفر
پاسخ سن به تغییر در سطح در طول دوره
است. ازسويدیگر، نیز بیانگر,t ] [t

برازش داده شده است؛ بنابراین، مجموع این پارامتر برابر یک (یا هر واحد انتخابی

مقایسه روش تحلیل مجموعه مقادیر تکین در پیشبینی نرخ ۲۹ /…

دیگر) خواهد بود .(Setareh Shenas, 2011) لی و کارتر، به کمک دو قید فوق دو روش براي برآورد پارامترها معرفی کردهاند:

– روش کمترین توانهاي دوم عادي خطا؛

– روش تقریبی.

ازآنجاکه هیندمن و اولا در مقایسه توسیع خود با روش لی-کارتر از برآوردهاي حاصل از روش کمترین توانهاي دوم عادي خطا استفاده کردهاند، در ادامه، تنها، به بحث در خصوص برآوردهاي حاصل از این روش خواهیم پرداخت.۱ فرض کنید، نرخ خام مرگ کل جمعیت را در هر سن خاص و براي تمام سالهاي تا در

اختیار داریم. دراینصورت، به کمک رابطههاي (۱) و (۲) برآورد کمترین توانهاي
دوم عادي خطا براي پارامتر به شکل زیر بهدستمیآید:
lnm(x,t), t=t1 ,…,t n, h=tn-t1+1 t n 1 a x=
t=t 1
لی و کارتر به منظور برآورد کمترین توانهاي دوم عادي خطا براي پارامترهاي
h
و از تقریب درجه اول تجزیه ویژه مقدار استفاده کردند. ازاینرو، برآوردهاي حاصل به این شکل بهدستمیآید:
که در آن: kt=l1Vt×۱ bx=Ux×۱ ,
vx.1,1 ⎛ ux.1,1
. ⎞ ⎛ . ⎞
kt=⎜ . ⎟ bx=⎜ . ⎟ ,
vxk,1 ⎝ ⎠ uxk,1
⎠ ⎝

.۱ براي مطالعه بیشتر ر.ك: آل حسینی، ۱۳۹۱

/ ۳۰ پژوهشنامه بیمه/ سال بیستونهم/ شماره /۱ بهار /۱۳۹۳ شماره مسلسل ۱۱۳

در رابطه فوق، بزرگترین ویژه مقدار ماتریس’ZZ، b x ویژه بردار چپ متناظر و k t ویژه بردار راست متناظر با این ویژه مقدار۱خواهند بود.

.۳-۲ پیشبینی شاخص مرگومیر به کمک برونیابی

پس از برآورد پارامترهاي مدل، پارامتر kt به کمک مدلهاي سريهاي زمانی مدلبندي شده و مقادیر آتی آن پیشبینی میشود. مدلبندي نرخ خام مرگ بیشتر کشورهاي توسعهیافته، مدل قدم زدن تصادفی با رانش k t را به خوبی مدلبندي کرده و بیشتر تغییرهاي موجود در دادههاي مرگومیر هر سن و سال خاص به کمک این مدل پوشش داده میشود.

.۳-۳ توسیعهایی از روش لی-کارتر

توسیعهاي بسیاري براي روش لی-کارتر ارائه شده است. روشهاي لی- میلر۲ (Lee and Miller, 2001) و بوث و همکاران۳ از جمله مشهورترین این توسیعهاست. ازسويدیگر، روش هیندمن- اولا با معرفی رویکرديکاملاً متفاوت در مدلبندي دادههاي مرگومیر، به نوعی آخرین توسیع بر روش لی – کارتر است که در کنار دقت بالاتر، ایرادهاي موجود در این روش را نیز نداشته و از ویژگیهاي برتري نسبت به این روش برخوردار است. هیندمن و اولا با مقایسه عملکرد روش خود با روشهاي لی-کارتر، لی-میلر و بوث و همکاران، در مدلبندي و پیشبینی لگاریتم نرخ خام مرگ کل جمعیت فرانسه، نشان دادند که روش هیندمن- اولا از دقت بالاتري نسبت به سایر توسیعهاي لی – کارتر برخوردار است.