-۱ مقدمه

نمایش دو بعدي سیگنال در حوزة زمان- فرکانس را غالباً تحت عنوان نقشه زمان- فرکانس می شناسند. عمومـاً نقـشه زمـان-

فرکانس از تبدیل فوریه زمان کوتاه (STFT) یا تبدیل فوریه پنجره اي بدسـت مـی آیـد. STFT سـیگنال را روي پنجـره هـاي زمانی خاصی مورد تحلیل قرار می دهد (مالات، ۱۹۹۹؛ مرتینز، .(۱۹۹۸ در هر پنجرة زمانی طیف دامنه و فاز در هـر فرکـانس محاسبه و بر حسب زمان، که عمدتاً مرکز پنجره است، رسم می شود. یکی از مشکلات این روش انتخـاب طـول مناسـب بـراي پنجره است، چون که قدرت تفکیک فرکانسی سیگنال را کنترل می کند. در عمل، انتخاب طول پنجرة بهینه به دلیل طبیعـت غیر ایستاي سیگنال ها با مشکل مواجه می شود (چاکرابرتی و اوکایا، .(۱۹۹۵ روش دیگر تحلیل سیگنال بـا اسـتفاده از توابـع پایه متمرکز است که داراي طول پنجرة تطبیقی هستند. موجک با داشتن خواص مقیاس شوندگی و انتقـال چنـین امکـانی را براي ما فراهم می کند و غالباً از آن تحت عنوان تبدیل موجک پیوسـته (CWT) یـاد مـی کننـد (مورلـت و همکـاران، ۱۹۸۲؛

گوپیلاد و همکاران، ۱۹۸۵؛ مالات، ۱۹۹۹؛ مرتینز، .(۱۹۹۸ در این تبدیل مقیاس به طول موثر پنجره گفته می شـود و انتقـال موجک در امتداد محور زمان نقشه زمان- مقیاس یا مقیاس نما را تولید می کند (ریول و وترلی، .(۱۹۹۱ از آنجا که مقیـاس بـا پهناي باند فرکانسی موجک متناظر است (ابري و همکاران، (۱۹۹۳، می توان مقیاس نما را بـه نقـشه زمـان- فرکـانس معـادل

تبدیل کرد (تورنسی و کمپو، ۱۹۹۸؛ چاکرابرتی و اوکایا، .(۱۹۹۵
با ضرب تابع پنجرة متقارن ϕ(t) ∈ L2 (R) به مرکز τ در بازة −l,l  در سیگنال ، مقادیر سیگنال خارج از بـازة

−l,l  صفر می شود. تبدیل فوریه زمان کوتاه به صورت زیر داده می شود (مرتینز، (۱۹۹۸

١


Wf (ω,τ)  〈x(t),ϕ(t −τ)e jωt 〉  ∫x(t)ϕ(t −τ)e− jωt dt
−∞
موقعیت پنجرة زمان- فرکانس با پارامترهاي τ و ω معین می شود. طبق اصل عدم قطعیت هایزنبرگ انتخاب پنجرة زمـانی

کوتاه به قدرت تفکیک زمانی خوب و برعکس قدرت تفکیک فرکانسی ضعیف منجر می شود. از طرف دیگر، پنجـرة زمـانی دراز به قدرت تفکیک زمانی ضعیف و قدرت تفکیک فرکانسی خوب منجر می گردد. نکته مهـم دیگـر در ایـن نـوع تحلیـل زمـان-

فرکانس این است که به محض انتخاب پنجره شکل آن در تمام صفحه زمان- فرکانس ثابت می ماند.

تبدیل موجک در ابتداي دهه ۱۹۸۰ توسط مورلت و همکاران معرفی شد که براي ارزیابی داده هاي زلزله بکار رفـت (مورلـت و همکاران .(۱۹۸۲ از آن زمان تا کنون انواع متفاوتی از تبدیلات موجک توسعه یافته اند و کاربردهاي بسیار دیگـري پیـدا شـده است.

تبدیل موجک پیوسته براي سیگنال x(t) بصورت زیر تعریف می شود
)dt x(t)ψ * (t −τ ∞ CWT (τ, a)  ۱
a −∫∞ a x

که در آن، a مقیاس، ۱ψ * (t) 1 براي نرمالیزه کردن انرژي بکار رفتـه
موجک مادر، τ پارامتر انتقال زمانی و فاکتور
a

است. می توان نشان داد که مقیاس با فرکانس رابطه عکس دارد و تبدیل موجک پیوسته در فرکـانس هـاي بـالا داراي قـدرت تفکیک زمانی خوب و در فرکانس هاي پایین داراي قدرت تفکیک فرکانسی خوب است (ذبیحی، .(۱۳۸۴

-۲ نشانگرهاي طیفی لحظهاي

همانطور که ذکر شد، در تحلیل زمان- فرکانس یک مقطع لرزه اي دو بعدي به یک حجم دادة سه بعدي تبدیل مـی شـود کـه محور سوم آن فرکانس تا حد نایکوئیست است. به هر مقطع تک فرکانس از این حجـم دادة سـه بعـدي، مقطـع لـرزه اي تـک فرکانس می گویند (ذبیحی، .(۱۳۸۴ مقایسه مقاطع لرزه اي تک فرکانس متفاوت مـی توانـد بـراي آشـکار سـازي سـایه هـاي فرکانس پایین که توسط مخازن هیدروکربور ایجاد شده اند بکار رود. شکل شماتیک حجم دادة سه بعدي با یک محور فرکانس در شکل ۱ نشان داده شده است. هر صفحه عمود بر محور فرکانس و موازي با صفحه شمارة نقطه عمقی مشترك و زمـان یـک مقطع لرزه اي تک فرکانس است.

شکل .۱ شکل شماتیک مقطع لرزه اي تک فرکانس (رنگ قرمز) در حجم سه بعدي داده هاي لرزه اي حاصل از تحلیل زمان- فرکانس

(سینها، .(۲۰۰۴

از تفسیر و همچنین مطالعه مقاطع لرزهاي تک فرکانس دادههاي لرزهاي شکل ۲ وجود آنومالی فرکانس پایین در زمـان حـدود

۲/۲ ثانیه مشاهده شد.

هر نوع اندازه گیري بر اساس هندسه، دینامیک و یا خواص آماري داده هاي لرزه اي، نشانگر لرزه اي نامیده می شـوند (چـن و سیدنی، .(۱۹۹۷ نشانگرهاي لرزه اي ابزار مناسبی براي درك فیزیک سنگ و زمین شناسی از داده هاي لرزه اي هستند. در هر مقطع لرزهاي تک فرکانس اطلاعات محدودي از افق هاي موجود بدست می آوریم چراکه محتواي فرکانسی سیگنال لرزهاي بـا عمق تغییر می کند. بنابراین تفسیر تک فرکانسی نیازمند بررسی حجم زیادي از داده هاست. در اینجا روي محاسبه نشانگرهاي

١

علامت * به معناي مزدوج مختلط است.

٢

آماري بر اساس نقشه زمان- فرکانس سیگنال لرزه اي تأکید می کنیم. این نوع نشانگرها، نـشانگرهاي طیفـی لحظـهاي نامیـده می شوند (ذبیحی، .(۱۳۸۴

توزیع فرکانس در یک سیگنال لرزه اي با استفاده از طیف توان فوریه قابل دستیابی است. در لرزه شناسی بازتابی، غالبا این نوع توزیع فرکانس با پارامترهاي میانگین از جمله فرکانس مرکزي، پهناي باند طیفی و فرکانس غالب توضیح داده می شود. کمیت هاي طیفی میانگین در لرزه شناسی بازتابی به عنوان نشانگرهاي طیفی لحظه اي شناخته شده اند. در ابتـدا تعـاریف فرکـانس مرکزي، پهناي باند طیفی و فرکانس غالب را از طیف توان فوریه مرور کرده و از آنها به عنوان پایه معرفـی انـدازه گیـري هـاي
طیفی لحظه اي متناظر استفاده می کنیم. فرکانس مرکزي fc ، پهناي باند طیفی fb و فرکانس غالب fr مربوط بـه طیـف
توان ( p( f به صورت زیر تعریف می شوند (بارنس، :(۱۹۹۳
∞ ∞ ∞
∫( f − fc )2 p( f )df
∫ f 2 p( f )df ∫ fp( f )df
0 fr2  ۰ fb2  ۰ fc 



∫p( f )df ∫p( f )df ∫p( f )df
0 0 0
شکل ۳ این اندازه گیري هاي طیفی را با توجه به طیف موجک ریکر ۳۰ هرتزي نمایش می دهد. از دیدگاه تفسیر، نشانگرهاي طیفی متغیر با زمان از جمله نشانگرهاي طیفی لحظه اي بسیار مفیدتر از نشانگرهاي طیفی میانگین هستند. نشانگرهاي طیفی لحظه اي از طیف توان لحظه اي به جاي طیف توان فوریه محاسبه می شوند. بنابراین فرکانس لحظهاي مرکزي، پهناي باند

طیفی لحظهاي و فرکانس غالب لحظهاي را می توان به صورت زیر تعریف کرد (ذبیحی، :(۱۳۸۴