نظريه اعداد

بعد از دوران يونان باستان، نظريه اعداد در سده شانزدهم و هفدهم با زحمات ويت Viete، باشه دو مزيرياک Bachet de Meziriac، و بخصوص فرما دوباره مورد توجه قرار گرفت. در قرن هجدهم اويلر و لاگرانژ به قضيه پرداختند و در همين مواقع لوژاندرLegendre (1798)و گاوسGauss (1801) به آن تعبير علمي بخشيدند. در ۱۸۰۱ گاوس در مقاله Disquisitiones Arithmeticæ حساب نظريه اعداد مدرن را پايه گذاري کرد.

چبيشف Chebyshev (1850) کران‌هايي براي تعداد اعداد اول بين يک بازه ارائه داد. ريمانRiemann (۱۸۵۹) اظهار کرد که حد تعداد اعداد اول از يک عدد داده شده تجاوز نمي‌کند. (قضيه عدد اول) و آناليز مختلط را در تئوري تابع زتاي ريمان Riemann zeta functionگنجاند. و فرمول صريح تئوري اعداد اولexplicit formulae of prime number theory را از صفرهاي آن نتيجه گرفت. تئوري همنهشتي congruences از Disquisitiones گاوس شروع شد. او علامت‌گذاري زير را پيشنهاد کرد: mod(c)

چبيشف در سال ۱۸۴۷ به زبان روسي کاري را در اين زمينه منتشر کرد و سره Serret آن را در فرانسه عمومي کرد. بجاي خلاصه کردن کارهاي قبلي، لوژاندر قانون تقابل درجهٔ دوم را گذاشت. اين قانون از استقراء کشف شد و قبلاً اويلر آن را مطرح کرده بود. لوژاندر در کتاب تئوري اعداد Théorie des Nombres (1798) براي حالت‌هاي خاص آن را ثابت کرد. جدا از

کارهاي اويلر و لوژاندر، گاوس اين قانون را در سال ۱۷۹۵ کشف کرد و اولين کسي بود که يک اثبات کلي ارائه داد. کوشي Cauchy؛ ديريشله Dirichlet (که مقاله Vorlesungen über Zahlentheorie) او يک مقاله کلاسيک است؛ جکوبي Jacobi که علامت جکوبي Jacobi symbol را معرفي کرد؛ ليوويل Liouville ؛ زلر Zeller ؛ آيزنشتين Eisenstein؛ کومرKummer و

کرونکر Kronecker نيز در اين زمينه کارهايي کرده‌اند. اين تئوري تقابل درجه دوم و سوم cubic and biquadratic reciprocity را شامل مي‌شود (گاوس؛ جکوبي که اولين بار قانون تقابل درجه سوم cubic reciprocity را ثابت کرد ؛ و کومر).

نمايش اعداد با صورت درجه دوم دوتايي binary quadratic forms مديون گاوس است. کوشي، پوانسو Poinsot (1845)، لوبکLebesque (1859-1868) و بخصوص هرميت Hermite به موضوع چيزهايي افزوده‌اند. آيزنشتاين در تئوري صورت‌هاي سه‌گانه پيشتاز است، و تئوري فرم‌ها theory of forms به طور کلي مديون او و اچ. اسميتH. J. S. Smith است. اسميت دسته بندي کاملي از صورتهاي سه گانه انجام داد و تحقيقات گاوس در مورد صورت‌هاي درجه دوم حقيقي به فرمهاي مختلط افزود. جستجوهايي در مورد نمايش اعداد به صورت جمع ۴، ۵، ۶، ۷، ۸ مربع توسط آيزنشتاين ادامه يافت و اسميت آن را کامل کرد.

ديريشله اولين کسي بود که در يک دانشگاه آلماني در اين مورد سخنراني کرد. او در مورد بسط قضيه اويلر که مي‌گويد:

که اويلر و لوژاندر براي ۰۴ ۳ = n آن را ثابت کردند و ديريشله نشان داد که: z5 y5 x5 +.
بين نويسندگان فرانسوي بورل Borel و پوانکاره Poincare ذهن قوي داشتند و تانريTannery و استيلجزStieltjes. کرونکر، کومر، شرينگ Schering، باخمن Bachmann و ددکيند Dedekind آلماني‌هاي پيشتاز هستند. در اتريش مقاله استلز Stolz’s vorlesungen uber allgemeine Arithmetik (1885-86) و در انگلستان تئوري اعداد ماتيو Mathew (قسمت اول، ۱۸۹۲) جزو کارهاي عمومي دانشگاهي هستند. جنوچيGenocchi، سيلوستر Sylvester، و جي. گليشرJ.W.L. Glaisher به اين تئوري چيزهايي افزوده‌اند .
نظريه مقدماتي اعداد

در نظريه مقدماتي اعداد، اعداد صحيح را بي استفاده از روش‌هاي به‌کار رفته در ساير شاخه‌هاي رياضي بررسي مي‌‌کنند. مسائل تقسيم‌پذيري، الگوريتم اقليدس براي محاسبه بزرگ‌ترين مقسوم‌اليه مشترک، تجزيه اعداد به اعداد اول، جستجوي عدد تام perfect number و همنهشتي‌ها در اين رده هستند. برخي از يافته‌هاي مهم اين رشته قضيه کوچک فرما،قضيه اعداد اول و قضيه اويلر، قضيه باقيمانده چيني و قانون تقابل درجه دوم هستند. خواص توابع ضربي مانند تابع موبيوس و تابع φ اويلر و دنباله اعداد صحيح و فاکتوريل‌ها و اعداد فيبوناچي در همين حوزه قرار دارند.
حل بسياري از مسائل در نظريه مقدماتي اعداد بر خلاف ظاهر ساده‌ آن‌ها نيازمند کوشش بسيار و به‌کار گرفتن روش‌هاي نوين است. چند نمونه:
• حدس گلدباخ در مورد نمايش اعداد زوج به صورت جمع دو عدد اول،
• حدس کاتالان در مورد توانهاي متوالي از اعداد صحيح،
• حدس اعداد اول تؤامان در مورد بينهايت بودن زوج‌هاي اعداد اول،
• حدس کولاتز در مورد تکرار ساده،
• حدس اعداد اول مرسن در مورد بينهايت بودن اعداد اول مرسن و …
همچنين ثابت شده که نظريه معادلات ديوفانتي تصميم‌ناپذير است (به مسئله دهم هيلبرت مراجعه کنيد.)
نظريه تحليلي اعداد
در نظريه تحليلي اعداد از حسابان و آناليز مختلط براي بررسي سؤالاتي در مورد اعداد صحيح استفاه مي‌شود. مثال‌هايي در اين مورد قضيه اعداد اول و فرض ريمان هستند. مسئله وارينگ (يعني نمايش هر عدد صحيح به صورت جمع چند مربع يا مکعب)، حدس اعداد اول تؤامان (يافتن بينهايت عدد اول با اختلاف ۲)، و حدس گلدباخ (نمايش هر عدد زوج به‌صورت مجموع دو عدد اول) نيز با روشهاي تحليلي مورد حمله قرار گرفته‌اند. اثبات متعالي بودن ثابت‌هاي رياضي، مانند π و e نيز در بخش نظريه تحليلي اعداد قرار دارند. اگرچه حکم‌هايي در مورد اعداد متعالي خارج از محدوده مطالعات اعداد صحيح به نظر مي‌آيد، در واقع مقادير ممکن براي چند جمله‌اي‌ها با ضريب‌هاي صحيح مانند e را بررسي مي‌کنند. همچنين اين‌گونه مسائل با مبحث تقريب ديوفانتين نيز ارتباط نزديک دارند که موضوع آن اين است که چگونه مي‌توان يک عدد حقيقي داده شده را با يک عدد گويا تقريب زد؟
نظريه جبري اعداد
در نظريه جبري اعداد، مفهوم عدد به اعداد جبري، که همان ريشه‌هاي چند جمله‌اي‌هائي با ضريب گويا هستند، گسترش مي‌يابد. در اين حوزه اعدادي مشابه اعداد صحيح با نام اعداد صحيح جبري وجود دارد. در اين عرصه لازم نيست ويژگي‌هاي آشناي اعداد صحيح (مانند تجزيه يگانه) برقرار باشد. مزيت روش‌هاي استفاده شده در اين رشته (مثل نظريه گالوا، ميدان همانستگي field cohomology، نظريه رده ميدان class field theory، نمايش‌هاي گروه‌ها و توابع-L) اين است که براي اين رده از اعداد، نظم را تا حدودي تأمين م‌کند.
حمله به بسياري از سؤالات نظريه اعداد به صورت “پيمانه p، براي کليه اعداد اول p” مناسب‌تر است (به ميدان‌هاي متناهي مراحعه کنيد.) به چنين کاري “محلي سازي” مي‌‌گويند که به ساختن عدد p-اي مي‌انجامد. نام اين رشته “تحليل موضعي” است که از نظريه اعداد جبري ناشي مي‌شود.
نظريه هندسي اعداد
نظريه هندسي اعداد (که قبلا به آن هندسه اعداد مي‌گفتند) جنبه‌هايي از هندسه را به نظريه اعداد پيوند مي‌دهد؛ و از قضيه مينکوسکي در ارتباط با نقاط توري در مجموعه‌هاي محدب و تحقيق در مورد چپاندن کره‌ها (sphere packings) در فضاي Rn شروع مي‌شود.
نظريه ترکيبياتي اعداد
نظريه ترکيبياتي اعداد به مسائلي در نظريه اعداد مي‌پردازد که با روش‌هاي ترکيبياتي بررسي مي‌شوند. پل اردوش بنيان‌گذار اصلي اين شاخه از نظريه اعداد بود.
نظريه محاسباتي اعداد
نظريه محاسباتي اعداد به الگوريتم‌هاي مربوط به نظريه اعداد مي‌‌پردازد. الگوريتم‌هاي سريع براي امتحان اعداد اول و تجزيه اعداد صحيح در رمزنگاري کاربردهاي مهمي دارند .

پيچيده گي هاي اعداد اول
در۱۵۰ سال اخير يا بيشتر نظريه اعداد پيشرفتهاي زيادي در
جهات مختلف داشته.شرح انواع مسائلي که در نظريه اعداد
بررسي شده اند در اينجا ممکن نيست.اين مبحث بسيار وسيع

است و در بعضي قسمتها نياز به دانستن مطالب عميقي از
رياضيات پيشرفته (مثل نظريه گالوا و آناليز در سطح بالا )

دارد. با اينحال مسائل زيادي در نظريه اعداد وجود دارد که به
آساني قابل بيانند . برخي از آنها به اعداد اول مربوط ميشوند .
در نوشته ي قبلي اعداد کوچکتر از ۵۰۰ ذکر شده اند .در ۱۹۱۴
رياضيدان آمريکايي دي.ان.لمر با منتشر کردن جدول همه اعداد

اول کوچکتر از ۱۰ ميليون متوجه شد که فقط ۶۶۴۵۷۹ تا عدد
اول وجود دارد يعني حدود۶٫۵ درصد.همچنين دي اچ لمر(پسر
دي.ان.لمر) تعداد اعداد اول کوچکتر از ۱۰ ميليارد را حساب

کرد ۴۵۵۰۵۲۵۱۲٫حدوداً ۴٫۵ درصد .
بررسي دقيق اعداد اول نشان مي دهد که توزيع بسيار نامنظمي
دارند . به آساني ثابت ميشود که شکافهاي به اندازه ي دلخواه
بين آنها وجود دارد. بررسي اين اعداد نشان ميدهد که اعداد اول
متوالي ، نظير ۳و۵ يا ۱۰۱و۱۰۳ همين طور تکرار ميشوند

جفتهايي از اعداد اول که تفاضلشان ۲ است اعداد اول دو قلو
ناميده ميشوند بيش از ۱۰۰۰ جفت از اين جفتها زير ۱۰۰۰۰۰
بيش از ۸۰۰۰ جفت زير ۱۰۰۰۰۰۰ وجود دارند اين مسئله که
آيا بينهايت تا از اين اعداد وجود دارد يا نه هنوز حل نشده است

ماشين رياضي جديدي براي رام كردن اعداد اول (‪(۲
اعداد اول بسيار زيبا و جذابند و در عين حال معماي حيرت انگيز و سرگردان‌كننده اي را در برابر رياضي دانان مطرح ساخته اند: تعريف اين اعداد كاملا ساده است، رفتار آنها در سلسله اعداد و نحوه ظاهر شدنشان در آن كاملا بي‌نظم و فاقد قاعده به نظر مي‌آيد و هرچه شمار بيشتري از آنها شكارمي‌شوند، كار شكار بعدي‌ها دشوارتر مي‌شود.
طي قرنهاي متمادي رياضي دانان در شرق و غرب عالم به جستجوي راههايي براي دستيابي به اعداد اول برخاسته‌اند و با اين همه بهترين روشهايي كه تا بحال در اين زمينه ابداع شده چنان كند است كه حتي پر سرعت‌ترين كامپيوتر هاي كنوني نيز نمي‌توانند كمك چنداني در شكار اين اعداد شگفت انگيز كنند.
اعداد اول بر طبق تعريف اعدادي هستند كه تنها به ‪ ۱‬و بر خودشان تقسيم پذيرند. به عنوان نمونه اعداد ‪ ۲،۳،۵،۷،۱۱،۱۳،۱۷،۱۹‬اعداد اول كمتر از ‪۲۰‬ در سلسله اعداد طبيعي هستند. اما هرچه در اين سلسله پيش تر برويم اعداد اول ناياب تر مي‌شوند.

بطوريكه اگر چندين ميليون بار به سرعت كامپيوتر هاي كنوني افزوده شود، تنها چند رقم به شماره ارقام بزرگترين عدد اولي كه تا به حال شناخته شده افزوده مي‌گردد.
رياضي دانان در آرزوي دست يافته به روشي هستند كه با استفاده از آن بتوانند با سرعت به يافتن اعداد اول توفيق يابند و يا اگر با عددي هر اندازه پر رقم و بزرگ روبرو شدند بتوانند با سرعت مشخص سازند كه آيا عدد اول است ؟ – اما يافتن چنين روشي به فسفر مغز نياز دارد و نه سرعت كامپيوتر. –

اما يك گروه از رياضي دانان هندي مدعي شده‌اند كه در آستانه دستيابي به همان آزموني هستند كه رياضي دانان قرنها مشتاقانه در آرزويش بوده اند.
مانيندرا اگراوال ‪ ,Manindra Agrawal‬و دانشجويانش نيراج كايال ‪Neeraj‬ ‪ Kayal‬و نيتين سكسنا ‪ Nitin Saxena‬در موسسه تكنولوژي كانپور مدعي شده‌اند كه در آستانه تكميل آزموني هستند كه اول بودن يا نبودن هر عدد طبيعي را با سرعت مشخص مي‌كند. اين آزمون در صورتي كه تكميل شود مي‌تواند تبعات و نتايج بسيار گسترده‌اي براي جهان كنوني به بار آورد.
درحال حاضر بسياري از معاملات تجاري و نقل و انتقالات مالي و نيز مبادله اطلاعات محرمانه از طريق شبكه هاي مخابراتي مانند اينترنت و با بهره گيري از رمز كردن پيامها به انجام مي‌رسد.

اعداد اول در تنظيم اين قبيل رمزها نقشي اساسي بر عهده دارند و از همين رو دستيابي به اعداد اول جديد كه ديگران از آن بي‌خبر باشند براي سازندگان اين رمزها و نيز مشتريان آنان از اهميت زياد برخوردار است.

اما اگر روش اين محققان هندي تكميل شود در آن صورت امنيت اين قبيل نقل و انتقالات در معرض خطر جدي قرار خواهد گرفت.
سابقه قرار گرفتن رياضي دانان تحت جاذبه اعداد اول به قرنها پيش باز مي گردد. در سال ‪ ۱۸۰۱‬كارل گائوس از بزرگترين رياضي دانان اعلام كرد كه مساله تشخيص اعداد اول از اعداد غير اول يكي از مهمترين مسائل حساب به شمار مي‌آيد.

اعداد اول به يك معنا همان نقشي را در سلسله اعداد بازي مي‌كنند كه اتمها در ساختار بناي كيهان دارند- اين اعداد سنگ بناي ناپيداي ديگر اعداد محسوب مي‌شوند.
يكي از عادي‌ترين راههاي شناسايي اعداد اول تقسيم آن به ديگر اعداد است.
از طرف ديگر با اندكي تامل روشن مي‌شود كه اعداد زوج عدد اول نيستند زيرا همگي بر ‪ ۲‬قابل قسمتند.
اعدادي كه بتوان جذر آنها را به دست آورد نيز اول نيستند. اما اين روشها براي شناسايي اعداد اول بزرگ به كلي بي‌فايده‌اند. به عنوان مثال اگر عدد اولي داراي ‪ ۱۰۰‬رقم باشد در آن صورت كل عمر باقيمانده از كيهان بر اساس نظريه هاي جديد كيهانشناسي نيز براي مشخص كردن اول بودن يا نبودن اين عدد با اين شيوه هاي متعارف كفايت نمي‌كند.