نیروی جاذبه زمین

مقدمه
در کودکی به ما یاد داده اند که هنگامی که بستنی می خوریم، اگر روی قالی بریزید و یا وقتی ازروی تاب به زمین می افتیم، گناه ازنیروی گرانش است. اگر از شما بخواهند حدس بزنید که آیا نیروی جاذبه خیلی ضعیف یا خیلی قوی است، چه می گویید؟ احتمالاً خواهید گفت:
« فوق العاده قوی است »

در این صورت در اشتباه خواهید بود. این نیرو به مراتب از سه نیروی دیگر (نیروی قوی هسته ای، نیروی الکترومغناطیس، نیروی ضعیف هسته ای) ضعیف تراست. گرانشی که در زندگی روزمره ما تا ایـن اندازه محسوس است، گرانش سیاره بسیار بزرگی است که روی آن زندگی می کنیم یا درحقیقت، برآیند گرانش همه ذرات موجود درزمین است. سهم هر ذره، ناچیز است. برای اندازه گیری جاذبه گرانشی ضعیفی که بین اشیاء کوچکی که هر روز با آن سروکار داریم، به دستگاههای خیلی دقیق، نیازمندیم. ضمن اینکه گرانش همیشه حالت جذب دارد و هرگز دفع نمی کند، پس خصوصیت جمع پذیری دارد.

جان وایلر فیزیکدان، مایل است گرانش را شبیه یک سیستم دموکراتیک فرض کند. هرذره یک رای دارد که می تواند بر هر ذره دیگر موجود در جهان اثر بگذارد. اگر ذرات جمع شوند و رای دسته جمعی بدهند(مثلاً در یک ستاره یا زمین)، تاثیر بیشتری اعمال می کنند. جاذبه گرانش بسیارضعیف تک تک ذرات، در اجسام بزرگی مثل زمین مانند همان رای دسته جمعی، با هم جمع می شوند و نیروی قابل توجهی پدید می آورند.

هر چقدر ذرات مادی که یک جسم را تشکیل می دهند، زیادتر باشد، جرم آن جسم بیشتر است. جرم با اندازه یک جسم تفاوت دارد. جرم تعیین می کند که چقدر ماده در جسمی وجود دارد، یا تعداد آرا، در این رای دسته جمعی چقدر است (بدون توجه به تراکم و تفرق ذرات آن ماده)
سرایزاک نیوتن، در سالهای ۱۶۰۰ صاحب کرسی ریاضیات در کمبریج بود. وی همان مقامی را داشت که هاوکینگ امروزه دارد. نیوتن قوانینی را کشف کرد که چگونگی عمل گرانش را درشرایط کم و بیش عادی، توضیح می دهند. نخست اینکه اجسام درجهان در حال سکون نیستند. آنها به حال سکون نمی مانند تا نیروی آن ها را با کشیدن یا راندن به حرکت در آورد و سپس با «از کا

ر افتادن»این نیرو، بار دیگر به حال سکون در آیند. بلکه برعکس، اگر جسمی کاملا ًبه حال خود گذارده شود، در امتداد یک خط راست بدون تغییر جهت و تغییر تندی به حرکت خود ادامه می دهد. بهترین دیدگاه آن است که فکر کنیم جهان، در حال حرکت است. ما می توانیم سرعت یا جهت حرکت خود را نسبت به سایر اجسامی که در جهان وجود دارند، بسنجیم، اما نمی توانیم آن را نسبت به سکون مطلق یا چیزی مثل شمال و جنوب، بالا یا پایین مطلق اندازه گیری کنیم.
به عنوان مثال، اگر کره ماه در فضا تنها بود، در حال سکون نمی ماند بلکه در امتداد خط راست بدون تغییر سرعت، به حرکت خود ادامه می داد. البته اگر ماه واقعاً تنها بود، امکان نداشت که حرکت آن را بگونه ای که گفته شد، بیان کنیم. زیرا چیزی نبود که حرکت ماه را به آن نسبت دهیم، اما ماه کاملاً تنها نیست. نیرویی موسوم به گرانش، ماه را وادار می کند که تندی حرکت و جهت حرکت خود را تغییر دهد. این نیرو از کجا می آید؟ این نیرو از مجموعه آراء ذرات نزدیک به هم (جسمی با جرم زیاد) می آید که همان زمین باشد. ماه در برابر این تغییر، مقاومت می کند و سعی می کند که حرکت خود را روی یک خط راست نگه دارد. در همین حال، گرانش ماه نیز روی زمین تاثیر می گذارد.
می دانیم که نمونه بارز آن جزر و مد اقیانوس هاست.
نظریه گرانش نیوتن به ما می گوید که مقدار جرم یک جسم، چگونه بر شدت گرانش بين آن جسم و جسم دیگر، تاثیر می گذارد. اگر عوامل دیگر تغییر نکنند، هر قدر جرم زیادتر باشد، جاذبه شدیدتر خواهد بود. اگر زمین دو برابر جرم فعلی خود را داشت جاذبه ای که بین زمین و ماه وجود داشت، نسبت به جاذبه کنونی آن، دو برابر می شد. اما اگر فاصله ماه تا زمین دو برابر فاصله کنونی بود، شدت جاذبه بین آنها یک چهارم شدت فعلی می شد.

نظریه گرانش نیوتن نظریه بسیار موفقی بود و تا ۲۰۰ سال بعد، مورد تجدید نظر واقع نشد. هنوز هم ما از آن استفاده می کنیم در حالی که می دانیم، در بعضی شرایط، مثلاً اگر نیروهای گرانشی فوق العاده شدید باشند (به عنوان مثال در نزدیکی سیاهچاله)، یا زمانی که اجسام با سرعتی معادل نور حرکت کنند، این نظریه دیگر صادق نیست.

تصورات اوليه درباره عالم
شك نیست که نیوتن از طریق استوار کردن افکار خویش بر دستاوردهای پژوهندگان زمانهای پیشین توانست به توفیق دوران ساز خود برسد از اینرو لازم است که ابتدا کار پیشينیان نیوتن را مورد بررسی قراردهیم. به نظر می رسد شیوه نگرش آدمی به زمین، در شکل گیری تصور او از عالم تا ثیر بسزايی داشته، و این هم امری منطقی است. فرض می کنیم هرگز بر ایمان پیش نیامده باشد که بتوانیم تا جایی دورتر از فاصله یک روز راه رفتن خود برویم؛ در این صورت تعبیر ما از زمین چگونه است؟ بی شک باید زمین را مسطح تصور کنیم، که ستارگان هم خیمه یا گنبدی بر فراز سرمان تشکیل داده اند. آسمان را سپر برنجی عظیمی بر فراز سرمان می پنداریم که صدها سوراخ در آن تعبیه شده است و از بیرون این سوراخها نوری از آتش بر ما می تابد که جلوه ستارگان آسمان است. این همان توضیح یونانیان باستان درباره افلاک است .

یونانیان برای توضیح حرکت ظاهری خورشید در آسمان، معتقد بودند که هلیوس، الهه آفتاب، هر روز گردونه خود را در آسمان از شرق به غرب می راند و هر شب در پیرامون جریان شمالی اقیانوس به حرکت در می آورد تا در فجری دیگر در شرق طلوع کند. تصورمسطح بودن زمین سبب شد تا آدمی برای حرکت خورشید توضیحاتی بیافریند. این توضیحات با آنکه امروزه در نظر ما بی معنی می نماید، بازتاب احساسات شخصی انسانها درباره اجرام آسمانی بوده است.
در مکتبهای عمده فلسفه یونا نی ایده های گوناگونی در این باره مطرح شده است. تالس ملطی (۵۴۶-۶۳۶ ق.م) مي گوید که مایه همه چیز آب است، و زمین را قرص تختی مجسم می کرد که در آب شناوراست؛ آناکسیماندر (۵۴۷-۶۱۱ ق.م) عالم را نامحدود می پنداشت و از نظر وی زمین چون استوانه ای در فضا آزادانه شناور بود ؛ و آناکسمینس (۵۲۶-۵۸۵ ق.م) زمین را چون قرصی تصور می کرد که بر هوا تکیه دارد.
ذکر این نکته جالب است که از بستر این مکتب های تخیلی مردی برخاست که اندیشه هايش نسبت به زمانه خود چندان پیش بود که بخاطر تعلیماتش به ارتداد و بد دینی متهم و تبعید شد این شخص آناکساگوراس (۴۲۸- ۴۹۹ ق.م) نام داشت.

او تصوری بسيار دقیق تر از دیگران داشت، ماه و سیارات را همچون زمین می دانست و می گفت که آنها هم مانند زمین جامدند، پوسته ای سخت دارند و نور خورشید را باز می تابانند.
تقریبا در همین ایام، فیثاغورس، فیلسوف و ریاضیدان ساموسی (۵۰۷-۵۲۸ ق.م) مکتب دیگری را پایه نهاد. گفته می شود که وی نخستین کسی است که شکل زمین را کروی (گوی مانند) دانسته است. تصور کروی بودن زمین گامی بزرگ به پیش برد، زیرا تصور آنان از عالم را به نحو چشمگیری دگرگون کرد.
مردم دیگر به جای آن که ستاره ها را گنبد آسمان تلقی کنند، می توانستند ناظر آن باشند که ستاره ها زمین را در تمام جهات احاطه کرده اند ؛ گروهی از مردم هم ستاره ها را چسبیده به طاق کره بلورین عظیمی می دانستند. اکنون خورشید نیز گونه ای تصور می شد که در یک حرکت مداری یکنواخت به دور زمین حرکت می کند.

۱-۱ مدل زمین مرکزی
– ارسطو (۳۲۲- ۳۸۴ ق.م)
آکادمی افلاطون در قرن چهارم قبل از میلاد در آتن تأسیس شد و یکی از مشهورترین شاگردان این مکتب ارسطو بود . ارسطو که به برترین و با نفوذترین فیلسوف عصر خود تبدیل شد و سمت مربیگری اسکندر مقدونی را یافت، این ایده را قویاً تثبیت کرد که زمین کروی مرکزعالم است و در این موضع بی حرکت ایستاده است و خورشید و ماه و سیارات در مدارهایی به دور آن در حركتند. وی معتقد بود به هنگام گرفتگی ماه ، زمین بر ماه سایه افکنده است و از آنجا که این سایه همواره دایر وی است، زمین باید یک کره – یا دست کم نزدیک به یک کره بوده باشد.

ارسطو معتقد بود که جهان طبعاً جهانی است که منشأ الهی داشته، از بالاترین حد کمال برخوردار است و از این طریق می باید ممتاز باشد. از این رو در نظر ارسطو بدیهی می نمود که جسم های آسمانی کره های کامل بوده و فقط روی دایره ها، یعنی روی کاملترین شکل منحنیها، تحت یک نظام بدون نقص دوران می کرده اند چه آنکه کره « کاملترین» صورت اجسام بوده و زمین نیز تقریباً کروی می نموده است.

– بطلمیوس (۹۰- ۱۶۰ م)
توضیح حرکت سیارات منجمان دوره باستان را با دشواریهای بزرگ مواجه می کرد. حرکت سیارات در آسمان در واقع مانند حرکت خورشید و ماه تقریباً یکنواخت نیست ، بلکه گاهی تندتر و زمانی کندتر انجام می شود. گاهی نیز پیش می آید که این حرکات حتی (بازگشتی) است به طوری که مدار سیارات در آسمان را به صورت منحنی های پیچیده و حلقوی نمایش می دهد.

اینک چنین وضعی با طرح جا افتاده ارسطو که بر حرکات دایره ای اینك بطلمیوس در برابر این مشکل یک نبوغ فکری به کار بست و حرکت غیر یکنواخت سیارات را با آموزش ارسطوی مبتنی بر حرکات دایره ای یکنواخت هماهنگ ساخت.
به عقیده بطلمیوس سیاره محیط یک دایره کوچک موسوم به اپی سیکل یا دایره مسیر را دور می زند، و مرکز این دايره کوچک خود در عین حال بر یک دایره بزرگ، موسوم به راهبر( Deferent ) قرارمی گـیرد و گرد زمین ساکن حرکت می کند، چنانچه جهت حرکت سیاره بر دایره مسیر با جهت دایره مسـیر بر راهبر موافق باشد، این دو حرکت در مجموع تقویت می شوند، و حرکت سیاره تندتر می نماید.
اما اگر حرکت سیاره بر دایره مسیر خلاف جهت حرکت دایره مسیر بر راهبر باشد، چنین جلوه می کند که سیاره در آسمان به عقب بر می گردد. و بدین نحو حرکت حلقوی غیر یکنواخت سیاره را زاییده و نتیجه دو حرکت دایره ای یکنواخت می دانند.
هرگاه نتیجه چنین حرکاتی کافی نباشد و نتواند با حاصل اندازه گیریها وفق بدهد، حرکات دایره‌های دیگر را به عنوان مولفه کمکی وارد می کنند. بطلمیوس بدین نحو توانست کلیه حرکات در آسمان را توصیف کند.

نتیجه عالم بطلمیوسی یا زمین مرکزی

۱٫ زمین در مرکز عالم قرار دارد و در برابر شعاع گنبد آسمان نقطه وار کوچک است.
۲٫ گنبد مستدیر آسمان با ستارگانی که بر آن چسبیده اند، شبانه روز یکبار از مشرق به مغرب گرد زمین می گردد. خورشید، ماه و سیارات در این حرکت همراهند و مضافاً حرکاتی دیگر نیزانجام می دهند.
۳٫ خورشید در طول یکسال زمین را دور می زند.
۴٫ سطح مدار خورشید منطقة البروج خوانده می شود قاﺋم بر منطقة البروج با محور دوران گنبد آسمان یک زاویه ۲/۱ ۲۳ می سازد و در حرکات شبانه روزی گنبد آسمان مشارکت دارد.
۵٫ ماه و سیارات در منطقة البروج حرکت می کنند.
۶٫ ماه بر یک مدار دایره ای گرد زمین می گردد.
۷٫ سیارات بر دایره های کوچک ( دایره های مسیر) در گردشند، دایره های مسیری که مرکزشان بر دایره های بزرگتر ( راهبر) قرارمی گیرد و زمین را دور می زند.

۱-۲ مدل خورشید مرکزی
– نیکولاس کپرنیک (۱۴۷۳-۱۵۴۳)

در قرن شانزدهم نیکولاس کپرنیک ستاره شناس لهستانی با مدل زمین مرکزی منظومه شمسی که در آن زمان رایج بود، مخالفت کرد و مدل نوینی بنام مدل خورشید مرکزی را مطرح نمود. این مدل پایه و اساس آنچه را که امروزه مورد استفاده قرار می دهیم، تشکیل می دهد. کپرنیک خورشید را در مرکز منظومه شمسی و سیارات (شا مل زمین) را بر روی دوایری در حال گردش به دور آن در نظر گرفت. پذیرفتن مدل خورشید مرکزی به کندی صورت گرفت، زیرا پیشگوییهای آن از مدل زمین مرکزی چندان بهتر نبود، اما مالاً به دلیل سادگی و هماهنگی مورد پذیرش قرار گرفت.

برای درک بهتر اهداف مدل کپرنیک، ابتدا به سابقه کمی در زمینه رصد خورشید، ماه و سیارات با چشم غیرمسلح احتیاج است. این زمینه قبلی با وجودی که معمولاً براساس مرکزیت زمینمی باشد، در عین حال سودمند است. روزانه آسمان نسبـت به افق به طرف غرب می چرخد. به نظر می رسد که خورشید نسبت به ستارگان به سمت مشرق حرکت می کند و در یکسال آسمان را دور می زند. مسیرمجازی طی شده توسط خورشید دایرة البروج نامیده می شود که در پشت سر آن، رشته مخصوص صورتهای فلکی دوازده گانه منطقة البروج قراردارند. سیارات و خورشید و ماه

 

نسبت به ستارگان در داخل نوار منطقة البروج حرکت می کنند. در مدل خورشید مرکزی در فاصله ای ازخورشید، سیارات به ترتیب از عطارد (نزدیکترین) تا زهره، زمین، مریخ، مشتری، زحل، اورانوس، نپتون و نهایتاً پلوتو(دورترین) واقع شده اند. سیاراتی که از زمین به خورشید نزدیکترند سیارات داخلی نامیده می شوند. عطارد و زهره در این دسته از سیارات قرار دارند.
سیاراتی که از خورشید نسبت به زمین در فا صله دورتری قراردارند سیارات خارجی نامیده می شوند. این سیارات، سیارات مریخ تا پلوتو می باشند. حرکت سیارات داخلی آنگونه که درآسمان شب مشاهده می شوند با حرکات سیارات خارجی کاملاً متفاوت هستند.

زاویه دید بین راستای زمین تا مرکز خورشید و راستای زمین تا سیاره از نظر ناظر زمینی را زاویه کشیدگی تعریف می کنیم. بر حسب اینکه سیاره از نظر ناظر زمینی در شرق یا غرب خورشید واقع شده باشد زاویه کشیدگی شرقی یا غربی نامیده می شود. زاویه کشیدگی˚ ۱۸۰ را مقابله و یکی از˚ ۹۰ را تربیع می نامند.

کپرنیک به طرز صحیحی توضیح داد، هر چه سیاره در فاصله دورتری از خورشید قرار داشته باشد آهسته تر به دور خورشید حرکت می کند. هنگامی که زمین و سیاره ای دیگر در یک طرف خورشید از یکدیگر عبورمی کنند، حلقه برگشتی ظاهری (شکل۱-۱) به علت حرکات نسبی سیاره دیگر و زمین رخ می دهد. همانطور که سیاره در حال حرکت را اززمین نگاه می کنیم، خط دید ما حرکت زاویه ای آن را معکوس می گرداند و چون مدارهای دو سیاره در یک صفحه قرار ندارند ، حلقه مسدود است.

شكل ۱-۱ . مدار سیارات مدل خورشيد مركزي. پيكانها جهت حركت مداري و
همچنين جهت چرخش زمين را مشخص مي كنند.

به عقیده کپرنیک زمین هم مانند سایر سیارات دیگر هم به دور محور خود می چرخد و هم خورشید را دور می زند. او ستاره ها را بسیار دور و در جای خودشان ثابت می داشت. به نظر وی، همین فاصله دور ستارگان است که فقدان اختلاف منظر ستاره ای (جا به جاهای ظاهری موضع ستارگان مجاور به هنگام حرکت زمین در مدارش به دور خورشید ) را توجیه می کند.
کپرنیک می گفت که “طلوع” و”غروب” روزانه تمام اجرام آسمانی را با چرخش روزا نه زمین به دور محورش می توان توضیح داد. همچنین می توان حرکت ظاهری سالانه خورشید در میان ستارگان را با گردش زمین به دور خورشید توضیح داد.
انتشار نظریه کپرنیک چنان شوق وغوغای بر انگیخت که بیشتر از دویست سال دوام یافـت. شهامت کپرنیک کسان دیگری را به ابداع وسایلی ترغیب کرد تا نظریه او را به بوته آزمایش گذارند. ازجمله کسانی که روح مشاهده رصد به این روش جدید در کالبدش دمید، تیکوبراهه بود.

– تیکو براهه
تیکوبراهه در سال ۱۵۴۶ در یک خانواده اشرافی دانمارکی به دنیا آمد. او در جوا نی در کپنهاک به تحصیل در فلسفه مشغول شد، و در آنجا بود که شاهد یک گرفتگی خورشیدی شد که قبلاً پیش بینی شده بود . پیش بینی پذیری رویدادهای آسمانی در نظر او معجزه می آمد و به مطالعه نجوم ترغیب شد.

ذهن براهه مشغول ترسیم نقشه آسمان شد و برای این مقصود ابزارهای بزرگتر و دقیقتری طراحی کرد. اینکه وی تمام اوقات خود را وقف رصد می کرد، امر بدیع و تازه ای بود؛ قبلاً، منجمان به یافتن موضع تقریبی و غیردقیق ستارگان قانع می شدند، ثبات قدم و عزم راسخ براهه در بدست آوردن منظم اطلاعات دقیق در خصوص آسمان، محدودیتهای وی را به عنوان یک نظریه پرداز، جبران می کرد.
تیکو براهه در طول زندگی اش قاطعانه معتقد بود زمین مرکزی است که خورشید ان را دور می زند اما وی با اراﺋه این نظر که سیارات به دور خورشید می گردند، کیهانشناسی دیرینه بطلمیوسی را دگرگون کرد. سهمی که وی ایفا کرد به مثابه احداث متری بود در نیمه راه سفر

تاریخی طولانی ما بین منظر بطلمیوسی و کوپرنیک ازجهان هستی. براهه به دو کشـف دیگر نیز توفیق یافت که سلاح کوپرنیک را برای نبرد با مدل قدیمی عالم تامین می کرد. وی نخستین کسی بود که نواخـتر، یا “ستاره جدید” را کشف کرد که نمایشگر آن بود که برخلاف
نظر انسانهای عهد باستان، آسمان تغییر می کند. پنج سال بعد، وی اثبات کرد که ستاره دنباله دار تجلی دیگری از تغییرات کیهانی، پدیده ای جوی نیست بلکه از دور دستهای آسمان، بسیار فراتر از مدار ماه، ناشی می شود .

نتیجه عالم کوپرنیکی یا خورشید مرکزی

۱٫ خورشید در مرکز عالم قرار گرفته است.
۲٫ ستارگان نیز متحرك نیستند، بلکه در فواصل دور ناسنجیدنی از ما در فضا ساکنند .
۳٫ زمین یک سیاره است و سالیانه بر یک مدار دایره ای گرد خورشید می گردد خورشید نیز متقابلاً در هر شبانه روز یکبار گرد محور خود از مغرب به مشرق می چرخد.
۴٫ ماه بر یک مدار دایره ای گرد زمین در گردش است.
۵٫ سیارات بر مدار دایره ای گرد خورشید حرکت می کنند.
۶٫ سطح مدار زمین منطقة البروج خوانده می شود ماه و سیارات به تقریب زیاد در این سطح حرکت می کنند.
۷٫ محور دوران زمین نسـبت به منطقه البروج مايل قرارگرفته است. این محور با راستای قاﺋم بر منطقه البروج یک زاویه ۲/۱۰ ۲۳ می سازد وامتداد خود را در تمام مدت حرکت سالیانه زمین به دور خورشید در فضا حفظ می کند.

– یوهانس کپلر (۱۵۷۱- ۱۶۳۰)
کپلر در دانشگا ه توبینگن (TUBINGEN) با افکار کوپرنیکی آشنا شد و سخت تحت تاثیر این افکار قرار گرفت، کپلر بلافاصله پی برد که مریخ در برابر زمینه ستارگان با سرعت ثابتی حرکت نمی کند، بلکه در قسمتی از مدار خود سریعتر و در قسمت دیگر کندتر حرکت می کند. همین امر به تنهایی بايد او را متوجه کرده باشد که سیارات، آن چنانکه کپرنیک می پنداشته است، در مداری دایره ای خورشید را دور نمی زنند، زیرا اگر مدار دایره ای باشد، انتظار می رود که آهنگ حرکت آن ثابت

باشد. کپلر تلاش کرد که شکلهای مداری گوناگون را با حرکت مشاهده شده مریخ جور و هماهنگ کند؛ اشکالی که تغییر سرعتی در آنها منظور شود که وی شاهد شان بوده است. سرانجام به این نتیجه رسید که مناسبترین شکل در میان این اشکال بیضی است.

شكل ۱-۲٫ دو نقطه اي كه در آنها پونز را فرو كرده ايم، كانونهاي بيضي و خطي را كه از اين دو نقطه مي گذرد وبه انحناي بيضي مي رسد قطر ا طول بيضي مي ناميم.

 

شكل ۱-۳٫ اصطلاحات مربوط به بيضي را در اين شكل مشاهده مي كنيد.
توجه كنيد كه ميانگين شعاع عبارت است از نصف قطر اطول، بنابراين آن را گاهي نيم قطر
اطول مي گويند.

کپلر پی برد که می تواند حرکات مشاهده شده مریخ را به بهترین نحوی با مداری بیضوی منطبق کند که خورشید در یکی از کانونهای آن واقع است، و کانون دیگرش صرفاً یک نقطه فرضی در فضا باشد. او این ایده را به صورت زیر تعمیم داد تا تمام سیارات را دربر گیرد :
هرسیاره در مداری خورشید را دور می زند که شکل آن بیضی است، و خورشید در یکی از کانونهای آن جای دارد.

هرچند این قانون را قانون اول کپلر می نامند، اما این شماره گذاری حاکی از ترتیب اکتشاف او نیست. آنچه را قانون دوم کپلر نامیدند، عملاً واضحتر بود واین واقعیت را توضیح می داد که وقتی سیاره ای از خورشید دور می شود کندتر و هرگاه به خورشید نزدیکتر می شود، سریعتر حرکت می کند. اين عدم یکنواختی در حرکت این تصور را پیش می آورد که در پی مسیری غیر از مسیر دایره ای بگردند. قانون دوم کپلر به این قرار بیان می شود:
خط مستقیم واصل سیاره و خورشید، در فواصل زمانی مساوی مساحتهایی مساوی را در فضا جاروب می کند.

برای اراﺋه توضیحی تصویری از قانون دوم کپلر (شکل۱-۴)، فرض می کنیم که مریخ در م

دت یک ماه از A به B می رود. مدت زمان بعدی نیز در ظرف یک ماه ازC به D می رود. اما اکنون به خورشید نزدیکتر است، و بنابر این فاصله C تا D باید بیشتر باشد تا مریخ در خلال همان مدت زمان یک ماه مساحتی برابر مساحت اول را جاروب کند. مریخ برای پیمودن مسافت بیشتری در همان مدت باید سریعتر حرکت کند . همچنین، وقتی که این سیاره ازE به F می رود، چون باز هم به خورشید نزدیکتر است، باید باز هم سریعتر حرکت کند تا مساحت یکسانی را طي یک ماه جار

وب کند، اما وقتی که ازG به H می رود، حرکت آن بار دیگر کندتر می شود و وقتی از A به B می رود، به همان سرعتی می رسد که در ابتدای این تصویر داشته است. پس با قانون دوم کپلر یک مدل ریاضی فراهم می شود که به وسیله آن می توان سرعت یک سیاره را در هر موضع مفروض از مدارش محاسبه کرد.

۱-۴٫ خطي فرضي كه خورشيد را به هر سياره مفروض وصل مي كند، مساحتهاي مساوي را در فواصل زماني مساوي جاروب مي كند. به اين اعتبار اين واقعيت تشريح مي شود كه سياره وقتي به خورشيد نزديكتر باشد سريعتر حركت مي كند، و در دورترين نقطه به خورشيد سرعتش هم از هميشه كندتر است.

کپلربرای بازشناسی سومین رابطه اساسی هفت سال تلاش کرد. البته برای کپلر آشکار بود که هر چه سیاره ای از خورشید دورتر با شد، زمان بیشتری طول می کشد تا خورشید را یک دور کامل طی کند. اما او در جستجوی یافتن یک رابطه دقیق ریاضی ما بین زمان تناوب گردش سیاره و فاصله متوسط آن از خورشید (نیم قطرا طول مدارآن) بود؛ البته اگر چنین رابطه ای واقعاً وجود می داشت. در آن زمان باز هم فاصله واقعی میان خورشید و سیارات معلوم نبود؛ اما محاسبه نسبت فاصله یک سیاره تا خورشید به فاصله زمین تا خورشید ميسر بود. مثلاً کپلر می دانست که نیم قطر۱ طول مدار مریخ تقریباً ۱٫۵ برابر نیم قطر ۱طول مدار زمین است. یعني هرگاه نیم قطر۱طول مدار زمین را AU 1 (واحد نجومی: Astronomical unit) بگیریم در این صورت نیم قطر ۱طول مدار مریخ AU 1.5 خواهد بود . حالا اگر در هر سیاره نیم قطر۱طول (r) را به توا ن ۳ و دور گردش آن(P) را به توان ۲ برسانیم، دو رقم بدست آمده برابر می شوند و فقط اختلاف اندکی دیده می شود. این واقعیت را می توان با معادله ساده ای به صورت ³r = p² نشان داد که در آن P بر حسب سال و r بر حسب واحد نجومی اندازه شده است.

می توانیم برای این اندازه گیری دور گردش سیاره واحد روز و برای فاصله میل را انتخاب کنیم ؛ در این صورت نباید انتظار داشته باشیم که ³r = ²P بلکه باید رابطه را به صورت ³r k = ²P بنویسیم ، که درآن k ضریب ثابت است و مقدارش بـه واحدهای اندازه گیری شده بستگی دارد. برای مشخص کردن قانون کپلر، معادله یاد شده را به صورت زیر نیز
می توان نوشت :

این عبارت را می شود چنین بیان کرد :
نسبت مجذور زمان تناوب گردش هردو سیاره برابر است با نسبت مکعب نیم قطر اطول آنها.

کپلر پی برد که مدار بیضوی با رصدهای براهه به خوبی جور در می آید، اما چون هر سیاره تاثیر گرانشی بر سیاره می گذارد، این مدارها هرگز بیضی های صاف و همواری نخواهد بود و مساحتهای جاروب شده در زمانهای مساوی، در آنها دقیقاً یکسان نیستند. علاوه بر این، قانون سوم کپلر محدود به مجموعه شرایط خاصی است، یعنی منحصر به اشیایی است که جرم بسیار کمی دارند و به دور اشیای با جرم بسیار زیاد می گردند؛ مانند گردش سیارات به دور خورشید، یا گردش قمرها به دور سیاره. با همه اینها کشف های کپلرتقریبهای چشمگیری بودند که بعداً به وسیله سرآیزاک نیوتن، که علم اخترشناسی را بهترازکپلر می دانست و تکنیکهای ریاضی وی هـم پیشرفته بود، تایید شدند و تعمیم یافتند.
با آنکه کپلراعتقادی راز گرایانه داشت، کارهاي او شالوده خارج کردن نجوم از قلمرو دیگری شد و ماهیت اندیشه علت و معلولی را در این علم جا انداخت. اواحساس می کرد که نیروی ناشناخته ازخورشید ناشی می شود که سیارات را در مدارهایشان به حالت حرکت نگه می دارد. در واقع او در شرف کشف نیروی گرانش( ثقل ) بود. می دانیم که کپلر با گالیله، کسی که افکار وی را متحقق کرد و به ثمر نشاند، ارتباط داشت .

– گالیله ( ۱۵۶۴-۱۶۴۲)
قرن هفدهم قرن اکتشاف، آزمایشگری، و اختراع و خلاقیت بود . اختراعی که تاثیر عمیقی بر اختر شناسی نهاد، تلسکوپ بود که تاریخ آن هم دقیقاً روشن نیست. گالیله در شهر پادوار در ایتالیا دست به کار ساختن تلسکوپ شد. گالیله ابتدا موفق شد وسیله ای بسازد که اشیاء را سه برابر نشان می داد. تلسکوپی با توان سه (۳). با اصلاحات بعدی، توان این تلسکوپها را به سی (۳۰) رساند. این ابزار بلافاصله به عنوان تلسکوپ زمینی، برای دیدبانی کشتیهایی که به سواحل و نیز نزدیک می شدند، به کارگرفته شد. اما گالیله متوجه اجرام آسمانی بود و پس ازچندی چهار قمر را کشف کرد که سیاره مشتری را دور می زدند. هر یک از این قمرها در گردش به دور مشتری دوره تناوب خاص خود را داشتند. دیدن این منظره گالیله را به یاد منظومه شمسی، مطابق آنچه کپرنیک توصیف کرده بود ، انداخت، ومطمئناً ازهمین مشاهده روشن شد که زمین تنها مرکز دوران در عالم نیست .
گالیله همچنین پی برد که آنچه با چشـم غیرمسلح در آسمان به صورت تـوده ای ابرنمايان است، در واقع گروهی ستاره است که با تلسکوپ مجزای از هم دیده می شوند. در واقع، اين وسیله در تمام نواحی آسمان ستارگان بسیاری را آشکار کرد که نور بسیار ضعیفی داشتند و با چشم غیرمسلح دیده نمی شدند .

گالیله معتقد بود که نور افشانی ماه و سیارات تنها به دلیل انعکاس نور خورشید از روی آنها است. همواره نیمی ازسیاره که در معرض نور خورشید قرار دارد روشن است در حالیکه نیمه دیگر آن تاریک می باشد. بخشی از نیم کره که توسط نور خورشید روشن گردیده است باتغیيراتی در هیأت و شکل آن از زمین قابل رویت است.
بنابراین شکل جدید برای سیاره موقعی پیش می آيد که ما تنها نیم کره تاریک را مشاهده کنیم، و موقعی که نیم کره روشن از نور خورشید در چشم انداز ما وارد شود، شکل کامل در نقطه مقابله قرار می گیرد. سیارات خارجی هرگز نمی توانند هلالی شکل دیده شوند (هنگامی که کمتر از نیم کره قابل مشاهده از نور خورشید روشن گردیده باشد) و تقریباً همیشه محدب شکل می باشند (موقعی که بیشتر از نصف سیاره توسط نور خورشید روشن شده باشد ).

گالیله مشاهده کرد که سیاره زهره همه اشکال را از خود نشان می دهد و مانند ماه اهله تشکیل می دهد (شکل ۱- ۵) گاهی به صورت هلالی نازک و زمانی به صورت قرصی تقریباً روشن نمایان می شود. این مشاهدات حاصل رصدهای هیجان انگیز بود. زیرا برای نخستین بار شاهدی بدست آمده بود که نشان می داد نظام بطلمیوسی نمی تواند واقعیت را نشان دهد. بنابراین نتیجه گیری کرد که، زهره باید به دور خورشید بگردد. این مشاهده مستقیماً مدل کپرنیک را تایید کرد.

۱-۵٫ گاليله با تلسكوپ جديد خود، در يك دورة تقريباً ده ماه، توانست تمام اهله زهره را ، كه در اينجا مي بينيد، آشكار سازد. دو نماي سمت راست وقتي ديده مي شوند كه زهر ه دقيقاً با خورشيد هم خط است.به اين ترتيب، اين دو نماهاي شفق و فلق اند.

۲-۱ ایزاک نیوتن

نیوتن در سال۱۶۸۷م.” اصول ریاضی فلسفه طبیعی” را به نگارش درآورد. در این کتاب او مفهوم گرانش عمومی را مطرح ساخت و با تشریح قوانین حرکت اجسام، علم مکانیک کلاسیک را پایه گذاشت. نیوتن همچنین در افتخار تکمیل حساب دیفرانسیل با ویلهلم گوتنرید لایب نیتز
ریاضیدان آلمانی شریک است. نام نیوتن با انقلاب علمی در اروپا و ارتقاء تئوری خورشید مرکزی(heliocen trism)پیوند خورده است. او نخستین کسی است که قواعد حاکم برگردشهای زمینی و آسمانی را کشف کرد. وی همچنین توانست برای اثبات قوانین حرکت سیارات کپلربرهان ریاضی بیابد. در جهت بسط قوانین نامبرده، او این جستار را مطرح کرد که مدار اجرام آسمانی (مانند ستارگان دنباله دار) لزوماً بیضوی نیست بلکه می تواند هذلولی یا شلجمی نیز باشد. افزون بر اینها، نیوتن پس از آزمایشهای دقیق دریافت که نور سفیدترکیبی است از تمام رنگهای موجود در رنگین کمان، در آن دوران دروس دانشکده عموماً برپایه آموزه های ارسطو تنظیم می شد ولی نیوتن ترجیح داد که با اندیشه های مترقی تر فیلسوفان نوگرایی چون گالیله، کپرنیک و کپلرآشنا شود.
در سال۱۶۸۴م. نیوتن که مطالعات خود را درباره گرانش و چگونگی حرکت سیارات کامل کرده بود، رساله ای در این مورد نوشت که بسیار مورد توجه ادموندهالی منجم معروف انگلیسی قرار گرفت. با تشویق و پیگیری او سرانجام نیوتن کتابش را تکمیل و با سرمایه هالی منت

شر کرد. کتاب
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

اصـول ریاضی فلسفه طبیعی بر جهان علم به ویژه فیزیک تاثیر عمیق گذاشت و بعضی آن را بزرگترین کتاب علمی تاریخ دانسته اند.
کپلر توانسته بود توضیح دهد که چرا مدار سیاره ها بیضی است و چه نیرویی آنها را به حرکت در می آورد. همچنین مشخص نبود که به چه علت سرعت مداری سیارات وقتی به خورشید نزدیکتر می شوند، افزایش می یابد. نیوتن در کتاب اصول ریاضی فلسفه طبیعی به تمامی این پرسشها پاسخ گفت. او ثابت کرد که نیروی کشش میان اجسام آسمانی، طبق قانون “عکس مربع”عمل می کند یعنی مقدار نیروی گرانش میان خورشید و یک سیاره برابراست با عکس مجذور فاصله میان آن دو.
او با تحلیل ریاضی نشان داد که قانون عکس مربع به ناگزیر مسیر حرکت سیاره ها را بیضی می سازد. آن گاه او گام بلند دیگری برداشت و قانون گرانش عمومی را وضع کرد که به موجب آن هر جسمی در عـالم به هرجسم دیگری نیروی کششی واردمی کندومقداراین نیرو با رابطه نامبرده محاسبه پذیراست. در بخش دیگری از کتاب وی، نیوتن چگونگی جنبش اجسام را در قالب سه قانون توصیف کرده است.
ارسطو بر این باور بود که اجسام در حالت طبیعی ساکن هستند و برای اینکه یک جسم با سرعت یکنواخت به حرکت خود ادامه دهد، باید پیوسته نیرویی بر آن وارد شود در غیر اینصورت به حالت طبیعی خود برمی گردد و ساکن می شود. اما نیوتن با بهره گیری از پژوهشهای گالیله به این پندار درست رسید که اگر جسمی با سرعت یکنواخت به حرکت درآید و نیروی بیرونی به آن وارد نشود تا ابد با شتاب صفر به حرکت خود ادامه خواهد داد.

۲-۲- پیش زمینه تاریخی قانون جهانی گرانش نیوتن

 

بعد از ارائه قوانین کپلر و کشفیات پر اهمیت گالیله، ریاضیدانان و فیزیکدانان علاقه زیادی به موضوع اختر شناسی پیدا کردند. در این زمینه نظریه های مختلفی داده شد. رابرت هوک و ادموندهالی به نظرباقی بودند که نیرویی که سیاره ها را بطرف خورشید می کشد، آنها را در مدار خود نگاه می دارد.
از این گذشته آنها گمان می کردند که این نیرو باید با دور شدن از خورشید و به نسبت مربع فاصله ضعیف شوند. کپلر نیز وجود این نیرور اقبول داشت و تصور می کرد که این نیرو به نسبت فاصله ضعیف می شود. بنابراین داستان افتادن سیب و توجه نیوتن به گرانش نه تنها واقعی نیست بلکه شناختن روند تکامل علم را مختل می کند. حتی ۵۰ سال قبل از نیوتن گالیله به شتاب گرانش توجه داشت و آن را بیان کرده بود.
اما امتیاز نیوتن در این بود که اثرهمه نیروها را تحت قانون کلی توضیح داد و بصورت ریاضی بیان کرد، علاوه بر آن نیوتن با یک فرض اساسی که قبل از وی به آن توجه نشده بود توانست قانون جهانی گرانش را فرمول بندی کند.
وی فرض کرد که جسمی کروی که چگالی آن در هر نقطه به فاصله آن تا مرکز کره بستگی دارد، یک ذره خارجی را طوری جذب می کند که گویی همه جرم آن در مرکز متمرکز شده است. این قضیه توجیه وی را از قوانین حرکت سـیارات کامل کرد، زیرا انحراف جزئی خورشید از کرویت واقعی در اینجا قابل صرف نظر کردن است.
پس از آنکه نیوتن قانون جهانی گرانش را مطرح کرد، رابرت هوک ادعا کرد که نیوتن کشف قانون گرانش وی را دزدیده و به نام خود ارائه داده است. به همین دلیل مشاجره شدیدی بین نیوتن و هوک در گرفت که موجب رنجش و حتی بیماری نیوتن گردید.

 

۲-۳ قانون اول نیوتن
هرگاه به جسمی نیرویی وارد نشود و یا برآیند صفر گردد اگر جسم ساکن باشد ساکن می ماند اگر با سرعت ثابت در حال حرکت باشد با همان سرعت به حرکتش ادامه می دهد.
این قانون تحت عنوان مختلف از جمله، اصل ماند، قانون اینرسی، قانون لختی بیان شده است. طبق قانون اول نیوتن حرکت ویژگی ذاتی اجسام است و درغیاب هر گونه نیروی خارجی جسم همان حالت حرکتی خود را حفظ می کند. این قانون طومار فلسفه طبیعی ارسطو را در هم پیچید. زیرا ارسطو گفته بود: برای اینکه یک جسم با سرعت یکنواخت به حرکت خود ادامه دهد، باید پیوسته نیرویی بر آن وارد شود درغیر این صورت به حالت طبیعی خود برمی گردد و ساکن می شود.
به عنوان مثال :
جسمی را روی کف دست خود قرار دهید و دست را بی حرکت نگاه دارید. این جسم تا زمانیکه روی کف دست شما قرار دارد، همانجا و به همان حالت خواهد ماند، زیرا برآیند تمام نیروها وارد بر آن صفراست.
هنگامیکه انیشتین قوانین نیوتن را بررسی می کرد در مورد قانون اول وی چنین گفت: این قانون نتیجه مستقیم تجربه نیست، اما تفکر محققانه ای که سازگار با مشاهدات حاصل از تجربه بوده، سبب پیدایش آن شده است. هر چند در عمل نمی توان به چنین تجربه ای تحقق خارجی داد، معذلک همین تجربه خیالی و سیله فهم کامل تجربیات واقعی و امکان پذیر می باشد.

– قانون دوم نیوتن
قانون دوم نیوتن درفیزیک بسیارمهم واساسی است.

هرگاه نیرویی بریک جسم اثرکنداین جسم شتابی می گیردکه هم جهت نیرواست واندازه آن بااندازه نیرو نسبت مستقیم و با جرم جسم نسبت عکس دارد
or

این قانون که درسال۱۶۷۹اولین باردر کتاب
Procatinare Unnaturalis Prinicipia Mathematical بوسیله نیوتن منتشر شد بعنوان مهمترین کشف در تاریخ علم قلمداد شده است.
معمولاً قانون دوم نیوتن را با استفاده از تغییر اندازه حرکت تعریف می کنند. چون اندازه یکی از مفاهیم بنیادی در فیزیک است، لذا آنرا تعریف کرده و یکبار دیگر با استفاده از آن به تعریف قانون دوم نیوتن خواهیم پرداخت.

اندازه حرکت یا تکانه
اندازه حرکت به صورت حاصل ضرب جرم در سرعت یعنی

تعریف می شود بنابراین با توجه به قانون اول نیوتن هنگامی سرعت تغییر می کند که نیرویی بر جسم اعـمال شود، لذا در غیاب هر گونه نیروی خارجی اندازه حرکت یک جسم ثابت است و بنابراین قانون دوم نیوتن را می توان به صورت زیرتعریف کرد.

نیرو = تغییرات اندازه

در قانون دوم نیوتن سرعت نا متناهی قابل قبول است. چون در قوانین نیوتن خواص فیزیکی ماده مستقل از سرعت آن فرض شده، همچنین زمان نیزیک کمیت مستقل و مطلق است، بنابراین با توجه به سرعت نا متناهی در مدت زمان صفر هر فاصله ای قابل پیمودن است.

– قانون سوم نیوتن

 

برای هر کنشی همواره یک واکنش برابرنا همسو وجود دارد. به عبارت دیگر هرگاه جسم ۱ نیرویی به جسم ۲ وارد کند، جسم ۲ نیز همان مقدار نیرو را در جهت مخالف نیروی دریافتی به جسم ۱ وارد می کند، بطوریکه
۰ = +F2 = F2 or F1 F1
توجه شود که قانون سوم نیوتن همواره در مورد ۲ جسم وارد می شود. با توجه به اینکه سرعت نامتناهی طبق قانون دوم قابل قبول بود، قانون سوم همواره و در تمام لحظات برقرار بود. حتی اگر دو جسم در فاصله دلخواه نسبت به یکدیگر قرارداشته باشند، هر تغییر موضع هر یک ازآنها، بلافاصله به دیگری منتقل می شود. یعنی همزمان دو نقطه از جهان و در واقع تمام جهان را می توان تحت تاثیر یک رویداد قرار داد.

 

۲-۴ دستگاه مقایسه ای مطلق اتر

با توجه به کمی دقت به قوانین نیوتن مشاهده می شود که هنگام مطرح شدن این قوانین یک نکته مهم نادیده گرفته شده است، آن این است که این قوانین نسبت به کدام دستگاه مقایسه ای مطرح شده اند. زیرا در تمام تجربیات مکانیکی از هر نوع که باشند باید وضع نقاط مادی را در لحظه ای معین نسبت به مکانی خاص در نظر گرفته شود.
نیوتن نظر داده بود که کالبد فضا، در حالت سکون است. یعنی می توان از حرکت مطلق سخن گفت. اما در آن زمان اعتقاد عمومی بر این بود که کالبد فضا از اتر (عنصر پنجم ارسطویی) انباشته است. یعنی چنین تصور می شد که اتر در فضا مستقر و ساکن است و به هیچ روی حرکت نمی کند و همه اجسا م در اتر غوطه ورند.
همچنین دانشمندان کلاسیک همواره تا ثیر از فاصله دور را ابری می پنداشتند که تصور آن دشوار بود، و نیروی گرانش که می توانست از فواصل دور اثر کند، نیوتن را به تعجب واداشته بود. نیوتن به منظور توضیح این اثر، عقیده ارسطو را درباره اینکه افلاک از اتر پرشده اند را پذیرفت و فکر می کرد که ممکن است گرانش بطریقی توسط اتر منتقل شود. لذا اتر ضمن آنکه دستگاه مقایسه ای مطلق بود، وسیله انتقال گرانش نیز به حساب می آمد.

۲-۵ گرانش

از دیر باز دست کم از زمان یونانیان همواره دو مسئله مورد توجه بود:
۱- تمایل اجسام به طرف زمین هنگام رها شدن.
۲- حرکات سیارات، از جمله خورشید و ماه که در آن زمان سیاره محسوب می شدند.

 

در گذشته این دو موضوع را جدا از هم می دانستند. یکی از دستاوردهای بزرگ نیوتن این بود که نتیجه گرفت: این دو موضوع در واقع امر واحدی هستند و از قوانین یکسانی پیروی می کنند.
در سال ۱۶۶۵، پس از تعطیلی مدرسه به خاطر شیوع طاعون، نیوتن، که در آن زمان ۲۳ سال داشت، از کمبریج به لینکلن شایر رفت. او در حدود۵۰ سال بعد نوشت: در همان سال (۱۶۶۵) این فکر به نظرم آمد که نیروی لازم برای نگه داشتن ماه در مدارش و نیروی گرانش در سطح زمین

با تقریب خوبی با هم مشابهند.
ویلیام استوکلی، یکی از دوستان اسحاق نیوتن می نویسد، وقتی با نیوتن زیر درخت سیب یک باغ مشغول صرف چای بوده است، اسحاق نیوتن به او گفته که ایده گرانش در یک چنین جایی به ذهنش خطور کرده است.
استوکس می نویسد: «او در حالی که نشسته و در فکر فرو رفته بود سقوط یک سیب توجهش راجلب می کند و به مفهوم گرانش پی می برد. پس از آن به تدریج خاصیت گرانش را مورد حرکت زمین و اجسام سماوی به کار می برد» البته باید گفت: اینکه سیب مذکوربه سر اسحاق نیوتن خورده است یا خیرمعلوم نیست !
اسحاق نیوتن تا سال ۱۶۷۸، یعنی تقریباً تا ۲۲ سال پس از درک مفهوم اسا سی گرانش نتایج محاسبات خود را به طور کامل منتشر نکرد.
از دلایلی که باعث می شد او نتایج خود را انتشار ندهد، می توان به دو دلیل اشاره کرد: یکی شعاع زمین، که برای انجام محاسبات لازم بود و اسحاق نیوتن آن را نمی دانست و دیگری، نیوتن به طور کلی از انتشار نتایج کار خود ابا داشت زیرا مردی کمرو و درونگرا بود و از بحث و جدل نفرت داشت.

اسحاق نیوتن در کتاب اصول از حد مسائل سیب – زمین فراتر می رود و قانون گرانش خود را به تمام اجسام تعمیم میدهد.

گرانش را میتوان درسه قلمرومطالعه کرد:

۱- جاذبه بین دو جسم مانند دو سنگ یا هر دو شی دیگر. اگر چه نیروی بین اجسا م به روش های دقیق قابل اندازه گیری است ولی بسیار ضعیفتر از آن است که ما با حواس معمولی خود آن را درک کنیم.

۲- جاذبه زمین بر ما و اطراف ما که یک عامل تعیین کننده در زندگی ماست و فقط با اقدامات فوق العاده می توانیم از آن رهایی پیدا کنیم. مانند پرتاب سفینه های فضایی که باید از قید جاذبه زمین رها شوند.
۳- در مقیاس کیهانی یعنی در قلمرو منظومه شمسی و بر هم کنش سیاره ها و ستاره ها، گرانش نیروی غالب است.
اسحاق نیوتن توانست حرکت سیارات در منظومه شمسی و حرکت در حال سقوط در نزدیکی سطح زمین را با یک مفهوم بیان کند و به این ترتیب مکانیک زمینی و مکانیک سماوی را که قبلاً از هم جدا بودند در یک نظریه واحد با هم بیان کند.

۲-۶ قانون جهانی گرانش
هر دو جسمی در جهان بر دیگری جاذبه گرانشی اعمال می کند که این نیرو یک شکل جهانی دارد: هر جسم در جهان، اجسام دیگر را با نیرویی که با حاصل ضرب جرمهای آن ها نسبت مستقیم و با مجذور فاصله بین آنها نسبت عکس دارد، جذب می کند.
بـه زبان ریاضی، نیرویی که دو ذره به جرم های ۱m و۲m و به فاصله r از هم به یکدیگر وارد می کنند نیروی جاذبه ای است که در امتداد خط واصل دو ذره اثر میکند و بزرگی آن برابر است با:

ثابت G به عنوان ثابت جهانی گرانش نامیده می شود، اصطلاح” ثابت جهانی” بدان خاطر است که گمان می رود در تمام مکان ها و در تمام زمان ها، یکی است و بنابراین به عنوان ثابت جهانی نامیده شده است و مقدار آن برای تمام زوج ذرات یکسان است.
کمیتی را که در قانون جهانی گرانش ظاهر می شود و اصطلاحا گفته می شود که نیروی گرانش با حاصلضرب جرم دو جسم نسبت مستقیم دارد جرم گرانشی می گویند. در واقع جرم گرانشی خاصیتی از جسم است که سبب جذب آن توسط میدان گرانش می شو

د.
• خصوصیات قانون جهانی گرانش
برای اینکه قانون گرانش جهانی اسحاق نیوتن را خوب درک کنیم، بعضی خصوصیات آن را یادآور میشویم: قانون جهانی گرانش نیوتن برای هیچ یک از کمیتهای فیزیکی (نیرو، جرم، طول) موجود در این قانون یک معادله تعریف کننده نمی باشد.
۱- نیروهای گرانش میان دو ذره، زوج نیروهای کنش – واکنش (عمل و عکس العمل)هستند. ذره اول نیرویی به ذره دوم وارد میکند که جهت آن به طرف ذره اول (جاذبه) و در امتداد خطی است که دو ذره را به هم وصل میکند. به همین ترتیب ذره دوم نیز نیرویی به ذره اول وارد میکند که جهت آن به طرف ذره دوم (جاذبه) و در امتداد خط واصل دو ذره است. بزرگی این نیروها مساوی ولی جهت آن ها خلاف یکدیگراست.

۲- ثابت جهانی G را نباید با g ، که شتاب ناشی از جاذبه گرانشی زمین روی یک جسم است اشتباه کرد. ثابت G دارای بعدL3 / M T2 و یک کمیت نرده ای است (عددثابتی است)، در حالی که g با بعدLT2 یک کمیت برداری است، که نه جهانی است و نه ثابت (در نقاط مختلف زمین بسته به فاصله تا مرکز زمین تغییر میکند).
با انجام آزمایشات دقیق می توان مقدار G را بدست آورد. این کار را برای اولین بار لردکاوندیش در سال ۱۷۹۸انجام داد در حال حاضر مقدار پذیرفته شده برای G برابراست با:

۲- ۷ وزن و جرم
وزن هرجسمی عبارت است از نیروی جاذبه ای که زمین به آن وارد میکند. وزن چون از نوع نیروست، کمیتی است برداری. جهت این بردار همان جهت نیروی گرانشی، یعنی به طرف مرکز زمین است. بزرگی وزن بر حسب یکای نیرو یعنی اسحاق نیوتن بیان می شـود. وقتی جسمی بـه جرم m آزادانه« w » برابر وزن خودش است. اگر از قانون دوم نیوتن(F=ma)، برای جسمی که آزادانه سقوط میکند استفاده کنیم خواهیم داشت: w = mg
که w و g بردارهایی هستند که جهتشان متوجه مرکز زمین است.
برای اینکه از سقوط جسمی جلوگیری کنیم باید نیرویی که بزرگی آن برابر بزرگی w و جهت آن به طرف بالاست به آن وارد کنیم، به گونه ای که برآیند نیروهای وارد بر جسـم صفرشود، وقتی جسمی از فنری آویزان است و به حال تعادل قرار دارد، کشش فنراین نیرو را تامین می کند .
گفتیم وزن هرجسم، یعنی نیرویی که به طرف پایین برجسم وارد می کند، یک کمیت برداری است. جرم جسم یک کمیت نرده ای است. رابطه میان وزن و جرم به صورت w = mg است. چون g از یک نقطه زمین به نقطه دیگر آن تغییر می کند، w یعنی وزن جسمی به جرم m در مکانهای مختلف متفاوت است. بنابراین یک کیلوگرم جرم در محلی که g برابر ۹٫۸ متر بر مجذور ثانیه است، ۹٫۸ اسحاق نیوتن (۹٫۸=۹٫۸×۱=w) و در محلی که g برابر ۹٫۷۸ متر بر مجذور ثانیه است، ۹٫۷۸

اسحاق نیوتن وزن دارد. در نتیجه بر خلاف جرم که خاصیت ذاتی جسم است و همیشه ثابت، وزن یک جسم به محل آن نسبت به مرکز زمین بستگی دارد. در نقاط مختلف روی زمین ترازوهای فنری (نیروسنج ها)، مقادیر متفاوت و ترازوهای شاهین دار، مقادیر یکسانی را نشان میدهند. (زیرا نیروسنج وزن را نشان میدهد ولی ترازوی شاهین دار جرم را) در نواحی از فضا که نیروی گرانش (نیرویی که از طرف زمین بر اجسام وارد می شود(همان وزن) وجود ندارد. وزن یک جسم صفر است. در حالی که اثر لختی و در نتیجه جرم جسم نسبت به مقدار آن در روی زمین بدون تغییرمی ماند.
در یک سفینه فضایی بلند کردن یک قطعه سربی بزرگ کار ساده ای است (w =0) ولی اگر فضانورد به این قطعه لگدبزند همچنان به پایش ضربه وارد می شود (زیراm مخالف صفراست). برای شتاب دادن به یک جسم در فضا، همان اندازه نیرو لازم است که برای شتاب دادن آن در امتداد یک سطح افقی بدون اصطکاک در روی زمین. زیرا جرم جسم همه جا یکسان است. اما برای نگه داشتن یک جسم در سطح زمین، نیروی بسیار بیشتری از نیروی لازم برای نگه داشتن آن در فضا مورد نیاز است. زیرا در فضا وزن صفراست ولی در روی زمین چنین نیست .

• وزن ونیروی گرانش
نیروی گرانش بزرگی که زمین به تمام اجسام نزدیک به سطحش وارد میکند، ناشی از جرم فوق العاده زیاد آن است. در واقع، جرم زمین را میتوان با استفاده از قانون گرانش جهانی اسحاق نیوتن و مقدار محاسبه شده G در آزمایش کاوندیش تعیین کرد. به همین دلیل کاوندیش را نخستین کسی میدانند که زمین را وزن کرده است!
جرم زمین را Me و جرم جسمی واقع بر سطح آن را m می گیریم داریم:

که Re شعاع زمین یا همان فاصله دو جسم از یکدیگر است. زیرا جرم زمین را در مرکز آن فرض می کنیم بنابراین:

• رابطه جرم گرانشی و وزن اجسام
دو ذره A و B با جرمهای Am و Bm در نظر می گیریم و نیز فرض می کنیم که ذره C با جرم گرانشی Cm بر آنها نیرو وارد می کند. همچنین فرض می کنیم که فاصله ذره C از دو ذره A و B برابر بوده و مقدار آن r باشد. بنابراین اگر نیروی جاذبه گرانشی بر ذره A وارد می شود با ACF و نیروی جاذبه گرانشی را که ذره سوم بر ذره B وارد می کند با bcF نشان دهیم، در این صورت خواهیم داشت:

اگر این دو رابطه را بر هم تقسیم کنیم، رابطه حاصل می شود. حال اگر فرض کنیم که جسم سوم (C) زمین باشد، در این صورت ACF و FBC همان نیروی وزن دو جسم A و B خواهد بود. بنابراین می توان گفت که قانون جهانی گرانش این نتیجه را دارد که وزن اجسام گوناگون در یک نقطه روی سطح زمین دقیقاً با جرم گرانشی آنها متناسب است.

۲-۸ اندازه گیری G
آزمایش کاوندیش:
نیوتن که در قانون جهانی جاذبه خود G را ثابت جهانی جاذبه معرفی نمود به دو دلیل برای تعیین ثابت تناسب ،G، اهمیتی نداد.
اول آنکه یک واحد یکپارچه در آن زمان در مورد جرم مورد استفاده قرار نمی گرفت، دوم آن که او تشخیص داد که چون جاذبه وزنی بین دو جسمی که وزن شان قابل اندازه گیری است، خیلی ضعیف است و با جاذبه به سمت مرکز زمین همپوشانی می کند، بنابراین اندازه گیری G غیرعملی بود.
به دور از بدبینی نیوتن در نیمه قرن هجدهم، چند دانشمند تلاش نمودند تا وزن زمین را با مشاهده نیروی وزن یک جسم آزمایشی از بالای یک کوه بزرگ بدست آورند. به هر حال این تلاش ها به خاطر اطلاعات نا کامل از ترکیبات و دانسیته صخره های تشکیل دهنده کوه، با شکست مواجه شد. هنری کاوندیش در یک نامه در سال ۱۷۸۳ به یکی از دوستانش به نام ژان میشل امکان وزن کردن زمین را با انجام یک آزمایش اعلام نمود که با توجه به علاقه اش به ساختمان داخلی زمین بود.
با استفاده از یک نظریه از دانشمند فرانسوی به نام کلمب که نیروی الکتریکی را میان دو کره فلزی باردار را، تحقیق نمود، میشل با استفاده از یک ترازوی پیچش با آشکارکردن جاذبه وزنی کوچک میان دوکره فلزی یک وسیله مناسب را در این مورد ساخت او در سال ۱۷۹۳ قبل ازآنکه با وسیله اش آزمایش کند، درگذشت.
ابزار او بالاخره در منزل و آزمایشگاه کاوندیش بعد از بازسازی مجدد به کارنمود. ترازوی وی شامل یک میله چوبی ۶ فوتی است که به وسیله رشته های فلزی آویزان بوده و همواره با دو کره سربی به قطر دو اینچ در دو سرمیله است. این مجموعه به وسیله دو کره سربی ۳۵۰ پوندی جذب شده بودند که در شکل زیرمشاهده می شود.
او شروع به وزن کردن دنیا در سال ۱۷۹۷ در سن ۶۷ سالگی نمود و نتایج آن را در سال ۱۷۹۸ بیان نمود که دانسیته متوسط زمین،۴۸/۵ برابر آب است. کار وی با چنان دقتی انجام شد که تا پایان قرن بهبود نیافت. مقادیر مدرن برای دانسیته زمین۵٫۵۲ برابر آب است.
تلاش فوق العاده کاوندیش و کیفیت کار او، اوریت را مجاب نمود تا آزمایش او را به عنوان اولین آزمایش فیزیک مدرن توصیف نماید. در این آزمایش، شما از یک ترازوی پیچشی، مانند ابزار کاوندیش برای توزین زمین، جهت بدست آوردن مقدارG استفاده می کنید.

شرح آزمایش کاوندیش
ترازوی پیچشی کاوندیش در شکل مقابل نشان داده شده است. دو کره فلزی کوچک به جرم m در دو جهت مخالف به میله افقی یک سر سبک و یک سرسنگین وصل است و به وسیله رشته های فلزی آویزان است، وقتی به وسیله میله، دمبل بوجود آمده و اجرام از حالت تعادلشان پیچانده شوند (زاویه)، رشته های فلزی یک پیچش مکرر را به وجود می آورند که متناسب با زاویه پیچش است.

اگر میرایی وجود نداشته باشد، دمبل یک حرکت نوسانی را انجام می دهد که دوره تناوب آن به صورت زیراست.

که I گشتاور چرخشی دمبل است.
در این معادله ،r شعاع جرم m است و d فاصله از مرکز میله تا مرکز جرم است و ما از جرم میله صرف نظر نمودیم. با معلوم بودن m ،d وr واندازه گیری دقیق زمان تناوب نوسان T اجازه می دهد که فرد پیچش رشته را کالیبره نماید و ثابت فنر K را بدست آورد. با استفاده از K و اندازه گیری پیچش بوجود آمده به وسیله جرم های M می توانید نیروی جاذبه میان جرم ها و G را بدست آورید.
گشتاور وزنی
وقتی کره های فلزی بزرگ مانند شکل مقابل قرار گیرند، جاذبه وزنی میان کره های کوچک و بزرگ یک گشتاور (پیچشی) تولید می کند که دمبل را در جهت عقربه ساعت می چرخاند. نیروی ناشی از هر جرم که عمود بر میله افقی است یک گشتاور را در مرکز میله به وجود آورد. بزرگی گشتاور به وسیله معادله زیر ارائه می شود:

که ضریب ۲از این حقیقت بدست می آید که گشتاور برای دو جرم m است. این گشتاور، زاویه تعادل دمبل را با مقدار زیر جابجا می کند
بنابراین اگر فردی زاویه θ را به دقت اندازه گیری کند می تواند نیروی جاذبه را که گشتاور را تولید می کند و در نتیجه G را محاسبه کند.

اهرم نوری
کاوندیش یک مقیاس خیلی ریز را نزدیک انتهایی دمبل به کاربردکه تا یک صدم اینچ با استفاده از تلسکوپ خوانده می شد. تلسکوپ به او اجازه می داد تا از محفظه آزمایش بیرون بایستد و بنابراین جریان هوا و تاثیر وزن او بر نوسان بی تاثیر بود.
ما از اهرم نوری بهره گرفتیم تا چرخشهای ریز دمبل را به جابجای قابل مشاهده روی یک صفحه نمایش تبدیل نمائیم. اهرم نوری بوسیله اشعه لیزر برگشتی ازآینه تولید شده وقتی نور از آینه منعکس شد زاویه اشعه برونی در آینه های عادی برابر اشعه تابیده شده است. اگر آینه تخت زاویه کوچک α چرخش نماید، اشعه خروجی، دو برابر زاویه α می چرخد، زیرا اشعه درونی و برونی به همان مقدارα تغییرمی کند.
با اندازه گیری نقطه لیزر در یک صفحه نمایش و دانستن فاصله میان آینه و صفحه نمایش، شما می توانید زاویه α را معلوم کنید که نشان دهنده چرخش دمبل است.
درغیاب عمل دمبل، با زمان تناوب زیر داده می شود.

عمل دمبل پیوسته مانند حرکت پاندول به همراه مقاومت هوا یک گشتاور تولید می کند که متناسب با سرعت زاویه ای دمبل است. این باعث می شود که حرکت نوسانی با ثابت زمانی ، به صورت نمایی میرا شود که در مقایسه با زمان تناوب Τ طولانی تراست حرکت به وسیله معادله زیر شرح داده می شود:

که فاز اولیه حرکت است و ۰θ حالت تعادل است و A حرکت تقویت شده است. با اندازه گیری (t)θ و تثبیت داده های معادله می توانید Tو۰θ رامعلوم کنید و در نتیجه G را بدست آورید.
برای راهنمایی در اجرا، صفحه تجزیه و تحلیل را ببینید.

پارامترها
مطابقPasco، پارامترهای ابزار شامل موارد زیرهستند :

عدم اطمینان مقدار متغیر
۰٫۵ mm 9.55 mm r
0.5 mm 50 mm d
0.5 mm 46.5 mm b

ایمنی
خطر! دستگاه لیزری که اهرم نوری را به وجود می آورد از نوع لیزر درجه سه است و به شبکیه آسیب رسان است. مستقیماً به اشعه نگاه نکنید مطمئن شوید که فرد دیگری نیز به آن نگاه نمی کند. توجه کنید که نگاه کردن به نورهای متفرق شده از یک جسم، مشکلی ندارد.

روش کار
۱- به دستورالعمل ابزار جهت بستن دستگاه توجه کنید. باید مطمئن شوید که وقتی دمبل آویزان بدون کار باقی می مانند از پشت و جلو قابل نوسان است. این ردیف کردن ها می تواند با توپ های بزرگ سربی انجام شود.
۲- توپ های سربی را به دقت وزن کنید. یک سینی ابری را روی ترازو قـرار دهید و سپس به آرامی، توپ سربی را روی سینی قراردهید. اگر توپ سربی افتاد آن را به دقت پاک کنید تا در دقت آزمایش تاثیر نگذارد.
۳- دمبل را به صورت پیچ هایی در زیر قفل نمائید و پس به آرامی آنها را روی آرماتور قرار دهید آرماتور را بچرخانید تا توپها با لبه بدنه تماس پیداکنند. به آرامی پیچ ها را بچرخانید تا آزاد شوند. اگر بعد از این کار دمبل حرکت داشت با استفاده از پیچ محافظ حرکت ها را از بین ببرید.
۴- وقتی دمبل آزادانه بچرخد، موقعیت آن به عنوان تابعی از زمان است. حداقل ۲ دوره تناوب را تثبیت کنید.
۵- به آرامی آرماتور را بچرخانید تا توپ های بزرگ در لبه محافظ قرارگیرند و موقعیت اشعه لیزر را به عنوان تابعی از زمان برای حداقل دو زمان تناوب تثبیت کنید.
۶- ازفاصله بین آینه و صفحه نمایش که برای اندازه گیری موقعیت اشعه لیزر استفاده می کنید می توانید زاویه چرخش دمبل را به دست آورید. چنانچه شرح داده شده و مرکز چرخش را استخراج نمائید. از اختلاف آنها و اطلاعات بدست آمده در پارامترهای جدول بالامی توانید مقدارG را بدست آورید.

۲-۹ گرانش و لـختی
نیروی گرانش وارد بر هر جسم، همانطور که در معادله مشخص است با جرم متناسب است. به دلیل وجود این تناسب میان نیروی گرانش و جرم است که معمولاً نظریه گرانش را شاخه ای از مکانیک میدانند، در حالی که نظریه مربوط به دیگر نیروها (الکترومغناطیسی، هسته ای و…) را جداگانه بررسی می کنیم.
یک نتیجه مهم این تناسب آن است که ما می توانیم جرم را با اندازه گیری نیروی گرانشی وارد بر آن (وزن آن) تعیین کنیم. برای این کار از یک نیروسنج استفاده می کنیم، یا نیروی گرانشی وارد بر یک جرم را با نیروی گرانشی وارد بر جرم استاندارد (مثلاً وزنه یک کیلوگرمی) به کمک ترازو مقایسه می کنیم. به عبارت دیگر برای تعیین جرم جسمی، آن را وزن می کنیم. اگر بخواهیم جسم ساکنی را روی یک سطح افقی بدون اصطکاک به جلو برانیم، متوجه می شویم که برای حرکت دادن آن نیرو لازم است زیرا جسم لخت است و میخواهد در حال سکون باقی بماند، یا اگر در حال حرکت است، می کوشد این حالت را حفظ کند. در این حالت گرانش وجود ندارد. در فضا (دور از زمین) نیز همین نیرو برای شتاب دادن به یک جسم لازم است.این جرم است که ایجاب می کند که برای تغییر دادن حرکت جسم، نیرو بکار رود. همین جرم است که در دینامیک در رابط ظاهر می شود. اما وضع دیگری نیز وجود دارد که در آن هم جرم جسم ظاهر می شود. به عنوان مثال، برای نگه داشتن جسمی در ارتفاعی بالاتر از سطح زمین، نیرو لازم است. اگر ما جسم را نگه نداریم با حرکت شتابدار به زمین سقوط می کند. نیروی لازم برای نگه داشتن جسم در هوا از نظر بزرگی با نیروی جاذبه گرانشی میان جسم و زمین برابر است. در اینجا لختی هیچ نقشی ندارد، بلکه خاصیت جذب شدن اجسام توسط اجسام دیگری چون زمین مهم است.
تغییرات شتاب گرانشی (g) همانطور که گفتیم g ثابت نیست و از نقطه ای به نقطه دیگر زمین، بسته به فاصله آن نقطه از مرکز زمین تغییر میکند (در نقاط نزدیک سطح زمین میتوان آنر اثابت فرض کرد که ما هم در حل مسائل همین کار را انجام میدهیم و آن را ۹٫۸ یا۱۰ متر بر مجذور ثانیه فرض می کنیم).
اما موضوع دیگری بجز فاصله تا مرکز زمین، نیز وجود دارد که بر g تاثیر میگذارد، و آن دوران زمین اسـت. اگر جسمی در استوا به یک نیروسنج آویخته شده باشد، نیروهای وارد بر جسم عبارتند از: کشش روبه بالای نیروسنج، W ،که همان وزن ظاهری جسم است و کشش رو به پایین جاذبه گرانشی زمین که با رابطه F = G Me / Re2 بیان میشود. این جسم درحال تعادل نیست زیرا ضمن دوران با زمین تحت تاثیر شتاب جانب مرکز aR قراردارد. بنابراین باید نیروی جانب مرکز برآیندی به طرف مرکز زمین به جسم واردشود. در نتیجه F، نیروی جاذبه گرانشی (وزن واقعی جسم) باید از W، نیروی کشش روبه بالای نیروسنج (وزن ظاهری جسم) بیشتر باشد. بنابراین: (در استوا) نیروی برآیند