هندسه ترسيمي

نقطه: كوچكترين جزء هندسي كه از برخورد دو خط بوجود مي آيد.
خط: مكان هندسي مجموعه نقاط را خط مي گويند.
نكته۱: فصل مشترك دو خط يك نقطه و فصل مشترك دو صفحه يك
خط و فصل مشترك دو فضا يك صفحه است.

روش تقسيم كردن يك پاره خط به چند قسمت مساوي:
ابتدا پاره خط مورد نظر را با طول معلوم ترسيم مي كنيم رئوس آنرا با دو حرف A وB مشخص مي كنيم از يكي از دو نقطه A يا B خط كمكي با طول و زاويه دلخواه ترسيم مي كنيم و روي خط كمكي با استفاده از پرگار كه دهانه آنرا به دلخواه باز كرده ايم n قسمت مساوي روي آن جدا مي كينم از آخرين تقسيم خطي به سر ديگر پاره خط وصل مي كنيم از ساير نقاط روي خط كمكي خطوطي به موازات خط رويي رسم مي كنيم بدين ترتيب خط AB به n قسمت مساوي تقسيم مي شود.

رسم مثلث:
دايره اي به شعاع R رسم مي كنيم و دو قطر عمود بر هم آن را رسم مي كنيم از محل تقاطع قطر دايره به اندازه شعاع R كمان مي زنيم كه دايره را در دو نقطه A وB قطع مي كند، امتداد همان قطري كه از آن به شعاع R رسم كرده ايم نقطه C راس ديگر مثلث است.

رسم مربع:
دايره اي به شعاع R ترسيم مي كنيم و دو قطر عمود برهم آنرا رسم مي كنيم نقاط A , B ,C , D محل تقاطع قطعي ها با محيط دايره است. از نقاط ياد شده به شعاع R قوسي مي زنيم اين قوسها همديگر را در نقاط q’ , q , S’ , S قطع مي كند امتداداين نقاط دايره ما را در نقاط Q , P , N , M قطع مي كند كه از اتصال اين چهار نقطه مربع پديد مي آيد.

صفحه تصوير:
براي نمايش يك جسم احتياج به سطحي داريم كه به آن صفحه تصوير مي گويند. صفحه تصوير سطحي مستقيم است يعني هموار و بدون پستي و باندي كه از لحاظ هندسي طول و عرض محدودي ندارد به عبارت ديگر صفحه نامحدود است و چون نمايش سطح نامحدود براي ما امكان پذير نيست ، هميشه قسمت محدودي از آنرا كه در دسترس است در نظر مي گيريم و به شكل زير نشان مي دهيم.

تصوير:
اگر نقطه M (جسم) بين ناظر و صفحه P قرار بگيرد و شعاع مصور از نقطه M بگذرد و صفحه P را در نقطه m قطع كند m تصوير نقطه M روي صفحه P مي گوييم. صفحه P تصوير نقطه M است.

تصويرخط روي صفحه تصوير:
تصوير هر خط مستقيم خطي است مستقيم، بنابراين براي پيدا كردن تصوير يك پاره خط روي صفحه كافي است تصاوير دو نقطه A , B را روي صفحه P پيدا كرده و به هم متصل نماييم.

الف: خط با صفحه تصوير موازي است: در اين صورت اندازه تصوير يك پاره خط به اندازه خود خط است.( مانند شكل بالا ). AB = ab
ب: خط با صفحه تصوير موازي نيست: در اين صورت تصوير آن كوچكتر از خود خط خواهد بود.
ج: خط بر صفحه تصوير عمود است: در اين حالت تصوير خط AB به صورت نقطه b , a است.

تصوير سطح روي صفحه تصوير:
الف: سطح موازي صفحه تصوير است: در اين صورت اندازه تصوير سطحي با اندازه واقعي آن برابر خواهد بود.

ب: سطح با صفحه موازي نيست: وضعيت قرار گرفتن سطح نسبت به صفحه تصوير حالاتي مختلف دارد كه اندازه تصوير سطح كوچكتر از اندازه واقعي آن است.

ج: سطح عمود بر صفحه تصوير است: تصوير چنين سطحي همواره يك خط مي باشد.

تصوير يك جسم:
شكلي است مسطح كه از تصوير كردن رئوس ، خط، و سطوح آن جسم بدست مي آيد.
قرار دادها:
۱٫ انتخاب صفحات تصوير: صفحات تصوير عبادتند از شش سطح يك مكعب كه به آن مكعب تصوير گفته مي شود.
سطوح فوقاني و تحتانني سطوح افقي هستند و سطوح جلو و پشت سطوح قائم و بالاخره سطوح جانبي سطوح نيم رخ هستند.
۲٫ موقعيت جسم در داخل مكعب تصوير: تصوير بايد به شكلي قرار گيرد كه سطوح يا صفحات تقارن آن به موازات و يا عمود بر صفحات مكعب تصوير باشد.

۳٫ روش تسطيح كردن: پس از تسطيح كردن جسم روي شش سطح مكعب تصوير اگر اين سطوح را حول سطح تصوير قائم پشتي دوران دهيم و تسطيح كنيم و سطح تصوير قائم جلو به طور قراردادي درطرف راست سطح نيم رخ راست قرار خواهد گرفت.
۴٫ حذف خطوط محل تقاطع صفحات (خطوط زمين)

۵٫ خطوط بين تصاوير: خطوط مسرئي مانند خطوط دور جسم با خط ممتد و در صورتي كه خطوط مخفي (خطوط كه در پشت جسم قرار دارند و در يك تصوير ديده نمي شود) به شكل خط چين كوتاه رسم مي شود.
۶٫ اسامي تصوير: نامي كه به هر تصوير داده مي شود وضعيتي است كه ناظر در هر حالت به آن جسم مي نگرد. خطوط مصور (تصوير شده) در هر تصوير با هم موازي و عمود بر صفحه تصوير هستند.
شكل قائم(جلو):
ناظر روبروي جسم قرار دارد و جسم روي سطح قائم پشتي تصوير مي شود.
شكل افقي(مقطع):
ناظر از بالا به جسم مي نگرد جسم روي صفحه افقي تحتاني تصوير مي شود.
شكل نيم رخ(پهلو):
ناظر در سمت چپ جسم قرار مي گيرد و جسم روي صفحه نيم رخ راست تصوير مي شود.

اگر دو صفحه عمود بر هم Q’ , Q را در نظر بگيريم صفحه Q صفحه افقي تصوير و صفحه Q قائم تصوير و X = y فصل مشترك اين دو صفحه به نام خط زمين يا خط الارض ناميده مي شود اين دو صفحه فضا را به چهار ناحيه تقسيم مي كند اگر ناظري روي صفحه افق ايستاده به صفحه قائم نگاه كند x در سمت چپ و y در سمت راست آن باشد صفحه افق فضا را به Z قسمت بالا و پايين تقسيم و صفحه قائم را به Z قسمت جلو و عقب تقسيم مي كند.
فاصله نقطه A تا صفحه قائم را بعد نقطه A و فاصله نقطه A تا صفحه افق را ارتفاع نقطه A مي گوييم يعني بعد هر نقطه تصوير افقي تا خط الارض و ارتفاع هر نقطه فاصله تصوير قائم همان نقطه از خط الارض مي باشد.
اگر صفحه قائم را حول محور xy دوران بدهيم دوران تصوير قائم نقطه A روي صفحه افق نقطه a, است كه به آن ملحض نقطه A مي گوئيم. اگر نقطه a را به a, وصل كنيم رابط گويند.
حالتهاي خاص:
ملحض نقطه در نواحي مختلف به صورت زير است.
۱٫ ناحيه اول:
در اين صورت هم بعد مثبت و هم ارتفاع مثبت است تصوير افقي در زير و تصوير قائم در بالاي خط الارض است.

۲٫ ناحيه دوم:
در اين صورت بعد منفي، ارتفاع مثبت در نتيجه هر دو تصوير در بالاي خط الارض است.

۳٫ ناحيه سوم:
نقطه در ناحيه چهارم داراي بعد مثبت و ارتفاع منفي است هر تصوير در زير خط زمين قرار مي گيرند.

۴٫ ناحيه چهارم:
نقطه در ناحيه چهارم داراي بعد مثبت و ارتفاع منفي است هر دو تصوير در زير خط زمين قرار دارد.

۵٫ نقاط واقع بر روي صفحه افق تصوير ارتفاعشان صفر و بعدشان مثبت يا منفي است.

۶٫ نقاط واقع بر روي صفحه قائم بعدشان صفر، ارتفاعشان مثبت يا منفي است.

۷٫ نقاط واقع روي xy (خط الارض) بعد و ارتفاعشان صفر است.

صفحات نيمساز فرجه ها:
صفحاتي كه فرجه بين صفحات تصوير را نصف كنند، صفحات نيمساز فرجه ها ناميده مي شوند. كه يكي نيمساز فرجه اول و سوم و ديگري صفحه نيمساز فرجه دوم، چهارم است. صفحات تصوير و صفحات نيمساز فرجه ها و فضا را به ۸ قسمت تقسيم مي كند. نقاطي كه بين صفحه افق و يكي از صفحات نيمساز
فرجه ها قرار دارد، قدر مقطع ارتفاعشان كمتر از قدر مطلق بعد و نقاطي كه به صفحه قائم نزديكترند برعكس.

ملحض نقاط واقع روي صفحات نيمساز فرجه ها:
چون فاصله هر نقطه روي صفحه نيمساز فرجه از دو وجه آن به يك اندازه است. بنابراين بعد و ارتفاع نقاط واقع بر صفحات نيمساز فرجه يا مساوي يا قرينه اند و ملحض آنها به شكل زير است.

فاصله نقطه A از خط الارض:
از نقطهA بر صفحه عمود a را رسم كرده از a برخط الارض عمود(n) فاصله نقطه A تا خط الارض وتر مثلث قائم الزاويه ست كه يك ضلع آن بعد وضع ديگر ارتفاع نقطه A است به عبارت ديگر اندازه آن فاصله وتر مثلث قائم الزاويه اي است كه اضلاع مجاور زاويه قائم آن قدر مطلق بعد و ارتفاع نقطه A مي باشد. (شكل ۶).

طول، بعد و ارتفاع يك نقطه:
طولهاي Aa , aa’ , aa” به ترتيب طول، بعد و ارتفاع نقطه A مي باشند
نقاط بالاي صفحه افق در نواحي اول و سوم داراي ارتفاع مثبت، نقاط زير صفحه افق داراي ارتفاع منفي، نقاط واقع در جلوي صفحه قائم ناحيه اول و چهارم بهد مثبت و نقاط واقع در پشت صفحه قائم ناحيه دوم و سوم بعد منفي. طول در ناحيه هاي اول و چهارم مثبت و در ناحيه هاي دوم و سوم منفي است.

تسطيح نيم رخ نقطه:
اگر صفحه نيم رخ R را حول محور OP يا OQ يعني فصل مشترك صفحه نيم رخ با صفحات تصوير به اندازه ۹۰ درجه دوران دهيم اين عمل تسطيح صفحه نيم رخ روي صفحه نيم رخ يا قائم تصوير مي نامند. صفحه R روي صفحه قائم تصوير شده نقطه A بر روي دايره به مركز O و شعاع aa’ كه مساوي بعد نقطه است به اندازه ۹۰ درجه دوران مي كند و به صورت a, روي صفحه قائم تصوير در مي آيد.
براي تعيين a, ربع دايره اي به مركز O و شعاع OA رسم كرده از نقطه تلائي آن با xy عمودي بر آن رسم مي كنيم تا خطي كه از a موازي xy رسم شده در نقطه a, قطع كند.
فاصله تسطيح هر نقطه تا خط الارض ارتفاع، فاصله آن رابط بعد و فاصله Oa, فاصله حقيقي تا خط زمين است.

حالات خاص:
نقاط واقع در صفحه افق تسطيحشان روي خط الارض است.
نقاط واقع در صفحه قائم تصوير تسطيحشان بر تصوير قائمشان قرار مي گيرد.
ترفيع نيم رخ نقطه:
عكس عمل تسطيح را ترفيح گويند. اگر M, تسطيح نيم رخ يكي از نقاط واقع در صفحه نيم رخ باشد براي تر فيع آن عمودهايي از M, بر رابط و خط زمين رسم مي كنيم. نقاط M “ , M’ بدست مي آيند حال دايره اي به مركز O و شعاع OM” در جهت حركت عقربه هاي ساعت رسم مي كنيم تا رابط را در نقطه m قطع نمايد. نقطه MM’ تر فيع نقطه M, است.

نمايش نيمساز ها در تسطيح:
فصل مشترك صفحه نيم رخ با صفحات نيمساز فرجه در تسطيح نيم رخ نيمسازهاي زواياي قائمه بين رابط و خط زمين مي باشند نقاط واقع بر صفحات نيمساز روي اين خطوط قرار مي گيرند.

تقارن:
اگر دو نقطه نسبت به يكي از صفحات تصوير يا خط الارض و يا نيمساز فرجه‌ها قرينه باشند ملحض آنها بصورتهاي زير خواهد بود:

۱٫ نسبت به صفحه افق: بعدشان يكي از ارتفاعشان قرينه است.

۲٫ نسبت به صفحه قائم: ارتفاعشان يكي و بعدشان قرينه است.

۳٫ نسبت به خط الارض: هم بعدها و هم ارتفاعها قرينه هم هستند.

۴٫نسبت به صفحه نيمساز فرجه اول و سوم: بعد يكي مساوي ارتفاع ديگري و ارتفاع يكي مساوي بعد ديگري است.

۵٫ نسبت به صفحه نيمساز فرجه دوم و چهارم: بعد يكي مساوي قرينه ارتفاع ديگري و ارتفاع يكي مساوي قرينه بعد ديگري در اين حالت تصاوير غير همنام دو نقطه بر هم متصل هستند.

فصل دوم:
خط مستقيم:
تصوير خط مستقيم خطي است مستقيم پس براي نمايش خط كافي است تصاوير دو نقطه آنرا داشته باشيم در اينصورت اگر AA’ و BB’ ملحض دو نقطه از خطي باشند AB تصوير افقي تصوير قائم آن است. اگر نقطه اي مانند M تقسيم كنيم تصاوير نقاط روي آن باز هم آنرا به همان نسبت تقسيم خواهند كرد.

آثار خط:
محل برخورد هر خط با صفحه افق تصوير اثر افقي خط و محل برخورد آن با صفحه قائم تصوير اثر قائم خط است. اثر افقي نقطه اي است به ارتفاع صفر و اثر قائم نقطه اي است به بعد صفر. نقاط نقاط B B’ به ترتيب آثار افقي و قائم خط َ مي باشد.

روي خط َdd نقطه اي به بعد معلوم e و نقطه اي به ارتفاع معلوم h بدست آوريد.

خطوط مهم:
۱٫ خط افقي يا افقيه: خطي است موازي با صفحه افق تصوير، ارتفاع همه نقاط آن با هم مساوي و تصوير قائم با خط الارض موازي است. زاويه اي تصوير افقي خط با خط زمين مي سازد همان زاويه حقيقي خط با صفحه قائم تصوير است.

۲٫ خط جبهي يا جبهيه: خطي است به موازات صفحه قائم تصوير بعد همه نقاط اين خط يكي و تصوير افقي آن با خط الارض موازي است. زاويه اي كه تصوير قائم خط با خط زمين مي سازد همان زاويه حقيقي خط با صفحه افق است. خط افقي اثر قائم و جبهي اثر افقي دارد.

۳٫ خط قائم: خطي است عمود بر صفحه افق تصوير افقي آن يك نقطه و تصوير قائمش عمود بر خط الارض است كليه نقاط واقع بر خط قائم افقي شان بر هم منطبق و روي تصوير افقي خط واقعند هر خط متقاطع با خط قائم افقي‌اش از تصوير خط قائم مي گذرد.

۴٫ خط منتسب: خطي است عمود بر صفحه قائم كه تصوير قائمش يك نقطه تصوير افقي آن عمود بر خط زمين است. تصاوير قائم نقاط واقع روي خط منتسب بر تصوير قائم آن خط واقع مي شوند هر خط متقاطع با منتسب تصوير قائمش از تصوير اين خط مي گذرد.

۵٫ خط مواجهه: خطي است موازي با خط الارض كه تصاوير افقي و قائم آن هر دو موازي با خط الارض هستند بعد تمام نقاط آن برابر و ارتفاع تمام نقاط آن نيز مساوي مي باشند.

صفحه:
صفحه سطحي است مسطح، مستوي و بدون انحنا از هر جهت نامحدود كه به چهار صورت زير نشان داده مي شود.
۱٫ سه نقطه در يك امتداد.
۲٫ يك خط و يك نقطه
۳٫ دو خط موازي
۴٫ دو خط متقاطع
در هندسه ترسيمي صفحه با ملحض دو نقطه متقاطع يا دو خط موازي يا خط و نقطه و يا سه نقطه نشان داده مي شود.
آثار صفحه: فصل مشترك هر صفحه با صفحه افق اثر افقي و با صفحه قائم اثر قائم صفحه است. هرگاه سه صفحه دو به دو متقاطع باشند فصل مشترك ها يا موازيند يا از يك نقطه مي گذرند پس آثار صفحه دو خط موازي يا دو خط متقاطعند كه نقطه برخوردشان روي خط زمين است و يك صفحه با آثارش مشخص مي شود.

اثر افقي هر خط واقع روي يك صفحه روي اثر افقي آن صفحه و اثر قائم آن خط روي اثر قائم همان صفحه قرار مي گيرد.
اوضاع مختلف صفحه:
۱٫ صفحه افقي: موازي با صفحه تصوير است كه فقط اثر قائم دارد و با خط الارض موازي است تمام نقاط روي آن صفحه داراي ارتفاع يكسان هستند تصاوير افقي اشكال واقع در اين صفحه به اندازه حقيقي آن است و تصوير قائمشان روي اثر قائم صفحه است.