۳-۱- مقدمه
مواد مركب شامل دو يا چند ماده است كه توليد خواص دلخواه مي‌كنند در حاليكه هيچ كدام به تنهايي اين خاصيت را ندارند . مواد مركب اليافي ، براي مثال شامل الياف با استحكام و مدول الاستيستيه بالا است كه در يك زمينه به كار مي‌رود . ميله‌هاي فولادي كه در بتون به كار مي‌رود يك نوع مادة مركب اليافي است . در اين نوع مواد مركب ، الياف عضو اصلي تحمل بار است و زمينه ، انتقال بار بين الياف را انجام مي‌دهد و همچنين از انسباط و تغيير شكل الياف در مقابل محيط جلوگيري مي‌كند .
مواد مركب اليافي براي كربرد صنعتي به صورت لايه‌هاي نازك استفاده مي‌شود . با چسباندن لايه‌ها مي‌توان استحكام دلخواه را به دست آورد و در ساختن ميله يا تير يا ورق به كار برد . جهت الياف در هر لايه‌ها و ترتيب چيدن آنها به گونه‌اي است كه سختي و استحكام مورد نظر براي مورد خاص به دست آيد .

۳-۲- معادلات ساختاري
رابطة كلي هوك ، داراي ۹ مؤلفه تنش و كرنش است .
( ۳-۲-۱ )
در اين رابطه به خاطر تقارن تنش و كرنش ، ۳۶ ثابت مستقل وجود دارد به كمك
رابط انرژي تعداد ثابت‌ها به ۲۱ مي‌رسد .
موادي كه داراي سه صفحة متعامد متقارن هستند ارتوتروپيك مي‌نامند . تعداد ثابت‌هاي الاستيك به ۹ تا كاهش مي‌يابد . روابط تنش كرنش براي يك ماده ارتوتروپيك به صورت زير در مي‌آيد :
( ۳-۲-۲ )
ثابت‌هاي الاستيك با ثابت‌هاي مهندسي به صورت زير رابطه دارند .
( ۳-۲-۳ )

كه :
مدول يا نگ در جهت‌هاي ۱ و ۲ و ۳ است و نسبت پو آسون است .
مدول برشي در صفحات ۲-۱ ، ۳-۱ و ۳-۲ است .
بين ضريب پو آسان و مدول يانگ رابط زير بر قرار است كه :
( ۳-۲-۴ )
معادلة ساختاري ترموالاستيك خطي با روابط بالا كمي تفاوت دارد . از تابع انرژي آزاد رابطه تنش كرنش به صورت زير به دست مي‌آيد :
( ۳-۲-۵ )
ضريب بر حسب ضريب انبساط حرارتي خطي به صورت زير رابطه دارد .
( ۳-۲-۶ )
( ۳-۲-۷ )
براي مواد ارتوتروپيك ، براي صفر است .
۳-۳-تبديل خواص مواد
در بدست آوردن معادلات سازه براي مواد مركب بايد همة ضرائب و متغيرها در مختصات مساله بيان شود . بنابر اين بعضي از خواص و ضرائب در جهت‌هاي اصلي كه بايد به مختصات مساله تبديل شود و از آنها استفاده شود . تنش و كرنش اگر در مختصات اصلي باشند آنها را در مختصات مساله بيان مي‌كنند ؛ بنابر اين در ادامة آن نياز است كه تانسور سختي و ضرائب انبساط حرارتي هم در مختصات جديد بيان شوند ، با توجه به اينكه تانسور مرتبه چهار است براي تبديل آن نياز به ۴ ضريب تبديل است .
( ۳-۳-۱ )
در فرم ماتريسي :
( ۳-۳-۲ )
با انجام ضرب مي‌توان روابط تبديل شده را به دست آورد كه براي مواد ارتوتروپيك به صورت زير خواهد بود .
( ۳-۳-۳ )
ضرائب را مي‌توان در كتابهاي مواد مركب مانند ۶۱ ديد .
به طور مشابه ، ضرائب انبساط حرارتي كه تانسور مرتبه دو است ، تبديل مي‌شود .
( ۳-۳-۴ )
اين تبديلات براي محورهاي مختصات دكارتي معتبر است .

۳-۴-تئوري ورق مركب
لمينيت هاي مواد مركب از به هم چسبيدن لايه‌هاي مواد مركب با جهات مختلف الياف ساخته مي‌شود حتي ممكن است جنس هر لايه متفاوت باشد . اكثر لمينيت‌ها تحت بار خمشي يا كششي قرار مي‌گيرند . بنابر اين لمينيت به عنوان يك ورق محسوب مي‌شود از معادلات ورق استفاده مي‌كنند و معادلة لمينيت را به دست مي‌آورند . تحليل ورق‌هاي مركب در گذشته بر پايه يكي از روش‌هاي زير بوده است .
(۱) تئوري هاي تك لايه معادل
الف) تئوري كلاسيك لمينيت
ب) تئوري‌هاي تغيير شكل برشي لمينيت
(۲) تئوري الاستيسيته سه بعدي
الف) فرمولهاي الستيسيته سه بعدي رايج
ب) تئوري لايه‌اي
(۳) روش‌هاي مدل چند گانه ( دو بعدي و سه بعدي )
تئوري‌هاي تك لايه از تئوري سه بعدي الاستيسيته گرفته شده است كه با فرض مناسب مربوط به تغيير شكل يا حالت تنش در طول ضخامت لايه همراه است . اين فرضيات حالت سه بعدي را به دو بعدي تبديل مي‌كند . در تئوري الاستيسيته سه بعدي يا در تئوري لايه‌اي ، هر لايه به صورت يك جامد سه بعدي ديده مي‌شود . در تئوري‌هاي تك لايه معادل ، ميدان تغيير مكان يا تنش را به صورت تركيب خطي توابع مجهول در راستاي ضخامت فرض مي‌كنند .
( ۳-۴-۱ )
كه مولفة iام تغيير مكان يا تنش است . (x,y) مختصات صفحه اي است و z مختصات در راستاي ضخامت ، t مشخص كنندة زمان است و توابعي يك بايد تعيين شود .
هنگامي كه تغيير مكان‌ها است ، معادلات حاكم به وسيلة اصل تغيير مكان مجازي به دست مي‌آيند :
( ۳-۴-۲ )
مشخص كنندة انرژي كرنش مجازي ، كار انجام شدة مجازي به وسيلة نيروهاي خارجي اعمال شده و انرژي سينتيك مجازي است . اين كميت‌ها بر حسب تنش‌هاي واقعي و كرنش‌هاي مجازي بيان مي‌شوند كه توابع تغيير مكان فرض شده و تغييرات آنها وابسطه هستند .
براي سازة ورق و لمينيت ، انتگرالگيري روي ناحيه ورق انجام مي‌شود كه به صورت حاصلضرب انتگرال روي سطح ورق و انتگرال روي ضخامت ورق در مي‌آيد اين كار بخاطر ميدان تغيير مكان فرض شده در راستاي ضخامت است .
( ۳-۴-۳ )
h مشخص كننده ضخامت كل ورق است و سطح ورق مياني تغيير شكل نيافته است كه به عنوان مرجع براي ورق خواهد بود . تمام توابع نسبت به ضخامت مستقل هستند . بنابر اين انتگرال در راستاي ضخامت مستقيما گرفته مي‌شود . در نهايت مساله به دو بعد كاهش مي‌يابد . در نتيجه در اصل تغيير مكان مجازي ، معادلات ديفرانسيل شامل متغيرهاي وابسته و برايند تنش در طول ضخامت خواهد بود .
( ۳-۴-۴ )
يرايندها را مي‌توان بر حسب ها نوشت كه اين كار به كمك معادلات ساختاري ( روابط تنش –كرنش ) و روابط كرنش – تغيير مكان انجام مي‌گيرد .
براي زماني كه مولفه هاي تنش است ، روش مشابهي صورت مي‌گيرد به‌جز اينكه براي بدست آوردن معادلات حاكم از اصل نيروهاي مجازي استفاده مي شود .
ساده ترين تئوري تك لايه معادل ، تئوري ورق لمينيت كلاسيك است كه تعميمي از تئوري ورق كلاسيك كيرشهف براي ورق‌هاي مركب است . ميدان تغيير مكان براي اين تئوري به صورت زير است :
( ۳-۴-۵ )
مؤلفه‌هاي تغيير مكان در راستاي ( x , y , Z ) از يك نقطه روي صفحة مياني ( z=0 ) است . تغيير مكان بلاخاطر نشان مي‌سازد كه عمود بر صفحة مياني ورق قبل و بعد از تغيير شكل عمود باقي مي‌ماند . فرضيات كيرشهف از تغيير شكل برش عرضي و اثرات عرضي صرف نظر مي‌كند و تغيير شكل به طور كامل وابسته به خمش و كشش صفحه‌اي است .
متداولترين تئوري در تئوري هاي لمينيت تك لايه معادل ، تئوري تغيير شكل برشي مرتبه اول است كه ميدان تغيير مكان به فرم زير است :
( ۳-۴-۶ )
دوران حول محورهاي x,y است . تئوري مرتبه اول برشي سينماتيك تئوري كلاسيك را با در نظر گرفتن يك تغيير شكل برشي عرضي كلي ، بيان مي‌كند يا به عبارت ديگر كرنش برش عرضي در طول ضخامت ثابت فرض مي‌شود .
تئوري تغيير شكل برشي مرتبه اول از ضرائب تصحيح برشي استفاده مي‌كند . تعيين اين ضريب براي ورق مركب دلخواه سخت است . ضريب به پارامترهاي لمينيت بستگي ندارد بلكه شرايط مرزي و بارگذاري در آن اثر دارد . تئوري‌هاي ورق لمينيت تك لايه معادل مرتبة دوم و بالاتر از چند جمله‌اي هاي مرتبة بالاتر براي مؤلفه‌هاي
تغيير مكان در راستاي ضخامت لمينيت استفاده مي‌كنند .
تئوري هاي مرتبة بالاتر ، داراي مجهولات اضافي هستند كه مفهوم فيزيكي براي آنها وجود ندارد . تئوري مرتبة دوم به صورت زير بيان مي‌شود :
( ۳-۴-۷ )
ميدان تغيير مكان در تئوري مرتبة سوم در حالت كلي به صورت زير است :
( ۳-۴-۸ )
حالات خاصي از اين تئوري توسط ردي بيان شده است .
ميدان تغيير مكان در تئوري مرتبه سوم ردي به صورت زير بيان مي‌شود :
(۳-۴-۹)

در اين تئوري ، كرنش‌هاي برش عرضي از مربته دو است و تنش‌هاي برش عرضي در بالا و پايين لاية عمومي از جنس مونوكلينيك را برابر صفر مي‌دهد . بنابر اين ديگر نيازي به ضريب تصحيح برشي نيست . تئوري مرتبة سوم نتايج دقيقتري نسبت به تئوري مرتبة اول مي‌دهد و در حالي كه محاسبات آن هم زيادتر شده‌است . تئوري ديگري از مرتبة سوم ردي به صورت زير است :

( ۳-۴-۱۰ ) تعداد متغيرهاي مستقل در رابط فوق تنها ۷ است .اين ميدان تغيير مكان داراي كرنشهاي برش عرضي مرتبة دوم است و لذا تنش‌هاي برش عرضي روي بالا و پايين سطح لمينيت صفر مي‌شود .
تئوري‌هاي مرتبة سوم دقت زياد دارند ولي از نظر محاسباتي زمانگيرتر و پيچيده‌تر هستند . در مدل‌ها المان محدود مربوط اين تئوري‌ها ، براي ارضاء شرط تنش برش عرضي برابر صفر در بالا و پايين لايه بايد پيوستگي تغيير شكل عرضي و مشتقات آن
بين المانها رعايت شود .
ميدان تغيير سوم در حالت كلي در نظر گرفته و شرط تنش هاي برش روي صفحات مرزي ورق برابر صفر ارضاء شود ميدان تغيير مكان زير به دست مي‌آيد :
( ۳-۴-۱۱ )
تئوري مرتبة سوم ردي به دست مي‌آيد .