پرواز بدون موتور

سرعت و شتاب شاهين هاي ايده‏آل بهنگام شيرجه زدن و اوج گرفتن.
خلاصه:
برخي از شاهين ها همانند بازها (Falco Peregrinus) در هوا و با حداكثر سرعت شيرجه به شكار خود حمله مي‏كنند. و تصور مي‏شود كه آنها سريعترين حيوانات هستند. حداكثر سرعت آنها بهنگام شيرجه در حدود ۱۵۷ متر بر ثانيه اندازه گيري شده است، البته سرعت به اين بالايي به دقت اندازه گيري نشده است. در اين بخش تاثير نيروهاي آتروديناميكي و جاذبه اي (گرانشي) را برروي شاهينهاي ايده‏آل مورد بررسي قرار داده و براي محاسبه سرعت و شتاب حين شيرجه زدن از مدلهاي رياضي استفاده مي كنيم. شاهين ايده‏آل (مدل) داراي جرمي معادل ۵/۰ تا ۲ كيلوگرم هستند از نظر خصوصيات اندام شناسي در آنروديناميكي مشابه شاهين هاي واقعي هستند.

حداكثر سرعت شيرجه زدن بستگي به وزن پرنده و زاويه و مدت شيرجه دارد. در زمان مناسب شاهينهاي ايده‏آل مي توانند در يك شيرجه قائم به حداكثر سرعتي بين ۸۹ تا ۱۱۷ متر برثانيه برسند، در صورتيكه ضريب مقاومت هوا را ۱۸/۰ فرض كنيم پرنده‏هاي سنگينتر مي توانند به سرعتهاي بالاتري نيز برسند. اين مقادير در پروازهاي با سرعت كم اندازه‏گيري شده است در پروازي با سرعت بالاتر مي توان اين مقدار را تا ۰۷/۰ كاهش داد.

در اينحالت حداكثر سرعت بين ۱۳۸ تا ۱۷۴ متر بر ثانيه خواهد بود. در يك شاهين ايده‏آل به وزن يك كيلوگرم كه با زاويه بين ۱۵ تا ۹۰ درجه شيرجه مي‏زند بعد از حدود ۱۲۰۰ متر به ۹۵% حداكثر سرعت خود مي‏رسد. مقدار زمان سپري شده و افت ارتفاع براي رسيدن به ۹۵% حداكثر سرعت در رنجي بين ۳۸ ثانيه و ۳۲۲ متر در زاويه ۱۵ درجه تا ۱۶ ثانيه و ۱۱۴۰ متر در زاويه ۹۰ درجه قرار دارد.

بهنگام اوج گرفتن مجدد پس از يك شيرجه قائم و در حداكثر سرعت، يك شاهين ايده‏آل با وزن يك كيلوگرم با تغيير فاصله بالهاي خود مي تواند نيروي بالا برنده‏اي تا ۱۸ برابر وزن خود ايجاد كند در حاليكه نيروي بالا برنده در هنگامي كه بال، كاملاً باز است ۷/۱ وزن بدن مي باشد.

شاهين هنگام اوج گرفتن پس از يك شيرجه ۶۰ متر از ارتفاع خود را از دست مي‏دهند با كاهش زاويه شيرجه مقدار افت و افزايش ارتفاع نيز كاهش پيدا مي كنند. يك شاهين يك كيلوگرمي مي تواند با افزايش مقاومت هوا و زاويه بالهاي خود سرعت شيرجه زدن را كاهش دهد. هم نيروي بالابرنده و هم نيروي مقاومت هوا را مي‏‏توان با زاويه حمله افزايش داد ولي شاهين مي تواند نيروي بالا برنده را با نگه داشتن بالهاي خود به شكل يك گودال (يا فنجان) افزايش دهد بنحوي كه بخشي از اين نيرو از بغل وارد شود. فشار هواي افزايش يافته توسط بالها مي‏تواند حداكثر نيروي بالا برنده را ايجاد كند. اين نيرو آنقدر بزرگ است كه شاهين مي تواند در يك شيرجه با زاويه ۴۵ درجه سرعت ۴۱ متر بر ثانيه (نصف حداكثر سرعت) با شتابي معادل ۵/۱- برابر شتاب جاذبه از سرعت خود كم كند.

شاهينهاي واقعي مي‏توانند با تغيير در بالها و انتخاب طول شيرجه سرعت خودشان را كنترل كنند. با استفاده از شيرجه شاهينهاي ايده‏آل در سرعتهاي بالا مي توان به مزايا و معايب آن در شاهينهاي واقعي پي برد همچنين مي توان نحوه حفظ اين سرعتها را نيز بررسي نمود.

مقدمه:
بسياري از پرندگان با بالهاي باز و در يك مسير مستقيم و با سرعت شيرجه بالا به شكار خود حمله مي‏كنند. اين رفتار عمدتاً ويژگي بازها مي‏باشد (Falco Peregrinus) شاهينها مي توانند در هوا به ساير پرندگان بچسبند، معمولاً اين عمل بعد از يك شيرجه شگفت انگيز كه صدها متر بالاتر از شكار شروع مي شود، انجام مي‏گيرد. قبل از شيرجه يك باز عموماً با بال زدن سرعت خود را افزايش مي دهد، سپس با جمع كردن بالهاي خود شروع به شيرجه زدن كرده و با تغيير مسير خود، به مسيري كه با افق زاويه‏اي ۱۵ تا ۹۰ درجه مي‏سازد قرار مي‏گيرد. پرنده در طي شيرجه با صرف انرژي پتانسيل به سرعت خود اضافه مي كند. و ممكن است به حداكثر سرعتي كه يك جانور مي تواند برسد، دلت پيدا كند، اين سرعت به ميزان تا ۱۵۷ متر بر ثانيه برآورد شده است. حتي اگر اين برآورد صحيح هم باشد دقت آن شناخته شده نيست زيرا اندازه‏گيري سرعت شيرجه يك شاهين مشكل است. براي اين كار به وسايل اندازه‏گيري پيچيده نياز است.

زمان شيرجه كوتاه و محل و زمان شيرجه غير قابل پيش بيني بوده و در فاصله دوري از مشاهده گر قرار دارد. Alerstam (1978) براي غلبه بر اين مشكلات از رادار استفاده كرد و به اين طريق سرعت شيرجه يك باز را ۳۹ متر بر ثانيه اندازه‏گيري كرد. Clark (1995) سرعتهاي شيرجه‏اي بيشتر از ۴۱ متر بر ثانيه را اندازه‏گيري كرد.
حداكثر سرعتي كه در يك شيرجه بدست مي‏آيد به ويژگيهاي آتروديناميكي پرنده، زاويه شيرجه نيروي جاذبه و زمان و فضاي در دسترس براي شيرجه بستگي دارد. و بررسي هركدام از اين پارامترها مي تواند محدوديتهايي كه يك شاهين با آنها مواجه است را مشخص كند. براي پروازهاي بدون موتور چندين مدل رياضي وجود دارد و آلراستام (۱۹۸۷) يكي از آنها را براي شيرجه اصلاح كرد. با اينحال هيچكدام از اين مدلها براي اندازه گيري سرعت حين شيرجه يا اوج گرفتن طراحي نشده‏اند. اين مقاله مدل رياضي را براي شيرجه «شاهين هاي ايده‏آلي» كه به صورت رياضي تعريف شده‏اند، ارائه مي‏كند.
اين نام بعد از خصوصيات مفيد شيميايي فيزيكي ideal gas مطرح شد. شاهينهاي ايده‏آل داراي وزنهاي مختلف هستند و خصوصيات مورنولوژيكي و آئروديناميكي آنها مشابه نمونه اي واقعي هستند و به سوالاتي كه در ادامه مطرح مي شوند پاسخ مي‏دهند. بهنگام شيرجه آنها به چه سرعتي دست پيدا مي‏كنند؟ براي سرعت گرفتن آنها به چه زمان و ارتفاعي نياز دارند؟ زاويه شيرجه چه تاثيري بر سرعت دارد؟ آنها براي اوج گرفتن پس از شيرجه چه ميزان نيروي آميروديناميكي توليد مي‏كنند؟ بهنگام اوج گرفتن آنها چه ارتفاعي را از دست مي‏دهند؟ به چه ميزان آنها مي‏توانند بهنگام شيرجه سرعتشان را كنترل كنند؟

پاسخ به اين سوالات چارچوبي را براي بررسي عملكرد شيرجه شاهينهاي طبيعي در طبيعت بدست مي‏دهند ولي آنها لزوماً نمي توانند كليه موارد مرتبط با شاهينهاي طبيعي را توضيح دهند.نيروهاي آئروديناميكي در مورد شاهينهاي ايده‏آل بر مبناي اندازه گيري هاي انجام شده در سرعتهايي كمتر از ۵/۱ شاهينهاي واقعي بدست آمده اند و شاهينهاي ايده‏آل ممكن است داراي اشكال باشند كه به هيچ نحو نمي‏شود آن را در مورد شاهينهاي واقعي اندازه‏گيري كرد. شاهينهاي ايده‏آل داراي اين امتياز فوق‏العاده هستند كه از طريق آن ها مي توان روابط رياضي را بيان نمود كه آنها را مي‏توان ارزيابي، آزمايش و اصلاح نمود.

انواع بال زدن:
پرندگاني كه بال نمي زنند با توجه به سرعت خود بالهايشان را در فاصله‏اي متغيرا: بدنشان نگه مي‏دارند. در سرعتهاي كم آنها بالهايشان را كاملاً باز مي‏كنند. و بتدريج با افزايش سرعت بالهايشان را جمع‏تر مي كنند. در سرازيريها و شيرجه هاي سريع آنها ممكن است تا آنجا كه امكان دارد بالهايشان را به بدنشان نزديك كنند حتي تا نزديكي نشينگاهشان. (شكل۱) در تحقيق فعلي از فاصله بالها جهت تشخيص شيرجه از دو نوع ديگر پرواز يعني اوج گرفتن و تغيير جهت استفاده شده است. اوج گرفتن اغلب به پروسه‏اي اطلاق مي‏شود كه پرنده در آن وضعيت ارتفاع خود را ثابت نگه داشته يا با پرواز در هوا و حركت در به سمت بالا يا شتاب گرفتن ارتفاع خود را افزايش مي‏دهد. در اصطلاح ارنيتولوژي (پرنده شناسي) اين واژه بيانگر حالتي است كه در آن پرنده با حداكثر فاصله بين بالها و دم كاملاً كشيده در حال پرواز است. مثلاً پرندگاني كه كمتر بال مي‏زنند اغلب اين ارتفاع با چرخاندن بالهايشان در ۹۰ درصد يا ۱۰۰ درصد فاصله بالها بدست مي آورند.
براي بدست آوردن چنين فاصله‏اي آنها بالهايشان را به جلو حركت داده و دمشان را از هم باز مي‏كنند تا اثر اوج گيري لحظه اي را خنثي كنند. اين رفتار را مي‏توان در پرندگاني كه كمتر بال مي زنند در طبيعت مشاهده كرد. وتوكر (۱۹۹۲) اين مطلب را در يك تونل باد روي يك شاهين Marris مورد بررسي قرار داد. از نظر پرنده شناسي در سرعتهاي بالاتر از حد اوج گيري دم جمع مي شود در يك محدوده‏اي از سرعت يك پرنده مي تواند در امتداد يك مسير با حداقل زاويه نسبت به افق كج شود. خم بالها و فاصله بالها در بالاترين سرعت اين محدوده تقريباً به ميزان ۷۰% ماكزيمم آن كاهش مي‏يابد. در اين حالت پرنده از حالت «Flexgliding» است. پرندگان شكارچي عمدتاً پس از رسيدن به ارتفاع خاص و در يك سرعت بالا شروع به سرخوردن مي كنند.

پرندگان مي‏توانند با شيب دادن به زاويه حركت و خم كردن بالهايشان سريعتر نيز سر بخورند. دقيقاً همانند زماني كه شيرجه مي‏زنند. بعنوان يك قرار داد كه نشان دهنده شيرجه زدن است من توضيح مي‏دهم كه پرنده‏اي در حال شيرجه است كه فاصله بالهايش كمتر از ۷۰ درصد حداكثر فاصله بالهايش است و مسير سرخوردن آن نيز مستقيم است. پرنده اي كه در حال شيرجه زدن است، نيز يك شيرجه‏زن نيست زيرا عليرغم اينكه فاصله بالهايش كمتر از ۷۰% حداكثر است مسير پرواز آن مستقيم است.

خصوصيات اندام شناسي و آئروديناميكي شاهينهاي ايده‏آل:
شاهين هاي ايده‏آل (يا به اختصار «شاهينها» كه با شاهين هاي واقعي متفاوت هستند) داراي جرم m هستند و از دو طرف متقارن هستند. آنها داراي محور بلندي هستند كه از راس نوك شروع و راس دم ادامه داشته و پرونده نسبت به اين محور تقارن دارد. برشهاي عمود بر محور مدل يك شاهين باعث ايجاد مناطق مختلفي مي شود كه از نظر سطح با هم متفاوت هستند. منطقه‏اي كه در برش عرضي داراي حداكثر مساحت است (بجز بالها) Sb نام دارد. و مساحت منطقه‏اي از برش عرضي كه داراي حداكثر مساحت است (شامل بالها) فاصله بالها نام دارد رباط نشان مي‏دهند. يك شاهين كه داراي جرم معيني است داراي Sb ثابتي است اما مي‏تواند فاصله بالهايش را بين مقدار حداقل و حداكثر تنظيم كند (bman , bmin). از آنجائيكه فاصله بالها متفاوت است مساحت بالها (SW) نيز بين مقدار حداقل و حداكثر (Swmin , Swmax) تغيير مي كند. SW منطقه اي از بالها است كه عمود بر محور تقارن بوده و داراي محور طولاني است. مساحت بال شامل مساحتي از بدن پرنده است كه بين بالها قرار دارد.

بعنوان يك استثناء بالهاي شاهينها دو سطحي نمي باشد خطوط قوسي بالها در منطقه بالها بدن را به دو قسمت تقسيم مي كنند. يك خط تومي، خطي است بر اثر برشي در امتداد محور تقارن بدن در بالها ايجاد شده و دو لبه بال را بهم وصل مي كنند. خط تومي باتوجه به فاصله بالها متفاوت است.ولي طول متوسط توس است كه برابر است با:
C = Swmax / bmax (1)
حالت استثنا همانند شاهينهاي واقعي در شاهينهاي ايده‏آل وجود دارد (شكل ۱) كه ممكن است بالهايشان را در اطراف بدنشان به شكل يك فنجان جمع كنند. (شكل۶). سطح زيرين بالهاي فنجاني شده در امتداد بدن است هنگام فرود آمدن ولي فضاي خالي آن بين بالها و بدن قرار دارد. در مقاله حاضر به بالهاي فنجاني شده تنها در بخش كنترل سرعت شيرجه اشاره مي‏كنند.

همزمان با پرواز يك شاهين بردار وضعيت (P) مسير حركت در فضا را در هر زمان (t) نشان مي‏دهد. يك وضعيت در فضا از آنجائيكه فضاي مورد مطالعه با دو بعدي است به صورت دو نقطه x,y تعريف مي‏شود. شاهين در امتداد مسير پرواز با سرعت V=dp/dt حركت مي كند كه اين سرعت داراي بردارهاي متناظي Vy , Vx مي‏باشد و مسير پرواز هنگام شيرجه زدن خطي راست است كه با محور اتمي x زاويه(۰) را ايجاد مي كند.

فرض مي شود كه باد مي وزد بنابراين شاهين مي تواند با توجه به اينرسي موجود با سرعت V در هوا شيرجه بزند و مي‏تواند با تغيير سرعت نه جهت شتاب خود را افزايش دهد. بهنگام اوج گيري پس از شيرجه، شاهين با تغيير جهت سرعت خود را افزايش مي‏دهد نه با تغيير سرعت.
در مقاله حاضر از عبارت y بعنوان افت ارتفاع استفاده شده است و مقادير روي محور x با مقادير روي محور y نسبت عكس دارند. با چرخش مسير پرواز در جهت عقربه‏هاي ساعت مقادير x به سمت راست افزايش مي‏يابد و زاويه ۰ نيز افزايش مي يابد (شكل۲).

شكل و نيروهاي آيروديناميكي و گرانشي:
يك شاهين در حال پرواز دو نوع نيرو را تحمل مي‏كند، يك نيروي ثابت گرانشي (وزن) و يك نيروي متغير آئروديناميكي كه بر اثر حركت باد در بالاي بدن و بالها ايجاد مي‏شود. وزن به طور كاملاً عمود به سمت پايين است مقدار W برابر است با mg كه در آن m جرم بدن و g شتاب جاذبه زمين (ms 81/9) است. نيروي وزن را مي‏توان به دو مولفه كه نيروي آيروديناميكي نيز داراي اندازه و جهت است كه با V و شكل بدن پرنده و زاويه بالها تغيير مي‏كند. زاويه حمله بالها زاويه بين يك خط توسي نماي عمودي و مسير پرواز كه شامل خط ترس است، مي باشد.
از آنجائيكه يك شاهين در يك مسير مستقيم شيرجه مي‏زند در جهت عمود بر مسير پرواز شتاب ندارد و مجموع بخش عمودي نيروي آيروديناميكي و جاذبه بايستي صفر باشد. در عرض مجموع بخش موازي نيروهاي آيروديناميكي و جاذبه بهنگام شيرجه زدن صفر نيستند.
بخش هاي عموي و موازي نيروي آيروديناميك در يك (۱-) ضرب مي شوند و به ترتيب بعنوان بلند كننده (L) و سپس (D) معرفي مي شوند. بنابراين در حين شيرجه
L = W Cos 0 (2)
Dv/dt = g 0 – D/M (3)

زمانيكه پس (D) برابر با مولفه موازي وزن باشد. و شاهين در حال سكون است و در يك مسير موازي با سرعت ثابت Ve در حال پرواز است. بعبارت ديگر شاهين در حال تعادل است و شتاب نمي گيرد.
واژه شكل به ابعاد جهت شاهين اشاره مي كند كه مي‏توانند نيروي آيروديناميكي حاصل از يك سرعت را تحت تاثير قرار دهند. براي مثال پرندگان مي توانند با تغيير در زاويه حمله بالها، فاصله بالها و وضعيت پاها نيروي پس را تغيير دهند. آنها همچنين مي توانند با فنجاني كردن بالهايشان يا با تغيير در زاويه محور بدنشان با محور (مسير) پرواز نيروي پس را تغيير دهند. «ضريب شكل» وضعيتي از شكل است كه مي تواند به صورت عددي همانند فاصله بالها يا زاويه حمله بيان شود.

نمودارهاي قطبي كارآيي و سرعت:
در نمودار كارآيي (شكل ۳الف) مقدار Vy را در برابر Ve كشيده شده ا ست و روش قراردادي براي توضيح تعادل پرواز پرندگان است. در اين مقاله از تبديل نمودار كارآيي- نمودار قطبي سرعت- براي توضيح شيرجه تعادلي و غيرتعادلي در شاهين ها استفاده شده است و بنابراين من خلاصه اي از جوانب مختلف نمودار كارآيي را بعنوان مقدمه اي براي نمودار قطبي سرعت بيان ميكنم.
ارتباط بين Vy و Ve به زمان پس در حالت تعادل بستگي دارد.

D = WE0(4) , E0 = Vy/Ve (5) === Vy = Dve/W (6)

براي بسياري از كارخانجات سازمان گلايدر در پس در حالت عادي و در پرواز در مسير مستقيم تابع ساده اي از Ve است و نمودار كارآيي به فرم يك خط راست در مي‏آيد كه تحت عنوان «پرواز قطبي» شناخته شده است. با اينحال پرندگان gliding (سرخور) مي توانند محدوده‏اي از پس (۰ ) در سرعت معين Ve داشته باشند. زيرا آنها مي توانند شكل خود را تغيير دهند مخصوصاً فاصله بالهاي خود را در نتيجه اين نمودارهاي كارآيي را مي توان به دو منحني تقسيم كرد، منحني حداكثر كارآيي (يا سوپر قطبي) و خط كارآيي حداقل، منطقه محصور بين اين دو خط را ناحيه كارآيي مي‏نامند. يك پرنده در حال پرواز با سرعت Ve زماني كه ۰ حداقل باشد داراي حداقل پس است، زماني كه پرنده در حالت تعادل سرعت است كه Ve = VE كارايي حداكثر باشد.
نمودار حداكثر كارآيي مقدار Vy را در برابر VE نشان مي دهد و خط كارآيي حداقل نشان دهنده آن است كه پرندگان در حالت شيرجه هاي عمودي هستند يعني Vy=Ve در اين حالت پس براي هر Ve حداكثر بوده و برابر با وزن است. خطوط مستقيمي كه در شكل (۳الف) رسم شده اند نشان دهنده جهت هاي مختلف مسير پرواز است.
نمودار قطبي سرعت (شكل ۳ب) شامل اطلاعات مشابهي همانند نمودار كارآيي است با اين تفاوت كه بجاي آنكه Vy را در مقابل Ve نشان دهد، Vy را در برابر Vx رسم كرده است. Vy , Vx مولفه هاي بردار سرعت V هستند كه مي توان در نمودارهاي قطبي آنها را مشاهده كرد. Ve در ۰ برابر با از حداقل زاويه پرواز صفر تا ۹۰ درجه نشاندهنده منحني حداكثر كارآيي است و خط كارآيي حداقل بر محور Vy مماس است. منطقه كارآيي محصور بين نمودار كارآيي حداكثر و محور Vy در مقادير بزرگ ۰ بنحو چشمگيري افزايش مي يابد. خطوط مستقيمي كه در شكل ۳ب رسم شده‏اند نشان دهنده جهتهاي مختلف پرواز هستند و مقادير مساوي از V در كمانها زماني كه Vy , Vx برابر باشند ظاهر مي شود. در اين مطالعه، نمودار قطبي سرعت پرواز تعادلي و غير تعادلي را تشريح مي كند. در مقادير معين ۰ و t پرنده مي تواند تا سرعت V به سرعت خود بيافزايد يا اگر پس برابر WE0 باشد در حالت تعادل قرار گيرد. در حالت تعادل سرعت پرنده اگر مقدار ۰ كمتر از حد ماكزيمم باشد معادل Ve و اگر ۰ ماكزيمم باشد Ve است.

تصوير كنيد كه پرنده اي در نمودار قطبي به آرامي ازابتداي شيرجه و در مسير پروازي كه همراستا با بردار V است شروع به پرواز مي كنند. همچنانكه پرنده سرعت مي‏گيرد. بسياي آن افزايش مي يابد تا آنكه به WE0 مي‏رسد و سپس سرعت در حد Ve يا VE با توجه به شكل پرنده ثابت مي ماند.

مدل رياضي:
مدل رياضي پرواز تعادلي و دو نوع از پرواز غير تعادلي:
شيرجه زدن هنگامي كه ۰ ثابت است و سرعت تغيير مي كند و اوج گيري پس از شيرجه زماني كه سرعت ثابت است و ۰ تغيير مي كند را توضيح مي دهد. در بخشي از مدل كه در برگيرنده پرواز تعادلي است از نتايج توكر(۱۹۸۷) استفاده شده است. و بخشهاي مربوط به پرواز غيرتعادلي جديد هستند. بخش بعدي مدل را براي پرواز تعادلي در حداكثر كارآيي خلاصه مي كنند و روابط مورد استفاده در بررسي شيرجه غيرتعادلي و اوج گيري پس از شيرجه را نشان مي دهند.
پرواز تعادلي در حداكثر كارايي
پرنده اي كه مي خواهد در حداكثر كارآيي و سرعت VE پرواز كند بايستي شكل خود را بنحوي تغيير دهد كه او فشار را تحمل كند، بالها بايستي نيروي بالابرنده‏اي معادل با Wcos0 را ايجاد كنند و بدن و بالها بايستي حداقل پسا را در سرعت VE داشته باشند. توكر (۱۹۸۷) پارامترهايي كه بر شكل بدن تاثير داشتند را در نيروهاي بالابرنده و پسا در سرعتتي هاي VE كمتر از ۳۰ متر بر ثانيه مورد بررسي قرار داد. در اين مقاله اين بررسي به سرعتهاي غير تعادلي بالاتري تعميم يافته است. خلاصه زير متغيرها و روابط بين آنها را كه براي مطالعه اين مقاله لازم است را نشان مي دهد.
فشار ديناميكي (q) به كرات در معادلات مربوط به بالارفتن و فرودآمدن بكار برده ميشود:
q = 0.5 PV2(V) كه در آن چگالي هوا P برابر با Kgm-3 23/1 است اين مقادير براي هواي استاندارد در سطح دريا و در درجه حرارت ۰C 15 صادق مي باشد.

عدد رينولد (Re) ضرايب پسايي را تحت تاثير قرار مي دهد. (۸) Re = pdv/M كه در آن d ابعاد طولي شاهين و M ديسكوزيته هوا است. در هواي استانداردي كه براي P در بالا توضيح داده شد Kgm-1s-1 6-10 × ۸/۱۷ = M مي باشد. مقادير M , d, p و اغتشاش هوا همگي براي شاهين مورد مطالعه در اين مقاله ثابت هستن و فقط ضرايب پسا (drag) توابعي از V و شكل شاهين هستند. مولفه بالابرنده L همراه با Sw و q ضريب بالا برنده CL را منحني مشخص مي كند كه برابر است با:

CL = L / (qSw) (q)
و از آن براي تعيين پروفايل ضريب پسا (كه در ادامه توضيح داده ميشود) استفاده ميشود. در يك شيرجه با زاويه معين فقط عامل مشكل است كه CL را تحت تاثير قرار مي‏دهد از آنجائيكه L (در معادله۲) ثابت است Sw فقط با فاصله بالها تغيير مي‏كند. پسا مجموع سه آيتم است. پساي اوليه حاصله از نيروي بالابرنده ايجاد شده، پساي پروفايل كه برابر است با پساي بالها منهاي پساي اوليه و پساي فراهم كه بعلت بدن به استثناي بالها ايجاد ميشود.
عامل شكل براي پساي اوليه (Di) فاصله بالها است.
Dp = 7.7L2 / (T) qb2 (10)

عامل شكل براي پساي پروفايل (Dpr) نيز فاصله بالها است.
Dpr = qSwCD,pr (11)

از آنجائيكه ضريب پساي پروفايل CD,pr تابعي از CL است بنابراين b و CD,pr نيز زماني كه پارامتر فاصله براي Re و متر باشد.

عامل شكل براي پساي مزاحم (Drop) برش عرضي (Sb) از بدن است.
Dpar = qSbCpar (12)

مقادير Sb ضريب پساي مزاحم CD,par براي يك شاهين با وزن ثابت، ثابت مي باشد. CD,par به وضعيت پاها، دم و وضعيت محور طولي بدن با مسير پرواز بستگي دارد. شاهينهاي ايده آل براي كاهش CD,par بهنگام پرواز در حداكثر كارايي شكل بدن خود را تغيير مي دهند. CD,par به Re نيز بستگي ندارد.
اين ضريب با افزايش Re كاهش مي يابد براي مثال prandtl و Tietjens (1957) براي يك نمونه مشابه پرنده كه داراي مقدار بيش از حد Re اعالي به شاهينها بوده مقدار كاهش بيش از ۵۰درصد براي Cd, par گزارش كرده‏اند. بنابراين مدل با تغيير Re مقدار CD,par را ثابت نگه ميدارد. اين مقاله نمونه اي را ارائه مي كند كه در آنها تاثيرات مقادير اندك CD,par را بر كارآيي شيرجه توضيح داده شده است. پساي D برابر است با مجموع سه معادله ۱۰و۱۱و۱۲ در يك سرعت معين وبه صورت تابعي از b است كه در آن در فاصله b0 پس مقدار حداقل (Drmin) را دارا است. براي مثال، اگر يك شاهين فاصله بالهاي خود را افزايش دهد، پساي اوليه كاهش مي‏يابد، اما پساي پروفايل با افزايش در SW افزايش مي‏يابد. با اينحال افزايش در SW مقدار CL را كاهش مي دهد در حاليكه كاهش در CD,par و سبك شدن پساي پروفايل را افزايش مي دهد. در مجموع، اين تغييرات جهت ايجاد پساي حداقل زماني رخ مي دهد كه شاهينها بالهاي خود را در حداكثر فاصله قرار دارد و سرعتشان كم است و بالهايشان را خم مي‏كنند تا در سرعت بالا فاصله بالها را كم كنند دقيقاً همان كاري كه شاهينهاي واقعي در طبيعت و دو تونل باد انجام مي دهند. در مدل رياضي منحني هاي حداكثر كارايي براي شاهينهاي ايده‏آل با قرار دادن Dd/db=0 و پيداكردن b0,Dmin بدست مي آيد. هر دوي اين ها تابعي (f) از V هستند.
Dmin = f (V) (13) , b0 = f (V) (14)
با توجه به اينكه b0 نمي تواند از bmax بيشتر باشد توكر (۱۹۸۷) اين معادلات را توضيح داده و روشي تكراري را براي يافتن نمودارهاي كارآيي حداكثر براي پرندگان در حال پرواز بيان نمود و توماس (۱۹۹۶) با استفاده از روشي مشابه حداقل نيروي لازم براي پرواز فلپ را محاسبه نمود.

سرخوردن غير تعادلي:
شيرجه:
هنگام شيرجه غيرتعادلي يك شاهين در امتداد يك مسير مستقيم كه با افق زاويه ۰ را مي‏سازد و با تنظيم فاصله بالهاي خود سرعت خود را افزايش مي‏دهد و با استفاده از تنظيم CD,par در هر سرعتي پسا را در حداقل نگه ميدارد. از معادلات ۱۲و۳ داريم.
Dv/dt = gE0 – f(v)/m (15)

با حل اين معادل ديفرانسيل را مي توان با استفاده از روشهاي عددي انجام داد و سرعت شاهين را در هر زمان بدست آورد.
V = f3(t) (16)
در هر سرعتي b0 داراي مقدار خاصي است و رابطه بين b0 و V عبارت است از:
b0 = f4 (V) (17)

كه از تركيب معادلات ۱۴و۱۶ بدست مي آيد. فاصله اي (S) كه شاهين در هر زمان مي تواند پرواز كند را مي‏توان با عددگذاري در معادله ۱۶ بدست آورد و افت ارتفاع شاهين (y) برابر است با:
Y = SE 0 (18)

معادلات f1 تا f4 به خصوصيات وابسته به جرم شاهينهاي ايده‏آل بستگي دارد كه در بخش بعدي توضيح داده خواهد شد. براي محاسبات فوق يك برنامه كامپيوتري كه توسط مولف طراحي شده است نيز در دسترس است.
اوج گيري پس از شيرجه:
شاهينهاي ايده آل با استفاده از پرواز با سرعت ثابت در يك مسير ايده آل شكل پس از شيرجه اوج مي‏گيرند تا اينكه مسير پرواز افقي شود. اين ويژگيها بررسي اوج گيري را آسان مي‏كند اما بهنگام اوج گيري افت ارتفاعي شناسايي ميشود كه احتمالاً بزرگتر از ميزان لازم براي شاهينهاي واقعي است. ( y). شاهينهاي واقعي بهنگام اوج گيري سرعت خود را كاهش مي دهند و نيازي به طي مسيري دايره‏اي شكل ندارند. هر دو عامل y را كاهش مي‏دهد ولي بررسي آنها هدف اين مقاله است.

يك شاهين كه در مسيري دايره اي با شعاع r (شكل ۴) حركت مي كند شكل خود را براي ايجاد نيروي جانب مركزي ثابت (mr2/r) تنظيم مي كند. اين مولفه با مولفه بالابرنده و نيروي گرانشي Wes0 متفاوت است.
r = mv2 / (L1 – W) (19) بنابراين

از آنجائيكه مخرج ثابت است و زمانيكه ۰ = ۰ باشد L = L1 است. L1 حداكثر نيروي بالابرنده‏اي است كه شاهين مي تواند در سرعت V ايجاد كند زيرا شاهين در حين اوج گيري y و در نتيجه r را در حداقل نگه مي دارد.
y به زاويه ۰ مسير پرواز در ابتداي شعاع بستگي دارد.
از شكل ۴ داريم (۲۰) y = r (1 – e 0 )
با تركيب معادلات ۱۹و۲۰ داريم (۲۱) y = mv2 (1 – es0 ) / (L1 – w )
با نگاه اوليه ممكن است فكر كنيم كه شاهين مي تواند حداكثر نيروي بالابرنده را در زمان اوج‏گيري با حداكثر كردن CL ايجاد كند كه چون سرعت كم است اين كار با افزايش فاصله بالها و مساحت بالها ميسر است.
با اينحال در سرعتهاي بالا نيروي بالابرنده بالها در اين وضعيت گشتاور غيرقابل تحملي را به محل اتصال بالها وارد مي‏كند. شاهين مي تواند اين گشتاور را با خم كردن بالهاي خود و كاهش فاصله و مساحت بالها، تقليل دهد. بنابراين به طور موقت باز در اجراي گشتاور و نيروي بالابرنده بالها كاهش ميدهد. در برخي فواصل بالها، گشتاور زماني كه نيروي بالابرنده بالها متناسب با آن فاصله حداكثر است و L = L1 مي باشد، فوق‏العاده غيرقابل تحمل است. بررسي زير نشان مي دهد كه چگونه L1 را پيدا كرده و حداقل مقدار y لازم براي اوج گيري را محاسبه كرد.
او شاهينهاي ايده آل، نقطه مركزي نيروي بالابرنده يك بال در نقطه اي بين نوك بال و محل اتصال كتف قرار دارد. بنابراين بازوي لحظه اي براي گشتاور اطراف اتصال كتف زماني كه بالها در حداكثر فاصله خود قرار دارند (bmax – bmin) / 4 مي‏باشد. حداكثر گشتاوري كه شاهين مي تواند با حداكثر فاصله بالها تحمل كند L(bmax – bmin) / 8 است كه در آن L /2 حداكثر نيروي بالابرنده يك بال است. در فاصله هاي كمتر از bmax بازوي لحظه اي براي گشتاور يك بال (b – bmin) /4 است و نيروي بالابرنده (LT) هر دو بال در گشتاور ماكزيمم برابر است با:
LT = L (bmax – bmin) / (b – bmin) (22)

با اينحال ممكن است بالها فاصله كافي جهت ايجاد مساحت لازم براي توليد LT را نداشته باشند در اينحالت حداكثر نيروي بالابرنده توليدي برابر است با:
L = 1.6 qsw (23)

كه در آن ۶/۱ حداكثر مقدار CL براي شاهينهاي ايده آل است. در برخي فاصله‏ها (b1) حداكثر نيروي بالابرنده اي كه بالها مي توانند ايجاد كنند برابر LT است (شكل۵) در اينچنين حالتي L = L1 است. b1 را مي توان با تشكيل معادلات LT و T و جايگذاري SW از معادله ۲۵ بدست آورد.
B1 = (bmax – bmin) [L / 1.6qsw max] ½ + bmin (24)

با قرار دادن b1 به جاي b در معادله ۲۲ و L1 = LT و از آنجائيكه مقدار L1 در دست است مي توان y را با استفاده از معادله (۲۱) بدست آورد.
كنترل سرعت بهنگام شيرجه زدن:
يك شاهين ايده‏آل سرعت خود را بهنگام شيرجه با افزايش پسا و به روشهاي مختلف كنترل مي‏كند. در اين قسمت تنها افزايش پسا با استفاده از بالها مورد بررسي قرار مي‏گيرد. مثل پساي اوليه و پروفايل.
شاهين مي تواند اين دونوع پسا را با استفاده از افزايش زاويه حمله بالها افزايش دهد اما در اينحالت يك مشكل ايجاد مي شود، افزايش در زاويه حمله ميزان نيروي بالابرنده را نيز افزايش مي دهد در حاليكه نيروي بالابرنده بايستي بهنگام شيرجه زدن با يك زاويه معين ثابت بماند. (معادله۲) . شاهين بر اين مشكل بافنجاني كردن بالهاي خود بنحوي كه نسبت به محور بدن متقارن باشند و سطح قابل توجهي نيز داشته باشد فائق مي‏آيند. در نتيجه هر بال يك مولفه از نيروي آيروديناميكي ايجاد مي‏كند كه بر نيروي پسا عمود است و مولفه ديگر نيز جانبي است. (شكل۶).
هنگام جمع برداري، مولفه هاي جانبي حذف مي شوند و شاهين مي‏تواند زاويه حمله و نيروي پسا را بدون تغيير در L افزايش دهد. اطلاعات كافي براي محاسبه دقيق پساي ايجاد شده با فنجاني كردن بالها در دسترس نيست، اما براي اهداف فرضي، من بايستي از معادلات براي محاسبه پسا و CL استفاده كنم. اگر CL انتخاب شده باعث ايجاد نيروي بالابرنده اي بيش از آنچه كه در معادله ۲ مشخص شده شود. نيروي بالابرنده اضافي بعنوان مولفه هاي جانبي در نظر گرفته ميشود كه بايستي حذف شوند.
خصوصيات مرتبط با جرم شاهينهاي ايده‏آل:
شاهينهاي ايده آل از نظر هندسي داراي اشكال مشابه هستند و وزني بين ۵/۰ تا ۲ كيلوگرم براي قوشهاي نر كوچك و يك سنقر ماده بزرگ دارند. با توجه به معين بودن وزن يك شاهين ايده‏آل، تمامي ويژگيهاي آيروديناميكي كه كيفيت پرواز را در اين مطالعه تحت تاثير قرار مي دهد را مي توان با ثابت دانستن برخي مقادير آيروديناميكي (جدول۱) براي او شاهين واقعي محاسبه كرد: يك falco Juggen lagger با وزن Kg 570/0 و يك شاهين با وزن Kg713/0 .

مساحت بالها به طور خطي با فاصله بالها تغيير مي كند:
SW = Swmax (b – bmin) | (bmax – bmin) (25)
اين رابطه مشابه با مقدار اندازه گيري شده در يك قوش واقعي است. كمترين فاصله بالي كه يك شاهين مي تواند درحين پرواز داشته باشد bmax 1/0 است كه بزرگتر از bmin مي‏باشد.

نيروي بالابرنده و ضريب پساي پروفايل در يك بال ساخته شده با فاصله ثابت به زاويه حمله بستگي دارد و توكر (۱۹۸۷) نشان داد كه بين اين ضرايب در پرندگاني كه با حداقل زاويه مي خورند و داراي سرعتهاي مختلف با فاصله بالهاي متفاوت هستند نيز با هم ارتباط دارند. از آنجائيكه محاسبه CD,pr مستلزم جداكردن پساي مزاحم از پساي كل است، اين ارتباط به Sb و CD,par بستگي دارد.