۱ مقدمه

اکچوئريها براي محاسبات بیمه و بررسی تعهدات بلندمدت سازمان تأمین اجتماعی (مستمريها) و دیگر صندوقهاي بازنشستگی یا پیشبینیهاي جمعیتی، مستلزم استفاده از آمار و اطلاعات قابل اعتمادند. یکی از اطلاعات بسیار مهم و مؤثر دراینزمینه جدولهاي مرگومیر هستند. استفاده از جدولهاي مرگومیر از متداولترین و کهنترین روشهاي بررسی و اندازهگیري میزان مرگومیر در یک جمعیت است، در حقیقت جداول مرگومیر براي اکچوئريها، ابزار اصلی توصیف الگوي مرگومیر تلقی میشوند. به خصوص در بیمههاي زندگی، اکچوئريها با استفاده از جداول عمر، در جهت شناخت الگوي احتمالی پرداختها تلاش مینمایند و زمانی که هیچ مدل ریاضی براي مرگومیر بهدستنیاید یک جدول مرگومیر، تنها گزارشی از آزمایش (روي جمعیت) گذشته است و به تبع بهکارگیري آن در حوادث آینده متضمن این امیدواري است که آزمایش گذشته بدون هیچ دگرگونی در آینده تکرار شود. ازاینرو تلاشهاي بسیاري براي دستیابی به مدلی که بتواند این جداول را تبیین کند، صورت گرفته است. بدون شک، یافتن مدل ریاضی براي احتمال مرگومیر از نظر کاربردي بسیار مفید است. زیرا روشن است که کارکردن با تابعی که تعداد کمی پارامتر دارد و از نظر هندسی نیز داراي منحنی همواري است به مراتب آسانتر از کارکردن با جدول عمري است که پارامترهاي فراوانی داشته و در موارد بسیاري نیز احتیاج به درونیابی، برونیابی، هموارسازي و تعدیلهاي متعدد آماري دیگر جهت یافتن احتمالهاي فوت دارد که در محاسبه حقبیمه فنی بهکارمیروند. هیچ یک از مدلهاي استفادهشده تاکنون نمیتوانند توزیع زمان مرگ را به روشنی مشخص کنند یعنی هیچ روش تحلیلی براي زمان مرگ در این مدلها وجود ندارد، لذا ایجاد یک مدل که بتواند علاوه بر برازش به دادهها توزیع زمان مرگ را نیز تعیین کند مفید بهنظرمیرسد. هدف این مقاله معرفی چنین مدلی است.

کاربرد مدلهاي فاز- نوع در مدلبندي مرگومیر ۱۰۷ /

.۲ پیشینه

اگر بخواهیم پیشینه مدلهاي مرگومیر را بیان کنیم میتوان گفت آغاز تدوین مدلهاي مرگومیر از ساختن جداول مرگومیر شروع شد که اولین دستاورد در این زمینه در ابتداي سال ۱۶۹۳ بهوسیله ستارهشناس مشهور، ادموند هالی۱، انجام گرفته است که وي جدول عمري از تعداد فوتهاي مشاهدهشده بهدستآورد. در سال ۱۷۴۰، اولین جدول عمر به تفکیک مردان و زنان را نیکولاس استرویک۲ منتشر کرد. اما اولین مدل تحلیلی مرگومیر بهوسیله مدل آبراهام دمورآور۳ معرفی شد که احتمال بقاء را بهصورت تابع افزایشی از سن کنونی فرد درنظرگرفتهاست. بعدها گومپرتز۴ در سال ۱۸۲۵ مدل کاملتري از مدل آبراهام را معرفی نمودکه این مدل عمدتاً رابطه مرگ را با سن نشان میدهد. ازآنجاکه فرض گومپرتز، در این مدل آن بود که قواي جسمانی انسان با بالا رفتن سن در مقابله با مرگ کاهش مییابد، این مدل یک تابع نمایی است. نتیجه کار او، بهترین مدل مرگومیر پارامتري بیانشده تا سال ۱۸۶۰ بود. در سال ۱۸۶۰ مکهام ۵ مدل کاملتري از مدل گومپرتز را ارائه نمود و مدل گومپرتز را که براي سنین بالاتر مناسب نبود، اصلاح کرد و بعد از او پرکس۶ مدل ریاضی ارائهشده توسط گومپرتز و مکهام را کامل نمود. مدلهاي گومپرتز و مکهام از جمله مدلهاي رایج مرگومیر باقی ماندند. تا اینکه در اوایل قرن بیستم، اقتصاددان و جامعهشناس ایتالیایی پارتو۷ نظریات خود را که بر مبناي مطالعه مشکلات جامعه بود در مدلبندي مرگومیر دخیل کرد. پس از آن، در اواخر قرن بیستم، مدلهاي مرگومیر پیچیدهاي مورد مطالعه قرار گرفتند که اکثر آنها تعدیلشده یا تعمیم یافته مدلهاي مرگومیر گومپرتز و مکهام

۱٫ Edmund Halley 2. Nicholas Struyck 3. Abraham De Moivre 4. Gompertz 5. Makeham 6. Perkes 7. Pareto

/ ۱۰۸ پژوهشنامه بیمه/ سال بیستونهم/ شماره /۱ بهار /۱۳۹۳ شماره مسلسل ۱۱۳

بودند. از آن جمله میتوان به مدل لی-کارتر۱ اشاره کرد که مدل مرگومیر را به صورت فرایند تصادفی درنظرمیگرفت.

جدیدترین دیدگاه در مطالعه بقاي بشر ایده مرگومیر تصادفی است که مرگومیر همانند یک فرایند تصادفی درنظرگرفتهمیشود .(Yashin, 2001) اما بهکاربردن زنجیر مارکوف در مدلبندي مرگومیر بهطوري که توزیع زمان مرگ مشخص باشد و داراي توزیع فاز- نوع باشد تنها بهوسیله لین و لیو۲ انجام گرفته است. درباره فاز- نوع میتوان گفت که از زمان معرفی توزیع فاز- نوع بهوسیله نیوتس۳ در سال ۱۹۷۵، توزیعهاي فاز- نوع در طیف وسیعی در کاربردهاي مدل سازي تصادفی در حوزههاي گوناگونی مانند ارتباط از راه دور، مالی، مدلسازي تله ترافیک، آمار زیستی، نظریه صفبندي و… استفاده شدهاند. البته اثر توزیع فاز- نوع را در کارهاي پیشگامانی چون ارلانگ۴ و جنسن۵ میتوان دید. ارلانگ در سال ۱۹۱۷، اولین شخصی بود که توزیع نمایی را با »روش مرحلهاي« بسط داد. او یک متغیر تصادفی غیرمنفی را تعریف کرد بهطوريکه فاصله زمانی بین مرحلهها (موقعیتها) یک مقدار نمایی با نرخ ثابت است که امروزه، ما توزیعی با این رفتار را توزیع ارلانگ مینامیم. نیوتس در سال۱۹۸۱، تعمیمی از روش مرحلهاي ارلانگ را اینگونه تعریف کرد که متغیر تصادفی فاز- نوع، زمان سپريشده تا لحظه مرگ در یک زنجیر مارکوف پیوسته متناهی است که تنها یک نقطه جذب دارد. بعدها افراد دیگري توزیع فاز- نوع را در زمینههاي دیگري استفاده کردند مثلاً درکیک و همکارانش۶ توزیع کسري سرمایه در نتیجه ورشکستگی مدل

خطر اندرسون با توزیع خسارت فازگونه را مطالعه کردند و نشان دادند که اگر مقدار مطالبههاي اشخاص توزیع فاز- نوع داشته باشد، توزیع کسري سرمایه داراي توزیع

۱٫ Lee and Carter , 1992

۲٫ Lin and Liu, 2007 3. Neuts 4. Erlang,1909 5. Jensen,1953 6. Drekic et al., 2004

کاربرد مدلهاي فاز- نوع در مدلبندي مرگومیر ۱۰۹ /

فاز- نوع ساده خواهد بود. حسنزاده و همکارانش۱ مدلهاي فاز- نوع را در محاسبات اکچوئري براي بیمه ازکارافتادگی بهکاربردند، آنها نشان دادند که تغییرات در وضعیت بیمهشده میتواند بهطور مناسب بهوسیله مدل فاز- نوع مدل شود و خاطر نشان کردند که استفاده از چنین مدلی، عبارات محاسباتی ساده و روشنی براي احتمالات مربوطه و ارزش فعلی آنها بهدستمیدهد.

.۳ مدل

در سراسر قرون گذشته الگوهاي مرگومیر به دلیل تغییر دلیل اصلی مرگ از بیماريهاي واگیردار به بیماريهاي مزمن دگرگون شده است و در پایان قرن بیستم نرخ مرگومیر در نتیجه بیماريهاي مزمن کاهش یافته است. لذا در تصحیح روند پیشبینی، توجه به نظرات کارشناسان که رفتار، بهداشت و آسیبهاي اجتماعی را روي پیشبینیهاي مرگ ومیر مهم میدانند ضروري است؛ به دلیل فقدان ارتباط مستقیم بین پارامترهاي موجود در مدل مرگومیر و مکانسیم پیري، دخیلکردن نظرات کارشناسان در پیشبینیهاي مرگومیر اغلب امري نشدنی است. اگر بتوانیم مدل مرگومیري داشته باشیم که:

– به دادههاي واقعی مرگومیر برازش داده شود؛

– بتواند ارتباطی بین پارامترهاي مدل با مکانسیم فیزیولوژیکی پیري با یک اندازه واقعی بهوجودآورد بهطوريکه بتوان نظر کارشناسان را در آن وارد کرد؛

– امکانتحلیل کمی مرگومیر را فراهم کند.

دراینصورت میتوان گفت به مدل مطلوبی دست پیدا کردهایم. ایده ایجاد مدل مرگومیري با این ویژگیهاي مطلوب بهوسیله اکچوئريهاي قبلی مطرح شده است، اما تاکنون مدل مناسبی از این نوع هنوز ایجاد نشده است.

در این مقاله، مدلی را فرض میکنیم که براساس فرایند مارکوف متناهی بنیان شده و داراي یک نقطه پایانی (جذب) است، این مدل فرایند فیزیولوژیکی پیري بدن انسان

۱٫ Hassan Zadeh et al., 2013

/ ۱۱۰ پژوهشنامه بیمه/ سال بیستونهم/ شماره /۱ بهار /۱۳۹۳ شماره مسلسل ۱۱۳

را توصیف میکند. دلیل استفاده ما از زنجیر مارکوف در این مدل براي اطمینان از این امر است که توزیع زمان مرگ مشخص است و داراي توزیع فاز- نوع است. در نتیجه این اطمینان بسیاري از روشهاي تحلیلی که براي توزیع فاز- نوع بهکاربردهمیشود میتواند براي مدل مرگومیر انسان نیز بهکاررود. لذا در این بخش ابتدا به تعریفی از سن فیزیولوژیکی و فرایند پیري پرداخته و سپس مدل را معرفی میکنیم.

.۳-۱ فرایند پیري و سن فیزیولوژیکی

به نقل از جونس۱، اصطلاح فرایند پیري که در مورد ارگانهاي زنده بدن بهکارمیرود، همان ژنهاي معینشده، رشد و تقلیل یافتهايهستند که ضرورتاً با گذشت زمان غیرقابل بازگشت میباشند و با ازکارافتادگی یک ارگانیسم یا قسمتی از آن به انطباق با محیط پیرامون خود میپردازند. تجلی این پدیده کاهش در ظرفیت ارگان در برابر تنشهاي مربوط به آن است، یعنی افزایش استعداد ابتلا به بیماريهاي خاص به موازات پیرشدن و وقتی ارگان به اوج کاهش ظرفیت خود میرسد مرگ آن فرا میرسد.

واضح است که پیري انسان با طیف گستردهاي از تغییرات فیزیولوژیکی مرتبط است مانند: کاهش شدت فشار خون در میان بافتهاي مختلف، اختلالات متابولیسم چربی، کمشدن تراکم استخوان و … . چنین تغییراتی نه تنها انسان را در معرض بیماريهاي بسیاري قرار میدهد بلکه باعث افزایش قابلیت مردن در فرد میشود.

برخی از مطالعههاي تجربی، جستجو براي درك تغییرات توابع فیزیولوژیکی مختلف را نشان میدهند. بهعنوانمثال: شوك ۲، بافیتس و سارجنت۳ و استرهلر.۴ یافتههاي اصلی در این مطالعات روي تغییرات تابعهاي فیزیولوژیکی بشر میتواند به این صورت خلاصه شود:

۱٫ Jones, 1956

۲٫ Shock, 1974
3. Bafitis and Sargent, 1977
4. Strehler, 1999

کاربرد مدلهاي فاز- نوع در مدلبندي مرگومیر ۱۱۱ /

– بیشتر متغیرهاي اصلی به حداکثر ظرفیت عملکردي خودتقریباً بین سنین ۳ تا ۲۰ سال میرسند.

– بعد از ۳۰ سالگی، بیشتر متغیرهاي اصلی به طور خطی کاهش مییابند، در مقابل نرخهاي مرگومیر به طور نمایی افزایش مییابند.

– کاهش تغییرات توابع فیزیولوژیکی در میان اعضاي یک نسل است و این تغییرات اندکی با بالارفتن سن افزایش مییابند.

این یافتهها بیان میکنند که فرایندهاي پیري میتوانند در دورههاي مدلبندي شوند که تغییرات در تابعهاي فیزیولوژیکی، کیفی وکمی است.

در این مقاله یک سن فیزیولوژیکی فرضی را معرفی میکنیم که یک تغییر فیزیولوژیکی قابل کشف را در نتیجه یک یا چند تابع فیزیولوژیکی مزبور نشان میدهد. این سن فیزیولوژیکی میتواند همانند یک شاخص سلامتی تعبیر شود که درجه پیري در بدن انسان را نشان میدهد. بر خلاف بعضی از مدلهاي مرگومیر که روي فاکتورهاي سلامتی خاص و ارتباطهاي آنها با مرگومیر تمرکز میکنند، سن فیزیولوژیکی را در یک سطح بنیادي تعریف میکنیم و فرض میکنیم که آن فقط در یک جهت توسعه داده شده است. ازآنجاییکه ویژگی خطی بهوسیله تابعهاي فیزیولوژیکی مختلف حفظ میشوند، لذا فرض میکنیم که خطیبودن نیز در طول زمان با سنهاي فیزیولوژیکی حفظ شود. بهعلاوه، تغییر موقعیتهاي سلامتی یا انتقال از یک سن فیزیولوژیکی به سن بعدي تصادفی است کهاساساً متفاوت از سن تقویمی است. در پایان میتوان گفت که مرگومیر دیدهشده هم انعکاس طبیعی از فرایند پیري

و هم پاسخی به فاکتورهاي محیطی است. اثر متقابل بین فرایند پیري درونی و فاکتورهاي بیرونی مرگ، همان قابلیت (استعداد) توصیفشده در تعریف پیري است. با افزایش سن فیزیولوژیکی، ظرفیت فیزیولوژیکی کاهش مییابد که این امر حاکی از افزایش استعداد ابتلا به بیماريهاي مهلک و کشنده است.

/ ۱۱۲ پژوهشنامه بیمه/ سال بیستونهم/ شماره /۱ بهار /۱۳۹۳ شماره مسلسل ۱۱۳

.۳-۲ مدل مرگ ومیر پیشنهادي

حال، یک فرایند مارکوف زمان پیوسته، موقعیت متناهی را براي مدل فرایند پیري فرضی ارائه میکنیم (شکل .(۱ هر موقعیت ارائهشده یک سن فیزیولوژیکی است و پیري به عنوان یک فرایند انتقال متوالی از یک سن فیزیولوژیکی به سن فیزیولوژیکی بعدي توضیح داده شده است. یک نقطه جذب وجود دارد و انتقال از هر موقعیت دیگر به موقعیت جذب به عنوان فرایند سالخوردگی پایان یافته به دلیل مرگ ناگهانی از یک دلیل تصادفی یا از یک بیماريکشنده تعبیر می شود. همان طور که در شکل ۱ میبینید، براي هر سن فیزیولوژیکی i دو پارامتر استفاده شده است: یکی پیشرفت فرایند پیري را توصیف میکند و دیگري قابلیت مرگ در هر موقعیت فیزیولوژیکی را انعکاس میدهد. بهخصوص، پارامتر λ که نرخ انتقال از سن فیزیولوژیکی i به سن فیزیولوژیکی i+1 را ارائه میکند و میتواند بهعنوان یک نرخ پیري تعبیر شود که سرعت پیشروي یک فرد از سن i به سن i+1 را اندازهگیري میکند و λ یک اندازه جامع از شدت کاهش سالخوردگی براي یک جامعه است، نه براي یک شخص خاص. به زبان احتمالی، ماندن در موقعیت i قبل از حرکت به وضعیت i+1 از یک توزیع نمایی با میانگین پیروي میکند. بنابراین، هرچه λ بزرگتر باشد، پیشرفت سالخوردگی در جامعه سریعتر است.

شکل.۱ فرایند پیري فیزیولوژیکی ارائهشده

پارامتر q، پارامتر جامع دیگري است که قابلیت یا استعداد، یعنی شانس مردن در هر سن فیزیولوژیکی i را توصیف میکند. دو نوع متفاوت از تهدیدات خطرناك در هر سن وجود دارد. یکی مرگی که مستقل از سالخوردگی است همچون جراحت و آسیب

کاربرد مدلهاي فاز- نوع در مدلبندي مرگومیر ۱۱۳ /

که نرخ مرگ به این دلیل بهوسیله ℎ ( i) تعیین میشود. دیگري افزایش قابلیت مرگ بهدلیل زوال در توابع فیزیولوژیکی مانند مرگ به دلیل پیري است. نرخ مرگ به این دلیل به وسیله ( ℎ ( i مشخص میشود که یک تابع افزایشی از i است. در اینجا فرض میکنیم که این دو نوع نرخ جمع پذیرند، یعنی:
q = h1(i)+h2 ( i)

ازاینرو، مرگ در نتیجه دو عامل رقابتی: زوال برگشتناپذیر توابع داخلی فیزیولوژیکی و خطر تصادفی مرگ آنی در هر سن فیزیولوژیکی (مرگ ناگهانی) است.