محاسبات المان محدود در مدل برش صفحه ی برش نشان داده در شکل A2.4 به کار برده می شود . در این نوع تقریب ، هیچ گونه منبع گرمایی حجم درونی q* به چشم نمی خورد ؛ این در حالی است که منابع سطوح داخلی qs و qf در سطح اولیه ی برش و در عین حال در سطوح مشترک تراشه / ابزار وجود دارد . در خصوص انجام ارزیابی های آزمایشی بر سطوح برش ، زاویه ی سطح برش و هم چنین طول تماس تراشه / ابزار ، مولفه ی qs و میانگین ارزش مولفه ی qf در روابط ذیل مشخص می شوند :

که مولفه های مذکور از روابط ذیل حاصل می شوند :

به طور کل چنین فرض می شود که مولفه ی qs یک مقدار ثابت و یکنواخت در سطح اولیه ی برش به شمار می رود ؛ اما با این وجود ، به نظر می رسد مولفه ی qf در طیف وسیعی از توزیعات به کار گرفته شود ؛ در این راستا می توانید به مثلث نشان داده شده در شکل A2.4 رجوع نمایید .
A2.4.4 توسعه ی شرایط ناپایدار و گذرا
معادله ی ( A2.18 ) از لحاظ کاربردی پشتیبان محاسبات درجه حرارت ناپایدار می باشد ، البته در
صورتی که مولفه ی q* توسط عبارت جایگزین گردد ؛ در نتیجه ، معادله ی المان محدود ( A2.20a ) منجر به شکل گیری رابطه ی ذیل خواهد گردید :

شکل A2.4 شرایط کرانی گرمایی در نمونه ی سطح برشی براده برداری

هم چنین رابطه ی ذیل را نیز شاهد خواهیم بود :

( در رابطه ی فوق مولفه ی [ C ] اشاره به ۴ گره چهار وجهی دارد ) .
با گذشت زمان ، فاصله ی ∆t تفکیک کننده ی دو زمان با مولفه های متغیر tn و tn+1 محسوب می شود ؛ در حالی که مقادیر میانگین نسبت های گرهی تغییرات دما را می توان در دو رابطه ی ذیل بیان نمود :

و یا رابطه ی ذیل :

در رابطه ی فوق ، مولفه ی معادل کسر متفاوت بین ارقام ۰ و ۱ می باشد که در عین حال فشار وارد آمده بر مقادیر اولیه و نهایی نسبت های متفاوت تغییر درجه حرارت را تایید می نماید . هم چنین پس از معادلات چند منظوره ( A2.31 ) با توجه به مولفه ی [ C ] و جایگزین نمودن مولفه های [ C ] { ∂ T / ∂ t } در معادله ی ( A2.31a ) برای مقادیر ( { F } – [ H ] { T } ) از معادله ی ( A2.30 ) که معادل معادلات ( A2.31a ) و ( A2.31b ) می باشد و با مرتب نمودن مجدد این معادلات ، معادله ای در جهت درجه حرارت در زمان tn+1 بر حسب دما در مولفه ی tn شکل می گیرد :
و در فرآیند مونتاژ جامع و یکپارچه رابطه ی ذیل را پیش رو خواهیم داشت :

در واقع ، روابط فوق برآیند استاندارد در آزمایشات المان محدود ( به طور نمونه ، HUEBNER و THORNTON در سال ۱۹۸۲ ) به شمار می روند . در عین حال نیز محاسبات پله ای زمان در رابطه ی θ ≥ ۰٫۵ یک مقدار ثابت می باشد . هم چنین فشار برابری در نقطه ی شروع و پایان تغییرات دمایی = ۰٫۵ ) θ( تحت عنوان شیوه ی CRANK – NICOLSON ( البته پس از بنیانگذاران این تکنیک ) شناخته می شوند که نتایج مطلوب آن را می توان به وضوح در محاسبات انتقال گرمایی برش فلزات مشاهده نمود .
منابع

پیوست ۳

مکانیک کنتاکت و اصطکاک
A3.1 مقدمه
در این پیوست به اختصار به بررسی و ارزیابی مفاهیم براده برداری فلز پرداخته می شود ؛ هم چنین با فشارهایی که در هنگام کنتاکت ( تماس ) میان بدنه های لغزشی صورت می گیرد ، نیز آشنا می شویم . این گونه فشارها با در نظر گرفتن عکس العملهای مواد به آنان برای اصطکاک و سایش مواد قابل تنظیم و کنترل می باشند .
کلیه ی مولفه های مهندسی – از قبیل راه لغزنده ها ، چرخ دنده ها ، یاطاقانها و ابزارهای برش – دارای سطوح ناصاف می باشند و ویژگیهای چگونگی ساخت آنان به طور کامل مورد بررسی قرار می گیرد . هنگامی که چنین سطوحی با یکدیگر بارگذاری شوند ، در ابتدا نقاط بالای خود را لمس خواهند نمود . شکل A3.1 نشان دهنده ی تصویری از طرح کلی دو سطوح ناصاف می باشد که تحت بار W با یکدیگر تماس پیدا نموده اند که در سمت راست بالای یکی از سطوح لغزشی تحت شرایط فرآیند اصطکاک نیروی F به چشم می خورد .
شکل A3.1 ( a ) نشان دهنده ی تماس ، ویژگیهای مواد و هم چنین زبری سطوحی می باشد که به منظور انتقال مسیر لغزشی به سطوح تماس حوزه های واقعی Ar تغییر شکل می یابند . آنگاه مقاومت سطوح لغزشی از فشارهای سطوح برش s حاصل می شوند . از سوی دیگر ، اصطکاک و سایش حاصل شده از فشارهای برشی ” اصطکاک چسبندگی ” نامیده می شوند . هم چنین در صورت وجود کنتاکت حوزه های واقعی در میانگین پایه ی فشار تماس طبیعی pr ، ضریب چسبندگی اصطکاک µa از طریق رابطه ی ذیل حاصل می شود :

شکل A3.1 ( b ) بیان کننده ی سطوح حوزه های واقعی کنتاکت می باشد که متمایل به مسیر لغزشی می باشد ؛ در عین حال هر کنتاکت به دو بخش تقسیم می شود : قسمت پیشرو ( ابتدا ) و پسرو ( انتها ) میانگین طبیعی کنتاکت واقعی n .

شکل A3.1 اصطکاک حاصل شده ( a ) توسط فشارهای برشی s و ( b ) توسط فشارهای مستقیم p
حتی با فقدان فشارهای برش سطوح ، در صورت متفاوت بودن نیروهای طبیعی در بخشهای پیشرو و پسروی کنتاکتها از یکدیگر ، مقاومت در برابر سطوح لغزشی صورت می گیرد . در واقع ، بروز و شکل گیری اصطکاک و سایش از فشارهای طبیعی کنتاکت تحت عنوان ” اصطکاک تغییر شکل و دگر شکلی ” نامیده می شود . به طور میانگین ، در صورت متمایل بودن فشار طبیعی p1 در قسمت پیشروی کنتاکت زیر حوزه ی A1 به مولفه ی ۱θ در مسیر بار W و هم چنین قسمت پسروی کنتاکت معادل متغیرهایی همچون pt ، At و tθ ، با تفکیک نیرو در مسیرهای W و F می توانیم ضریب اصطکاک تغییر شکل µd را در فرمول ذیل نتیجه گیری نماییم :

در اینجاست که شاهد بروز موارد خاصی می شویم ؛ البته در صورتی که کنتاکت حالت متقارن داشته باشد ) tθ = ۱θ ( p1 = pt ; A1 = At ; ؛ در عین حال معادله ی ( A3.2a ) در رابطه ی = ۰ µd خلاصه می شود : که این مسئله حالتی از تغییر شکل کاملا با کشش می باشد . هم چنین زمانی که سطوح برجسته در حالت ارتجاعی خراشیده ( ساییده ) شوند ، احتمال دارد کنتاکتی را در بخش پسرو شاهد نباشیم : At = 0 . آنگاه از فرمول ( A3.2a ) رابطه ی ذیل حاصل می شود :

اصطکاک از نوع تغییر شکل ( سایش فلزات ) در این مقاله در سطح وسیعی به کار گرفته شده است . ( در این راستا ، حالت سومی نیز به وجود دارد ، کنتاکت ویسکو الاستیک که واسطه ی بین کنتاکت کاملا با کشش و هم چنین کنتاکت کامل کششی به شمار می رود ؛ از سوی دیگر مولفه ی µd تا حدودی بیانگر ارتباط با ۱θ tan و هم چنین tan δ ، ضریب اتلاف سیکل تغییر شکل کنتاکت می باشد ) .
معادله ی ( A3.1 ) بیان کننده ی سایش چسبندگی می باشد که ارتباط عمده ای با ویژگیهای قطعات کاری s و pr دارد ؛ هم چنین مولفه ی pr نیز وابسته به هندسه ی کنتاکت سطوح می باشد . در مقابل ، معادله ی ( A3.2b ) نشان دهنده ی سایش تغییر شکل ( دگر شکلی ) ساینده ها می باشد که در عین حال وابستگی زیادی با هندسه ی سطوح دارد ، البته تا حدی که زاویه ی ۱θ مشابه شیب قسمت پیشروی کنتاکت باشد ؛ اما در صورتی که توزیع فشار واقعی بیش از مولفه ی A1 در سطح یکنواختی قرار نداشته باشد ، این مسئله توسط ویژگیهای قطعات کاری تغییر داده خواهد شد .
تمرکز عمده ی این پیوست معطوف مسائلی همچون بررسی و ارزیابی چگونگی نوسانات ضریب سایش با ویژگیهای قطعات کاری و هندسه ی کنتاکت در شرایط سایش دگر شکلی ، چسبندگی و هم چنین زمانی که این دو فرآیند با یکدیگر در هم آمیخته شوند ، می باشد .
هم چنین پیش از گسترش مطالب این بخش ، ضروری است که به معرفی دو نکته ی بسیار مهم و ضروری در این زمینه پرداخته شود . فشار کنتاکت واقعی pr در معادله ی ( A3.1 ) مقدار طبیعی بخشی از قانون سایش و اصطکاک می باشد ؛ این در حالی است که در عمل این مقدار معادل فشار غیر واقعی ، هم چنین باری که به ظاهر یا غیر واقعی تقسیم بندی شده است ، می باشد ؛ از سوی دیگر ، کنتاکت حوزه ی An نیز در انواع متفاوت این نوع کاربرد مورد استفاده قرار می گیرد . در فصل ۲ ، این نوع فشار تحت عنوان مولفه ی nσ مشخص شده است . در این راستا ، اولین نقطه از تعادل نیروی بار نتیجه گیری می شود که ضریب مولفه ی nσ تا مولفه ی pr مشابه ضریب واقعی تا منطقه ی کنتاکت ظاهری ( Ar / An ) می باشد :

هم چنین ، نقطه ی دوم را می توان در فصل ۲ مشاهده نمود که مولفه ی nσ با توجه به فشار جریان برش k در قطعات کار یا تراشه ها طبیعی به نظر می رسند . از سوی دیگر ، ضرایب بدون بعد pr / k و s / k در معادله ی ( A3.1 ) مورد بررسی قرار گرفته اند و ضرایب pr / k به تناسب / k nσ در معادله ی ذیل حذف شده اند :

در بخشهایی که در ذیل بدان اشاره خواهد شد ، به بررسی دیدگاهی در رابطه با چگونگی سایش لغزشی می پردازیم که مرتبط با ویژگیهای قطعات کار در هندسه ی کنتاکت و هم چنین چگالی بارگیری می باشد ؛ در عین حال این مسئله با در نظر گرفتن تمرکز عمده بر چگونگی pr / k و هم چنین Ar / An در شرایط سایش دگر شکلی و چسبندگی متفاوت می باشد . در این راستا ، می توان جزئیات دقیق تری از مکانیزمهای کنتاکت را در تحقیقات استاندارد جانسون در سال ۱۹۸۵ جستجو نمود . هم چنین می توان برای این مبحث نیز منابعی را در نظر گرفت که به شکل خلاصه در ( KLJ Ch.x ) آورده شده است .

A3.2 کنتاکت طبیعی در یک سطح زبر و ساده در فونداسیون ارتجاعی
اولین گام در راستای ساخت دیدگاهی در جهت کنتاکت زبری ، بایستی بارگیری طبیعی یک سطح زبر و ساده در برابر یک سطح متقابل مسطح مورد ارزیابی قرار گیرد . در واقع ، در بارگیری های سبک ، احتمالا تغییر شکل و دگر شکلی ارتجاعی خواهد بود . این در حالی است که در فرآیند بارگیریهای سنگین تر ، احتمالا تغییر شکل ارتجاعی ادامه خواهد یافت . در عین حال ، هدف عمده ی این بخش ارزیابی چگونگی فرآیند انتقال از حالت ارتجاعی به حالت شکل پذیری ( پلاستیک ) می باشد که این مسئله متفاوت با ویژگیهای قطعات کار و هم چنین نوع و شکل حالت زبری می باشد ؛ هم چنین نوع فشارهای کنتاکت واقعی pr نیز مورد بررسی قرار خواهند گرفت .
A3.2.1 کنتاکت ارتجاعی
شکل A3.2 نشان دهنده ی سطوح زبر و ناهموار مشابه یک کره یا سیلندر شعاع R ایده آل یا همانند یک مخروط ضخیم یا لبه ی شیب β تحت فشار یک سطح مسطح می باشد که خطوط تیره بیان کننده ی زبری و سطوح مسطح نافذ یکدیگر تا عمق δ می باشند ؛ البته در شرایطی که سطح دیگر در آنجا وجود نداشته باشد . در این راستا ، خطوط ثابت نیز بیانگر تغییر شکل و دگر شکلی می باشند که در عین حال نیازمند برطرف نمودن هر گونه نفوذ و رخنه ای می باشند .
از سوی دیگر ، چگونگی تفاوت مولفه ی pr با پهنای کنتاکت ۲a یا با δ ؛ هم چنین با مولفه های R یا β ؛ با ضرایب یانگ ( YOUNG ) E1 یا E2 و ضریب پواسون ( POISSON ) و مولفه ی ۲ν زبری و سطوح متقابل نیز به ترتیب مورد ارزیابی قرار خواهند گرفت .
در واقع ، کنتاکت کره ی ارتجاعی یا سیلندر در یک سطح مسطح با وجود فقدان برش سطوح مشترک تحت عنوان مسئله ی کنتاکت HERTZIAN شناخته شده می باشد . از سوی دیگر ، عملکرد و رویکرد بعدی در جهت شرایط کنتاکت ساده تر از آنالیز HERTZIAN ، ارائه دهنده ی دیدگاهی در این زمینه می باشد .
در قسمت سمت چپ شکل A3.2 ، زبری سطوح توسط عمق δ۱ به صورت پهن تر و عمق δ۲ نیز به
صورت خطوط مسطح نشان داده شده اند ؛ البته این مسئله تا حدودی مطابق با همپوشانی کامل مولفه ی δ می باشد که ایجاد کننده ی پهنای کنتاکت ۲a می باشد . با در نظر گرفتن هندسه ی همپوشانی ، فرض بر این است که مولفه ی ۲a معادل کسر ثابت طول وتر ۲ac می باشد ؛ البته در زمانی که رابطه ی aC < < R بر قرار باشد ،

در عین حال ، تغییرات شکلی سطوح در سطوح زبر ، ناهموار و هم چنین سطوح مسطح منجر به کشیدگی زیر سطوح خواهد گردید ؛ این در حالی است که در سطوح زبر و ناهموار ، شاهد نسبت ضریب بدون بعد δ۱ / a می باشیم و در سطوح مسطح رابطه ی δ۲ / a را در پیش رو داریم .

شکل A3.2 انواع تغییر شکلهای سطوح زبر ارتجاعی
حداکثر نوع سطوح زبر c ، معادلات (A3.8) و (۳٫۹) ( pr / τmax ) ( pr / τmax ) / c
کره ای ۰٫۴۲ ۲٫۶ ۶٫۲
استوانه ای ۰٫۳۹ ۲٫۲ ۵٫۶
مخروطی ۰٫۵۰ ۱٫۶ ۳٫۲
گوه مانند ۰٫۵۰ ۱٫۰ ۲٫۰

جدول A3.1 پارامترهای کنتاکت ارتجاعی برگرفته از جانسون ( سال ۱۹۸۵ ، CHs 4,5 )
هم چنین زمانی که سطوح زبر ، ناهموار و مسطح مطابق با قانون هوک ( HOOK ) باشد ، میانگین فشار کنتاکت pr در نسبت ایجاد ضریب یانگ و هم چنین فشار در هر یک از موارد ذیل افزایش خواهد یافت :
از دیدگاه سطوح زبر و ناهموار ، pr ∞ E1 ( δ۱ / a ) ( A3.5 )
از دیدگاه سطوح مسطح و صاف ، pr ∞ E2 ( δ۲ / a )
با ترکیب دو معادله ی ( A3.4 ) و ( A3.5 ) رابطه ی ذیل را پیش رو خواهیم داشت :

در این راستا ، رابطه ی۱ / E2 ) 1 / E* = ( 1 / E1 + و هم چنین ثابت تناسب مولفه ی c مستلزم آنالیز کامل هرتز ( HERTZ ) برای این نوع مشتق گیری می باشد . در واقع ، آنالیز کامل در این زمینه نشان دهنده ی تعریف صحیح و جامعی از مولفه ی E* که شامل ضریب پواسون می باشد :

این در حالی است که مولفه ی c وابسته به نوع شکل مدور شعاع R می باشد که نشان دهنده ی زبری کلاهک ( سرپوش ) مدور یا کره ای می باشد ( برای اطلاعات بیشتر در این زمینه به جدول A3.1 رجوع نمایید ) .
هم چنین ، فشار دو سطح زبر و ناهموار کره ای یا مدور با محورهای موازی شعاع R1 و R2 بوجود آورنده ی فشار کنتاکت طبیعی pr می باشند :

از سوی دیگر ، کنتاکت ارتجاعی یک گوه یا مخروط در یک سطح مسطح ( قسمت سمت راست شکل A3.2 ( a ) ) نیز بوجود آورنده ی فشار کنتاکت pr ( KLJ Ch.5 ) می باشد :

در عین حال به مولفه ی c در رابطه ی فوق در جدول A3.1 اشاره شده است . هم چنین کمیت های ( a / R* ) و تانژانت β تحت عنوان معرف های فشارهای کنتاکت شناخته شده می باشند ؛ در این راستا ، توضیحات آن را می توان تحت عنوان میانگین شیب های کنتاکت که شاهد عملکرد آن خواهیم بود ، بیان شده است و با در نظر گرفتن مولفه ی pr شاهد افزایش آنان خواهیم بود .
A3.2.2 کنتاکت شکل پذیر (پلاستیک) کامل
شکل A3.3 نشان دهنده ی زبری گوه مانند بارگیری شده ی شکل پذیر در برابر یک سطح مشترک نرم ( شکل سمت چپ ) و سطح مشترک سختر ( شکل سمت راست ) می باشد ؛ از این رو ، این سطح برجسته و دندانه دار یا مسطح می باشد . از سوی دیگر وابستگی مولفه ی pr در شیب زبری β و هم چنین فشار جریان برش k در قطعات کاری نرمتر نیز در این مقوله مورد ارزیابی قرار می گیرند ؛ البته با در نظر گرفتن نظریه ی حوزه ی خط لغزش ( پیوست ۱٫۲ ) .
در این زمینه ، حوزه ی ADE یک حوزه ی فشار واحد شناخته می شود و در عین حال نیز شرایط سطح آزاد همراه با AE مستلزم رابطه ی p1 = k می باشد . هم چنین ، حوزه ی ABC نیز یک فشار یکنواخت محسوب می شود . در این راستا ، تعادل نیروی طبیعی در طول AC رابطه ی ذیل را نتیجه می دهد :

هم چنین ، خط لغزش EDBC نیز خط α نامیده می شود ؛ در نتیجه رابطه ی ذیل را پیش رو داریم :

در واقع وظیفه ی زاویه ی ψ را می توان در محافظت از حجم جریان دانست : قطعات کار از سطوح مشترک میان سطوح مسطح و هم چنین سطوح زبر و ناصاف منتقل می شوند که بایستی در شانه های جریان قرار گیرند ؛ این در حالی است که مقادیر پایین β و ψ ≈ π / ۲ را شاهد می باشیم . از این رو ، با توجه به معادلات ( A3.11 ) و (A3.10 ) می توان رابطه ی ذیل را نتیجه گیری نمود :

شکل A3.3 همسانی شکل پذیری با فشردگی سطوح زبر گوه مانند
A3.2.3 انتقال از کنتاکت ارتجاعی به کنتاکت شکل پذیر (پلاستیک)
بررسی های صورت گرفته در ارتباط با کنتاکت ارتجاعی و پلاستیکی در مطالب پیشین به صورت غیر بعدی مورد ارزیابی قرار گرفتند و از این رو مولفه ی pr را با توجه به مولفه ی k نتیجه گیری نمودیم . در شکل A3.4 ( a ) ، محاسبات و پیش بینی های نمونه ی ارتجاعی و پلاستیکی به صورت خطوط تیره نشان داده شده است ؛ هم چنین حرکت واقعی را می توان در خطوط ثابت جستجو نمود . دراین راستا ، انتقال از حرکت ارتجاعی در ابتدا در محدوده ی ۱ < pr / k < 2.6 و در مقادیر (E*/k) (a /R* or tanβ صورت می گیرد . در عین حال ، مقادیر وابسته به نوع و شکل زبری می باشند ؛ که به این موارد در دو ستون انتهایی جدول A3.1 اشاره شده است .
از سوی دیگر ، حالت کامل کنتاکت پلاستیکی در رابطه ی (E*/k)(a/R* or tanβ) بیش از مقادیر ۵۰٫pr/k به چشم می خورد که این مسئله به روند افزایشی خود در تغییر شکلهای بالاتر بیش از سخت شدن فلزات در اثر تغییر شکل نسبی ادامه خواهد داد .