مدلLWR (لايتيل و ويتام، ۱۹۵۵ و ريچارد۱۹۶۵) به دليل دارا بودن خصوصيات زير در حال حاضر يكي از موضوعات تحقيقاتي فعال و به روز است:
ساده است، هم به صورت عددي و هم به صورت تحليلي، به آساني قابل محاسبه است و با يك پديده ترافيكي دقيق و منطقي آن دوباره به دست مي آيد در بسياري از موقعيت‌هاي ترافيكي را به خوبي مدلسازي مي كند. آن در چندين مدل مجزا اجرا شده است، براي مثال مي توان به مدل هاي زير اشاره كرد:
FREFLOW پاين ۱۹۷۱، METANET مسنر و پاپاگئورجيو۱۹۹۰، METCOR الوهي و همكارانش NETCELL داگانزو۱۹۹۵، لو۱۹۹۹٫ هنوز پيشرفت هاي زيادي مورد نياز است. از ميان آنها مدلسازي تقاطع و مرز خيلي برجسته مشهور هستند. زيرا آنها براي موارد زير راه حل هايي را ارائه مي دهند.
شناسايي و درجه بندي مدل با استفاده از داده هاي آشكارساز، مدلسازي شبكه هاي پيچيده و بزرگ، كاربردهايي براي مديريت ترافيك همچون اندازه گيري خمراه كنترل سرعت، تعيين فعال ديناميك، فهم بهتر كاهش ظرفيت پسماند.
از نقطه نظر روش شناسي راه حل ساخت مدل هاي جريان ترافيكي ماكروسكوپي براي شبكه ها، (عبارت است از) تعريف شرايط مرزي صحيح و مناسب از (روي) نتايج مدل LWR در يك سيستم از ثبات قوانين تحليل مسئله ريمن تأمين كننده وسيله اصلي براي تعريف شرايط مرزي است. رئوس مطالب اين مقاله به شرح زير است. بعد از يك مرور كوتاه متون و نوشته جات، همبستگي بين شرايط مرزي عرضه/ تقاضا و شرايط مرزي كلاسيك كه برگرفته از روش (ويسكوزيته) پاياني ثبات قوانين مورد بررسي قرار گرفته و اثبات شده است، در ادامه نشان داده مي شود كه در درون چارچوب عرضه/ تقاضا مدل‌هاي رياضياتي ساده تقاطع هولدن و ريزبلو ۱۹۹۵ و كولكيت وپيكولي ۲۰۰۲ مي‌توانند تا حد زيادي ساده شوند. همه تركيب هاي عرضه و تقاضا تقاطع مدل هاي تقاطعي سازگار و يكنواخت ايجاد نمي كند و يك معيار انتخاب از اصل پايداري نتيجه مي شود. دو طبقه از مدل هاي متقاطع معرفي شد. يكي از آنها بر اساس اصل بهينه سازي توابع عرضه و تقاضاي تلفيقي است. دومي بر اساس مدل هاي تعادلي تقاطعي است كه تقاطع با خصوصيات فيزيكي اصلي همچون ظرفيت (ذخيره سازي) جريان كلي ماكزيمم بهره مند است. مشخص شد كه در ارتباط با به هم پيوستگي و منشعب شدن و براي به دست آوردن مجدد مدل هاي قبلي، هر دو روش هم ارز و مشابه هستند.
يك مدل تركيبي ساده بررسي شده و با محاسبات دوره اي مقايسه شد. در نهايت، شرايط مرزي FIFO مدل LWR چند محصولي تحليل شد و به منظور ايجاد يك مدل جريان ترافيك شبكه اي مدل هاي تقاطع پيشرفته در مقاله با اين مدل تركيب شدند.
مرور كوتاه متون و مقالات
مدلLWR به وسيله يك قانون بقاء (پايندگي) تكي به صورت زير بيان مي شود باx,t: مكان و زمان. Q: جريان K: دانسيته V: سرعت Qe(k,x): جريان تعادلي (دياگرام اصلي)
Ve(k,x) بيانگر رابطه دانسيته- سرعت تعادلي است.
شرايط مرزي پيوسته براي چنين سيستم هاي ؟؟ قانون هاي پايدار را مي توان در متون  رياضياتي يافت، كه به وسيله كارهاي مقدماتي باردوز۰ لروكس- ندلك (BLN) 1971 كه از روش ويسكوزيته استفاده كردند و دوبوليس لفاوچ (DL) (دوويس و لفاوچ۱۹۸۸) كه ؟؟ روش مسئله ريحان. بود معرفي شدند، كه اين روش در مورد اسكالر (نرده اي) تعادلي براي مدلLWR هستند مشابه شناخته شده اند.
تحت چنين فرضياتي در مورد اسكالر ۱-D هر دو راه حل هاي كاربردي را ايجاد مي‌كنند، كارهاي بيشتر اوتو در سال ۱۹۹۳ روش BLN را كامل كرد. خواننده ها براي مطالعه بيشتر به مقاله كرونر ۱۹۹۷ مراجعه كنند، رياضيدان ها توجه خاصي به مسئله مدلسازي تقاطع براي مدلLWR دارند براي مثال مقالات هولدن و ريزبرو ۱۹۹۵ كولكيت- پيكولي ۲۰۰۲، كلار و هرتي ۲۰۰۴ را ببينيد. مدل هاي تقاطعي حاصل هنوز هم فاقد واقع گرايي هستند. در زمينه حمل ونقل در ارتباط با شرايط مرزي و به خصوص مدل LWR تلاش هاي تحقيقات كمي صورت گرفته است، لباكيو۱۹۹۶ و خوشياران۲۰۰۲، نلسون و كولار۲۰۰۴٫
به منظور ايجاد مدل هاي فصل مشترك بايد شرايط مرزي اتصالي بالا نتايج حاصل از كار بوسيون و همكارانش ۱۹۹۶-۱۹۹۵، لباكيو و خوشياران ۲۰۰۲، تركيب شوند. برخي از مدل هاي فصل مشترك، قبلاً توسط دانشمندي چون (لباكيو۱۹۸۴، لباكيو۱۹۹۶، دالانزو۱۹۹۵، لباكيو و خوشياران۲۰۰۲، جين و زانگ۲۰۰۲) پيشنهاد شده بود.
مشكلات مرزي خاص به محدوده اين تلاش هاي قبلي، مخصوصاً (اساساً) به مدل هاي مجزا محدود شده است.
شرايط مرزي و مدلسازي فصل مشترك
شرايط مرزي عرضه- تقاضا، از روي دياگرام اصلي مي توان دو تابع تعادلي را نتيجه گيري كرد. توابع تقاضا  و عرضه  تعادلي. در شكل ۱ به دو بخش زير اين دياگرام رسم شده است. در يك نقطه معين، عرضه و تقاضاي محلي به صورت زير تعريف مي‌شود. اين مقادير را مي توان به ترتيب به عنوان بزرگترين جريان ورودي ممكن و بزرگترين جريان خروجي ممكن در هر مكان معينx تفسير كرد. علامت هاي+ و- در معادله (۲) به ترتيب بيانگر محدوديت هاي سمت راست و سمت چپ است. جريان بايد كمتر از ميزان عرضه و تقاضا (هر دو) باشد. راه حل كاربردي معادله (۱) به طور محلي جريان را به حداكثر مي رساند (لباكيو۱۹۹۶) بنابراين راه حل راستين سنجي را مي‌توان به صورت زير بيان كرد:
يك فرمولي كه در مقالات ديگر به عنوان فرمول بدلي از آن ياد مي شود. اجازه دهيد تا حال جريان ترافيك در يك حلقه را در نظر بگيريم. داده هاي مرزي در سمت پايين جاده ميزان عرضه در سمت پايين جاده   است و داده هاي مرزي در سمت بالاي جاده ميزان تقاضا در سمت بالاي جاده   است. براي تقاضا و عرضه اتصال معين، براي به دست آوردن جريان ورودي اتصال Q(a,t) و جريان خروجي اتصالQ(b,t) ما از فرمول فرعي (۳) استفاده مي كنيم. ميزان تقاضا در سمت بالاي جاده و عرضه در سمت پايين جاده، تعيين ميزان ترافيك در داخل اتصال در مرزها دانسيته به صورت زير بيان مي شود:
شرايط مرزي BlN (باردوس- لروكس- ندلك) هم ارز با شرايط مرزي عرضه/ تقاضا
اطلاعات داده هاي مرزيBlN رونوشتي بر محدوده يك كميت پراكنده A است. مخصوصاً باردوس، لروكس ندلك ثابت كردند كه معادله (۱) (و به طور كلي تر معادلات پايندگي اسكالر) يك راه حل منحصر به فرد در يك دانسيته ابتدايي معين Ddef=[a,b] اتصالي در اتصال (حلقه) D قبول مي كند (ارائه مي دهد) و اينكه دانسيته در مرز   تحت هر شرايطي در ارتباط با زمان هاي مثبت با مرز داده هايA است. چنانچه داريم: علامتsgr (بيانگر) تابع نمايه است. براي مرز اصلي در n(c),c طبيعي و نرمال است. –D است بنابراين n(b)=1,n(a)=-1 است (شكل۳).
از طريق تحليل راه حل هاي ويسكوزيته (۱) شرط مرزي (۶) به دست مي آيد و شرايط مرزي استاندارد نوع ديريچلت به معادلات سهمي شكل تعميم يافت. خواننده ها به مقاله كرونر ۱۹۹۷، بخش ۶ و به همين ترتيب به مقاله اوتر۱۹۹۷ مراجعه كنند.
مي توان نشان داد كه در نقطه ورودي اتصال، شرط مرزي BlN (6) با معادله زير هم ارز است (لباكيو۲۰۰۳ را ببينيد).
گفته مي شود كه داده هاي BlN سمت بالايA واقعاً با داده هاي تقاضا  هم ارز است. مزدوج A* ازA اين چنين است كه   براي اثبات اين فرمول پيوست را ببينيد.
مي توان نشان داد كه شرايط مرزي BlN در سمت پايين با معادله زير هم ارز مي شود. (مقاله لباكيو۲۰۰۳ را ببينيد). گفته مي شود كه داده هاي BlN در سمت پايينA با داده‌هاي تقاضا   معادل است. البته اين نتيجه با نتيجه حاصل از شرايط مرزي در قسمت بالاي جاده است.
تقاطع هاي مربوط به هم (متقارن)
هم هولدن و ريزبرو ۱۹۹۵ و هم كولكيت و پيكولي ۲۰۰۲ (هردو) تلاش كرده تا مسئله عمومي ريمان تقاطع را حل كنند. داده هاي اوليه دانسيته هايKio,Kjo هستند كه فرض مي شود در اتصالات پاييني [j] و اتصالات بالايي[i] تاحد زيادي، يكنواخت و يكسان هستند. مسئله اصلي كه با توجه … و… را به خود جلب كرد عبارت است از:
كدام يك از دانسيته هاي Kj,KI و جريان هاي R1=Qe(K1),Q1=Qe(Ki) در گره وجود دارند در هر دو روش، محدوديت هاي زير براي Kj,KI اعمال مي شود.
معادله۹ به ترتيب شرايط مرزي B(A) بين Ko (داده هاي مرزي در جهتBlN) وKI و شرايط ؟؟ بينKj (داد هاي مرزي در جهتBlN) وKj را بيان مي كند.
در ادامه خواننده ها شباهت معادلات (۷)و (۸) را مشاهده خواهند كرد. در چارچوب عرضه- تقاضا داده هاي مرزي بالايي تقاضاي   است و داده هاي مرزي پائيني، عرضه   است. بنابراين معادله۹ با شرايط ساده زير هم ارز و معادل است، معادله ۱۰ بيان كننده اين است كه:
جريان هاي كلي تقاطع بايد به ترتيب كمتر از تقاضا در سمت بالاي جاده و عرضه ها در سمت پايين جاده باشند.
اگر جريان به وسيله تقاضاهاي بالايي و عرضه هاي پاييني محدود نشود دانسيته ها با دانسيته هاي اوليه با هم برابر هستند در غير اين صورت به وسيله اين محدوديت ها تعريف مي شوند (شكل۵ را ببينيد).
اگر حالت هاي ترافيكي و… را شرايط (۹) يا (۱۰) پيروي كنند، واضح است كه در هر اتصال [i] يا [j] Kio-Ki به ترتيب با سرعت>0,<0 در سمت راست به طور مجزا پخش مي شوند. اين واقعيت حياتي به وسيله شكل ۵ نشان داده شده است.
بنابراين متغيرهاي اصلي مسئله رايج ريمان براي يك تقاطع جريان هاي خروجيRj و جريان هاي ورودي QI گره هستند. محدوديت هايي كه براي اين متغيرها به كار مي‌روند عبارتند از: محدويت هاي مثبت، محدوديت هاي دائمي و محدوديت هايي كه از معادله (۱۰) نتيجه مي شوند. روش هاي هولدن- ريزبرو و كولكيت- پيكولي از طريق بهينه سازي يك معيار مربوط به محدوديت هاي مشخص يك ايده مشابه به وسيله لباكويي و خوشياران۲۰۰۲ گسترش يافت. با اين تفاوت كه اين ايده بر اساس مفهوم منطقه تعريف شده براي گره ها در STRAPA بود [بويسون و همكارانش۱۹۹۶-۱۹۹۵]. كولكيت و پيكولي پيشنهاد كردند