آناليز پروفايل ميدان

– روش طيف زاويه اي :
نظريه اساسي روش طيف زاويه چنين بيان مي شود كه ميدان در صفحه داده شده را مي توان بصورت يك توزيع زاويه اي از امواج صفحه اي نشان داد . اگرچه چنين روشي براي برخي مسائل خاص بسيار پيچيده تر از روش انتگرالي است ، ولي بايستي در نظر داشته باشيم كه بعنوان مثال مسأله تعيين تفرق از يك جسم كروي و يا سيلندر نامحدود از طريق موج صفحه اي بسيار ساده تر حل مي شود . بنابراين با توصيف الگوي تابش از يك مبدل با استفاده از توزيع زاويه اي امواج صفحه اي كل مسأله تعيين ميدان متفرق شده از يك سيلندر يا كره حل مي شود .

 

طيف مكاني يك مبدل پيستوني :
يك مبدل پيستوني با شعاع a و در صفحه در نظر مي گيريم . دامنه مؤلفه نرمال سرعت سطحي را با نشان داده و فرض مي كنيم كه در سطح مبدل ثابت و در ساير نقاط خارج صفحه سرعت صفر مي باشد .
ر اين صورت چنين توزيع متقارن استوانه اي را مي توان با بيان كرد كه در آن براي و در ساير نقاط صفر است .

عبارت طيف زاويه اي پتانسيل سرعت را براي يك مبدل پيستوني مي توان به صورت زير بيان نمود .

كه در آن . و حال از تقارن استوانه اي جهت تبديل نسبت ها استفاده مي كنيم :
(۱٫‌۳)
بنابراين طيف زاويه اي را مي توان بصورت زير نوشت :

كه يك تابع استوانه اي سبل از مرتبه صفر مي باشد . همچنين اين تابع را مي‌توان بصورت تابع از شناسايي كرد . براي يك ديسك با شعاع a و تحريك شده بصورت يكنواخت نيز طيف بصورت زير مي باشد :
(۲،۳)
طيف زاويه اي در مختصات كروي :
جهت بدست آوردن عبارت طيف زاويه اي در مختصات كروي ، نياز به استفاده از تبديل نسبتها مي باشد :
(۵٫‌۳)
نكته قابل ذكر اينكه وقتي مي باشد يك مؤلفه موهومي خواهد بود ، كه در اين صورت زاويه نيز مختلط خواهد شد . بنابراين مي توان نشان داد كه :
(۶٫‌۳)
در اين صورت تابع چگالي طيف بصورت زير تعريف مي شود :
(۷٫‌۳)
كه و . بنابراين كانتورها بر روي صفحه مختلط ، كه با استفاده از تئوري انتگرال Cauchyانتخاب شده است ، براي محور حقيقي از و براي محور موهومي از۰ تا مي باشد . با در نظر گرفتن تابع سبل و روابط قبلي و ، طيف زاويه اي را بصورت زير مي توان نشان داد :
(۸٫‌۳)
كه در شكل (۲٫‌۳) براي مقادير حقيقي يعني مولفه هاي همگن نشان داده شده است.

پروفايل ميدان :
پروفايل فشار ميدان را مي توان با در نظر داشتن اينكه متقارن استوانه اي است ، درك نمود . بنابراين در مختصات استوانه اي ( ) ، فشار را مي توان بصورت نوشت .
با تركيب روابط (۶٫‌۳) و (۸٫‌۳)و در نظر داشتن فشار فشار چنين بدست مي آيد :

با استفاده از تابع سبل استاندارد عبارت بالا را مي توان به صورت زير نوشت :

با در نظر گرفتن و ، كه قسمت موهومي مي باشد ، عبارت بالا بصورت زير در مي آيد :
(۹٫‌۳)
كه ترم هاي اول و دوم بترتيب معادل مولفه‌هاي همگن و ناپايدار مي باشند . ارزيابي اين معادله نشان مي دهد كه مؤلفه ناپايدار اثر بسيار مهمي بر روي پروفايل ميدان نزديك مبدل دارد ، و بعد از آن قابل صرفنظر است .
اين اثر براي مبدل با شعاع در شكل ۳٫‌۳ نشان داده ش

ده است.

روش تبديل فوريه :
نكته قابل توجه و مهم در محاسبه پروفايل ميدان ، قابليت محاسبه پروفايل بر روي صفحه اي ديگر غير از صفحه داده شده از ميدان داده شده مي باشد . اين قضيه با حل دو مثال از مبدل ديسكي دايره‌‌اي كه بصورت يكنواخت تحريك مي شود ، بيان مي گردد .

رش آناليتيكال :
در صورت تعيين ميدان مؤلفه ناپايدار مي تواند حذف شود و محاسبه به جذب طيف زاويه اي بر روي صفحه معين و شناخته شده و تابع تبديل فركانس مكاني مي انجامد و سپس بهبود الگوي ميدان با تبديل معكوس بدست مي آيد . محاسبات با استفاده از تابع تبديل فركانس مكاني مبدل پيستوني آغاز مي شود .
(۱۰٫‌۳)
(۱۱٫‌۳)
S طيف زاويه اي و H تابع تبديل فركانس مكاني از صفحه به صفحه z مي باشد . براي يك مبدل ديسكي با شعاع a و تحريك شده بصورت يكنواخت ، بر روي صفحه z ، با استفاده از روابط (۳٫‌۳) ، (۱۰٫‌۳) و (۱۱٫‌۳) داريم :
(۱۲٫‌۳)
بنابراين تبديل فوريه معكوس z-D طيف فركانسي با استفاده از معادلات تبديل مختصات در (۱٫‌۳) و در نظر داشتن تبديل فوريه معكوس z-D براي پتانسيل سرعت پايه ريزي مي شود . سپس مراحل ذكر شده در قسمت ۱٫‌۱٫‌۳ با توجه به اجرا شده و پتانسيل سرعت بصورت زير ساده مي شود .
(۱۳٫‌۳)
حد بالاي انتگرال براي خارج نمودن و حذف مؤلفه ناپايدار از محاسبه انتخاب شده است . بنابراين فشار بصورت زير تعريف مي شود .
(۱۴٫‌۳)
اين عبارت بر روي محور (on-axis) بصورت زير ساده مي شود .
(۱۵٫‌۳)
شكل a.4.‌۳ فشار ميدان ر ا بر روي محور و شكل b.4.‌۳ با استفقاده از رابطه (۱۴٫‌۳) نشان مي دهد.

 

تبديل فوريه دوبعدي عددي :
در ثال قسمت قبل تقارن استوانه اي مبدل ديسكي اجازه مي دهد تا پروفايل ميدان بصورت عددي از يك انتگرال ارزيابي شود .براي مبدلهاي پيچيده تر و بدون تقارن نيز مي توان از روش طيف زاويه اي استفاده كرد ، ولي بايستي از تبديل فوريه دوبعدي بهره جست . مطابق بخش ۳٫‌۳٫‌۲ ، براي توزيع سرعت داده شده بر روي صفحه z=0 ، مراحل زير را بايد طي نمود :
(۱) اعمال ۲-DFFT سرعت بر روي صفحه منبع .
(۲) ضرب اين عبارت در تابع تبديل H.
(3) گرفتن ZD-FFF معكوس .
اين مراحل بصورت زير خلاصه مي شود :
(۱۶٫‌۳)
كه و تبديل فوريه و تبديل فوريه معكوس مي باشند .

روش هاي انتگرالي :
استفاده مستقيم از انتگرال ريلي به ارزيابي عددي انتگرال دوگانه بر روي سطح مبدل نياز دارد . يك روش محاسبه ساده تر در سال ۱۹۴۱ توسط Schoch با تبديل انتگرال سطحي ريلي به انتگرال خطي بر روي لبه مبدل ارائه شد . اين روش براي تحريك پيوسته و مبدل صفحه‌اي با هر شكل دلخواه ، جهت بدست آوردن توزيع فشار ميدان در محيط داخل و خارج مبدل استفاده مي شود .

شرط مرزي Rigid Baffle
در شكل ۶٫‌۳ ، يك نقطه از ميدان يك مبدل صفحه اي با شكل دلخواه نشان داده شده است ، فرض مي شود تحريك بصورت يكنواخت و پيوسته سينوسي باشد بطوريكه مؤلفه نرمال سرعت سطح صورت بوده و فشار بصورت تعريف مي شود . فازور فار در نقطه مشاهده بصورت زير تعريف مي شود :
(۱۷٫‌۳)

كه در آن المان سطحي مي باشد .
(۱۸٫‌۳)
كه موقعيت مرزي و مقادير ديگر بر روي شكل (۶٫‌۳) نشان داده شده است .
داريم ، ، بنابراين (۱۸٫‌۳) به فرم زير تبديل مي شود :
(۱۹٫‌۳)
اين عبارت شامل دو ترم مي باشد موج صفحه اي ( ) و ترم تفرق كه از محيط اطراف منشأ مي گيرد (موج لبه اي)
و متعاقباً يكروش مشابهي را در آناليز پاسخ ميدان مبدل دايره اي صفحه اي ارائه دادند كه كلي تر از آنها نشاندادند كه پتانسيل سرعت براي يك ديسك با شعاع a شكل (۷٫‌۳) بصورت زير بدست مي آيد :
(۲۰٫‌۳)
كه در آن تابع پله هويساد مي باشد و .
در سال ۱۹۶۱ بر اساس نظريه Schoch به ارائه يك روش كلي تر براي مبدل صفحه اي با شكل دلخواه و تحريك شده با شكل موج دلخواه براي توليد سرعت بر روي سطح مبدل (بدون apodization) پرداختند .
Cathignol و همكارانش يك روش ساده تر و عمومي تر براي آناليز ميدان حاصل از مبدلهاي مقعر و محدب پيشنهاد دادند . براي نقطه مشاهده نشان داده شده در شكل (۶٫‌۳) فشار بصورت زير بيان مي شود :
(a21.‌۳)
كه در آن حداكثر فاصله نقطه مشاهده تا سطح مبدل براي مقدار داده شده مي باشد .
براي نقاط خارج از مبدل فشار بصورت زير تعريف مي شود :
(b21.‌۳)

شرايط مرزي سه گانه :

در اين قسمت اثر سه دسته از شرايط مرزي كه در قسمت قبل بيان شد ، بر روي پاسخ ميدان حاصل از تحريك پيوسته براي يك مبدل ديسكي كه با يك مرز نامحدود ايده‌آل احاطه شده است و سرعت در battle صفر مي باشد ، پرداخته مي شود . اگر نسبت امپدانس اكوستيكي battle به محيط انتشار بسيار بزرگ باشد يعني ، بنابراين مطابق شرايط معتبر بودن انتگرال ريلي (مورد ۱) سرعت كوچك خواهد شد . شرط دوم كه در قسمت قبل بررسي شد ، اين است كه فشار در كل صفحه مبدل مشخص شده است . اگر محيط احاطه كننده مبدل از لحاظ آكوستيكي نرم باشد ،

يعني ، فشا تقريباً بر روي اين مرز صفر مي باشد (مورد ۲) . و بالاخره ، اگر در يك محيط يكنواخت نامحدود هيچ تشعشعي از سطح پشتي مبدل وجود نداشته باشد ، يعني ، ، شرايط Kirchhoff يا ميدان آزاد وجود دارد .
تحت اين سه شرط ، Archer Hall و Gee نشان دادند كه در هر نقطه دلخواه انتگرال سطحي دوگانه براي پاسخ تحريك پيوسته يكنواخت يك مبدل ديسكي به يك عبارت انتگرال بعدي تبديل مي شود . بويژه ، براي موقعيت نشان داده شده در شكل (۷٫‌۳) ، نشان داده شده است كه اگر مؤلفه نرمال دامنه سرعت سطحي مبدل مي باشد ، فازور هاي فشار براي سه مورد بصورت زير مي‌باشد .
(۲۲٫‌۳)
كه و مطابق جدول ۱٫‌۳ مي باشد .
در حقيقت ، براي مورد (۱) معادله ر مي توان از قرار دادن در معادله (۲۰٫‌۳) با توجه به و

و مشتق گيري بدست آورد . معادله (۲۲٫‌۳) بوضوح نشان مي دهد كه براي هر سه شرط ، معادله فشار شامل دو قسمت مي باشد : يك موج صفحه اي كه فقط وقتي مي باشد وجود دارد و يك موج لبه اي كه در هر جايي وجود دارد .
براي نقاط روي محور مربع دامنه فشار بصورت زير بيان مي شود :
(۲۳٫‌۲)
كه . اين معادلات براي محاسبه دامنه هاي نرماليزه شده فشار براي يك مبدل ديسكي با شعاع در شكل ۸٫‌۳ نشان داده شده است .
بخوبي ديده مي شود كه تفاوت ها در ناحيه نزديك مبديل قابل توجه مي شود .
با مثالهاي بيشتر مي توان نشان داد كه اين تفاوت ها در دامنه براي ميدان دور كوچكتر مي شود .

توريع فشار بر روي محور و خارج از محور
در شكل ۹٫‌۳ تغييرات شعاعي دامنه هاي فشار براي سه موقعيت مختلف محور z نشان داده شده است . نزديك مبدل بيم تقريباً استوانه اي شكل كه در لبه ديسك (مبدل) وسيع مي‌شود . در نقطه عبور از ميدان نزديك / ميدان دور ( ) بيم بصورت قابل توجهي باريك مي شود و تا اينكه در دامنه كاهش يافته و بيم پخش مي شود .
در شكل ۱۰٫‌۳ كانتورهاي پيوسته محاسبه شده براي مبدل ديسكي با شعاع نشان داده شده است . همانطور كه مشاهده مي شود ، نزديك موقعيت عبور از ميدان نزديك / ميدان دور ، عرض بيم حداقل مي شود و پس از آن كانتورها بطور مرتب تري ديده مي شوند .

روش پاسخ ضربه :
جهت بدست آوردن پاسخ ضربه پتانسيل سرعت براي هر موقعيت دلخواه از يك مبدل صفحه اي (تخت) بايستي روش outruki را دنبال كنيم . معادله براي تابع ضربه بصورت زير مي باشد :
(۲۴٫‌۳)
مواردكلي كه در آن تابع اپولايزيشن (apodization) ثابت نيست توسط افراد زيادي بررسي شده است . در اينجا جهت ساده شدن يك مورد ساده تر كه در آن مؤلفه نرمال سرعت سطح مبدل بر روي سطح ثابت است ، يعني بررسي مي شود . همانطور كه در شكل ۱۱٫‌۳ ديده مي شود . نقش (projection)نقطه مشاهده بر روي صفحه z و رسم رينگ در زمان t قسمتي از مب

دل را با زاويه احاطه مي كند .
براي نقاط ميدان بيان شده ، ، اگر رينگ حلقوي بطور كامل را احاطه كند ، يعني از تا ، بنابراين . همچنين ،‌اگر رينگ خارج از باشد، يعني از تا ، بنابراين .
در حالت كلي تر ، چندين ناحيه تقاطعي با زواياي مختلف و و … وجود دارد .
داريم ، بنابراين ، و در نهايت عبارت (۲۴٫‌۳) به فرم زير در مي‌آيد:
كه در آن و مقادير حداقل و حداكثر R بترتيب در زمانهاي و مي باشد . در مواردي كه چند مقدار وجود دارد ، همين رئوش و نتيجه بدست مي‌آيد ، بجز اينكه اگر موارد همپوشاني وجود داشته باشد ، بايستي با نتيجه جمع شده تا پاسخ كلي بدست آيد .

مبدل پيستوني :
با استفاده از شكل ۷٫‌۳ داريم :
(۲۶٫‌۳)
كه در آن

براي رنج كلي موقعيت هاي ممكن r ، پاسخ ضربه بصورت زير مي باشد :
(۲۷٫‌۳)
كه و و در بالا ذكر شده اند . شكل ۱۲٫‌۳ پاسخ ضربه را در (حداكثر مقدار براي يك مبدل ) براي يك مبدل با شعاع درموقعيت هاي شعاعي مختلف نشان مي دهد .
نكته قابل توجه اينكه وقتي موقعيت شعاعي از شعاع مبدل بيشتر مي شود ، يك كاهش سريع در حداكثر مقدار پاسخ اتفاق مي افتد ، و در آن موقعيت ، تأخير در پديدار شدن اولين پالس افزايش مي يابد .
مشاهده پاسخ فشار براي درجات مختلف آتش شدن با فركانس هاي مركزي يكسان نشان مي دهد كه اثرات تداخلي در ميدان نزديك با كاهش تعداد سيكل ها در پالس كاهش مي يابد .

روش هاي تقريبي :
تقريب هاي فرسنل و فرانهوفر :
روش هاي تقريبي براي پيش بيني سريع رفتار مبدلها بخص

وص هنگاميكه نقطه مشاهده دور از ميدان نزديك نقش بسيار مهمي در طراحي مبدلها دارند . اساساً اين روش ها نسبت به روش هاي دقيق محاسباتي مي توانند ديد بهتري از پارامترهاي مؤثر در توزيع ميدان دهند .
دو تقريب كه استفاده وسيعي در تحريك پيوسته دارند بر اساس تقريب هاي فرانهوفر (ميدان دور) و فرسنل (ميدان ميانه و دور)بنا شده اند . مطابق شكل ۱۶٫‌۳ ، پتانسيل سرعت در نقطه ( ) در سطح S مبدل كه كل سطح لزوماً بصورت يكنواخت تحريك نشده است ، بدست مي آيد . اگر تحريك سينوسي باشد ، مؤلفه نرمال سرعت بصورت ، كه ، نشانگر تغييرات مكاني ، يعني :
(۲۹٫‌۳)
كه نقطه مشاهده در مقايسه با ابعاد S به اندازه كافي دور مي باشد ، بنابراين از تغييرات R براي كل سطح صرفنظر مي شود .
با استفاده از مختصات نشان داده شده در شكل ۱۶٫‌۳ ، فاصله R بصورت زير بدست مي آيد :

كه مي توان آنرا بصورت بسط نوشت :
(۳۰٫‌۳)
در صورت حذف ترم هاي با درجه بالاتر ، تقريب فرسنل حاصل مي شود . بعلاوه اگر در انديس‌هاي بزرگتر فرض شود كه از ترم صرفنظر شده و تقريب فرانهوفر را خواهيم داشت .

تقريب فرانهوفر :
با صرفنظر كردن از در (۳۰٫‌۳) و با توجه به اينكه ، و تركيب با عبارت :
(۲۹٫‌۳)
در اين معادله ،انتگرال بر روي سطح منبع گرفته مي شود . براي بيان انتگرال بصورت انتگرال بر روي كل فضا ، لازم است كه بر روي كل فضا تعريف مي شود و يا اينكه كرنل در تابع ضرب شود ، كه اين تابع در خارج S صفر و در داخل S مقدار واحد دارد . با استفاده از روش قبل پتانسيل سرعت بصورت زير بدست مي آيد :
اگر فركانس هاي مكاني را در جهت هاي x و y با و بيان كنيم و از طرفي فاز و فشار بصورت به فازور پتانسيل سرعت نسبت داده شود، بنابراين فشار در نقطه مشاهده بدين صورت مي باشد كه:
با مقايسه تبديل فوريه دو بعدي، قسمت انتگرالي اين معادله بصورت تبديل نوريه دو بعدي حاصل از توابع اپودايزشن و aperture شناسايي شده كه در فركانس هاي مكاني و ارزيابي مي شود.
در نتيجه، قازور فشار بصورت زير نوشته مي شود:
(۳۱٫‌۳)

كه تبديل نوريه دو بعدي مي باشد.
پاسخ ميدان دور براي مبدل با تحريك يكناواخت در سطح با استفاده از تبديل فوريه حاصل از توابع اپودايزشن و aperture بدست مي آيد كه بسيار با ارزش است.

تقريب فرانهوفر براي يك مبدل پيستوني: تابع مستقيم
براي يك مبدل پيستوني كه بصورت يكنواخت حريك شده با استفاده از مختصات قطبي ، به تابع aperture بصورت دست مي يابيم كه تابع circ در بخش هاي قبل توضيح داده شده است. در همان بخش نشان داده شد كه براي تابع استوانه اي متقازن تبديل نوريه دو بعدي به تبديل Hankel از مرتبه صفر كاهش مي يابد. ، بديت صورت كه:
بنابراين از (۳۱٫‌۳)، فازور فشار بصورت زير نوشته مي شود:
باارزيابي اين تبديل در فركانس مكاني داريم:
كه در اين صورت فازور فشار بصورت زير در مي آيد:
(۳۲٫‌۳)
يادآور مي شويم.
وقتي تقريب فرانهوفر را مي توان با تعيين آخرين دامنه فشار ماكزيمم در بدست آوردو چنانچه در شكل ۱۷٫‌۳ نشان داده شده است، براي فواصل خطا به كمتر از ۵% مي رسد.
بايد در نظر داشته باشيم كه معادله (۳۲٫‌۳) توزيع فشار ميدان دور را در سيستم مختصات مربعي نشان مي دهد. يك روش مفيد براي ارائه اين توزيع استفاده از سيستم مختصات قطبي مطابق شكل (۱۸٫‌۳) مي باشد.
جهت بدست آوردن يك عبارت تقريبي براي انتگرال ريلي در تحريك هارمونيك، مطابق شكل ۱۹٫‌۳ بررسي مي شود.
به خاطر تقارن استوانه اي ملاحظه خواهد شد كه نقطه مشاهد ميدان براي مختصات قطبي كلي در واحد و يكتا مي باشد. اگر نقطه مشاهده چنين باشد براي مبدل ديسكي با شعاع ، بنابراين از ترم هاي دوم و مراتب بالاتر بسط دو جمله اي صرفنظر مي شود و داريم:

كه مطابق تقريب فرانهوفر مي باشد. از (۲۹٫‌۳) و فازور فشار بدست مي‌آيد:

با فرض عدم داشتن اپودايزشن ؛
ت:
(۳۳٫‌۳)
كه تابع مستقيم مي باشد.
نكته قابل ذكر اينكه فاكتور ۲ در تعريف تايع مستقيم شده است، بنابراين هنگاميكه مقدار اين تابع برابر واحد مي باشد. پاسخ فشار ميدان دور را مي توان و به صورت زير نوشت:
(۳۴‌.۳)
اين معادله اين حقيقت را بيانمي كند كه

، تابع مستقيم، توزيع فشار زاويه اي را براي هر موقعيت شعاعي تعيين مي كند و دامنه بصورت معكوس نسبت به فاصله شعاعي كاهش مي يابد. اين نتيجه مفيد توسط king در سال ۱۹۳۴ بصورت يك مورد خاص در رفتار تابع اپودايزشن يك مبدل دايره اي متقارن بدست آمد. تابع مستقيم در شكل ۲۱٫‌۳ براي سه مقدار مختلف نشان داده شده است. اين نشان مي دهد كه با كاهش شعاع مبدل، پاسخ لوب اصلي غالب شده و به مقدار ثابتي در مي‌رسد. براي شعاعهاي بزرگتر، لوب اصلي باريكتر شده و تعداد لوب هايش جانبي افزايش مي يابد. قسمت آخر شكل ۲۱٫‌۳ پاسخ فشار را در مسيرهاي جانبي بصورتيكه در معادله (۳۲٫‌۳) محاسبه شد، نشان مي دهد. يك اندازه گيري مفيد در رزولوشن جانبي اندازه گيري عوض كامل در نصف ماكزيمم(FWHM) لوب مركزي مي باشد، كه بصورت زير فرمول مي شود:
(۳۵٫‌۳)
متذكر مي شويم كه FWHM در ناحيه فرانهوفر بصورت خطي با فاصله محوري z افزايش مي يابد.
تقريب

فرسنل براي يك مبدل پيستوني:
وقت نسبي تقريب فرسنل با مقايسه پاسخ بر روي محور (an-axis) تعيين كرد. دستيابي به اين مهم با جايگزين نمودن همه ترم هاي (۳۰٫‌۳) يا (۲۹٫‌۳) و فرض و با توجه به امكان پذير خواهد شد.
(۳۶٫‌۳)
بر روي محور در نظر داشتن و در نتيجه انتگرال را مي توان بصورت زير نوشت:
(۳۷٫‌۳)

كه در شكل (۳۷٫‌۳) رسم شده است. بوضوح مي توان مشاهده نمودكه براي مبدل ديسكي با شعاع ، اين معادله يك تقريب خوبي براي فواصل محوري نرماليزه شده بزرگتر از ۵٫‌۰ مي باشد.
در واقع، بايستي متذكر شد كه به نسبت بستگي دارد- با افزايش اين نسبت ، مصالجه بهبود يافته و بلعكس