احتمال و احتمال شرطی

این مقاله دارای تصاویر و فرمول است که در سایت قابل نمایش نیست
مدل احتمال شرطی
اگر A و B دو پیشامد از فضای نمونه ای S باشند و ، و بدانیم آگاهی از رخداد حتمی پیشامد B در مقدار احتمال سایر پیشامدها اثر می گذارد، احتمال پیشامد A به شرط این که پیشامد B رخ دهد به صورت زیر تعریف می شود:

قاعده ضرب احتمال

این رابطه به قاعده ضرب احتمال موسوم است. به کمک این قاعده می توان احتمال رخداد هم زمان دو پیشامد را تعیین کرد.
استقلال دو پیشامد
اگر آگاهی از رخداد پیشامد B در احتمال رخداد پیشامد A مؤثر نباشد، A را مستقل از B میگویند. پس:

احتمال تجربي
مجموعه ی همه ی نتایج ممکن در یک آزمایش تصادفی، فضای نمونه ای نامیده می شود.
نسبت «رو» هایی که در آزمایش پرتاب سکه به دست آمد، همان فراوانی نسبی است.
اگر داده های حاصل از آزمایش در محاسبه ی احتمال مورد استفاده قرار گیرد به احتمال تجربی یا تخمین احتمال گویند.

مثال: از ۵۰ بار پرتاب یک سکه ۳۰ بار رو ظاهر شده است تخمین احتمال رو آمدن سکه کدام است؟

به احتمال هایی که در آن پیشامدها به طور ایده آل رخ می دهند و داده های حاصل از آزمایش در آن نقشی ندارند احتمال نظری گفته می شود و در این حالت نتایج آزمایش هم شانس هستند.

مثال: در پرتاب یک تاس احتمال آمدن عدد بزرگتر از ۴ کدام است؟

توضیح بهتر اینکه:‌احتمال نظری به احتمالهایی گفته می شود که به کمک آنچه که به طور ایده آل باید رخ دهد تعیین می گردند و داده های حاصل از آزمایش در آن نقشی نداشته باشند. برای مثال در پرتاب یک سکه فضای نمونه به صورت {پ و ر}=S می باشد که احتمال «رو» آمدن سکه و احتمال «پشت» آمدن سکه نیز است. این دو عدد احتمال نظری می باشند.
همچنین در پرتاب یک تاس فضای نمونه به صورت {۶و۵و۴و۳و۲و۱}=S می باشد که احتمال آمدن عدد۳، می باشد، که این عدد احتمال نظری ظاهر شدن عدد۳ می باشد.
احتمال تجربی: اگر یک سکه سالم را ۱۰۰ بار پرتاب کنیم و از این ۱۰۰ بار ۵۵ بار «رو» ظاهر شود کسر را احتمال تجربی (تخمین احتمال) رو آمدن در این ۱۰۰ بار آزمایش می گوییم همچنین اگر یک تاس را ۳۰ بار پرتاب کنیم و ۵ بار عدد ۲ ظاهر شده باشد کسر را احتمال تجربی ظاهر شدن عدد ۲ در این ۳۰ بار آزمایش می گوییم

ظهور احتمال
اما ظهور احتمال به صورت یک نظریه ریاضی نسبتاً جدید است.
مصریان قدیم در حدود ۳۵۰۰ سال قبل از میلاد برای بازی از چیزی که امروزه آن را “قاپ” می‌نامند و شیئی استخوانی شبیه تاس چهار وجهی است استفاده می‌کردندکه در استخوان زانوی پای بعضی از حیوانات وجود دارد.
تاس شش وجهی معمولی در حدود سالهای ۱۶۰۰ بعد از میلاد ساخته شد و از آن به بعد در تمام انواع بازیها ابزار اصلی بوده است.
بدیهی است که ضمن انجام بازیهای تصادفی ،بازیکنان این بازیهادرباره فراوانی وقوع پیشامدهای معین و درباره احتمال آنها ایده‌های شهودی به دست آوردند اما تعجب اینکه تا قرن پانزدهم هیچگونه بررسی علمی در مورد پیشامدهای تصادفی انجام نشد.
گذر از احتمال کلاسیک
اوایل تئوری احتمالات به یک تعداد متناهی از نتایج یک امتحان دو شقی محدود شده بود.قانون محاسبه احتمال،در اصل بسیار ساده بود:
یک پیشامد مرکب،تعدادی پیشامد اولیه را شامل میشود.احتمال آن پیشامد مرکب برابر است با حاصل جمع احتمالات آن پیشامدهای اولیه.برای تعیین احتمالهای پیشامدهای مرکب،پیشامدهای اولیه باید احتمالهایی داشته باشند.طرح های تخمینی بر اساس پیشامدهای اولیه متقارن بنیان نهاده شده بودند.در نتیجه اگر تعداد پیشامدهای اولیه m بود،تقارن نتایج یک بازی به معنی زیبا بودن آن بازی بود.
محاسبات کلاسیک احتمالات که بسیار محدود بودند،بر پایهء تفسیر کلاسیک احتمال انجام میشدند.
تعبیر امواج دوبروی با نظریه احتمال
بر اساس اصل عدم قطعیت هایزنبرگ در مکانیک کوانتومی نمی‌توان در مورد پدیده‌ها با قطعیت کامل اظهار نظر نمود و لذا نتیجه ‌اندازه گیری‌ها و آزمایش‌های مختلف بوسیله نظریه احتمال تعبیر می‌شود. از جمله مفاهیمی ‌که در تعبیر و توصیف آنها از نظریه ‌احتمال استفاده می‌شود، تعبیر امواج دوبروی می‌باشد. امواجی که به ذرات مادی نسبت داده می‌شود.
تعبیر طبیعت موجی ذرات مادی برحسب احتمالات ، نخستین بار در سال ۱۹۲۶ توسط ماکس بورن ارائه شد. آن شاخه ‌از فیزیک کوانتومی‌ که مسئله یافتن مقادیر توابع موجی را بررسی می‌کند، مکانیک موجی یا مکانیک کوانتومی ‌نام دارد. مبتکران اصلی مکانیک موجی ذرات اروین شرودینگر و ورنر هایزنبرگ بودند که به‌صورت مستقل مکانیک کوانتومی ‌را با صورتهای ریاضی مختلف ، ولی هم‌ارز ، فرمول‌بندی کردند.
ارتباط مدل موجی و ذره‌ای بوسیله نظریه ‌احتمال
از الکترومغناطیس می‌دانیم که میدان موج وابسته به یک فوتون میدان الکترومغناطیسی است. تابش الکترومغناطیسی در بعضی موارد با استفاده‌ از مدل ذره‌ای و در موارد دیگر به کمک مدل موجی توصیف می‌شود. شدت تابش ، کمیتی است که در هر دو مدل به یک معنی است.با این تفاوت که در مدل ذره‌ای ، شدت تابش با تعداد فوتونها متناسب است، ولی در مدل موجی شدت تابش با مجذور میدان الکتریکی متناسب می‌باشد. از طرف دیگر ، احتمال مشاهده هر فوتون در هر نقطه با تعداد فوتونهایی که به‌ آن نقطه می‌رسند، متناسب است. چون اگر فوتونی در آن نقطه وجود نداشته باشد، در این صورت احتمال وجود فوتون صفر خواهد بود.
بنابراین با استفاده ‌از تعریف ارائه شده برای شدت در هر دو مدل موجی و ذره‌ای ، می‌توان چنین نتیجه گرفت که ‌احتمال مشاهده یک فوتون در هر نقطه ‌از فضا با مجذور شدت میدان الکتریکی در آن نقطه متناسب است. به بیان دیگر ، از دیدگاه نظریه کوانتومی‌ ، میدان الکتریکی نه تنها کمیتی است که نیروی الکتریکی به‌ازای واحد بار را بدست می‌دهد، بلکه کمیت تابعی است که مجذور آن احتمال مشاهده یک فوتون را در هر مکان مفروض بدست می‌دهد. هرچند نظریه ‌الکترومغناطیس کلاسیک قادر به توصیف خصوصیات دقیقا کوانتومی‌ تابش الکترومغناطیسی نیست، ولی قادر است با محاسبه مجذور میدان الکتریکی احتمال مشاهده فوتون‌ها را بدست دهد.
معرفی تابع احتمال
مفهوم طبیعت موجی یک ذره مادی مانند الکترون را می‌توان به ‌این صورت تشریح کرد که رابطه بین احتمال مشاهده یک ذره و مجذور دامنه موج آن دقیقا همان رابطه بین احتمال مشاهده یک فوتون با جرم سکون صفر و مجذور دامنه موج آن (که همان میدان الکتریکی است) می‌باشد. در مکانیک کوانتومی دامنه موج وابسته به یک ذره همان تابع موجی است که بر اساس رابطه دوبروی به یک ذره نسبت داده می‌شود. در مکانیک کوانتومی (یا مدل ذره‌ای) احتمال مشاهده یک ذره مادی به‌صورت مجذور تابع موج تعریف می‌شود.

بنابراین ، اگر تابع موج را با ψ نشان دهیم، در این صورت احتمال اینکه ذره در یک فاصله مفروض بین x و x + dx مشاهده شود، با ψ(x)|2dx| برابر خواهد بود. از طرف دیگر می‌دانیم که میدان الکتریکی ، در حالت کلی تابعی از مکان و زمان می‌باشد. بنابراین باید تابع موج و به تبع آن تابع احتمال نیز تابعی از مکان و زمان باشند. تعیین مکان مخصوص یک فوتون در یک زمان خاص با قطعیت کامل ، غیر ممکن است، اما تعیین احتمال مشاهده آن به کمک مجذور میدان الکتریکی امکان‌پذیر است. بطور مشابه ، تعیین مکان مخصوص یک ذره در یک زمان ویژه با قطعیت کامل غیرممکن بوده ولی تعیین احتمال مشاهده آن به کمک مجذور تابع موج ممکن است.
خصوصیات تابع احتمال
• تابع احتمال یک کمیت حقیقی است، چون به صورت مجذور تابع موج تعریف می‌شود و مجذور یک کمیت باید حقیقی باشد، هرچند خود آن کمیت مختلط باشد.
• تابع احتمال همواره مقداری بین صفر و یک دارد که یک ، بیشینه مقدار آن و صفر ، کمترین مقدار تابع احتمال است.

توزیع دو جمله ای
امتحان های تکراری نقش بسیار مهمی در آمار و احتمال بازی می کنند خصوصا” وقتی تعداد امتحان ها ثابت و پارامتر (احتمال پیروزی) برای تمام امتحان ها برابر و امتحان ها همگی مستقل باشند.
به منظور تهیه فرمولی برای احتمال به دست آوردن ” پیروزی در امتحان ” تحت شرایطی که بیان شد ملاحضه کنید که احتمال به دست آوردن پیروزی و شکست در یک ترتیب مشخص برابر است. برای هر پیروزی یک عامل و برای هر شکست یک عامل وجود دارد و بنا بر فرض استقلال عامل و عامل در یکدیگر ضرب می شوند. چون این احتمال با هر دنباله ای از امتحان که در آن پیروزی و شکست وجود دارد همراه است تنها باید تعداد دنباله هایی از این نوع را بشماریم و

سپس را در این تعداد ضرب کنیم.روشن است تعداد راه هایی که می توانیم امتحان را که برآمد همه آنها پیروزی است انتخاب کنیم برابر است با و نتیجه می شود که احتمال مطلوب برای ” پیروزی در امتحان ” برابر است.

تعریف
متغیر تصادفی توزیع دوجمله ای دارد و به آن عنوان متغیر تصادفی دو جمله ای داده می شود اگر و تنها اگر توزیع احتمال آن به صورت زیر باشد:

قضیه(۱)

قضیه(۲)
میانگین و واریانس توزیع دو جمله ای برابرند با :

قضیه(۳)
اکر توزیع دو جمله ای با پارامترهای باشد و آنکاه:

قضیه(۴)
تابع مولد گشتاور توزیع دوجمله ای به صورت است.
نکته : اگر امین پیروزی در امین امتحان رخ دهد باید پیروزی در اولین امتحان وجود داشته باشد و احتمال این پیشامد عبارت است از :

احتمال یک پیروزی در امین امتحان برابر است با و بنا براین احتمال آن که امین پیروزی در امین احتمال رخ دهد برابر است با:

توزیع دوجمله ای منفی
متغیرتصادفی توزیع دوجمله ای منفی دارد و به آن عنوان متغیر تصادفی دوجمله ای منفی داده می شود اکر و تنها اگر توزیع احتمالش به ازای به صورت زیر باشد:

قضیه(۵)(
قضیه(۶) میانگین و واریانس توزیع دوجمله ای منفی عبارتند از :

جمع احتمالها

جمع احتمالها
(منظور از «برآمد» در جملات زير همان «پيشامد» است)
آزمايش پرتاب يک تاس را در نظر بگيريد. شش برآمد هم شانس ۱، ۶،۵،۴،۳،۲ براي اين آزمايش وجود دارد، يعني فضاي نمون اي ۶ عضو دارد. پيشامدهاي زير را تعريف مي کنيم:
A: آمدن عدد ۲
B: آمدن عدد ۶
C: آمدن عدد زوج
هر کدام از اين پيشامدها مجموعه اي از يک يا چند برآمد هستند. در واقع

چون پيشامدها زير مجموعه هاي فضاي نمونه اي هستند، پس فضاي نمونه اي مجموعه مرجع اين پيشامدها است. به روش نمودار ون، فضاي نمونه اي S را به صورت يک مستطيل بزرگ و پيشامدها را به صورت شکلهايي در داخل آن نشان مي دهيم. پيشامدهاي D,C در نمودار زير نشان داده شده اند:
چون شش برآمد هم شانس وجود دارد، . در پيشامد «آمدن يک ۲ يا يک ۶» دو برآمد وجود دارد:

در اين مثال مي بينيم که

آيا اين رابطه براي هر دو پيشامد دلخواه برقرار است؟‌
پيشامدهاي D,C در بالا را در نظر بگيريد. پيشامد «C يا D» يعني شامل همه برآمدهاي موجود در C يا D يا هر دوي آنها است، يعني
(آمدن عدد زوج يا عددي کمتر از ۴ ) p =
(آمدن ۶،۴،۲ يا آمدن ۳،۲،۱)P=
بنابراين، در هر برآمدي به جز ۵ وجود دارد. از اين رو دقيقاً ۵ برآمد مجزّا وجود دارند که اين پيشامد را تشکيل مي دهند، زيرا در تعيين تعداد اعضاي يک مجموعه، اعضاي تکراري را فقط يکبار مي شماريم، بنابراين

از طرف ديگر مشاهده مي کنيم که كه برابر است با . پس در اين مثال، . علت اين هماهنگي را بررسي مي کنيم:
در پيشامد ۳C برآمد و در پيشامد D نيز ۳ برآمد وجود دارند ولي در
، ۵ برآمد وجود دارند. برآمد ۲ هم در C است و هم در D، ولي بايد دقت کنيم که هر برآمد را دقيقاً يک بار بشماريم. هنگام محاسبه ، اين برآمد را دو بار به حساب مي آوريم پس بايد يک بار آن را کم کنيم يعني بايد احتمال پيشامد «D,C» يا را از مجموع فوق کم کنيم، به اين

ترتيب

اين با نتيجه اي که قبلاً براي به دست آوريم هماهنگي دارد. اين مطلب ما را به قانون جمع احتمالها هدايت مي کند يعني براي دو پيشامد D,C

اين رابطه براي پيشامدهاي B,A در بالا نيز برقرار است زيرا B,A هيچ گاه همزمان رخ نمي دهند، يعني رخ دادن پيشامد غير ممکن است. چون احتمال رخ دادن پيشامدهاي غير ممکن صفر است، پس و

 

نظریه احتمالات
نظریه احتمالات مطالعه رویدادهای احتمالی از دیدگاه ریاضیات است.
ریاضی‌دانان عددی بین صفر و یک را به عنوان احتمال یک رویداد تصادفی به آن نسبت می‌دهند. رویدادی که حتما رخ دهد احتمالش یک است و رویدادی که اصلا ممکن نیست رخ دهد احتمالش صفر است[۱]*. احتمال شیر آوردن در شیر یا خط یک سکه سالم است، همانطور که احتمال خط آوردن هم است. احتمال این‌که پس از انداختن یک تاس سالم شش بیاوریم است.
به زبان سادهٔ‌ ریاضی احتمال، نسبت تعداد اعضای مجموعهٔ پیشامدهای دلخواه به تعداد اعضای مجموعهٔ تمام پیشامدهای ممکن است. مثلا در مورد تاس برای محاسبهٔ‌احتمال آوردن عددی زوج:. مجموعهٔ پیشامدهای ممکن هست: {۱٫۲٫۳٫۴٫۵٫۶} و مجموعهٔ پیشامدهای دلخواه هست: {۲٫۴٫۶}. تعداد اعضای مجموعهٔ دلخواه هست ۳ و تعداد اعضای مجموعهٔ پیشامدهای ممکن هست ۶. پس احتمال هست:
جمع احتمال رخ دادن یک رویداد با احتمال رخ دادن رویداد مکمل آن، عدد یک می‌شود. مثلا در تاس ریختن جمع “احتمال آوردن شش” (که است) با “احتمال نیاوردن شش” (که است) می‌شود یک.
سؤال‌های ویژه‌ای که ریاضیدانان بزرگ را به اندیشیدن در این باره واداشت از درخواست‌های نجیب زادگانی نشأت می‌گرفت که با ورق یا تاس قمار می‌کردند ، به قول پواسون:مسأله‌ای مربوط به بازی‌های تصادفی که از سوی “مرد این جهانی به ریاضت کشی یانسنی(؟)” پیشنهاد شد ، سرچشمه حساب احتمالات است.این”مرداین جهانی” شوالیه دومره نجیب زاده‌ای بسیار با فرهنگ بود که با مسأله مربوط به مسأله نقطه‌ها به پاسکال مراجعه کرد.پاسکال باب مکاتبه را با فرما بر این مسأله و مسائل دیگر گشود و هر دو برخی از بنیادهای نظریه احتمال را پی‌ریزی کردند(۱۶۵۴).
در سال ۱۶۵۵دانشمند معروف هلندی کریستین هویگنس به آنها پیوست و این همکاری بسیار پرثمر بود. در سال ۱۶۵۷هویگنس اولین کتاب درباره احتمال را تحت عنوان “درباره محاسبات بازیهای شانسی”نوشت. این کتاب به منزله تولد واقعی احتمال محسوب می‌شود.دانشمندانی که این کتاب را خواندند متوجه شدند که با نظریه‌ای عمیق سروکار دارند.بحث درباره مسائل حل شده و حل نشده و بسیاری از ایده‌های جدید خوانندگان آن زمان این کتاب ، زمینه ساز مباحث نو شد.
دانش‌پژوهان ایتالیایی ، لوکا پاچولی(۱۵۱۴-۱۴۴۵) ، نیکولا تارتاگلیا(۱۵۵۷-۱۴۹۹) ، جرولامو کاردانو(۱۵۷۶-۱۵۰۱) و به خصوص گالیلو گالیله‌ای(۱۶۴۲-۱۵۶۴) از جمله پیشکسوتان دانش ریاضی هستند که احتمالهای مربوط به بسیاری از بازیهای تصادفی را محاسبه کرده‌اند.علاوه بر این آنها کوشش کرده‌اند تا مبنایی ریاضی برای احتمال فراهم آورند.کاردانو حتی درباره قمار بازی کتابی نوشت که شامل بخشهایی درباره روشهای نیرنگ است.

به هر حال پیشرفت واقعی در فرانسه از سال ۱۶۵۴ وقتی بلز پاسکال(۱۶۶۲-۱۶۲۳) و پیردو فرما(۱۶۶۵-۱۶۰۱) دو ریاضیدان نامی نامه‌هایی به یکدیگر ردوبدل کردند آغاز شد ، که در این نامه‌ها از روشهای کلی محاسبه احتمال‌ها بحث کرده‌اند ، اما نمی‌توان گفت که فرما و پاسکال بنیانگذاران نظریه احتمالات بودند.
خبر ظاهرا‌ً موثقي در دست است كه فرما در بومون دولماني نزديك تولوز در۱۷ اوت ۱۶۰۱ بدنيا آمد.ميدانيم كه اودر كاستر يا در تولوز در ۱۲ ژانويهء۱۶۶۵ درگذشت.سنگ قبر او كه ب

دواً در كليساي آگوستين در تولوز بود و بعداً به موزهءملي منتقل شد،تاريخ مرگ فوق و سن فرما را در بدو مرگ ۵۷ سال ميدهد.به دليل اينكه اطلاعات متناقض تاريخ تاريخ تولد و مرگ فرما معمولاً به صورت ۱۶۶۵-۱۶۰۱ ثبت ميشود.در واقع به دلايل متعدد تاريخ ولادت فرما به صورتي كه نويسندگان مختلف داده اند از ۱۵۹۰ تا ۱۶۰۸ تغيير ميكند.
فرما پسر يك تاجر چرم بود و تحصيلات مقدماتي را در زادگاه خود انجام داد.در ۳۰ سالگي به عضويت پارلمان محلي در تولوز در آمد و وظايف خود را در آنجا با دقت زياد انجام داد.
وي كه حقوقداني متواضع و گوشه گير بود قسمت اعظم ساعات فراغت خود را وقف مطالعهء رياضيات كرد.
گرچه در دوران حيات خود مطالب كمي را منتشر كرد ولي با رياضيدانان برجستهء زيادي كه با او همزمان بودند مكاتبهء علمي داشت و از راه همين مكاتبات تا حد زيادي معاصران خود را تحت تاثير قرار داد.
شاخه هاي رياضي كه وي موجب غناي آنها به قدري متعددند و سهم وي در آنها به قدري اهميت دارد كه بزرگ ترين رياضيدان قرن هفدهم فرانسه ناميده شده است.
قبلاً خاطر نشان كرديم كه مكاتبات بين پاسكال و فرما اساس علم احتمال را پيريزي كرد.متذكر ميشويم كه به اصطلاح ‌”مسئلهء امتيازها” بود كه آغازگر اين مطلب گرديد:”نحوهء تقسيم

جايزه در بازي نيمه تمام مانده اي بين دو بازيكن به فرض داشتن مهارت يكسان با معلوم بودن امتياز هاي دو بازيكن در موقع قطع بازي و تعداد امتيازات لازم براي برنده شدن را تعيين كنيد.”
فرما به بحث در حالتي پرداخت كهA،يكي از بازيكن ها براي برنده شدن ۲ امتياز و Bبازيكن ديگر ۳ امتياز ميخواست.در اينجا جواب فرما براي حالتي اينچنين مي آوريم.
چون آشكار است كه چهار بازي ديگر نتيجه را معين خواهد كرد اگر aمعرف بازي اي باشد كه در آن Aبرنده ميشود و bمعرف بازي اي كه در آن Bبرنده ميشود و ۱۶ تبدبل دو حرف aوbرا ۴ به ۴ در نظر بگيريم:
aaaa,aaab,abba,bbab

baaa,bbaa,abab,babb
abaa,baba,aabb,abbb
aaba,baab,bbba,bbbb
حالت هايي كه در آن aدو بار يا بيشتر ظاهر ميشود،مساعد براي Aست.۱۱ تا از اين حالتها وجود دارند.حالتهايي كه در آن bسه بار يا بيشتر ظاهر ميشود مساعد براي Bست.تعداد آنها ۵ است.بنابر اين بايد به نسبت ۱۱:۵تقسيم شود.در حالت كلي كه براي برنده شدن Aبهmامتياز و Bبه n امتياز نياز دارند،۲^m+n-۱
جايگشت ممكن دو حرف aوbرا m+n-۱ بهm+n-۱ مينويسيم:در اين صورت عدد aتعداد حالتهايي را كهa،mبار يا بيشتر و عددbتعداد حالتهايي كه در آن b،nبار يا بيشتر ظاهر ميشود به دست مي آوريم بنابراين بايد جايزه به نسبت a:bتقسيم كرد.پاسكال مسئلهء امتيازها را با استفاده از مثلث معروف خود حل كرد

احتمال در قرن هیجدهم و نوزدهم(سیر تئوری)
بعد ار کارهای پاسکال،فرما و هویگنس در سال ۱۷۱۳ کتابی که یاکوب برنولی(۱۷۰۵-۱۶۵۴)و همچنین در سال ۱۷۳۰ کتابی که نوشت،پشرفت ناگهانی عمده ای بود.یاکوب برنولی،یکی از نخستین دانش پژوهان نظریهء احتمالات بود و در این موضوع کتاب “فن گمان” را نوشت که پس از مرگش در سال ۱۷۱۳ منتشر شد.در بخش اول این کتاب مقالهء هویگنس دربارهء بازیهای تصادفی مجدداً به چاپ رسیده است.قسمت های دیگر به تبدیلات و ترکیبات مربوط میشود و کتاب با قضیهء برنولی دربارهء توزیع های دوجمله ای به اوج خود میرسد.
گفتیم که یکی از افراد مهمی که سهمی در نظریهء احتمالات داشت آبراهام دوموآور بود.دوموآور یک “هوگنو”ی فرانسوی بود.هوگنو نامی ست که به پروتستان های فرانسوی قرون ۱۷و۱۸ داده شده بود.پس از نسخ فرمان نانت(فرمانی که در سال ۱۵۹۸ توسط هانری چهارم صادر شد و به موجب آن به هوگنویها مساوی دیگران داده شد)در سال ۱۶۸۵ به فضای سیاسی مساعدتر لندن مهاجرت کرد.
وی در زندگی خود را در انگلیس از طریق تدریس خصوصی گذاراند و از دوستان نزدیک آیزاک نیوتن شد.
دوموآور بخصوص به خاطر اثرش “قسط السنین عمر” که نقش مهمی در تاریخ ریاضیات آمارگری دارد،اثر “کمترین شانس” که حاوی مطالب جدیدتری دربارهء نظریهء احتمالات است و اثر “جنگ تحلیلی” که دربارهء سریهای متناوب،احتمال و مثلثات تحلیلی است،شهرت دارد.
بررسی انتگرال احتمالاتی زیر:

برای اولین بار و بررسی منحنی فراوانی نرمال:

Cوhثابت:
که در مبحث آمار اهمیت زیادی دارد به دوموآور منسوب است.فرمول “استرلینگ”،که به غلط چنین نامگذاری شده به دوموآور منسوب است.

افسانه ای که اغلب دربارهء مرگ وی گفته میشود بسیار جالب است.مطابق این داستان دوموآور حس میکرد هر روز یک ربع ساعت بیشتر از روز قبل به خواب نیاز دارد.وقتی این تصاعد عددی به ۲۴ ساعت رسید دوموآور درگذشت.
دو کار بزرگ لاپلاس که نه تنها تحقیقات خود او بلکه در موضوعات مربوط همهء کارهای پیشین را وحدت میبخشد،عبارتند از:”نظریهء تحلیلی احتمال”و”مکانیک سماوی”.این دو اثر ماندنی به مقدمه های توصیفی مفصل به زبان غیرفنی:جستار فلسفی در احتمالات و شرح نظام عالم آغاز شدند.
جستار فلسفی در احتمالات مقدمه ای خواندنی برای نظریهء احتمالات است؛این مقاله تعریف”منفی”لاپلاس از احتمالات را که بر “پیشامدهای متساوی الاحتمال” مبتنی ست شامل میشود.
“نظریهء تصادف”عبارت است از تحویل همهء رویدادهایی که از یک نوع اند به تعداد معینی از موارد متساوی الاحتمال،یعنی مواردی که از نظر پیشامدی که در پی احتمالش هستیم مطلوبند.
به نظر لاپلاس مسائل مربوط به احتمال از آن رو مطرح میشود که چیزهایی را میدانیم و چیزهایی را نمیدانیم.
لاپلاس همچنین نظریه ای را که “تامس بیز”،کشیش گمنام انگلیسی طرح کرد و پس از مرگش در فاصلهء سالهای۱۷۶۳-۱۷۶۴ منتشر شده بود از فراموشی نجات داد و مجدداً تدوین کرد.این نظریه به نظریهء احتمالات وارون معروف شده است.
در سال ۱۹۰۰ در کنگرهء بین المللی ریاضیدانها در پاریس،”دیوید هیلبرت”(۱۹۴۳-۱۸۶۲)۲۳ مسئله را که به عقیدهء او حل آنها در پیشرفت ریاضیات مؤثر است پیشنهاد کرد.یکی از این مسائل بحث اصل موضوعی احتمال بود.
هیلبرت در سخنرانی خود نقل قولی از”وایر اشتراوس”آورد که گفته بود:”هدف نهایی که همیشه باید به یاد داشت،رسیدن به یک فهم درست مبانی علم است.”هیلبرت اضافه کرد که فهم کامل نظریه های خاص یک علم برای بحث موفقیت آمیز مبانی آن ضروری ست.
احتمال به آن نقطه رسید و برای رسیدن به یک مبنای ریاضی محکم به اندازهء کافی بررسی شد.در راستای رسیدن به این هدف کارهایی به وسیلهء “امیل بورل”(۱۹۵۶-۱۸۷۶)،”سرژ برنشتاین”(۱۹۶۸-۱۸۸۰) و “ریچارد فون میزس”(۱۹۵۳-۱۸۸۳)انجام شد تا اینکه در سال ۱۹۳۳ “آندری کولموگروف”(۱۹۸۷-۱۹۰۳)ریاضیدان مشهور روس،به صورتی موفقیت آمیز نظریهء احتمال را اصل موضوعی کرد.
کار کولموگروف که در حال حاضر مورد قبول همگان است،سه ویژگی بدیهی و بی چون و چرای احتمال را به عنوان اصل موضوع اختیار کرده و همهء نظریهء احتمال را بر مبنای آنها به دقت بیان کرده است.به خصوص اینکه یکتایی مقدار احتمال را برای یک پیشامد در تعداد دفعات معین آزمایش تضمین میکند.
احتمالهای ذهنی مبتنی بر شناختها،ادراکها و باورهای شخصی را نیز میتوان مدل بندی و به وسیلهء این رهیافت اصل موضوعی،مطالعه کرد.گذار از احتمالات کلاسیک اوایل تئوری احتمالات…
اماجهان واقعی تقارن کامل تئوری کلاسیک نمونه های هم احتمال را دارا نیست.
احتمالات کلاسیک برای کاربردهای همیشگی که نتایج زیبایی را در یک بازی نشان میده

ند،مفید نبود.به همین دلیل یک تغییر ذهنی نیاز بود.
این تغییر از حدود سال ۱۹۰۰ انجام شد و محاسبات کلاسیک احتمالات را به صورت یک ساختار عمیق ریاضی درآورد.
نظریه شروع کرد به استفاده از بی نهایت های ریاضی در یک راه ضروری،بالاخص حالت پیشامدهای نامتناهی.ی آن را به وجود آورد.
مطالعهء نظری محاسباتی در اعداد حقیقی و ویژگی های حدی رشته های اعداد طبیعی به شناسایی آن عدد حقیقی به وسیلهء آن رشته(به عنوان یک توسیع اعشاری)مربوط اند.
پس مسئلهء احتمال مربوط به رفتار حدی تکرر نسبی،برای مثال میتواند در مورد اندازه گیری یک مجموعه از اعداد حقیقی فرمول بندی شود.(مسئلهء “گیلدن”)
حدس شهودی در اعداد حقیقی یک نمونهء مهم از اعداد حقیقی بود که توسط “هانری پوانکاره”عنوان شد.