ارتباط ميان رسم سه نما و حجم‌سازي

در اينجا ارتباط ميان دروس علم مناظر و مرايا و حجم‌سازي مورد بررسي قرار گرفته و روشي براي ايجاد اين ارتباط و درك بهتر درس مناظر و مرايا و رسم سه‌نما ارائه مي‌شود. ‌

ديده شده است كه بيشتر هنرجويان كه با رسم ساده و دو بعدي شكل‌ها آشنايي داشته‌اند، وقتي به مبحث رسم سه نما در كتاب علم مناظر و مرايا مي‌رسند دچار سردرگمي مي‌شوند. زيرا تجسم اشكال دو بعدي مانند مثلث، مربع و دايره به صورت احجام سه بعدي هرم و مكعب و كره براي آنها مشكل است. نخست پيش از آن كه به تشريح راه حل ارائه شده بپردازيم لازم است تا خوانندگان اين مطلب آشنايي مختصري با حجم سازي و رسم سه نما داشته باشند. ‌

حجم‌سازي
“طبيعت در گذر از صافي ذهن هنرمند تبديل به مخروط، كره و استوانه مي‌شود”
اين گفته پل سزان كه الهام بخش بسياري از هنرمندان دوره‌ مدرن بوده است، بيانگر دو نكته مهم است: نخست اين كه طبيعت و هرچه در آن است در سه حجم مخروط، كره و استوانه خلاصه مي‌شود و دوم اين كه برخي از مجسمه‌ها و نقاشي‌هاي دوره‌هاي قديم و مدرن نيز كه از اشكال و احجام ساده شده شكل گرفته‌اند، گوياي طبيعتي خلاصه شده‌اند.

سزان مي‌افزايد: تمام اشياء و موجودات پيرامون‌ ما، قابليت تبديل شدن به احجام نام برده را دارا هستند. ‌
در تقسيم بندي احجام، احجام اصلي هندسي شامل كره، مكعب و هرم هستند. اين سه حجم مي‌تواند تمام موجودات طبيعي و ساخته‌ دست بشر را در خود جاي دهند.
شايد بتوان نظر و گفته سزان را در مورد احجام به سه حجم اصلي كره و مكعب و هرم تعميم داد. چرا كه استوانه و مخروط خود از تركيب مكعب و هرم و كره به وجود آمده‌اند.
به اين ترتيب مي‌توان زمين يا يك سيب را به كره، يك ساختمان را به مكعب، يك كره را به مخروط، تنه‌ يك درخت را به استوانه و يك تكه الماس را به منشور تشبيه يا تبديل كرد. ‌
حجم‌هاي هندسي به تمام احجامي گفته مي‌شود كه حجم آنها (مقدار عددي اشغال فضا) با فرمول‌هاي هندسي قابل محاسبه باشند.
ساده‌ترين نمونه حجم‌ هندسي، مكعب است.

احجام غيرهندسي احجامي هستند كه حجم آنها از راه تبديل به احجام هندسي قابل محاسبه‌اند. براي مثال، يك قطعه سنگ را كه داراي حجم غيرهندسي است را مي‌توان به احجام هندسي كوچك‌تر تقسيم كرد و با محاسبه‌ مجموع حجم آنها از طريق محاسبات هندسي، حجم كل سنگ را به دست آورد. ‌
بدين ترتيب و با توجه به توضيح داده شده، احجام هندسي غيرمنظم احجامي هستند كه فضاي خالي و فضاي توپردارند. در اينجا بايد يادآوري كرد كه فضا داراي سه بعد طول، عرض، ارتفاع يا عمق است و تمام موجودات و اشياء موجود در جهان همچون كوه، درخت، آب موجود در يك ليوان و حتي فضاي خالي داخل ليوان و هر چيزي كه فضا را اشغال مي‌كند، همه احجامي هستند كه حجم يا مقدار اشغال فضا توسط هر يك از آنها با استفاده از محاسبات هندسي قابل دستيابي است. ‌
احجام فرعي يا بينابيني كه از تركيب احجام اصلي (كره، مكعب و هرم) و برش دادن يا كم و زياد كردن آنها به دست مي‌آيد، از حجم‌هاي مورد نظر در اين مطلب است. ‌
به صفحه‌‌‌ P پرده‌ تصوير مي‌گوييم. نقطه‌‌ M بين چشم ناظر و اين پرده قرار دارد و يك خط فرضي بصري از چشم ناظر و اين نقطه عبور كرده و تا محل پرده امتداد يافته است. ‌بدين ترتيب نقطه‌ N به عنوان تصوير نقطه‌ M روي پرده ‌ Pتعيين مي‌شود و به تصوير حاصل روي پرده “نما” مي‌گوييم.
رسم سه نما

بسياري از اشياء داراي چنان شكلي هستند كه ترسيم تنها دو نما از آنها، شكل دقيق آنها نيست، در اين موارد مي‌توان با اضافه كردن يك پرده تصوير ديگر عمود بر دو پرده‌ قائم و افقي، نماي شي را روي پرده سوم تصوير كرد. ‌
براي اين كه از جسمي سه تصوير رسم كنيم، جسم را به شكلي داخل يك كنج سه قائمه قرار مي‌دهيم كه با هر صفحه كنج، دو بعد تصوير موازي باشد و در ضمن با آن قدري فاصله داشته باشد، سپس تصوير جسم را روي هر سه صفحه به دست مي‌آوريم. بايد توجه داشت كه جسم بين ناظر و صفحه‌ تصوير قرار گيرد. ‌

جهت رسم تصاوير اگر ناظر جلو قرار گيرد، تصوير جسم روي صفحه‌ قائم و اگر ناظر در جهت بالا قرار گيرد، تصوير جسم روي صفحه‌ افقي به نام تصوير بالا يا افقي و اگر ناظر در جهت چپ قرار گيرد، تصوير جسم روي صفحه جانبي به نام تصوير چپ خوانده مي‌شود. ‌
اكنون كه تعريفي از نما و سه نما و چگونگي رسم آن و همچنين تعريفي از حجم داده شد، به ارائه راه حل پيشنهادي مي‌پردازيم.
[براي درك بهتر هنرجويان از رسم سه نما، تهيه و تدارك يك وسيله‌ كمك آموزشي كه هنرجويان با استفاده از آن و با ديدن حجم سه نما، اشكالات تجسمي خود را برطرف كنند لازم و ضروري مي‌نمايد]

براي اين منظور مي‌توان حجم‌هايي را از جنس اسفنج، فوم يا يونوليت درست كرد تا هنرجويان هنگام رسم سه نما با نگاه كردن به تمام جوانب روبرو، بالا و گوشه‌ اين حجم آنرا به سادگي درك كرده و ترسيم سه نماي آن شكل برايشان آسانتر شود. ‌گفتني است كه پيش از اجراي اين طرح هيچ وسيله‌ كمك آموزشي مشابه در اين مورد تهيه نشده است.
ذكر اين نكته حائز اهميت است كه تهيه اشكال حجمي با فوم بسيار راحت‌تر از ديگر مواد ذكر شده است و فقط ضروري است كه در نگهداري حجم‌هاي ساخته شده با مواد ذكر شده، دقت لازم

صورت گيرد چون اين مواد بسيار شكننده و آسيب پذيرند.
در پايان بايد گفت كه احجام ساخته شده نه تنها در دو درس حجم و علم مناظر و مرايا مورد استفاده است بلكه در دروس مباني هنرهاي تجسمي، طراحي، كارگاه رنگ در نقاشي، كارگاه نقاشي و بسياري ديگر مورد استفاده بوده و كاربرد دارد.
حجم در طراحي
حجم عنصري است ۳ بعدي علاوه بر طول و عرض داراي ارتفاع نيز هست. بنابراين هر عنصري كه داراي طول و عرض و ارتفاع باشد حجم است.
به طور كلي احجام به ۲ دسته تقسيم مي شوند:
الف) احجام هندسي
ب) احجام غير هندسي
احجام هندسي عبارتند از: مكعب مستطيل، منشور، مخروط، استوانه،كره و .. . احجام غير هندسي عبارتند از:‌كليه اجسام موجود در طبيعت كه شكل هندسي ندارند. در طراحي ,احجام غير هندسي را مي توان در يكي از حجم هاي هندسي تصور كرده و آن ها را به طو ر كلي ترسيم كرد.

در طراحي تصوير بر روي كاغذ ۲ بعدي ترسيم مي شوند و بعد سوم به طور مجازي در سطح به نظر مي رسد بدين معني كه در اثر تركيبي از خطوط و يا با استفاده از تاريكي و روشنايي و درجه بندي سطوح و سايه ها, حجم به بيننده القاء مي شود. اينگونه حجم ها را مجازي مي گويند. طراحان از نور و دوري و نزديكي اشيا، براي ايجاد حجم به وسيله خطوط كمك مي گيرند كه با اين دو مورد به راحتي مي توان حجم را در نظر بيننده القاءكرد
نرم افزارطراحی احجام سه بعدی نصرت

براي تحليل مسائل علمي و صنعتي سه راه روابط جبري، اجراي آزمونهاي آزمايشگاهي و مدلسازي رايانه اي متداول و قابل کاربرد هستند. اما استفاده از روابط جبري به پديده هاي مستقل و مسائل با هندسه ساده محدود ميشود و آزمونهاي آزمايشگاهي علاوه بر اينکه با خطاهاي تغيير مقياس و اندازه گيري همراه هستند، اجراي آنها نسبتا پر هزينه ميباشد.
امروزه دسترسي به رايانه هاي پرقدرت و سريع، انجام عمليات محاسباتي سنگين بر روي مقادير قابل توجه اطلاعات را امکان پذير ساخته است. توسعه روشهاي عددي توانمند، حل همزمان معادلات ديفرانسيل حاکم بر پديده هاي موثر در يک مسئله واقعي مهندسي را ممکن نموده است. كاربرد مدل‌هاي‌ كم هزينه عددی و مدلسازي پيچيدگي‌ها و ابعاد هندسي مسائل واقعي را امکان

پذیر ساخته است. از اينرو استفاده از نرم افزارهاي مختلف براي مدلسازي رايانه اي در بين مهندسان به سرعت رو به رواج است.
مدلهاي شبيه‌سازي ‌رايانه اي از قابليت تحليل همزمان تمامي مشخصه‌هاي پديده هاي مورد نظر در مسائل مرتبط با جريان سيالات و انتقال حرارت برخوردارند. اما در راه تدوين اين مدل‌ها نيز مشكلاتي وجود دارد که تلاشهاي محققين براي غلبه بر آنها و ارتقاء دقت و توسعه كارائي آنها را بخود معطوف ساخته است. استفاده از نوع روش عددي و تكنيكهاي جديد مقوله تعيين كننده‌اي برای دستيابي به انعطاف‌پذيري، دقت، كارائي و توان مورد نظر مي‌باشد. همچنين بهبود كيفي

روشهاي مدلسازي محيط هندسي مسئله و گسسته‌سازي حوزه حل از ديگر مسائل مهم و تعيين كننده در كيفيت شبيه‌سازي عددي است و تأثير زيادي نيز بر نتايج دارد. بطور كلي مي‌توان گفت در صورتيكه تمام مراحل مدلسازي رايانه‌اي شامل منظور نمودن مدل رياضي جامع حاكم بر پديده، مدلسازي هندسه دقيق مسئله مورد نظر، تدوين الگوريتم حل عددي كامل و كارآمد و منظور نمودن صحيح شرايط مرزي لازم بدرستي صورت پذيرد، مي‌توان نتايج قابل اعتمادي را انتظار داشت. از اينرو تحليل عددي مسائل مهندسي و محيط زيست همچنان بعنوان يکي از موضوعات چالش برانگيز

در عرصه پژوهش مطرح است و کوشش در تهيه نرم افزارهاي مجهز به فنون جديد محاسباتي براي ارائه به کاربران بطور مداوم در جريان ميباشد.
پيشرفت در تدوين و توسعه نرم افزارها با ملاحظه مسائل مذكور در كنار دسترسي راحت و ارزان به رايانه‌‌هاي توانمند باعث جلب توجه محققين بسياري در سطح جهان به شبيه‌سازي عددي شده و در ايران نيز اين روش مدلسازي علاقمنداني را جلب نموده است.
در گامي براي توسعه فن‌آوري شبيه‌سازي رايانه‌اي در كشور، نرم افزار حل حجم محدود مسائل مهندسي و محيط زيست مرتبط با جريان سيالات و انتقال حرارت با موفقيت در دانشکده عمران دانشگاه صنعتي خواجه نصيرالدين طوسي تکميل شده است. ماجولهای تحلیل حجم محدود برای شبیه سازی مسائل علمی و صنعتی در زمینه مهندسی عمران در قالب نرم افزار NASIR[1] توسعه یافته است. تعداد زیادی از این ماجولها با همکاری دانشجویان تحصیلات تکمیلی توسعه یافته و یا بکارگرفته شده اند.
مدل ریاضی جریان باد
با فرض ناچيز بودن تغييرات جرم حجمي ‌هوا در سرعتهاي كمتر از يك سوم سرعت صوت، ميتوان معادله حاكم بر جريان را بصورت تراكم ناپذير در نظر گرفت. در جريانهاي با عدد رينولدز بالا، فرض اینکه لايه مرزي بسيار نازك نزديك به ديواره تقريبا به جسم ب‌چسبد و به ناحيه‌اي كوچك و قابل اغماض نسبت به كل حوزه حل تبديل شود، تقريب مناسبي است.
در شكل تراكم‌ناپذير معادلات جمله مشتق زماني از معادله بقاي حجم حذف ميشود كه ‌اين موضوع حل درگير آن را با معادلات حركت با دشواري مواجه ميسازد. براي غلبه بر اين مشكل روش تراكم پذيري مصنوعي پيشنهاد شده است[۳] . اساس اين روش بر پايه اضافه نمودن يك جمله مشتق زماني فشار مجازي، به معادلات بقاي حجم (پيوستگي) ميباشد. اين امر موجب مي‌شود كه ارتباط عددي معادله پيوستگي با معادلات حركت برقرار شود و حل درگير معادلات مذكور ممكن گردد. اين عبارت به كمك معادله حالت سيال با جايگزيني مشتق زماني جرم حجمي با مشتق زماني فشار شبيه سازي شده است. در حل مسائل دائمي‌ جمله تراكم پذيري مصنوعي اضافه شده در همگرائي محاسبات به صفر گرائيده، معادله مورد نظر درنهايت نتيجه‌اي يكسان با معادلات تراكم‌ناپذير خواهد داشت.
با استفاده از فرضيات ساده كننده فوق و نيز اعمال روش تراكم پذيري مصنوعي معادلات حاكم بصورت زير بيان ميشوند:
كه در آن
, , , ,

, , ,
در اين معادله نماينده متغيرهاي وابسته و بردارهاي شار انتقالي كميت مورد بررسي در سه راستاي هستند. ، و w مولفه‌هاي سرعت و فشار، متغيرهاي وابسته مورد نظر ميباشند. جرم حجمي مورد نظر است. كه در روش تراكم ناپذيري مصنوعي به معادلات افزوده شده است ( )، شبيه به سرعت صوت در معادلات تراكم‌پذير، نقش ارتباط دهنده ميدان فشار را بين معادلات پيوستگي و معادلات حركت در دستگاه معادلات ايفا ميكند. در معادلات بالا h نشانگر راستاي قائم و g شتاب ثقل مي‌باشد. در معادلات حركت و انتقال غلظت پارامترهاي بعنوان مجموع ضريب پخش يا لزجت و پارامتر لزجت گردابه اي (جهت مدلسازي اثر آشفتگي) ميبا‌شد.
برای محاسبه لزجت جریان آشفته، یک مدل آشفتگی زیر مقیاس شبکه[۴](SGS) استفاده

شده است. در این مدل فرض می شود که گردابه های با اندازه بزرگتر از اندازه شبکه توسط مدل عددی مورد تحلیل قرار می گیرند و مدل آشفتگی بایستی گردابه های کوچکتر از اندازه شبکه را مورد لحاظ قرار دهد. لذا لزجت گردابه ای را در مقیاس کوچک برای زیر شبکه ها می توان از رابطه زیر، که شکل کلی مدل اسماگورنسکی برای جریانهای سه بعدی و جریانهای تحت فشار است، بدست آورد:

,
. نیز به صورت تعریف شده است. ضریب انتخاب شده است.
شرايط مرزي مورد استفاده براي حل معادلات بالا به دو دسته شرايط مرزي ديوار صلب (جدار غير قابل نفوذ) و مرزهاي عبور جريان دسته بندي ميشوند. در جدارهاي صاف ميتوان سرعت جريان را در جهت مماس بر مرز فرض نمود. در مرزهاي عبور جريان، با توجه به فرض تراكم ناپذيري (زير سرعت صوت بودن جريان)، بايستي مولفه هاي سرعت در مرزهاي ورودي جريان و فشار در مرزهاي خروج جريان اعمال شوند[۵].
مدل ریاضی جريان غیرماندگار در لوله ها
معادلاتي كه برای جریان غیرماندگار در یک مجرای کشسان (عمدتا جهت تجزيه و تحليل مسائل ضربه قوچ) ارائه گرديده، بسيار متنوع مي‌باشد. در اين نظريه واقعيات زير، مد نظر قرار گرفته است:
۱) جريان سيال هنگام وقوع ضربه قوچ به صورت ناپايدار يا غيرماندگار در مي‌آيد و جريان اوليه ممكن است دائمي يا پايدار باشد، يعني: (Q: دبی جريان(متر مکعب بر ثانيه)، V: سرعت جريان(متر بر ثانيه) و t : زمان(ثانيه) می باشد).
۲) سيال به صورت خطي قابل تراكم بوده وخاصيت تراكم پذيري آن موجب مي‌شود كه با تغييرات فشار، جرم مخصوص سيال تغيير نموده و سيال به صورت يك محيط الاستيك عمل نمايد.
۳) محاسبه افت انرژي جريان هاي ماندگار در حالت جريانهاي غيرماندگار نيز صدق مي‌نمايد.
۴) لوله جريان نيز به صورت خطي خاصيت كشساني دارد و در مقابل فشار، كرنش پذير مي‌باشد و از اين رو لوله افزايش قطر و طول پيدا مي‌كند.
با توجه به ساده سازيهای محاسباتی، معادله اندازه حرکت به شکل زير ن

وشته می شود:

كه درآن، D: قطرلوله(متر)، :V سرعت متوسط جريان(متر بر ثانيه)، x: امتداد طولی لوله، g: شتاب جاذبه(متر بر مجذور ثانيه)، H: مقدار هد آب(متر) و f :ضريب اصطکاک دارسی- وايسباخ می باشد.
همچنين با توجه به شکل (۲-۱) و ساده سازيهای محاسباتی، رابطه پيوستگی به شکل زير نوشته می شود:

در اين معادله: a: سرعت موج در لوله(متر بر ثانيه)، :V سرعت متوسط جريان(متر بر ثانيه)، x: امتداد طولی لوله، g: شتاب جاذبه(متر بر مجذور ثانيه)، H: مقدار هد آب(متر) و : زاويه لوله با سطح افق(راديان) می باشد.
مدل ریاضی جريان آب با سطح آزاد
براي شبيه‌سازي جريان در كانال‌هاي باز تلاش‌هاي بسياري صورت پذيرفته است. بايستي توجه داشت كه ساده‌سازي يك پديده با حذف عوامل كم اهميت از اولين اصول برخورد با مسائل مهندسي است. تدوين يك مدل عددي با مدلسازي تاثيرات عمده در جريان مورد نظر آغاز مي‌شود. بعضي از عوامل فيزيكي در جريانات با شرایط خاص و در مجاري داراي هندسه ساده عمده و برخي ديگر قابل صرفنظر مي‌باشند. حذف عوامل كم اهميت مدلسازي پديده را ساده مي‌نمايد. معادلات ميانگين عمقي (SWE) يكي از انواع متداول معادلات هيدروديناميك مورد استفاده در مدلسازي جريان‌هاي با سطح آزاد مي‌باشند.
اين معادلات بكمك انتگرال‌گيري از معادلات ناوير- استوكس سه‌بعدي از كف كانال تا سطح آب بدست مي‌آيند. در فرآيند انتگرال‌گيري از معادلات ناوير- استوكس فرض مي‌شود كه توزيع سرعت در عمق جريان يكنواخت است و فشار در جريان بصورت هيدرواستاتيك است، بعلاوه در بسياري از مسائل
هيدروليكي مي‌توان جريان را تراكم‌ناپذير فرض کرد. در اينصورت معادلات ميانگين عمقي شامل يك معادله پيوستگي و دو معادله ‌حركت جريان در سطح افق مي‌باشند. معادله دو بعدي انتقال و پخش يك غلظت مشخص را نيز ميتوان به مجموع معادلات افزود و شكل برداري معادلات را بصورت زير نوشت.

كه در آن

 

, , ,
, ,
كه در آن t برابر با زمان، x و y برابر با مؤلفه‌هاي مختصات دكارتي، تراز سطح آب، h برابر با عمق جريان و u و v برابر با سرعت جريان در جهات x و y مي‌باشند. در اينجا نشانگر دبي واحد سطح در جهت قائم (مجموع نشت و تراوش از بستر و تبخير و بارندگي از سطح) ميباشد. در معادلات حركت پارامترهاي و بترتيب تنشهاي كلي ناشي از زبري بستر از اثر باد بر سطح جريان و نيروي موثر بر جريان در اثر چرخش زمين در جهات x و y ميباشند. پارامتر بعنوان مجموع ضريب پخش يا لزجت و پارامتر لزجت گردابه اي افقي (جهت مدلسازي اثرآشفتگي) مبباشد. در معادلات بالا عبارات C يك غلظت مشخص (شوري يا آلاينده محلول و يا مواد معلق) و نشانگر دبي واحد سطح آن غلظت در جهت قائم (مجموع چشمه و چاه) آن ميباشد.
شرايط مرزي مورد استفاده براي معادلات بالا به دو دسته شرايط مرزي ديوار صلب (جدار غير قابل نفوذ) و مرزهاي عبور جريان دسته بندي ميشوند. در جدارهاي صاف ميتوان سرعت جريان را در جهت مماس بر مرز فرض نمود. مرزهاي عبور جريان با توجه به عدد فرود خود به دو نوع تقسيم ميشوند. اگر رژيم جريان زيربحراني باشد بايستي مولفه هاي سرعت در مرزهاي ورودي جريان و عمق در مرزهاي خروج جريان اعمال شود. اگر رژيم جريان فوق‌بحراني باشد بايستي مولفه هاي سرعت و عمق در مرزهاي ورودي جريان اعمال شود[۲].
مدلهاي مختلفي براي بيان لزجت جریان آشفته بيان شده اند. از مدلهای متداول، مدلهای جبری ميانگين عمقي میباشند. در اين مقدار لزجت جریان آشفته نيز به كمك رابطه زير قابل محاسبه است.