بردارها

تساوي در بردار: موازي، هم جهت و هم طولي دو بردار به تساوي آن دو مي‌انجامد.
مجموع دو بردار : روش متوازي الضلاع
روش مثلثي
خواص بردارها:
شركتپذيري:
بردار صفر: انتها و ابتداي بردار بر هم منطبق است. و با o نشان مي‌دهيم.
براي هر بردار دلخواه داريم
قرينه براي يك بردار: اگر بردار معلومي

باشد براي برداري با همان اندازه و جهت مخالف آن قرنيه نام دارد و با مشان داده مي‌شود.
تفاضل دو بردار: تفاضل دو بردار را بصورت زير تعريف مي‌كنيم:

تذكر: اگر بردار و اسكالر معلوم باشند حاصلضرب است. يعني برداري با همان جهت ولي برابر طويلتراز اگر و برداري مختلف الجهت با ولي برابر طويلتر از اگر .
برداريكه: هر برداري به طول واحد را يك برداريكه گوئيم. اگر بردار نا صفر باشد يك بردار يكه است.

زاويه بين دو بردار: منظور از زاويه بين دو بردار ناصفر كه با نشانداده مي‌شود يعني زاويه‌اي كه بايد بچرخد تا جهتش با جهت يكي شود.
°
°
°
ضرب اسكالر( ضرب نقطه‌اي يا داخلي)
منظور از حاصلضرب اسكالر دو بردار كه با نشان‌داده مي‌شود يعني عدد:
زاويه بين دو بردار را مي‌توان از به يا از به سنجيد. زيرا و
تذكر: ۱٫
۲٫

۳٫ حاصلضرب صفرا ست اگر تنها اگر همچنين بردار صفر بر هر برداري عمود است.
مثال: مثال : اگر خط جهت دار و بردار معلوم باشد منظور از تصوير اسكالر روي L كه به صورت نوشته مي‌شود.
يعني:
بطور كلي با معلوم بودن دو بردار منظور از تصوير اسكالر روي يعني

قضيه: اگر و آنگاه :

نتيجه:
مثال : اگر بردار آنگاه:
هر برداري در ضرب شود مؤلفه اول بدست مي‌آيد و اگر در ضرب شود مؤلفه بدست مي‌آيد:

آنگاه
۲٫

مثال: و را در صورتيكه با هم زاويه ° ۶۰ بسازند. را بيابيد.

ضرب برداري( خارجي)
برداري است كه بر صفحه دو بردار عمود است.
منظور از حاصلضرب خارجي دو بردار كه با نشان داده مي‌شود يعني بردار بطوريكه:
۱- اندازة C برابر است با:
۲- بر صفحه عمود است و در جهت حركت يك پيچ( راست دست) ك تيغه‌اش از به باندازه مي‌چرخد نشان داده
تذكر: هرگاه يا يا آنگاه
مساحت متوازي‌الضلاع ارتفاع قاعده
با توجه به فرمول قبل و شكل بالا نتيجه مي‌‌گيريم كه مساحت متوازي‌الضلاعي كه توسط بردارهاي و ساخته مي‌شوند با ضرب خارجي برابر است.
و مساحت مثلث ساخته شده توسط دو بردار قبل نصف مقدرا قبلي است .
مساحت مثلث
تذكر: حاصلضرب خارجي با معكوس شدن و ترتيب بردارهاي تغيير علامت مي‌دهد.

مثال هرگاه . بردارهاي متعاعد يك، باشند.

تذكر :۱

۲

۳-ضربهاي برداري شركت‌پذير نيستند.
قضيه: هرگاه :

آنگاه

مثال: مساحت مثلث به راسهاي:
و و را بيابيد.

* ضربهاي سه تايي از بردارها
حاصلضرب سه تايي را در نظ

بگيريد واضح است كه:

كه درآن مساوي ارتفاع(h) متوازي سطوح پوشيده بوسيلة بردارهاي است و چون مساحت قاعده متوازي‌الضلاع است پس متوازي‌الضلاع برابر حجم متوازي‌السطوح است.
قضيه:‌هرگاه‌ ‌و ‌،‌ آنگاه

مثال: ثابت كنيد

* صفحه:
يك صفحه بردار ناصفر عمود بر صفحه بطور منحصر بفرد مشخص مي‌شود بردار n قائم بر صفحه ناميده ميشود.
قضيه: هر صفحه معادله‌اي به شكل دارد كه در آن A,B,C همگن صفر نيستند بر عكس هر گاه C,B,A همگي صفر نباشند هر معادله به شكل (۱) معادله يك صفحه را مشخص مي‌كند.
معادله صفحه‌اي كه از نقطة ميكند و بردار قائم آن است عبارتست از
مثال: بازاي دو نقطه معلوم:

صفحه مابر عمود بر خط گذرنده از رابيابيد:

صفحه P به معادله عبارت است از:

مثال: معادله صفحه‌اي و موازي دو بردار و و را محاسبه كنيد.
مثال : معادله صفحه گذرنده از نقاط و و عمود بر صفحه باشد را بدست آوريد.

N عمود بر صفحه مورد نظر

* خطوط در
خط ما با يك نقطه معلوم روي L و بردار دلخواه موازي L بطور مختصر به فرد مشخص ميشود فرض كنيد: نقطه دلخواهي در باشد در اينصورت هر گاه باشد يعني كه t يك اسكالر است.

معادلات پارامترهاي خط

معادله متعارف خط L گذرد و با بردار u موازي است.
تذكر:
اگر يكي از مخرجهاي c,b,a در معادله متعارف صفر باشد صورت نيز بايد صفر باشد مثلاَ اگر ، معادله خط بصورت زير نوشته مي‌شود.

مثال: معادله خط گذرانده از نقطه موازي خط
حل :

مثال:
فصل مشترك دو صفحه
را بدست آوريد:

مثال:
معادله خط گذرنده از دو نقطه: ،
حل :
مثال :
ثابت كنيد خط: و فصل مشترك صفحات و موازي‌اند:
و
حل :
بردار فصل مشترك

* توابع برداري:
در اين فصل با تركيب حساب ديفرانسيل انتگرال و بردارها مطالعه حركت اجسام در فضا مي‌پردازيم براي اين منظور مؤلفه‌هاي عددي بردار شعاعي از مبدأ تا جسم را توزيع مشتق‌پذيري از زمن فرض كنيم و به اين ترتيب بردارهاي جسم را توصيف مي‌كنند بدست ميآوريم:
بردار شعاعي
از مبدآ تا نقطه كه مكان زير را در لحظه t از حركتش در فضا بدست مي‌آوريم.
* مشتق يك تابع برداري:
اگر و و توابعي با مقادير حقيقي باشند از t باشند و بردار

يك تابع با مقادير برداري از t باشد بردار مشتق F نسبت به t مي‌باشد مانند حالت حركت در صفح طول بردار بسرعت، مقدار سرعت جسم و جهت بردار سرعت جهت حركت است.
مثال: بردار مكان يك جس

م متحرك در لحظه t را مشخص مي‌كند.
در مقدار سرعت و جهت ر مشخص كنيد در چه لحظه‌اي در صورت وجود سرعت و شتاب جسم بر هم عمودند.

جهت سرعت

در لحظه شتاب و سرعت بر هم عمودند.
* قاعده زنجيره‌اي:
اگر مكان ذره‌اي باشد كه روي يك مسير در حركت است و اگر با قرار دادن تابعي از بجاي متغيرها را عوض كنيم مكان ذره تابعي از S مي‌شود داريم:

مثال
اگر را بدست آوريد:
مثال:

نكته: مشتق بردارهايي كه طولشان ثابت است.
اگر تابع مشتقپذير از باشد كه طولش ثابت است. آنگاه ثابت است. از طرفيت مشتقگيري مي‌كنيم داريم:

پس براي اينگونه بردارها، بردار سرعت بر خود بردار عمود است.
* تعيين به كمك انتگرالگيري
مثال:
شتاب ذره‌اي د رصفحه عبارتست از:
اگر و مكان ذره را بيابيد:

فاصله جهت داربردار مماس واحد
تعريف: طول خم از تا برابر است با :

اگر مطابق شكل يك نقطه مبنا مانند روي خم برگزينيم انتگرال از تا فاصله جهتدار S از تا را بدست ميدهد.

مقدار S مثبت است اگر باشد و منحني است اگر باشد.
بنابراين ( مادامي‌كه مخالف صفر باشد و از اين پس فرض مي‌كنيم چنين
باشد ( مثبت است) و S تابعي صعودي از t است. )
*بردار مماس واحد T
فرض كنيم فاصله جهت دار در روي خمي باشد كه انتهاي R را رسم مي‌كند چون نبايد برابر بر صفر باشدS يك به يك است و معكوسي دارد كه t را بصورت تابع مشتقپذيري از S بدست مي‌آيد.

بنابراين بردار واحدي است كه متوجه جهت V است. اين بردار رابه بردار مماس واحدT مي‌ناميم.

مثال:
مطلوبست تعيين بردار T در مورد پيچ:

حل :

* خميدگي يك خم در صفحه
خميدگي يك خم از فرمول : وقتي روي يك خم مشتق‌پذير در صفحه حركت مي‌كنيم بردار مماس واحد ، هر وقت خم، خم مي‌شود ميچرخد، آهنگ چرخشT را با اندازه‌گيري تغيير زاويه يعني زاويه‌اي كه T با I مي‌سازد اندازه مي‌گيريم. قدر مطلق كه بر حسب راديان بر واحد طول خم ذكر مي‌شود را خميدگي در آن نقطه ناميم.
مثال: خميدگي يك خط راست صفر است زيرا روي خط راست ثابت است و بنابراين صفر است.
مثال: نشان‌دهنده‌خميدگي يك دايره به شعاع برابر است با .
حل :

بردار قائم واحد اصلي در مورد خمهاي واقع در صفحه

وقتي باشد تعريف مي‌كنيم:

* شتاب و بردار قائم دوم
بردار قائمي است كه هم بر T و هم بر N عمود است.

خميدگي را مي‌توان به صورت آهنگ چرخش صفحه قائم وقتي كه p(نقطه) بروي صفحه خم حركت مي‌كند . همچنين تاب آهنگ بالا رفتن صفحه
بوسان است وقتي كه p روي خم حركت مي‌كند.

*مؤلفه‌هاي قائم و مماس شتاب

*رويه‌ها
* استوانه‌ها

اول در روي z كشيده بعد در امتداد x ها همان شكل قبل را تكرار مي‌كنيم.
* سهمي‌وار بيضوي

ابتدا x=0 سهمي
y=0
z=0 (0,0,0) مبدأ
مقطع بيضوي است

* سهمي‌وار مستدير
در فرمول بالا مقطع آن دايره است.
* مخروط بيضوي

x=0
y=0
z=0

*توابع چند متغيره:
فرض كنيد D مجموعه‌اي باشد از n تايي‌هاي اعداد حقيقي به صورت يك تابع حقيقي f با دامنة D قاعده‌اي است كه به هر n تايي از اعداد كه در D باشند عددي حقيقي چون را نسبت دهد.

مثال:
دامنه تابع تعيين كنيد:

نقاط داخل و روي سهمي جزء دامنه تابع‌اند.
نقطه‌اي دلخواه را در نظر مي‌گيريم ببينيم صدق مي‌كند يا خير.

* حدود پيوستگي براي توابع چند متغيره
اگربتوان مقادير تابعي چون را با نزديك كردن نقطه به نقطه تا آنجا كه برآن منطبق نشود به اندازه دلخواه به عددي ثابت مانند L نزديك كرد ميگوئيم كه حد f است وقتيكه بسمت ميل كند و با حد

نشان مي‌دهيم.
فرض كنيم يك تابع دو متغير با حد L در نقطة باشد
همچنين در امتداد منحني به نزديك شده.دراينصورت حد جزئي
بدست مي‌آيد.
و
كه شبيه حدود يكطرفه در حالت يك بعدي است.
اما اين تعريف از نظر نزديك شدن به چيزي نمي‌گويد بخصوص مي‌تواند در امتداد خط افقي يا خط قائم به p نزديك شده كه اين دو حد معمولي :
۱) ۲)

را بدست ميدهد.
اين حدود بايد مساوي (۳) باشد

و اگر حدود ۱و۲ موجو نباشد حد(۳) موجود نيست.
مثال:
حد تابع را در مبدأ بررسي كنيد.
حل :

روي مسير داريم:

با مقادير مختلف m براي حد تابع مقادير مختلفي بدست ميآيد پس تابع در مبدأ حد ندارد.

* تعريف:
بازاي تابع دو متغيره حدود

حدود مكرر گوئيم
موجود است

مثال:
حد تابع در مبدأ بررسي كنيد:
حل :

بايد منحني را بيابيم كه جواب صفر نشود.
در اينجا نتيجه‌ مي‌گيريم كه در مبدأ حد موجود نمي‌باشد.
*پيوستگي:
تعريف: تابع را در پيوسته گوئيم هرگاه:
۱) تعريف شده باشد
۲) موجود باشد.

۳)

*تعريف حد:

, ,
مثال: نشان دهيد تابع:

در هر نقطه‌اي بجز مبدأ پيوسته است.
چون تابعي گويا داريم فوق در صفر پيوسته نيست و در نقطه‌‌هاي بجز صفر پيوسته است.

در نتيجه با دادن مقادير مختلف m حد هم موجود نيست.
*مختصات استوانه‌اي:
مختصات استوانه‌اي در فضا را از طريق مختصات قبلي در صفحة(x,y) با محور معمولي z بدست مي‌آوريم:

در مختصات استوانه‌اي يك استوانه در امتداد محور z است .
صفحه‌اي است شامل محور z و با محور x ها زاويه مي‌سازد.(r,z متغير است ) فقط ثابت شده است.
سهمي‌وار مستدير
*مختصات كروي:

p فاصله نقطه از مبدأ است. زاويه‌اي اس كه بردار با قسمت مثبت محور z ها مي‌سازد. همان ي مختصات قطبي است.

*مشتقات جزئي
مشتق‌هاي جزئي وقتي بدست مي‌آيند كه دريك تابع چند متغيره همه متغير‌ها بجز يكي را ثابت نگه مي‌داريم و نسبت به آن متغير مشتق مي‌گيريم.
تعريف:
مشتق نسبت به x در را به صورت يا و يا نشان مي‌دهيم و به صورت زير تعريف مي كنيم.

مثال: اگر و و نقطه (۱,۱) ببيابيد.
حل :

*توزيع با بيش از دو متغير
مثال)

*قاعده زنجيره‌اي در مورد توزيع دو متغير
فرض كنيم كه در آن (x,y) خود توابع مشتقپذيري از t هستند آنگاه فرمول زير را تعريف ميكنيم.

مثال:
مشتق تابع را وقتي و باشد را بدست آوريد.
حل :‌

*قاعده زنجيره‌اي در مورد توابع سه متغيره

*‌اگر‌تابع‌ توابعي‌بر‌حسب‌r,s‌باشند يعني
مشتقات جزئي آن نسبت به s,r مشتقات جزئي پيوسته دارند و داريم:

مثال: اگر

*مشتق‌هاي جزئي با متغيرهاي مقيد
اگر متغيرهاي تابعي چون رابطه‌اي مانند مقيد شدند تعبير هندسي و مقادير عددي مشتقات جزئي f به اين بستگي خواهند داشت كه چه متغيرهايي را وابسته و چه متغيرهايي و مستقل انتخاب كنيم .
گاهي اوقات اگر تنوان در عبارت مربوط به w متغير وابسته ديگر را حذف كنيم از معادلات به همان صورت كه هستند مشتق مي‌گيريم و سعي مي‌كنيم و از معادلات بدست مي‌آوريم.
مثال۱)‌اگر‌x,y متغيرهاي مستقل باشند‌و و را بدست مي‌آوريم
حل :‌

*گراديان و مشتق جهتي
تعريف
اگر مشتقهاي جزئي در نقطه تعريف شوند آنگاه گراديان f در بردار زير است ك با محاسبه مشتقهاي جزئي در بدست مي‌آيد.