بردار

کلمه بردار به معنای حمل کننده میباشد و از یک کلمه لاتین به همین معنا گرفته شده است.یک بردار به عنوان یک عنصر از فضای برداری تعریف میشودو در فضای nبعدی دارای n مولفه است.پس بدیهی است که یک بردار در صفحه دارای دو مولفه میباشدو یا در فضای سه بعدی سه مولفه را اختیار میکند.بردارها در علوم مختلف مانند فیزیک کاربردهای فراوانی دارند و بدون آنها نمیتوان بسیاری از مولفه های فیزیکی مانند سرعت ، شتاب و… را تفسیر و تعریف نمود.
کميتی که علاوه بر اندازه دارای جهت نيز باشد. مهم ترين کميت های برداری که می‌‌توان نام برد عبارت‌اند از:

۱- مکان ۲- سرعت ۳- شتاب ۴- نيرو ۵- ميدان های الکتريکی و مغناطيسی
يکی از بهترين راهای تشخيص برداری بودن يا نبودن يک کميت اينست که بررسی کنيم آيا جمع آن کميت خاصيت برداری دارد يا خير. مثلاً جريان الکتريکی با وجود آنکه علاوه بر اندازه جهت نيز دارد ولی برداری نيست زيرا جمع جريان ها به صورت اسکالر صورت می‌‌گيرد (قانون جريان کيرشهف).
در حالت بسيار کلی هر مجموعه عدد که به صورت يک ماتريس ستونی n*۱ قابل نوشتن باشد بردار گفته می‌شود. کاربرد اين مفهوم در توصيف حالت سيستم ها به مراتب بيشتر از محاسبات پديده‌های فيزيکی است.

خصوصیات بردارها
بردارها را میتوان با یکدیگر جمع (جمع بردارها) و یا ضرب (ضرب بردارها) کرد.البته ضرب دو بردار با ضرب یک اسکالردر آن فرق میکند.ضرب بردارها سه نوع است که عبارتنداز ضرب داخلی ، ضرب خارجی و ضرب مستقیم تانسوری که حاصل همه این ضربها لزوما یک بردار نیست.
هر بردار دارای دو مولفه است که این دو مولفه عبارتند از طول بردار و جهت بردار.همچنین هر بردار دارای یک ابتدا و یک انتها نیز هست. برداری که دارای طول واحد باشدبردارواحد مینامند و برداری که طول آن صفر است را بردارصفر مینامند.
جبر برداری
مجموع اعمال ریاضی شامل جمع ، ضرب ، مشتق ، انتگرال و… که بر روی

بردارها انجام می‌شود، بر اساس قواعد و اصول خاصی قابل اجراست. مجموعه این قوانین در مبحثی تحت عنوان جبر برداری مورد بحث قرار می‌گیرند.
اطلاعات اولیه
بحث حرکت در دو یا سه بعد با وارد کردن مفهوم بردار بسیار ساده می‌شود. یک بردار از نظر هندسی به صورت کمیتی فیزیکی تعریف می‌شود که بوسیله اندازه و

جهت در فضا مشخص می‌شود. به عنوان مثال می‌توان به سرعت و نیرو اشاره کرد که هر دو کمیتی برداری هستند. هر بردار را با یک پیکان که طول و جهت آن نمایشگر اندازه و جهت بردار است، نمایش می‌دهند. جمع دو یا چند بردار را می‌توان بر اساس راحتی کار با استفاده از روشهای متوازی الضلاع یا روش تصاویر که در آن هر بردار را به مولفه‌هایش در امتداد محورهای مختصات تجزیه می‌کنند، انجام داد.

ضرب بردارها
ضرب بردار در حالت کلی به دو صورت ضرب نقطه‌ای یا عددی و ضرب برداری انجام می‌شود. در ضرب عددی یا اسکالر یا نقطه‌ای که با نماد A.B نمایش داده می‌شود، حاصضرب برابر با است با حاصضرب اندازه یک بردار در اندازه تصویر بردار دیگر بر روی آن. طبیعی است که اگر دو بردار بر هم عمود باشند، حاصضرب آنها صفر خواهد بود. اما در ضرب برداری که بصورت A×B نمایش داده می‌شود، نتیجه حاصضرب ، برداری است که جهت آن با استفاده از قاعده دست راست تعیین می‌شود و اندازه آن با حاصضرب اندازه دو بردار در سینوس زاویه بین آنها برابراست. ضرب برداری علاوه بر دو حالت فوق می‌تواند بصورت مختلط نیز باشد. به عنوان مثل اگر C , B , A سه بردار دلخواه باشند در این صورت می‌توان ضربهایی به شکل A.B×C یا A×B×C نیز تشکیل داد. اما همواره باید توجه داشته باشیم که نتیجه حاصلضرب اسکالر یا عددی یک عدد است در صورتی که نتیجه حاصلضرب برداری یک بردار است.
قاعده دست راست
قاعده دست راست که در بیشتر مسائل فیزیک که با بردارها سر و کار دارند مطرح است، به این صورت بیان می‌شود. فرض کنید A و B دو بردار دلخواهی هستند که به صورت برداری در یکدیگر ضرب می‌شود. برای تعیین جهت بردار حاصضرب کافی است چهار انگشت دست راست را در راستای بردار اول قرار داده و بوسیله چهار انگشت خود این بردار را بطرف بردار دوم بچرخانیم، در این صورت جهت انگشت شست دست راست در راستای بردار منتجه خواهد بود
مشتق گیری برداری
برای مشتق گیری برداری قواعد خاصی وجود دارد که به صورت زیر اشاره می‌شود.
مشتق جمع دو یا چند بردار با مجموع مشتقات تک تک آنها برابر است.
مشتق حاصضرب دو بردار (خواه اسکالر خواه برداری) برابر است با مجموع دو جمله ، که جمله اول شامل حاصضرب مشتق بردار اول در خود بردار دوم و جمله دوم برابر با حاصضرب خود بردار اول در مشتق بردار دوم است. بدیهی است که مشتق حاصلضرب چندین بردار نیز به همین صورت تعریف می‌شود. یعنی به تعداد بردارهایی که در هم ضرب می‌شوند، جمله وجود دارد و در هر جمله مشتق یک بردار وجود دارد. علاوه بر این مشتقات مراتب بالاتر (مشتق دوم و بیشتر) نیز به همین صورت انجام می‌شود.
انتگرال گیری برداری
در حالت کلی سه بعدی دو نوع تابع می‌توان در نظر گرفت. توابع نقطه‌ای اسکالر و توابع نقطه‌ای برداری. به عنوان مثال تابع انرژی پتانسیل یک تابع نقطه‌ای اسکالر است، در صورتی که شدت میدان الکتریکی یک تابع نقطه‌ای برداری است. همچنین انتگرال گیری نیز می‌تواند به سه صورت خطی ، سطحی و حجمی صورت گیرد. در حالت اول انتگرال گیری بر روی یک منحنی صورت می‌گیرد. اما در حالت دوم انتگرال گیری روی یک سطح و سرانج

 

ام در حالت چهارم روی یک حجم صورت می‌گیرد. نکته قابل توجه در اینجا این است که انتگرال گیری با توجه به تقارن موجود و نیز نوع تابع مسئله در سیستمهای مختصاتی مختلف انجام داد. به عنوان مثال اگر مسئله مورد نظر ما دارای تقارن کروی باشد بهتر است کلیه انتگرالهایی که در مسئله مورد نیاز است در سیستم مختصات کروی انجام دهیم.
ضرب داخلی
در ریاضیات فضای ضرب داخلی یک فضای برداری است. ضرب داخلیا تعریف نماییم.با وجود آنکه در این نوع ضرب دو بردار در هم ضرب میشوند ولی حاصلضرب این دو بردار یک عدد اسکالر است.ضرب داخلی در ریاضیات،مهندسی،وفیزیک کاربردمای فراوانی دارد
تعریف
ضرب داخلی دو بردار uوvرا با نشان میدهند. ضرب داخلی در یک فضای برداری حقیقی از چهار ویژگی مهم تبعیت میکند.فرض کنید u،vوهمچنین w سه بردار و یک اسکالر باشدآنگاه:
۱٫
۲٫
۳٫
۴٫ و برابر صفر است هرگاه v=0 باشد.

تعاریف زیر را برای ضرب داخلی ذکر میکنیم:
۱٫ در حوزه اعداد حقیقی به صورت زیر بدست میآید:

۲٫در فضای n-بعدی حاصلضرب داخلی از رابطه زیر بدست میآید:

به عنوان مثال در فضای دو بعدی میتوان ضرب داخلی دو بردار را از رابطه زیر محاسبه کرد:

نرم در فضای ضرب داخلی
در فضای ضرب داخلی نرم یک بردار به صورت زیر تعریف میشود:

در واقع بوسیله نرم یک بردار میتوان طول آن بردار رابدست آورد.
نامساوی کوشی-شوارتز

البته دقت کنید که دو برداری که در این نامساوی صدق میکنند باید وابسته خطی باشند.

محاسبه زاویه بین دو بردار
پس از مطالعه این مطالب شاید از خود بپرسید که این روابط دارای چه فوایدی هستند و چه لزومی دارد که این روابط را بدانیم؟
فرض کنید دو بردارداریم که مختصات آنها معلوم است،حال میخواهیم زاویه بین این دو بردار را بدست آوریم برای این کار از فرمول زیر استفاده میکنیم:

باید توجه کرداین فرمول زاویه بین دو بردار را در فضای دو بعدی محاسبه میکند.
آنالیز برداری
اطلاعات اولیه
بیشتر کمیات فیزیکی که در فیزیک و علوم مهندسی با آنها مواجه می‌شویم، به دو صورت اسکالر (نرده‌ای) و برداری هستند. یک ک

میت اسکالر تنها با بیان بزرگی و همراه با یکای خود ، اگر داشته باشد، کاملا مشخص می‌شود. به عنوان مثال جرم یک کمیت اسکالر است که با مقدار و یکایش که کیلوگرم است، کاملا مشخص می‌گردد. دسته دیگری از کمیات ، کمیات برداری هستند که علاوه بر مقدار و یکا دارای جهت نیز هستند.
به عنوان سرعت و شتاب نمونه‌هایی از کمیتهای برداری هستند. کمیتهای برداری از قواعد جبر برداری پیروی می‌کنند و علاوه بر آن هندسه ، دیفرانسیل و انتگرال که در نمایش ریاضی کمیتهای فیزیکی ، نقش بسیار مهمی‌دارد، نیز ضروری است. کلید این مباحث در مطالبی تحت عنوان آنالیز برداری که به مفهوم تحلیل و بررسی

مسائل مربوط به بردارهاست، مورد بحث قرار می‌گیرد.
نمایش کمیاب برداری
گفتیم که هر کمیت برداری علاوه بر مقدا و یکا با جهت نیز مشخص می‌شود، از نظر ترسیمی ، یک بردار با یک پاره خط و یک پیکان در یک انتهای آن نمایش داده می‌شود. طول پاره خط تقریبا متناسب با بزرگی کمیت برداری است، پیکان جهت کمیت برداری را نشان می‌دهد. به عنوان مثال اگر A یک کمیت برداری باشد، در این صورت نمایش داده می‌شود.
تساوی بردارها
دو بردار را در صورتی مساوی می‌گویند که بزرگی و جهت آن دو با هم برابر باشند. به عبارت دیگر برای تساوی دو بردار علاوه بر اینکه باید اندازه یا بزرگی آنها با هم برابر باشد، باید هم جهت نیز باشد.
ضرب بردارها
بردارها معمولا به دو صورت می‌توانند در هم ضرب شوند. این دو به نامهای ضرب داخلی یا عددی و ضرب برداری معروف هستند.
ضرب عددی
ضرب عددی دو بردار B و A با نماد B.A نمایش داده می‌شود و حاصل آن برابر است با حلصضرب بزرگی دو بردار در کسینوس زاویه بین آنها از آنجا که۹۰ Cos برابر صفر است، لذا می‌توان گفت که اگر حاصضرب عددی دو بردار برابر صفر باشد در این صورت این دو بردار بر هم عمودند.
ضرب برداری
ضرب برداری دو بردار دلخواه B,A بصورت A×B نشان داده می‌شود و مقدار آن برابر است با حاصضرب بزرگی دو بردار در سینوس زاویه بین آنها. همچنین می‌دانیم که سینوس صفر یا ۱۸۰ درجه صفر است، بنابراین دو بردار موازی باشند، در این صورت حاصل ضرب برداری آنها صفر خواهد شد.
جمع و تفریق برداری
برای جمع دو بردار به روش تحلیل قواعد مختلفی وجود دارد که در اینجا به چند نمونه اشاره می‌شود.
روش متوازی الاضلاع: فرض کنید بخواهیم دو بردار دلخواه را با هم جمع کنیم. برای اینکار مبدا مختصات را بر ابتدای یکی از این بردارها منطبق فرض می‌کنیم، حال از ابتدای همین برداری ، بردار دیگری به موازات بردار دوم و درست برابر با اندازه آن (بزرگی اش با آن برابراست رسم می‌کنیم. حال از انتهای بردار اول بردار دیگری دقیقا موازی بردار اول و به اندازه آن رسم می‌کنیم. به این ترتیب یک متوازی الاضلاع حاصل می‌شود. قطری از

متوازی الاضلاع که ابتدای آن بر ابتدای دو بردار اولیه منطبق است، بردار حاصل جمع بردار اولیه خواهد بود.

روش تجزیه: در این روش که بیشتر مورد استفاده قرار می‌گیرد، کار به این صورت است که یک سیستم مختصات با محورهای X,Y,Z در نظر می‌گیریم. از ابتدای مختصات بردارهایی دقیقا در راستای بردارهای اولیه و درت به اندازه آن

ها رسم می‌کنیم.حال هر بردار در محورهای مختصات به مولفه‌هایش تجزیه می‌کنیم. به این ترتیب سه معادله می‌توانیم بنویسیم. هر معادله با مجموع مولفه‌ها در راستای یک محور با توجه به علامت آنها (که بسته به جهت مولفه تعیین می‌شود) نوشته می‌شود.
به این ترتیب هر سه مولفه بردار حاصل جمع حاصل می‌شود. برای تعیین جهت بردار حاصل جمع باید از روش هندسی و روشهای مثلثاتی کرده و مقدار زاویه‌ای را که بردار حاصل جمع با محورها می‌سازد، تعیین کنیم. حسن این روش در این است که علاوه بر دو بردار می‌توان حاصل جمع چندین بردار را براحتی تعیین کنیم.
تفریق دو بردار
تفریق دو بردار را نیز می‌توان با استفاده از قاعده جمع برداری مشخص نمود. به عنوان مثال اگر بخواهیم حاصل A-B را تعیین کنیم، بردار A را با بردار B – که برداری به اندازه B و در خلاف جهت آن است، جمع کنیم.
ضرب خارجی
ضرب خارجی که به آن ضرب برداری نیز گفته میشود،یک عمل دوتایی در یک فضای سه بعدی است که بر روی دو بردار اعمال میشود.حاصل این عمل برداری است که بر دو بردار مذکور عمود است.جهت این بردار از طریق قانون دست راست بدست می آید.
تعریف
دو بردار AوB را در نظر میگیریم و زاویه بین این دو بردار را فرض میکنیم در این صورت ضرب خارجی این دو بردار به صورت زیر تعریف میشود:

فرض کنیم دو بردار مذکور بر حسب بردارهای واحد i و j و k و به صورت زیر تعریف شده باشند:

در این صورت ضرب خارجی دو بردار ( بدون نیاز به داشتن زاویه بین آنها) به صورت زیر تعریف میشود:

خصوصیات

خصوصیات هندسی

حجم متوازی السطوحی که روی سه بردار
ساخته شده است از ضرب سه گانه این
سه بردار حاصل میشود.
اندازه ضرب خارجی برابر مساحت یک متوازی الاضلاعی است که بر روی دو ضلع a و b ساخته شده است. یعنی داریم:

همچنین حجم یک متوازی السطوح که بوسیله بردارهای a و b و c ایجاد شده است برابر ضرب سه گانه زیر میباشد:

ویژگیهای جبری
• ضرب خارجی دو بردار خاصیت جابجایی ندارد:

• ضرب خارجی دو بردار خاصیت توزیع پذیری نسبت به عمل جمع دارد:

• ضرب یک عدد اسکالردارای خصوصیت زیر خواهد بود :

• این ضرب شرکت پذیر نیست. ولی در اتحاد ژاکوبی صدق میکند:

شرحي بر مباني رياضي كاربردي در الكترو مغناطيس
آناليز برداري:
بردار به پاره خطي جهتدار اطلاق مي‌شود كه در محورهاي مختصات خاصي تعريف شده و اندازه و ابتدا و انتها و جهت دارد .
سيستمهاي مختصات:
براي تعين موقعيت يك نقطه در فضا نسبت به يك مبداء مرجع مورد استفاده قرار مي‌گيرد كه بنا به نوع استفاده انواع گوناگوني دارد گاهي مراد به مختصات راست گوشه است كه در اين مختصات سه صفحه عمودي هم در نظر گرفته شده كه محل تلاقي آنها به عنوان محور مختصات مورد استفاده قرار مي‌گيرد و گاهي از مختصات كروي و استوانه‌اي استفاده مي‌كنيم كه در مواردي خاص براي سهولت در حل مسائل از چنين مختصاتهايي بهره مي‌بريم.
اما در درس مباني نجوم راديوئي به علت اهراز از معادلات پيچيده فقط به معرفي و كاربرد مختصاتهاي ساده‌اي چون مختصات راستگوشه بسنده كرده تا جاي ديگر.
مختصات راست گوشه:
همان محورهاي مختصات هستند كه در دوران دبيرستان از آن استفاده مي‌شد و امتداد سه جهت طول و عرض و ارتفاع قرار داشته و به صورت (x,y,z) نشان داده مي‌شود كه x حاكي از محور طولها و y حاكي از محور عرضها و z ارتفاع را نشان مي‌دهد.
و براي نشان دادن موقعيت يك نقطه در فضا با تصوير كردن آن نقطه روي صفحات مذكور جسم را نسبت به مبداء مختصات نشان مي‌دهيم.
تمرين : مثلاً نقطه (۶ ، ۵ ، ۴) را در مختصات كارتزين پيدا كنيد؟
تبديلات سه مختصات :

كروي استوانه‌اي راستگوشه
x
y
z
در مختصات كارتزين جمع و تفريق برداري بسيار ساده است
و ضرب برداري بصورت ضربهاي داخلي و خارجي تعريف مي‌شود.
ضرب داخلي:
اين ضرب به ضرب داخلي موسوم است و همان گونه كه ملاحظه مي‌شود در صورتي كه A در راستاي B باشد بيشترين مقدار و در صورت عمودن بودن A و B نتيجه ضرب بسوي صفر ميل مي‌كند.
ضرب داخلي از ديدگاهي فيزيكي مشابه بدست آوردن كار مي‌باشد كه dw=f.dl كه كار كميتي زده‌اي است و داراي جهت نيست و اگر نيرو عمود بر راستاي حركت اعمال شود تابع كار برابر صفر است. پس در گردش الكترون در مسير دايره‌اي كه ميدان مغناطيسي عمود بر راستاي حركت مي‌باشد. هيچگونه كاري انجام نمي‌گيرد ولي حركت كردن الكترون در راستاي اعمال نيرو بيشينه كار انجام مي‌گيرد.
ضرب خارجي دو بردار:
چنانچه دو بردار آنچنان با يكديگر ضرب شوند كه حاصل اين ضرب خود يك بردار باشد و جهتدار به چنين ضربي، ضرب خارجي گويند و حاصل ضرب خارجي دو بردار معمولاً عمود بر امتداد دو بردار خواهد بود. و جهت آن از قانون دست راست پيروي مي‌كند يعني اگر B*A باشد وقتي با دست راست از جانب محور A به سوي B حركت كنيم شست دست جهت بردار عمود را نشانه مي‌رود كه نتيجه ضرب خارجي دو بردار است.
ضرب برداري معمولاً در فيزيك در حركتهاي چرخشي ظاهر مي‌شود مثلاً در مورد گشتاور نيرو در حركات دوراني كه در اين رابطه نيرو يك بردار و نيز يك بردار و گشتاور نيرو نيز نشان دهندة يك بردار است. همچنين مسائلي از اين نوع گاهي براي ضرب برداري دو بردار از دترمتان استفاده مي‌شود.
گراديان:
تغييرات جزئي يك نقطه در يك سيستم را با گراديان نشان مي‌دهند.
نكته:
عملكرد به تنهايي معني ندارد اگر چنانچه با برداري ضرب داخلي يا خارجي شود معني پيدا مي‌كند.
ضرب داخلي با يك برداري مثل dI عمل گراديان را نشان مي‌دهد مثل
كه تغييرات f را در راستاي L نشان مي‌دهد در راستاي عمود بر حركت داراي كمينه تغييرات و در راستاي حركت داراي پيشينه تغييرات است.
ضرب خارجي با يك بردار مثل dI برابر با صفر خواهد بود.

پس اگر چنانچه بخواهيم را در يك مسير محاسبه كنيم و چون df يك مشتق كامل است به مسير بتسگي ندارد و فقط b,a در آن مهم است و اگر a=b باشد يعني مسير دايره‌اي باشد جواب انتگرال صفر خواهد بود و اين هم بر مي‌گردد به نكته (۳) زيرا حركت دايره‌اي حاكي از ضرب خارجي است.
ديورژانس:
اگر چنانچه جريان شاري در راستاي عمودي جعبه‌اي در حال حركت باشد بطوريكه شار به صورت عمودي وارد سيستم شده و از طرف ديگر خارج شود اگر مقدار شار را با نمايش دهيم هر صفحه كه A بردار گذرا و ds سطح گذر مي‌باشد.
پس مقدار شار را در سيستم مكعب شكل به قرار زير داريم:
و به عبارت ديگر:
قضيه ديورژانس:
اگر چنانچه شاره‌اي رادر نظر گرفته و حجم كوچكي را كه كنار هم گذاشتن احجام كوچكتر كنار هم به وجود آمده است در ميان شار در نظر بگيريم.
كه از يكي از سطوح شاره وارد حجم شده و از سمت ديگر خارج م

 

ي‌شود مي‌شود اگر چنانچه مقدار شار و حجم سطح را طوري در نظر بگيريم كه مقدار شار گذري از هر سطح برابر با هم باشد پس در حجم كوچكي كه مقداري شاره وارد مي شود از سوي ديگر حجم به بيرون آمده و مجموع اين ورود و خروجها صفر مي‌شود مگر در

سطوح جانبي و محاط بر سيستم كه در آنها فقط شارهاي ورودي و خروجي داريم.
پس مي‌توانيم قضيه را به اين صورت بنويسيم
رابطه‌اي است بين حجم و سطح در يك قضيه رياضي يعني مقدار موجي كه وارد يك حجم مي‌شود برابر مقدار موجي است از سطوح جانبي آن جسم مي‌گذرد.