بررسي روش انرژي و كاربرد آن در خواص كششي پارچه

۱- مقدمه :

ميكرومكانيكهاي پارچه را بر اساس روش واحد كوچك مرسوم بررسي خواهيم كرد. بصورتيكه يك پارچه را به عنوان يك شبكه‌اي از واحدهاي كوچك مشخص و تكرار شونده در نظر گرفته شده و به شكل موجهاي تجعد در ساختار پارچه هاي تاري و پودي و حلقه هاي سه بعدي در ساختار پارچه هاي حلقوي قرار گرفته اند.

پارچه ها يك نوع مواد پيچيده‌اي هستند كه حتي بطور تقريبي از حالتهاي ايده آل ونرمال فرض شده در آناليز ساختاري مهندسي و مكانيك نيز پيروي نمي كنند . همچنين مطالعات هندسه پارچه ، نقش اساسي در توسعه فرآيند كنترل كيفيت طراحي، و تقويت پايداري ابعادي و خصوصيات پارچه در طول مدت توليد و كاربرد را ايفا مي كند .

در مورد پارچه هاي تاري پودي ، روشهاي آناليز نيرو بطور گسترده‌اي براي مطالعه و تفسير خواص مكانيكي پارچه مثل كشش ، خمش و برش مورد استفاده قرار گرفته است .اگر چه در مورد پارچه هاي حلقوي بدليل طبعيت سه بعدي حلقه هاي متقاطع ، آناليز روش نيرو بسيار پيچيده است . در هر دو روشهاي آناليز هندسي و نيرو براي پارچه هاي تاري /پودي و حلقوي ،؛ تعدادي از فرضيات اوليه در ارتباط با طبيعت تماسهاي نخ و شكل سطح مقطع نخ در هر واحد كوچك از پارچه لازم مي باشد .

اين فرضيات معمولاً خطاهاي زيادي در مورد هر نوع آناليز مكانيكي پارچه يا خواص رئولوژي آن را به همراه دارد .

در اين بحث ، نشان داده مي شود كه روشهاي آناليز مينيمم كردن انرژي بر بسياري از مشكلات قبلي روشهاي آناليز گذشته، برتري خواهد داشت تكنيكهاي مينيمم انرژي به طوركلي قوي هستند وقتي كه براي مطالعه ساختارها و مشخصات تغيير فرم الاستيك پارچه ( بعد از استراحت ) بكار مي روند . همچنين اجازه مي دهد كه مقايسه هاي مستقيم در حالتهايي كه پارامترهاي نرمال شده بي بعد بين ساختمانهاي مختلف پارچه تاري و پودي و حلقوي ، را بوجود آورد . آناليز انرژي بر اساس اصل اساسي كه ساختارهاي الاستيك هميشه ، شكلي از مينيمم انرژي ازدياد طول بدون توجه به تغيير فرم ايجاد شده، در نظرگرفته مي شود .نتيجه مينيمم انرژي كرنشي كل نخ در پارچه (شامل خمش ، پيچش ، فشار جانبي و ازدياد طول -طولي نخ ) بعنوان يك مسئله كنترل بهينه عمل نمود . و شامل قيود ( محدوديتها ) مشخص ه در پارچه مي‌باشد.

۲- روشهاي آناليز انرژي

كاملاً مشخص است كه شرايط نيرو و تعادل گشتاوري در ساختارهاي استاتيكي از نظر رياضي با شرايط مينيمم انرژي معادل است (۳۷-۳۵) بدليل اينكه انرژي يك كميت عددي است بنابراين قسمتهاي خاصي از انرژي كل مي تواند بصورت عددي اضافه گردد اما نيروها و تنشها بايد بصورت برداري جمع شوند .

تريلور و ريدينگ[۳۸] نشان دادند ، آناليز مكانيك نخ مي تواند به سادگي و قوي بوسيله روش انرژي انجام گيرد . هرل و نيوتن [۳۹] نيز نشان دادند كه آناليز انرژي به كار رفته در پارچه هاي بي بافت ، نتيجه كلي ساده تر از روش نيرو مرتبط با آن را به دست خواهد آورد . همچنين تايبي و بيكر[۴۰] ، از اصول انرژي براي پيدا كردن تاب مورد نياز نخ چند لا براي توليد كردن نخهاي بدون تاب زندگي استفاده كردند . و بالاخره تئوري كاستيگيليانو[۴۱] بطور گسترده در مسائل مهندسي براي پيدا كردن حل، ساختارهاي نامعين بكار رفته است .اين تئوري توسط گروسبرگ[۱۳] در پارچه هاي تاري و پودي استفاده شده است .

اين روشهاي انرژي بصورت ساده و كلي نمي تواند براي پارچه ها بكار روند بدليل اينكه هميشه يكسري فرضيات اوليه در مورد هندسه مسئله وجود دارد . تريلور و ريدينگ ، هندسه مارپيچ ثابت را براي نخها فرض نمودند، در نتيجه روش آنها هيچ اطلاعاتي درباره نيروهاي عرضي عمل شده در داخل نخ را بدست نمي آورد . هرل و نيوتن فرضياتي درباره هندسه توده الياف بي بافت در نظر گرفتند ، كه باز هم اطلاعاتي در رابطه با نيروهاي داخلي در سيستم بدست نيامد. در تئوري كاستيگيليانو، فرضية هندسه ثابت بكار رفت كه فقط قانون تنش – كرنش خطي مي تواند استنباط گردد[۴۱].بنابراين گروسبرگ[۱۳] فقط مدول ازدياد طول اوليه براي پارچه تاري و پودي را بيان نموده است .

روش هاي انرژي بطور گسترده در مسائل مكانيك پيچيده استفاده شده بطوريكه بجاي حالت هندسي ، روابط جبري بدست آمده از اصول انرژي جايگزين شده است . اگر مسئله بخوبي و بطور صحيح فرمول سازي شده باشد حداقل اطلاعات بيشتري با استفاده از روش انرژي نسبت به روشهاي نيرو مي تواند بدست آيد . سادگي بيشتر روش انرژي بطور طبيعي آنرا به يك روش جذاب تبديل نموده و همچنين تعداد فرضيات و تقريبهاي غير ضروري را نيز اغلب حذف نموده است . بطور مثال با استفاده از تئوري كنترل بهينه ، فرضيات قبلي ساخته شده در مورد طبيعت منطقه تقاطع نخ در پارچه حلقوي ساده ، لازم نمي باشد .

دلايل مناسب ديگري ،براي استفاده از روشهاي انرژي در مسائل مكانيكي پارچه نيز وجود دارد . اغلب اين روش بر اساس روشهاي مستقيم در محاسبة متغيرها و تكنيك عددي مشخص را پيشنهاد مي‌دهد .

۳- فرمول سازي رياضي معادلات انرژي

۱-۳- مسئله اصلي

براي ساختار تغيير شكل يافته اين فرضيه ، مينيمم انرژي نشاندهندة اين است كه نيروهاي داخلي و خارجي و كوپلها در تعادل مكانيكي هستند .در آناليز نيرو ، لازم است كه يك واحد كوچك ساختاري به قسمتهايي تقسيم بندي شود بطوريكه در انتهاي آنها ، نيروها و كوپلها عمل مي كنند . طور هر قسمت بايد متفاوت باشد بخاطر اينكه نقطه عمل كننده . نيروهاي داخلي ثابت نيست .بنابراين در ساختار حلقوي ساده ، بايد فرضياتي ، در مورد نيروهاي نقطه‌اي و كوپلهاي عمل شده در ساختار و همچنين درباره طبيعت مناطق تماسي بين نخها ، ساخته شود . علاوه بر اين ،يك فرمول متفاوت از مسئله براي هر ساختار پارچه و براي هر نوع تغيير شكل با استفاده از آناليز نيرو، لازم مي باشد .

حتي براي سادگي بيشتر ، فشار نخ و فشردگي پارچه (Jamming) در آناليز نهايي بحساب نمي آيند .

آناليز انرژي كلي مكانيك پارچه پيشنهاد شده ، از ساختار پارچه مستقل مي باشد تعدادي از فرضيات محدود كننده آناليزهاي قبلي نيز حذف شده است همچنين فشرده شدن پارچه در نظر گرفته مي شود .

اين تئوري ارائه شده ، در حالت كلي و با بيان اهميت فيزيكي حالتهاي معرفي شده از تئوري كنترل بهينه در ساختارهاي اساسي مكانيك پارچه شرح داده شده است .

نقطه شروع روش انرژي ، آناليز ساختار الاستيك شامل مشخص كردن وفرمول سازي هر قسمت از انرژي در ساختار است اين انرژي نياز به تعريف دقيق دارد و مي تواند بصورت پارامترهاي ذيل ارائه گردد .

۱)‌انرژي پتانسيل كل

۲)‌ انرژي مكمل

۳) انرژي كرنشي

اين تقسيم بندي به طبيعت نيروها و كوپلهاي مرزي بكار رفته ، بستگي دارد .در روش ارائه شده ، انرژي كرنشي كل ( شامل مجموع خمش ، پيچش – فشار جانبي و انرژيهاي كرنشي ازدياد طول طولي مي باشد ) فرمول سازي شده است و اين انرژي كرنشي كل ، مينيمم سازي شده است .

شرايط لازم تعادل نيرو و گشتاور با شرايط مناسب انرژي مينيمم ، پايدار خواهد شد بشرط آنكه مسئله به طور صحيح فرمول سازي شده باشد .

۲-۳-فرضيات

با توجه به اينكه انرژي يك كميت عددي است بنابراين انرژي كل E هر واحد كوچك ، بصورت مجموع انرژي حالتهاي هر موج يا حلقه تكرار شونده ، بيان مي گردد .

(۱-۹)                                                 

به ترتيب حالتهاي انرژي در واحد طول نخ براي خمش ، پيچش ، فشار جانبي و كشش طولي هستند و Li هم طول i امين حلقه در تكرار و n هم تعداد حلقه هاي تشكيل شده در واحد كوچك پارچه مي باشد .

فرضيات ذيل براي آناليز كلي در نظر گرفته مي شود .

۱)‌الف : نخها در خمش ، داراي الاستيك خطي هستند در نتيجه انرژي خمشي در واحد طول نخ بصورت تعريف مي گردد بطوريكه B سختي خمش نخ و K انحناي كلي نخ مي باشد .

ب : نخ داراي سختي يكسان ، در تمام جهات خمشي است .

۲) انرژي پيچشي نخ در واحد طول بصورت تعريف مي گردد بطوريكه G‌ سختي پيچشي نخ و تاب در واحد طول نخ است .

براي سادگي ، انرژي فشار جانبي نخ در واحد طول در ابتدا بصورت EC=Cg(r) فرض مي شود كه ‍C سختي فشاري و r فاصله از يك نقطه روي نخ مرجع با محل ديگر است اگرچه هنوز تعريف نشده است اما نقطه‌ در محل تماس نخ مي باشد . تابع اصلي تماس نخ g‌ بصورت نيمه تجربي مشخص مي شود . بعداً در آناليز انرژي فشاري Ec ، بصورت كاملتر تعريف خواهد شد .

در ابتدا، انرژي ذخيره شده حاصل از ازدياد طول كششي نخ در پارچه چشم پوشي مي‌گردد. اين فرضيه به استراحت دادن براي يك ساختار پارچه تاري و پودي نياز خواهد داشت اگرچه براي پارچه هاي حلقوي با تغيير شكل كم و متوسط بوسيله تغييرات در انحناي نخ و فشار نسبت به ازدياد طول كششي ، مشخص مي گردد . بنابراين در ابتدا بغير از تغيير شكلهاي زياد پارچه،طول نخ ثابت فرض مي شود و بنابراين Et نيز ناچيز خواهد بود .

۳-۳- آناليز رياضي

انرژي كرنشي

منحني نشان داده شده بوسيله محور نخ در سه جهت خم شده با Z=Z(S) ارائه مي‌گردد بطوريكه مختصات سه بعدي هر نقطه روي محور نخ هستند و S پارامتر متغير طول كمان است انحناي محور نخ با بردار اندازه K نشان داده مي‌شود .(‌نسبت به S بدست آمده است )

(۲-۹)                                                                    

انرژي خمشي نخ ( در واحد طول ) در هر نقطه بصورت ذيل خواهد بود.

براي شفافيت در ابتدا يك شكل حلقه بافت حلقوي ساده در واحد كوچك پارچه در نظر گرفته مي شود بطوريكه در معادله (۱-۹)n=1 است و يك بافت حلقوي تاري يكطرفه ۱×۱ ريب است .

با توجه به فرضيات ارائه شده و با تقسيم بر B معادله (۱-۹) بصورت ذيل تبديل خواهد شد .

(۳-۹)                                                 

L مدول يا منحني الخط طول تركيبي در محل تقاطع نخ تكي و است اين حالت مدول طول نخ در ساختار پارچه ، نشاندهنده حالت كلي باقيمانده روي همة ساختارهاي پارچه معرفي شده است . شكل Z=Z(S) قابل محاسبه است بطوريكه تابع انرژي U را با توجه به دو قيد ( محدوديت ) ذيل مينيمم كند .

(۴-۹)                                                                             

تعريف پارامتر طول كمان است و

(۵-۹)                                                                            

كه يك نقطه روي همسايگي نخ با كه در حال حاضر تعريف نشده است اين محدوديت در معادله (۴-۹) به اين معني است كه به .بستگي دارد و به منظور پيدا كردن سه متغير كه مستقل هستند معادلات زيرتعريف شده اند .

(۶-۹)                             

اگر جهتهاي ۳٫۲٫۱ مطابق شكل ۹-۹ باشند بنابراين طبق معادله ۶-۹، سيستم مختصات كروي تنظيم شده است بطوريكه Z4 زاويه‌اي است كه المان طول نخ ( dz) با محور ۱ مي سازد و Z5 زاويه‌اي است كه تصوير dz روي صفحه ۳-۲ با محور ۲ مي‌سازد.

متغيرهاي m2,m1 نرخهاي تغييرات در طول محور نخ را نشان مي دهند پارامتر m1 چرخش در صفحه‌اي كه شامل جزء dz و محور ۱ است را تعريف مي كند . و بنابراين يك بردار نرمال در اين صفحه است بطور مشابه m2 چرخش در صفحه ۳-۲ و بنابراين يك بردار در جهت ۱ مي باشد و m2 دو جزء دارد (هر دو در صفحه ۱-dz) بطوريكه نرمال روي موازي با dz است جزء آخر نشان دهنده تاب نخ به خاطر خمش در سه جهت مي باشد. اگر علاوه بر خمش ، نخ ممكن است در هر نقطه از محور خودش تابيده يا تاب آن باز شود بنابراين زاويه تاب Z6تعريف مي شود و نرخ تاب هم m3 است نرخ تاب m3 به تاب هندسي اضافه مي‌گردد .

سه وجهي تشكيل شده بوسيله مي چرخد و همزمان در طول محور نخ حركت مي كند. اين سه وجهي مساوي با تانژانت ، نرمال و دونرمال در منحني نيست . و همچنين ،« انحناء» همانطور كه تعريف شده توسط عمل شده در همان جهت برابر با نرمال ، نيست اين اندازة معادل و هم ارز است و ميتواند به صورت ذيل محاسبه گردد (‌همچنين از نظر جبري ثابت شده است ).

(۷-۹)                                                 

     (۸-۹)                                                  

بنابراين معادله (۳-۹) بصورت ذيل تغيير مي كند .

 

(۹-۹)    

حل با تئوري كنترل بهينه

بردار اندازه m‌ به عنوان بردار كنترل مستقل در نظر گرفته مي شود [۴۳].

كه مقدار آن بايد درهر نقطه از طول حلقه بدست آيد براي اينكهU مينيمم شود با قرار دادن قيود در معادله ۶-۹ بطوريكه براي مينيمم

در هر مكاني در طول حلقه خواهد بود اين مسئله ميتواند با معادل و با استفاده از تئوري كنترل بهينه ، برگردان شود [۴۹-۴۴-۴۲].

اگر بصورت معمول حركت كنيم [۴۳]،ضرايب لاگرانژ معرفي مي شوند . و براي هر جزء معادلات (۶-۹) و هميلتن H(‌كه واحد هاي انرژي BL را دارد ) بصورت زير تعريف شده است .

(۱۱-۹)                                                        

(۱۲-۹)                  

بطوريكه E در معادله (۱-۹) تعريف شده است .

مينيمم كردن تابع انرژي جديد Ua بدون قيد ( محدوديت ) از نظر رياضي معادل مينيمم كردن U با قيود در معادله ۶-۹ است بطوريكه :

(۱۳-۹)                                     

يك مجموعه از شرايط ضروري براي مينيمم كردن معادله (۱۳-۹) بوسيله معادلات متعارف ( معيار ) هميلتن ارائه مي گردد.

(۱۴-۹)                                                                  

(۱۵-۹)                                                                  

معادله هاي (۱۴-۹) بيان مجدد معادلات ( ۶-۹) هستند و اثر قيود بين متغيرها هستند .معادله هاي (۱۵-۹) بعنوان معادلات كمكي شناخته شده واز معادله (۱۲-۹) محاسبه مي شوند .

(۱۶-۹)

بطوريكه مشتق گيري با توجه به r و با توجه به طول قوس S مشخص مي گردد.

تنظيم شرايط لازم براي مينيمم مشابه معادله (۱۰-۹) است

(۱۷-۹)                                     

اين شرايط روابط ذيل را بدست مي آورد .

(۱۸-۹)                                     

براي نشان دادن اينكه اين معادلات مينيمم را نسبت به ماكزيمم نشان مي دهد با مشتق گيري ازمعادله (۱۷-۹) و نشان دادن اينكه [۴۸]

(۱۹-۹)                                                                  

براي همه نقاط روي منحني Z برقرار است بدليل اينكه H ، S را بطور واضح شامل نمي شود ثابت مي‌شود كه مقدار ثابت H= در طول حلقه است [۴۹]).

از نتيجه گيري معادله هاي (۱۶-۹)، كاربرد ساخته شده است .

اين قطعاً در حالت درست است .اگر روي همسايگي نخ با شكل مختلف قرار داشته باشد بنابراين مستقل هستند اگر از Z بوسيله انتقال ، چرخش يا انعكاس ( تركيب اينها ) نتيجه گيري شود و بردار فاصله از نقطه S‌روي منحني Z با در هر دلخواه تلاقي كند بنابراين درباره مستقل از Z(S) و خواهد شد .

تفسير فيزيكي

اگر Cg(r)انرژي فشاري نخ در واحد طول را نشان دهد بنابراين نيروهاي عمل كننده در واحد طول و در طول نخ Z در جهتهاي ۳٫۲٫۱ بدليل نخ هستند بدليل اعماا قيود در معادله ديفرانسيل در معادله هاي ۶-۹ معرفي شده ،داراي اهميت فيزيكي واقعي است .اين منفي (i=1,2,3) نيروهاي (‌تقسيم بر B) در واحد طول در طول نخ كه توسط Z شرح داده شده هستند با انتگرال گيري و با توجه به S، ، نيروهاي محوري و برشي (‌تقسيم بر سختي خمشي B) را شرح مي دهد .

از شكل ۹-۹ و معادلات( ۱۶-۹)، گشتاور خمشي افزايشي در نخ Z( هميشه در جهت ۱ عمل مي كند )‌بخاطر نيروهاي برشي است سه عبارتهاي آخري معادله نشان مي دهد كه قسمت گشتاور خمشي افزايشي در جهت m1 بدليل نيروهاي برشي است .

اولين عبارت در اين معادله ميزاني كه در جهت m1 بدليل نرخ تغيير در جهت گشتاور خمشي افزايشي را نشان مي دهد و همزمان كه اطراف نخ در همان جهت مشابه m1 مي چرخد [۴۸] در ادامه معادله هاي (۱۸-۹) بعنوان شرط تعادل گشتاور مي باشد منفي ، كوپلهاو گشتاورهاي خمشي ( تقسيم بر B) عمل كننده روي نخ Z را نشان مي دهد .

در منحني هم سطح ، بطوريكه ، اگر m2=0 در همه جا ، اولين معادله هاي (۱۸-۹) بيان مي كند كه انحناء متناسب با گشتاور خمشي است سومين معادله هاي (۱۸-۹) نشان مي دهد كه كوپل تاب متناسب با تاب مغزي (‌داخلي ) است ارتباط بين كوپلهاي در منحني هاي غير هم سطح پيچيده تر است اگر هر دو ثابت باشند دو معادله آخري (۱۸-۹) معادل با آن نتايج به دست آمده توسط لاو [۴۱] هستند . هيچ مقايسه‌اي درابتداي معادلات، بدست نمي آيد و تنها حالت تعادل گشتاور را نشان مي دهد .

با جايگذاري معادله هاي (۱۸-۹) در معادله (۱۲-۹) ، هميلتن H مي تواند بصورت ذيل نوشته شود .

(۲۰-۹)

بطور متناوب نيروهاي قيود يا نيروهاي برشي نخ باعث كار و حركت در فاصله و …. مي شود ودر فشار نخ :

(۲۱-۹)        

اين كار به انرژي كرنشي پيچشي و خمي T‌سيستم ( در واحد طول ) تبديل مي گردد بطوريكه:

(۲۲-۹)                                     

نتيچتاً ، H‌در معادله (۲۰-۹) مي تواند به عنوان انرژي كل (منفي ) (‌در واحد طول ) سيستم در نظر گرفته شود .

(۲۳-۹)                                                                            H=-(V+T)

بطوريكه V بيان كننده و تفسير كننده انرژي پتانسيل نيروهاي قيود است و T بعنوان انرژي كرنشي نخ است .

در مورد نخ بدون فشار ، بدون تاب و مستقيم با نقطه اوليه S=0 قرار داشته باشد .

انرژي كل ( منفي) است

(۲۴-۹)        

اگر نيروهاي اعمال شده باشد انتگرال صفر خواهد شد . علاوه بر اين ، مي‌توان نشان داد كه H در طول حلقه ثابت است (۴۹و ۴۴-۴۲) H در حقيقت كليات انتگرال انرژي توسط لاو است (۴۱) .

يك مقايسه بيشتر بين فرمول كنترل بهينه حاضر [۴۹و ۴۲] مي‌تواند فرمول استفاده شده در مكانيك كلاسيك را نتيجه گيري كند . [۵۱و۵۲]

از معادلات كمكي (۱۶-۹) مقدار ثابت = ، بطوريكه كوپل تاب در سراسر نخ ثابت است اگر آن بعنوان يك شرايط مرزي ( بدون كوپل تاب در S=0) باشد بنابراين آخرين معادله هاي (۱۸-۹) نتيجه خواهد داد كه :

(۲۵-۹)                                                                           

با جايگذاري، در معادله (۸-۹) نشان مي دهد كه مطابق فرضيه جاري كه نيروها از محور نخ مي گذرند پس هيچ پيچش نخ وجود نخواهد داشت . حتي در صورتيكه در نخ از بازشدن تاب به وسيله چند كوپل در انتها جلوگيري شود كليات معادله(۲۵-۹) از بين نخواهد رفت .

معادله هاي (۶-۹) و(۱۶-۹) يك سيستم از ۱۲ معادله ديفرانسيل مرتبه اول با ۱۲ مجهول بصورتيكه و بطوريكه سه مجهول آخري با ، به ترتيب در معادلات (۱۸-۹) مرتبط شده اند . اين معادلات قابل مقايسه با معادله ديفرانسيل مرتبه چهارم سه بعدي استفاده شده در تئوري ‌تيرساده (beam) هستند اما با دو اختلاف مهم ، بصورتيكه حضور قيد ساخته شده درمعادله (۴-۹) و درحقيقت نيروها مستقل از شكل نيستند .

اگر شكل حلقه ها شناخته شده باشند ديفرانسيل قابل قبول از نيروهاي توزيع شده بدست خواهد آمد و برعكس يعني انتگرال نيروها در واحد طول ، شكل حلقه ‌را مشخص خواهند نمود .

در اين حالت ، اگرچه شكل و نيروها شناخته شده نيستند اما شكل (‌همانطور كه در معادله ۶-۹ بيان شده اند ) هميشه روي نيروها ( همانطور كه توسط معادله هاي كمكي ۱۶-۹ ارائه شده ) عكس العمل داشته و يك ساختار انرژي مينيمم ( با شرط گشتاور معادلات ۱۸-۹) را ارائه مي دهد .

يك اختلاف ديگر بين معادلات (۶-۹)و(۱۶-۹)و.(۱۸-۹) و تئوري معمول تير ساده اين حقيقت را آشكار خواهد نمود كه بعلت عبارتهاي بكار رفته ،سينوسي و كسينوسي معادلات ارائه شده بطور قوي غير خطي هستند .

۴-۳- الگوريتم محاسباتي

از الگوريتم (‌مجموعه دستورالعملها ) زير براي حل معادلات (۶-۹)و(۱۶-۹)و(۱۸-۹) روي كامپيوتر ديجيتال استفاده شده است.

۱) مقدار m حدس زده شده و بعد از مرحله (۲) ، شكل حلقه با مشخصات تقاطع صحيح بدست مي آيد .

۲) از انتگرال معادله (۶-۹) شكل حلقه به دست مي آيد

۳) شكلهاي اطراف نخها ( شامل همه انواع فشردگي يا تماس احتمالي ) هم از حالتهاي تقارن يا از مراحل ۱و۲ با نخهاي متفاوت تشكيل شده ، بدست مي آيند.

۴) محاسبه فاصله هاي r بين نخهاي تماسي

۵) نيروهاي در واحد طول بعلت تماسهاي نخ براي k‌ اين حلقه در فاصله r‌را محاسبه كنيد (‌كه بطور اتوماتيك شامل همه انواع فشردگي است )

۶) از معادلات كمكي (۱۶-۹) انتگرال بگيريد

۷) بررسي كنيد آيا گراديانهاي انرژي j=1,2,3 در محلهاي بكار رفته ، تعادل گشتاور و مينيمم انرژي حاصل گرديده است بنابراين محاسبات متوقف مي شود و اگر اين شرايط رضايت بخش نبود m‌جديد را مطابق ذيل بدست آوريد .

كه اندازه مرحله است و از مرحله دوم شروع مي شود (۵۲)

يك روش ديگر براي محاسبه حل بهينه براي كنترل متغيرها با توجه به معادلات تعادل گشتاور بعنوان مجموعه از باقيمانده ها ( با قيمانده ها روي شرايط مرزي ) است .

الگوريتم هاي سريع و كارآمد در بيشتر كتابخانه هاي محاسباتي براي بررسي سيستماتيك براي اپتيمم m‌در بين باقيمانده ها نيز وجود دارد .

فشار نخ يا تابع پتانسيل تماسي

با توجه به اينكه معادلات تعادل گشتاور (‌معادلات ۱۸-۹) كاملاً بطور طبيعي ازمعيار انرژي مينمم بدست آمده ، اما شرط مورد انتظار تعادل نيرو هنوز پايدار نشده است .بدليل اينكه نيروهاي داخلي نخ از تابع عددي g‌ نتيجه شده و انتظار مي رود كه تعادل نيرو فقط براي g انتخاب شده مناسب ، قابل محاسبه مي باشد .

بطور ضمني قبلاً فرض شده بود كه تابع فشاري عددي را براي بعضي تعريف نشده ، و بنابراين نيروهاي داخلي نخ مي تواند محاسبه گردد . بدليل اينكه g فقط به r وابسته است نيروها از g اصلي كه بايد هميشه در طول بردار اندازه r( نشانداده شده در معادلات (۱۶-۹) ) باشد، نتيجه گيري مي شود . در نتيجه ، به منظور مطمئن شدن تعادل نيرو بين نخها در تماس ، تعريف r لازم است. روش بدست آوردن r نخ Z ، از نخ مي باشد اما بردار مخالف اندازه r يعني از منحني به Z بدست مي آيد .

بنابراين r بايد تعريف شود بشرط آنكه براي هر دو و Z نرمال باشد اما در اين حالت هيچ تماس دائمي بين نخها وجود ندارد بجز وقتي كه نخها و Z شكلهاي خاصي داشته باشند .

به منظور ايجاد ، منطقه پيوسته تماسي ، بجاي (g(r يك تابع اصلي عددي G* فرض مي گردد:

(۲۷-۹)                                               

بطوريكه انتگرال روي نخ انجام شده است از معادلات كمكي (۱۶-۹) ، مي توان بدست آورد كه نيروهاي توزيع شده روي نخ Z هستند .

براي

نيروي كل روي حلقه Z برابر است با:

(۲۸-۹)                                                       

اما

(۲۹-۹)                                                  

و بنابراين داريم :

(۳۰-۹)                                                                                       

بطوريكه نيروي كل اعمال شده برروي نخ است نتيجتاً اين نيروي كل اعمال شده روي نخ Z، مساوي و مخالف نيروي نشان داده شده است .

به صورت شماتيك ، اين نتايج در شكل (۱۰-۹) نشان داده شده است نيروي توزيع شده روي المان dz از نخ Z مجموع بردار همه نيروها بدليل همة اجزاء است.

مي توان نشان داد كه G* اصلي فقط وابسته به بردار اندازة فاصله r است .

اگر G* يك تابع بردار كنترل m باشد بنابراين معادلات تعادل( از معادلات(۱۸-۹) )حالتهاي را شامل مي شود بطوريكه گشتاورها در تعادل، بزرگتر نخواهند شد . اگر G* يك تابع از Z5 , Z4 باشد بنابراين (‌معادله هاي (۱۶-۹)) حالتهاي به ترتيب شامل مي شوند . اين نشان مي دهد كه نخ Z در نقاطي كه گشتاور خمشي افزايش مي يابد بعلت اثر همه بردارهاي نيروي اصلي از اجزاء d نخ كه از Z(s) عبور مي كند مي باشد و نيروهاي هم رأس گشتاوري را پوشش نمي دهند.

بطوريكه مجدداً نمي تواند يك تابع Z4 و Z5 باشد به طور مشابه G* نيز تابع نيست .

همانطور كه قبلاً‌بحث گرديد ( فصل ۶) شكل كلي تابع فشاري به صورت

(۳۱-۹)                                                                           

است كه a ضريب فشاري (۵<a<30) است . و فاصله ارائه شده بين نخها است .

اين تابع به اندازه كافي مي تواند مشخصات فشاري هر دو نخهاي Staple و فيلامنتي را توضيح دهد .

۶-۳- آناليز ابعادي

انرژي كرنشي كل نخ ، تقسيم بر B‌ و مينيمم شده ، بصورت زير است .