تاریخچه هندسه
واژه انگلیسی Geometry ( هندسه ) از زبان یونانی ریشه گرفته است. این کلمه از دو کلمه «جئو»ٍ به معنای زمین و «متری» به معنای اندازه گیری تشکیل شده است.بنابراین هندسه اندازه گیری زمین است. مصریان اولیه نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. هر سال رودخانة نیل طغیان نموده و نواحی اطراف رودخانه راسیل فرا می‌گرفت.

این عمل تمام علایم مرزی میان تقسیمات مختلف را از بین می‌برد و لازم می‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی نماید. آنها روشی از علامت‌گذاری زمین‌ها با کمک پایه‌ها و طناب‌ها اختراع کردند. آنها پایه‌‌ای را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌کردند، پایه دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو پایه توسط طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر متصل

می‌‌شدند.با دو پایه دیگر زمین محصور شده ، محلی برای کشت یا ساختمان سازی‌ می‌گشت.
با برآمدن یونانیان اطلاعات ریاضی قدم به مرحله ای علمی گذاشت.در آغاز تمام اصول هندسی ابتدایی بود. اما در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح ، یک آموزگار یونانی به نام تالس، اصول هندسی را از لحاظ علمی ثابت کرد.
تالس دلایل ثبوت برخی از فرضیه‌ها را کشف کرد و آغازگر هندسة تشریحی بود. اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی‌ می‌کرد ، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود.

وی حدود سال ۳۰۰ قبل از میلاد مسیح ، تمام نتایج هندسی را که تا به حال شناخته بود ، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در یک مجموعة ۱۳ جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند ، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می رفتند.
براساس این قوانین ، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می گذشت ، شاخه های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف ، توسعه می یافت.
امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسة تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می کنیم.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند.قبل از اقلیدس، فیثاغورث( ۵۷۲-۵۰۰ ق.م ) و زنون ( ۴۹۰ ق.م. ) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی معمولی بابلی ها را برای پیرامون دایره پذیرفت.به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوس‌ها را به دست می داد و این قدیمی ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در قرن پنجم میلادی آپاستامبا، در قرن ششم ، آریاب هاتا ، در قرن هفتم ،براهماگوپتا و در قرن نهم ،بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

هندسه تصويري :
فرض کنید دو صفحه و در فضا داریم که لزوماً موازی یکدیگر نیستند. در این صورت، برای به دست آوردن تصویر مرکزی به روی از مرکز مفروض که در یا واقع نیست، می‌توان تصویر هر نقطه از را نقطه‌ای چون از تعریف کرد که و روی یک خط راست گذرنده از قرار داشته باشند.

همچنین می‌توان تصویر موازی را به این طریق به دست آورد که خطهای تصویر کننده را موازی در نظر بگیریم. همین‌طور تصویر یک خط در واقع صفحه به روی خط دیگری چون در هم به صورت تصویر مرکزی از یک نقطه ، و هم به صورت تصویر موازی تعریف می‌شود. تبدیل یک شکل به شکل دیگر از طریق تصویر موازی یا مرکزی و یا به وسیله رشته‌ای متناهی از این تصویر کردنها، تبدیل تصویری نامیده می‌شود.

 

هندسه تصویری صفحه یا خط عبارت از مجموعه آن گزاره‌های هندسی است که بر اثر تبدیلهای تصویری دلخواه شکلها تغییری در صدق آنها پدید نمی‌آید. در مقابل، هندسه متری به مجموعه‌ای از گزاره‌ها، راجعه به اندازه‌های شکلها، اطلاق می‌شود که فقط تحت حرکتهای صلب شکلها صادق می‌مانند.

……………………..تصور کردن از یک نقطه…………………………………………………………….تصویرگری موازی

به بعضی از ویژگیهای تصویری فوراً می‌توان پی‌برد. تصویر هر نقطه، یک نقطه است. به علاوه، تصویر هر خط راست، یک خط راست است زیرا اگر خط واقع در به روی صفحه تصویر شود، تقاطع با صفحه گذرنده از و ، خط راست خواهد بود. اگر نقطه و خط راست ملازم هم باشند. آنگاه پس از هر عمل تصویر، نقطه متناظر و خط متناظر نیز ملازم هم خواهند بود. پس ملازمت یک نقطه و یک خط تحت گروه تصویری ناورداست. این واقعیت، پیامدهای ساده ولی مهمی دارد. اگر سه یا تعداد بیشتری نقطه همخط باشند، یعنی ملازم با یک خط راست باشند، تصویرهای آنها نیز همخط خواهند بود. همچنین اگر سه یا تعداد بیشتری خط راست همرس باشند یعنی ملازم با یک نقطه باشند، تصویرهای آنها نیز خطهای راست همرسی خواهند بود. در حالی که این ویژگیهای ساده – ملازمت،‌همخطی‌، و همرسی – ویژگیهای تصویری (یعنی ویژگیهای ناوردا تحت عمل تصویر)

هستند، اندازه‌های طول و زاویه، و نسبتهای چنین اندازه‌هایی، عموماً بر اثر تصویر کردن تغییر می‌کنند. مثلثهای متساوی‌الساقین یا متساوی‌الاضلاع را می‌توان به مثلثهای مختلف‌الاضلاع تصویر کرد. پس اگر چه «مثلث» مفهومی متعلق به هندسه تصویری است، «مثلث متساوی‌الاضلاع» چنین نیست و فقط به هندسه متری تعلق دارد.
برسي و اثبات پنجمين اصل موضوع هندسه اقليدسي

همانطور كه ميدانيم در هندسه اقليدسي يكسري از مفاهيم اوليه نظير خط و نقطه تعريف شده بود و پنج اصل موضوع آنرا به عنوان بديهيات پذيرفته بودند و ساير قضايا را با استفاده از اين اصول استنتاج مي‌كردند . اما اصل پنجم چندان بديهي به‌نظر نمي‌رسيد . بنابر اصل پنجم اقليدس از يك نقطه خارج از يك خط ، يك خط و تنها يك خط مي‌توان موازي با خط مفروض رسم كرد . برخي از رياضيدانان مدعي بودند كه اين اصل را مي‌توان به‌عنوان يك قضيه ثابت كرد . در اين راه بسياري از رياضيدانان تلاش زيادي كردند ، ولي نتيجه‌اي نگرفتند .

اشكالات وارد بر هندسه اقليدسي :
لازم به توضيح است كه تمامي اصول و مفاهيم هندسه اقليدسي تنها شامل نظريات خود اقليدس نمي‌شود بلكه اكثرا مجموعه‌اي جمع آوري شده از هندسه مصري‌ها و بابلي‌ها توسط اقليدس است . هندسه اقليدسي بر اساس پنج اصل موضوعه زير شكل گرفته و طبقه بندي شده است :
اصل اول – از هر نقطه مي‌توان خط مستقيمي به هر نقطه ديگري كشيد يا اينكه كوتاه‌ترين فاصله مابين دو نقطه يك پاره خط مستقيم است .

اصل دوم – هر پاره خط مستقيم را مي‌توان روي همان خط به‌طور نامحدود امتداد داد .
اصل سوم – مي‌توان دايره‌اي به هر نقطه دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم كرد .
اصل چهارم – همه زواياي قائمه با هم مساوي هستند .
اصل پنجم – از يك نقطه خارج يك خط ، يك و تنها يك خط مي‌توان موازي با خط مفروض رسم كرد .
طبق تعاريف فعلي ” اصل پنجم اقليدس كه ايجاز ساير اصول را نداشت ، به هيچ وجه واجد صفت بديهي نبود . در واقع اين اصل بيشتر به يك قضيه شباهت داشت تا به يك اصل . بنابراين طبيعي بود كه لزوم واقعي آن به عنوان يك اصل مورد سوال قرار گيرد . زيرا چنين تصور مي‌شد كه شايد بتوان آن را به‌عنوان يك قضيه ، و نه يك اصل از ساير اصول استخراج كرد ، يا حداقل به‌جاي آن مي‌توان معادل قابل قبول‌تري قرار داد . در طول تاريخ بسياري از رياضيدانان از جمله خيام ، خواجه نصيرالدين توسي ، جان واليس ، لژاندر ، فور كوش بويوئي و … تلاش كردند تا اصل پنجم اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه بگيرند و آن را به عنوان يك قضيه اثبات كنند ، اما تمام اين تلاش‌ها بي‌نتيجه بود و در اثبات دچار خطا مي‌شدند و يا به نوعي همين اصل را در اثبات خود بكار مي‌بردند . سرانجام دالامبر اين وضع را افتضاح هندسه ناميد .”

اما موضوع بسيار مهم اين است كه اشيا در دنياي فيزيكي با هندسه اقليدسي سازگارند و هندسه‌هاي نااقليدسي زير مجموعه‌اي از هندسه اقليدسي محسوب ميشوند به طور مثال يك مكعب را در نظر بگيريد كه در فضاي اقليدسي ، از نظر هندسي كاملا اقليدسي است و اگر كره محيط يا محاط آن را رسم كنيم داخل سطح كره با هندسه هذلولي و خارج سطح كره با هندسه بيضوي برسي و مطالعه ميشود و اينك براي اثبات اصل پنجم هندسه اقليدسي چه كاري ميتوان انجام داد . در اين مبحث به استناد اصول و مفاهيم تعريف شده در حيطه هندسه اقليدسي سعي در ارايه راهكاري براي اثبات اين اصل مي‌كنيم .

خط يا پاره خط BC و نقطه A خارج از آن خط و هر دو را روي صفحه P در نظر مي‌گيريم . روي خط BC نقطه دلخواه D را انتخاب و دايره دلخواه C1 را رسم مي‌كنيم البته شعاع اين دايره ميبايست كمتر از AD باشد . بديهي است كه اين دايره ، خط BC را در دو نقطه ۱ و ۲ قطع خواهد كرد ( يعني اين دايره را بايد چنان رسم كنيم كه روي صفحه P بوده و اين دو تقاطع بوجود آيند ) . از نقطه A دايره

C2 را به شعاع AD رسم مي‌كنيم . بديهي است كه اين دايره ، محيط دايره C1 را در دو نقطه ۳ و ۴ قطع خواهد كرد ( يعني اين دايره را بايد چنان رسم كنيم كه روي صفحه P بوده و اين دو تقاطع بوجود آيند ) و چون سه نقطه‌ از هر دايره ( مركز و نقاط ۳ و ۴ ) بر روي صفحه P واقع شده‌اند و اين سه نقطه بر روي يك خط مستقيم نيستند ( براي اينكه محيط دايره C2 يك منحني و كمان است ) ،

مسلما اين دو دايره بر روي صفحه P قرار گرفته‌اند ، زيرا شرط اينكه دو شكل در روي يك صفحه قرار گيرند اين است كه دست كم سه نقطه از آنها بروي آن صفحه واقع شده باشند و البته اين سه نقطه بر روي خط مستقيمي واقع نشده باشند . اينك شرط اينكه دو خط با هم موازي باشند اين است كه اولا هر دوي آنها روي يك صفحه باشند و دوما اينكه آن دو خط زواياي مساوي ( ترجيحا قائمه ) در تقاطع با خط مستقيم متقاطع سومي داشته باشند . اينك عمود AE بر خط BC را رسم مي‌كنيم و خط يا پاره خط FG را چنان رسم مي‌كنيم كه اولا دايره C2 را در دو نقطه ۵ و ۶ قطع كرده و از نقطه A مركز دايره عبور كرده و دوما بر AE عمود باشد . همانطور كه ميدانيم خط FG دست كم دو نقطه بر روي صفحه P داشته و بر روي صفحه P واقع شده و با خط BC موازي است . حال اگر خط FG را حول نقطه A و روي صفحه P به چرخانيم زاويه FAE بزرگتر و يا كوچكتر از زاويه BEA شده و شرط دوم موازي بودن دو خط منتفي ميشود و اگر FG در نقطه A حول محور AE دوران داشته

باشد ، خط FG دو تقاطع ۵ و ۶ با دايره C2 را از دست مي‌دهد ، بنابراين خط FG از صفحه P خارج و شرط اول موازي بودن دو خط منتفي ميشود . پس ميتوان فهميد و نتيجه گرفت كه خط FG انحصاري بوده و از يك نقطه خارج يك خط ، يك و تنها يك خط مي‌توان موازي با خط مفروض رسم كرد .

اينك اين سوال مطرح ميشود كه چرا ما بايد اين اصل پنجم را ثابت كنيم ؟
علت بر اين است كه در هندسه اقليدسي هر پاره خط مستقيمي ميتواند بيانگر يك عدد باشد كه بيانگر طول واقعي آن بوده و مربع و مكعب آن مقدار درستي در محاسبات رياضي است ولي در هندسه‌هاي نااقليدسي چنين نيست براي اينكه طول واقعي يك منحني ميتواند يك عدد باشد ومنحني بيشتر از فاصله دو سر منحني ميباشد و اين دو مقدار با هم نامساوي هستند . به طور مثال در هندسه اقليدسي يك مربع به ضلع ۱ متر بيانگر يك متر مربع است و يك مكعب به ضلع ۱ متر بيانگر يك متر مكعب است ولي در هندسه‌هاي نااقليدسي اين مقدار‌ها متفاوت است كه نياز به در نظر گرفتن ضريبي مبني بر درصد خطا در محاسبات داريم . اصولا انحنا در هندسه‌هاي نااقليدسي ، به طور كلي نسبت به يك خط راست اقليدسي مشخص و نسبت به يك دايره با شعاع واحد واقع بر يك صفحه مسطح اقليدسي سنجيده ميشود و صحت هندسه‌هاي نااقليدسي در گرو صحت هندسه اقليدسي است .
در هندسه هذلولي مقادير عددي مربوط به توان كمتر از مقادير عددي مربوط به توان در هندسه بيضوي است .

اشكال فوق مقدار هندسي يك به توان دو را نشان مي‌دهند كه مقدار هندسي آن در هندسه اقليدسي ( روي صفحه مسطح ) درست ولي در هندسه هذلولي ( درون سطح حجم ) كمتر و در هندسه بيضوي ( بيرون سطح حجم ) بيشتر است .
محمدرضا طباطبايي ۸/۹/۸۶
http://www.ki2100.com

الحاقي مورخه ۲۹/۹/۸۶

درك اصل توازي در هندسه اقليدسي :
۱- تعريف دو خط منطبق بر هم : دو خط را منطبق بر هم مي‌دانيم كه تمامي نقاط واقع بر روي هر دو خط در يك امتداد و يك راستا قرار گرفته‌ باشند ، يعني دو خط در مجموع خط واحدي را تشكيل دهند . به اين انطباق ، انطباق دروني هم ميتوان گفت .
۲- انتقال برداري يك خط از دو خط منطبق بر هم در يك دستگاه مختصات دكارتي :

براي اينكار دو خط منطبق بر هم را به يك دستگاه مختصات دكارتي انتقال مي‌دهيم و يك خط را ثابت فرض كرده ولي خط دوم را توسط بردار دلخواهي به مختصات جديدي انتقال مي‌دهيم يعني شكل زير :

بديهي است كه تمامي نقاط اين خط تحت تاثير اين بردار به مختصات جديد انتقال يافته و اين خط به اندازه اين بردار با خط ثابت انطباق بيروني دارد . ميتوان اين انطباق بيروني دو خط را اصل توازي ناميد . يعني دو خط موازي در يك دستگاه مختصات دكارتي خطوطي هستند كه بتوان آنها را با يك بردار بر هم منطبق كرد و به اين بردار ميتوان بردار انطباق دو خط موازي گفت .
درك اصل توازي با قبول مفهوم زاويه صفر نيز امكان پذير است . يعني دو خط كه با هم زاويه صفر دارند يا متنافرند يا بر هم منطبق هستند كه اگر اينچنين نباشند اجبارا موازي خواهند بود . همانطور كه مي‌دانيم دو خط متنافر در فضا هيچ نقطه مشترك و تماسي ندارند كه به منزله راس با هم زاويه‌اي تشكيل دهند و دو خطي كه كاملا بر هم منطبق هستند يعني تمامي نقاط واقع بر روي دو خط در يك امتداد و راستا قرار گرفته‌اند هيچ تقاطع واحدي ندارند كه با هم زاويه‌اي را تشكيل دهند . به بياني ديگر :

در شكل فوق اگر دو خط FG و BC در نقطه‌اي هم ديگر را روي صفحه P ملاقات كنند و اين نقطه فرضي را x در نظر بگيرم مثلث متساوي‌الساقين AEX را ميتوان در نظر گرفت كه دو زاويه مساوي ۹۰ درجه دارد و اندازه زاويه سوم صفر درجه خواهد بود كه در نتيجه دو خط بايد يا متنافر باشند يا منطبق ، متنافر نخواهند بود براي اينكه هر دو روي يك صفحه فرض شده‌اند و منطبق هم نخواهند بود براي اينكه دو ساق يا ضلع مساوي يك مثلث را تشكيل داده‌اند پس اجبارا موازي هستند و اصل توازي به اين مفهوم نيز گفته ميشود .
اينك ممكن است اين سوال مهم مطرح شود كه قضيه زواياي داخلي مثلث نيز از اصل توازي نشات گرفته است كه بايد گفت بنابه مطالب فوق اصل توازي واقعيت داشته و قابل پذيرش است و همچنين هر قضيه‌اي كه با اصل توازي ثابت شده باشد و به استناد همين اصل توازي سعي در ارايه راهكاري براي اثبات اصل پنجم ميشود . پس شرط توازي دو خط اين است كه هر دو روي يك صفحه باشند و دوم اينكه هر دو در تقاطع با خط سوم ترجيحا زواياي قائم تشكيل دهند . اما نكته مهم

اينكه در هندسه اقليدسي پاره خط مستقيم درست تعريف نشده است . ما ميتوانيم چنين تعريف كنيم كه پاره خط مستقيم به پاره خطي گفته ميشود كه طول آن با فاصله دو سر آن مساوي باشد كه اگر مساوي نباشد منحني است و نه خط مستقيم و به خاطر همين تعاريف ناقص در هندسه اقليدسي ، هندسه‌هاي نااقليدسي شكل گرفته‌اند . به اين معني كه عده‌اي متوجه شده‌اند كه اين تعاريف هندسي را ميتوان در محيطهاي ديگر ارايه يا رد كرد به طور مثال در هندسه هذلولي از

يك خط و يك نقطه نا واقع بر آن دست كم دو خط موازي با خط مفروض مي‌توان رسم كرد كه منظور از خط در اين هندسه منحني است نه خط راست و همچنين در هندسه بيضوي از يك نقطه نا واقع بر يك خط نمي‌توان خطي به موازات آن خط رسم كرد كه در واقع هندسه‌هاي ناقليدسي به نوعي مطرح كردن تعاريف ناقص هندسه اقليدسي در محيطهاي غير اقليدسي است . ولي اگر تعاريف در هندسه اقليدسي اصلاح شوند محيطهاي هندسه‌هاي نااقليدسي زير مجموعه‌اي از فضاي اقليدسي تعريف شده و قابل توجيه توسط هندسه اقليدسي نيز هستند هر چند كه اندازه انحنا در هندسه‌هاي نااقليدسي نسبت به يك خط راست اقليدسي سنجيده ميشوند به طور مثال اندازه انحناي خط راست در هندسه اقليدسي صفر و در هندسه هذلولي منفي و در هندسه بيضوي

مثبت است . اين به اين معني است كه در هندسه‌هاي نااقليدسي مجبور به پذيرش خطوط مستقيم اقليدسي هستيم تا انحنا را اندازه گيري كنيم و اين مشكلات از اينجا ناشي ميشود كه اقليدس بيشتر جمع آوري كننده اين مطالب آنهم به صورت ناقص بوده است و نه ارايه كننده نظريات و بيشتر مطالب به رياضيدانان مصر و بابل مربوط است نه خود اقليدس و در آن زمان اين مشكلات شناخته و مطرح نشده بود . براي دو خط در فضا ميتوان چهار حالت را در نظر گرفت يا متقاطع هستند يا متنافر يا منطبق و يا اينكه موازي هستند .

همانطور كه مي‌دانيم اصل پنجم ابتدا به عنوان اصل بيان شد ولي بعدا معلوم شد كه قضيه است ولي اين نام اصل روي آن مانده و همه جا و هميشه به همين نام شناخته ميشود حال چه اصل باشد و چه قضيه همواره سعي ميشود درستي و صحت آن بيان شود . اصول در رياضيات نياز به اثبات ندارند و اگر نياز به اثبات باشد ديگر اصل نيستند و به عنوان قضيه مطرح ميشوند ولي بايد به خاطر داشت هميشه در رياضيات اصول دچار شك و تردد ميشوند به طور مثال خود اعداد چه مفهومي دارند كه به عنوان اصل بديهي پذيرفته شده‌اند ، كه با انجام اعمال رياضي همچون جمع و تفرق اين شبهات از بين ميروند و اعداد به منزله مقايسه اشيا با يكديگر مفهوم پيدا مي‌كنند . تعاريف هندسي هم به اين منوال هستند . يعني بعضي وقتها با اثبات قضايا مفهوم اصول درك و پذيرفته ميشود يعني ما با درك مفهوم زاويه صفر و …. ميتوانيم به اصل توازي برسيم و اصل پنجم را ثابت كنيم .
امروزه ثابت شده است كه تمامي خصوصيات انسانها ژنتيكي است حتي نحوه فكر كردن و انديشه آنها و ….. ، مفاهيم اوليه هندسه اقليدسي و نااقليدسي هم بيشتر مربوط به خصوصيات ژنتيكي انسانها ميشود تا واقعيتهاي رياضي و فيزيكي ، يعني بعضي‌ها توانايي قبول و پذيرش هندسه

اقليدسي را دارند و نمي‌توانند هندسه نااقليدسي را قبول كنند و برعكس . و انسانها در نهايت با بحث و گفتگو در مورد عقايد و باورهايشان به هيچ نتيجه مشتركي نخواهند رسيد و در نهايت اينكه مفهوم توان اعداد در هندسه‌هاي نااقليدسي چگونه مطرح ميشود ؟ آيا ميشود توان اعداد را در اينگونه هندسه‌ها نشان داده و رسم كرد و مقدار آن را دريافت ؟ به‌طور مثال يك متر مربع و يك متر مكعب چقدر است ؟ آيا جرم و حجم در هندسه‌هاي مختلف برابري دارند يا مفهوم جرم و حجم دگرگون ميشود ؟ يعني معادل رياضي آنها قابل دست يابي هست ؟

در نظريه نسبيت كه از هندسه بيضوي استفاده شده است در جهان چهار بعدي ، بعد زمان به عنوان بعد هندسي مطرح نيست بلكه به عنوان يك پارامتر دخيل در معادلات فيزيكي مطرح ميشود و اصولا ما قادر به رسم اشكال چهار بعدي نيستيم و علت اين است كه در هندسه توان ۲ يا مربع و توان ۳ يا مكعب عدد قابل ترسيم است ولي توان ۴ غير قابل ترسيم است و به همين دليل مهم در هندسه اقليدسي فضا سه بعدي در نظر گرفته ميشود البته از لحاظ هندسي و همانطور كه مي‌دانيم انحناي فضا – زمان به جاي ميدان گرانش در نظريه نسبيت مطرح ميشود و همانطور كه مشخص است واژه انحنا زماني تعريف پيدا مي‌كند كه قبول كنيم خط راستي وجود دارد و مقدار اين انحنا را نسبت به امتداد خط مستقيم بسنجيم براي اينكه طبق اين نظريه همه چيز در جهان نسبي است حتي خود انحناي فضا – زمان و جهت اندازه گيري شدت ميدان جاذبه يا انحناي فضا – زمان نياز به اندازه گيري اين انحنا داريم و بدون داشتن خط راست اين سنجش غير عملي خواهد بود .

در شكل فوق دستگاه مختصات دكارتي x y را روي صفحه در نظر مي‌گيريم . همانطور كه ميدانيم معادله محور x ها معادله y=0 ميباشد . اينك خطي به همين معادله رسم مي‌كنيم كه اين خط درست منطبق بر محور x ها است . اينك اين خط را با بردار [۱ ۱]=a ( بردار با پيكان آبي رنگ ) از مبدا مختصات انتقال مي‌دهيم . بديهي است كه tanX=1/1 يعني X=45º . و اگر اين خط را با بردار [۱- ۱-]=a- ( بردار با پيكان بنفش رنگ ) به محل قبلي خود برگردانيم بديهي است كه tanX=-1/-1 و tanX=1 و X=45º خواهد بود . چون بردارهاي a و a – كاملا بر هم منطبق هستند و فقط جه

ت آنها ۱۸۰ درجه باهم اختلاف دارد ، ميتوانيم به اين نتيجه برسيم كه اگر دو خط موازي را خط سوي قطع كند زواياي بدست آمده دو به دو باهم برابرند و بدنبال آن پنجمين اصل موضوع هندسه اقليدسي قابل اثبات ميشود .