تله یون

مقدمه:
تله يون وسيله اي است كه يون را در ناحيه خاصي از فضا جايگزيده كند عمل تله گذاري از طريق بر هم كنش الكتريكي و يا مغناطيسي بين اتم يونيده و ميدان اعمال شده انجام مي گيرد.
دام يوني در سال ۱۹۵۳ اختراع شد. دو دانشمند بنام هاي stein wedel , paul در دانشگاه بن آنرا ساختند. كاركرد ابتدايي آن نيز در اسپكنزوسكوپي جري بود. چند سال بعد Heinrich , Post يك طيف نگار جرمي را با استفاده از اصول Strong focusing Principles ساختند. سال ها قبل از اين موضوع، تئوري تمركز دادن قوي ذرات باردار با استفاده از گراديان متناوب ميدان هاي مغناطيسي

چار قطبي توسط يك دانشمند يوناني بنام Chiristofilos در آتن بنيان نهاده شده بود. علي رغم اين پيروزي ها خيلي به اين موضوع بها داده نشد تا آنكه Wolfgang و همكارانش در دانشگاه بن اين اثر را بدنياي علم شناساندند. QIT يا Quadru pole همان دام يوم با هندسه هذلولوي مي باشند. مورد استفاده اوليه QIT ها در طيف سنجي جرمي بود. در اين سيستم ها از هندسه استاندارد هذلولوي پيروي مي شد. تا سال ۱۹۶۲ كه لانگور دام يوم با هندسه استوانه اي را اختراع و ثبت نمود معادلات حركت يون در دام استوانه اي CIT با نوع هايپربوليك متفاوت بدست آمد. دام يون استوانه اي بدليل كوچك سازي و سهولت ساخت، مورد توجه برخي محققين قرار گرفته است. اگر چه CIT هندسه ساده اي دارد ولي معادلات حركت آن پيچيده است. زيرا غير خطي و جفت شده است.
اخيرا نوع جديدي از دام بنام دام تركيبي معرفي شده است. تنها در يك مقاله از دانشگاه تگزاس آزمايشاتي در اين باره انجام داده اند. Arkim و Laude در تحقيق خود طيف سنجي جرمي با اين دستگاه را دنبال
كرده اند. در اين سيستم تركيبي(HIT) هندسه هذلولوي با استوانه اي نوع جديدي از عمليات تله گذاري را انجام مي دهند. معهذا معادلات حركتي يون پيچيده تر از دو نوع QIT و CIT مي باشد. براي آنكه عملكرد دام HIT را درك كنيم بايستي ابتدا اصول QIT و CIT را بدانيم در اين پژوهش

معادلات حركت يون در HIT را يافته و پتانسيل و ميدان داخل دام بدست مي آيد. و بهبود مي يابد همچنين نشان مي دهيم كه چگونه تنظيم پارامترهاي هندسي سلول دام مي تواند در كاهش حضور مراتب بالاتر ميدان موثر باشد. حتي چگونه
مي توان ديگر پارامترها را بهينه سازي نمود. همچنين منحني پايداري نيز بطور تئوري ترسيم خواهد گرديد.

 

مقدمه:
دام يون چارقطبي و تفكيك كننده جرمي چار قطبي(Mass filter) دستگاههايي هستند كه به الكترودهايي با ساختار هذلولي پتانسيل اعمال شود. و حركت يون در دام تحت تاثير يك سري از نيروهاي وابسته به زمان باشد. در اينجا عمل تله گذاري از طريق بر هم كنش ميدان اعمال شده با بار يون صورت مي گيرد.(قسمت تك قطبي بر هم كنش). خود يون ها نيز از طريق بر هم كنش كولمبي بلند بود قويا با يكديگر بر همكنش دارند دو نوع از طرح هاي معروف دام يون عبارتند از تله پاول و تله پنينگ. آزمايش با اين تله ها در كار ولفگانگ پاول و هانس دهملت و نورمن دمزي كه برندگان جايزه نوبل فيزيك اند نقش كليدي داشت. تله پاول شامل يك الكترود رينگ حلقوي هذلولوي و دو الكترود صفحه اي هذلولوي است اين سه بطور هم محور در امتداد محور تقارن چرخشي مشتركشان قرار مي گيرند. يك ولتاژDC و يك ولتاژ AC بين حلقه و صفحه ها اعمال مي شود. دو صفحه الكترود پاياني(End cap) در پتانسيل يكساني نسبت به حلقه(ring) نگاه داشته مي شوند. و يون در ناحيه مركزي حلقه و يا نزديك آن بدام مي افتد اساسا به تله يون يك پتانسيل وابسته به زمان اعمال مي شود تا پايداري سه بعدي بدست آيد. اگر فقط يك ميدان DC اعمال شود تله را مي توان در امتداد محور Z پايدار كرد اما در جهت عرضي پايداري نخواهد داشت. در تله پنينگ فقط از ميدان هاي ايستا استفاده
مي شود با وجود اين به عنوان تله هاي ديناميكي تلقي مي شود زيرا پايداري از طريق حركت اتم بدست
مي آيد. نخست يك ميدان چارقطبي الكتريكي را در نظر گيريد كه با استفاده از چار الكترود كه بطور متقارن گرفته اند بوجود آمده است و الكترود در پتانسيل يكساني نگاه داشته شده اند.
اين پتانسيل چنان انتخاب مي شود كه يون ها را به الكترود جذب كند. اگر ميدان ديگري اعمال نشود يوني كه با فاصله(در نقطه اي با فاصله يكسان) از چار الكترود قرار گرفته است درحالت تعادل خواهد بود ولي در مقابل جابجايي(عرضي) بطرف يك از چار الكترود ناپايداري خواهد داشت. اما

حركت يون در راستاي محور(طولي) تقارن چار قطبي پايدار خواهد بود. زيرا در اثر پتانسيل هماهنگ در امتداد اين محور محصور خواهد ماند. براي ايجاد پايداري در حركت عرضي ميدان مغناطيسي در امتداد محور طولي اعمال مي شود. بطوريكه يون در صفحه عرضي حركت سيكلوتروني را ايجاد كند. مولفه مغناطيسي نيروي لورنتس كه حركت سيكلوتروني را ايجاد مي كند براي جبران نيروي الكتريكي شعاعي ناشي از الكترودهاست. و بدين ترتيب پايداري حاصل مي شود.
۱-۱ معادلات حركت ذرات باردار در QIT
دام يون يا QUISTOR دستگاهي است مطابق شكل متشكل از سه الكترود هايپربوليك. دو الكت

رود End cap را معمولا زمين مي كنند و پتانسيل V0 را به ring اعمال مي نمايند. در اين جا فرض مي شود كه دستگاه عاري از هر گاز يوني زمينه اي مي باشد.
در تئوريك فرض مي شود كه الكترودها تا بي نهايت امتداد دارند و شكل ايده آل هندسي دارند. حال آنكه در عمل سر الكترودها را قطع مي كنند. همچنين در عمل ورودي دستگاه از سوراخ هايي بسيار ريز متشكل است. كه در واقع ورودي دستگاه مي باشد. عيوب و ناكاملي هاي حاصل از فرآيند مهندسي ساخت نيز مزيد بر علت شده و باعث مي شوند دام هاي يوني واقعي بعضا خواص غير خطي از خود بروز دهند. ولي در بحث تئوري كه ارائه مي شود از ناكاملي هاي مهندسي و ماشين كاري نيز صرف نظر مي گردد.

ميدان چار قطبي در مختصات دكارتي بصورت زير است كه در آن ضرايب ثابت اند. E0 نيز مستقل از مكان است ولي ممكن است به زمان وابسته باشد. اين ميدان در سه جهت مختصات ناجفت شده است و استقلال حركت يون در هر مختصه راستا را نتيجه مي دهد. نيروي اعمالي بر يون با جابجايي يون از مركز افزايش مي يابد. چون دستگاه عاري از هر گاز يوني زمينه اي است
(۱-۱) و براي برقراري(۱-۱) لازم است يكي از دو رابطه زير برقرار باشد.
(۱-۲)
(۱-۳)
چون(۱-۱) بي نهايت جواب دارد.
از آنجا كه مي باشد بدست مي آيد:
(۱-۴)

كه اين پتانسيل درجه دوم از جنس مي باشد. كه ناشي از يك نيروي بازگرداننده خطي است.
رابطه(۱-۲) در دستگاههاي تفكيك كننده جرمي و(۱-۳) در مورد(QIT) مصداق دارد. با ملاحظات رابطه(۱-۲) داريم:
(۱-۵)
خطوط هم پتانسيل در شكل زير رسم شده است. اين پتانسيل با چهار ميله استوانه اي هذلولي شكل با الكترودهاي مجاور هم و با بار مخالف مطابق شكل تشكيل مي شود. اگر كمينه فاصله الكترودهاي End cap برابر ۲r0 باشد. و پتانسيل ها بين آن ها باشد:
(۱-۶) كه

حال به رابطه(۱-۳) توجه مي كنيم خواهيم داشت:
(۱-۷)
با اين اعمال تبديلات از دستگاه كارتزين به استوانه اي:
(۱-۸)
خطوط هم پتانسيل در صفحه(x-y) و (r-z) ترسيم شده اند همچنين ساختار شماتيك لازم براي توليد اين پتانسل در طرح زير آمده است.
شماتيك
پتانسيل اعمال شده بدست خواهد آمد:
(۱-۹)
عبارت است از پتانسيل اعمال شده و r0 پارامتر دام است.
طيف سنج جرمي چار قطبي يا Quadrupole Ion trap با نام اختصاري QMF يك فيلتر جرمي است. اين روي يكي از انواع روش هايي است كه براي آناليز تركيب شيميايي مواد بكار مي رود. اين تكنيك بر مبناي اندازه گيري استوار است. و حساسيت تقريبي آن براي monolayers تقريبا است و حداقل تقريبي ها ده مورد نياز براي آزمايش است. و به عنوان يك آزمون مخرب مطرح است. چار ميله موازي با تركيب نشان داده شده به يكديگر متصل اند. يون ها در موقعيت S توسط فيلامان توليد مي شوند و از روزنه هاي A عبور مي كنند. و از ميان ناحيه اي شامل اين چار الكترود موازي R داخل محفظه مي شوند. يك ميدان الكتريكي E بين ميله ها اعمال مي گردد كه E=E0+E1coswt و E0 مولفه پايا و E1coswt و w تنها يون هايي با ويژه مقدار مي توانند در مدار نوساني پايدار داشته باشند و به سطح آشكار ساز D برسند. كه اولين داينود از يك تقويت كننده الكترون است.(فوتو مولتي پلاير). الكترون هاي توليد شده حاصل از رسيدن يون ها بطرف پايين شتاب مي گيرند. و سيگنال متناظر با ويژه مقدار نهايتا پديدار مي شود. و بصورت يك پالسي از الكترون ها در o دريافت مي شود. و اين

پروسه براي هر تك يون كه آشكار ساز مي رسد اتفاق مي افتد. حال اگر آهنگ يون هاي رسيده به دتكتور به اندازه مناسبي بزرگ باشد آنگاه سيگنال در o يك جريان يكنواخت مي دهد و مي تواند با يك تقويت كننده حساس اندازه گيري شود. طيف جرمي را مي توان بررسي نمود. كه با جاروب كردن يك رنجي از ميان فركانس هاي w رخ مي دهد. اما اگر مسير يون ناپايدار باشد. آنگاه به جابجايي بي نهايت منجر مي شود تا آنكه يون ها از بين بروند في المثل در اثر برخورد با يكي الكترود. در تفكيك گر جرم يا Mass filter معادلات حركت يون بصورت زير است.
(۱-۱۰)

براي راستاهاي y و z نيز به همين روابط مشابه مي رسيم. اين نيروي وارد شده بر يك يون در داخل QMF
مي باشد. با توجه به رابطه(۱-۶) خواهم داشت.

اين معادلات براي تزريق يون بداخل QMF با سرعت معين در جهت Z معتبراند. براي يك يون مثبت كه به داخل فضاي QMF وارد مي شود به طرف الكترود منفي شتاب مي گيرد اگر علامت پتانسيل قبل از اينكه يون به الكترود برخورد كند عوض شود يون مسيرش را عوض خواهد كرد. حال دو حالت براي بررسي
مي كنيم. اگر ثابت مي بود براي يك ذره باردار در صفحه xz يك حركت هارمونيك رخ خواهد داد و همه يون ها پايدار خواهند بود. و دامنه حركت آن ها محدود باقي مي ماند. ولي اگر تابعي تناوبي برحسب زمان باشد. مسير يون ها در هر دو صفحه نسبت به هم و دور از صفر به طور پريوديك منحرف خواهد شد.
يون هاي با جرم كمتر قادر خواهند بود مولفه هاي متناوب را دنبال كنند. در جهت x يون ها تمايل دارند مسيرهاي ناپايدار داشته باشند و در نتيجه جهت x معادل يك فيلتر جرمي بالا گذر است. و فقط جرم هاي بزرگتر مي توانند بدون برخورد به الكترود x به انتهاي ديگر QMF برسند. هم زمان يون هاي سنگين تر در جهت y ناپايدار خواهند بود و جهت y يك فيلتر جرمي پايين گذر است. و x و y همزمان يك گزينشگر جرمي با باند عبور معين را ايجاد مي كنند. نتيجه آنكه پتانسيل اعمالي كه قبلا معرفي كرديم بصورت
(۱-۱۲)
خواهد بود. كه در آن فركانس RF است.
با جايگذاري روابط اخر در(۱-۱۱) خواهم دانست.

حال تغيير متغيرهاي زير را انجام مي دهيم
(۱-۱۴)

(۱-۱۵)

اين معادله را نخستين بار داشمندي بنام ماتيو براي بررسي انتشار موج در پوسته ها بكار برد. همانگونه كه ديده شد معادلات حركت يون در(۱-۱۳) بشكل معادلات ماتيو هستند.
در دام يون چار قطبي نيز(QIT) مي توانيم بحث را ادامه دهيم. معادلات حركت بفرم زير است:

(۱-۱۶)

(۱-۱۷)
و معادلات حركت يون در QIT بفرم زير بدست مي آيد:
(۱-۱۸)
معادله ۱-۱۸ با تغيير متغيرهاي بفرم(۱-۱۷) بصورت زير نوشته مي شود:
(۱-۱۹)
بفرم كانونيك مي شود نوشت:

عبارت است از فاز ميدان تناوبي زماني كه تك يون اوليه آنرا تجربه مي كند و فاز اوليه نام دارد. رابطه ماتيو حالت خاصي از معادلات HILL است كه:
(۱-۲۰)
براي آنكه يك مسير پايدار داشته باشيم بايد حركت يون به گونه اي باشد كه با گذشت زمان مختصات از r0 و z0(براي z,r پايدار) تجاوز ننمايد.
۱-۱-۱ گزينمگر جرم(QMF)
پتانسيل در داخل QMF بفرم زير بدست آمد
(۱-۲۱)
همانگونه كه اشاره شد پتانسيل اعمالي به ring مي باشد پس:
(۱-۲۲)
در عمل و در انواع تجاري، ميله هاي QMF با مقاطع دايروي هستند. معهذا(۱-۲۲) تقريبا صحيح است. معادلات حركت QMF در روابط(۱۵-۱۴-۱۳) بدست آمدند.
جواب هاي معادله ماتيو برحسب پارامترهاي au و qu نيز بدست مي آيند و اين جواب ها را مي توان برحسب پايداري و يا ناپايداري ميسر در هر يك از جهات y,x بيان كرد. شكل نشان داده شده

نواحي پايداري را براي Mass filter نشان مي دهد. از بر هم نهي دو نمودار پايداري مجزا مي توان فهميد كه در چه ناحيه اي يون بطور همزمان در جهات y,x پايداري دارد. آنچه اهميت دارد اولين ناحيه پايداري است. u مي تواند مثبت يا منفي باشد. ولي غالبا ناحيه پايداري با u مثبت را بكار مي بريم حال آنكه آنچه براي u مثبت برقرار است، متقارنا براي u منفي نيز برقرار است. معادلات ماتيو دو نوع جواب دارد.
الف) حركت پايدار: يون ها در صفحه xy با دامنه محدود نودمان مي كنند. اين ذرات از ميدان

چارقطبي در راستاي z بدون برخورد به الكترودها عبور مي كنند و آشكار سازي مي شوند.
ب) حركت ناپايدار: دامنه حركت يون در راستاي x يا y يا در هر راستاي بطور نمايي زيادي شود و يون در اثر برخورد با الكترودها از بين خواهد رفت.
اگر مقادير ثابت r0 و w و u و را در نظر گيريم. تمام يون ها با نسبت يكسان نقطه عملكرد اثر يكساني(a,q) در نمودار پايداري خواهند داشت و از آنجا كه است و به وابسته نيست. لذا نقاط موثر براي تمام يون ها روي همان خط از ثابت قرار دارند. و از مبدا نمودار پايداري مي گذارد. اين خط، خط اسكن جرمي يا خط عملكرد نام دارد.
(operating line)
هنگامي كه است فقط يون هايي با نقطه موثر كشيده شده مابين مقطع برخورد جرم اسكن با در هر دو جهت y,x مسيرهاي پايدار خواهند داشت. و آن ها از طريق گزينشگر جرم عبور خواهند كرد. با افزايش نسبت خط اسكن جرمي به قله ناحيه پايداري نزديك مي شود و تنها محدوده باريكي از مقادير پايدار خواهند بود. يون هاي سبك در جهت x و يون هاي سنگين در جهت y پايدار خواهند بود. با تغيير اندازه و ثابت نگاه داشتن نسبت آن ها به منظور تفكيك جرمي ثابت. عدد جرمي عبور كننده در ناحيه پايداري مي تواند تغيير كند به عبارت ديگر طيف جرمي اسكن مي شود. بدينگونه همانطور كه ديده مي شود مرزهاي بين نواحي پايداري و ناپايداري با پارامتر نشان داده مي شود كه u عددي صحيح است … و ۲ داده بديهي است كه تفكيك با تنظيم الكترونيكي نسبت ممكن است تغيير كند زيرا افزايش جداسازي منجر به كاهش در روزنه موثر مي شود. همچنين يك رابطه خطي ميان عدد جرمي يون هاي منتقل شده و اندازه ولتاژهاي اعمالي وجود دارد.
۱-۱-۲ دام يون چارقطبي(QIT)
همانگونه كه در معادلات بدست آمد پايداري مسير يون را مي توان توسط بر هم نهي دو نمودار پايداري كه به اندازه ضريب -۲ با هم تفاوت دارند بدست آورد. همانگونه كه در شكل نيز مشهود است. نتيجه آنكه يك محدوده وسيعي از مقادير q,a وجود دارند كه يون هاي به تله افتاده در QIT مسيرهاي پايدار دارند و بصورت نامحدود در دام باقي مي مانند مگر آنكه يك عامل اختلال به ميان آيد. در شكل زير براي تحليل ماهيت يون براي هر دو ولتاژ با تعيين بطور مستقل انجام مي شود. با ملاحظه آنكه سرعت هاي مماسي اوليه صفر است، از معادلات حركت مشتق مي گيريم:

(۱-۲۳)
در نتيجه بايد در جهت y,x را كه q,a يكسان دارند ولي شرايط اوليه متفاوت، در نظر گيريم. با جايگذاري در معادله(۱-۲۳) بدست مي آورم.
(۱-۲۴)
كه بيانگر پايستگي اندازه حركت زاويه اي است.
دام يون تركيبي از چشمه انبارش يون و آناليزور يون است. همانگونه كه اشاره رفت QIT از سه الكترود ساخته شده است كه وقتي در پتانسيل خاصي نگاه داشته مي شوند باعث بوجود آمدن چاه پتانسيل دام مي شوند كه ذرات باردار يا يون هاي گازي براي زماني طولاني در آن محصور مي مانند. دام يون زماني مي تواند به عنوان اسپكنزومتر جرمي عمل كند كه شرايط محصورسازي طوري اصلاح شود كه يون ها از چاه پتانسيل دام به ترتيب جرم دفع شوند. براي داشتن مسير پايدار حركت يون بايد بگونه اي باشد كه با گذشت زمان از r0 و z0(z,r پايدار) تجاوز نكند. متداول ترين مد عملكرد دام يون، عملكرد دام در راستاي محور qz است و مي توان بدينگونه از az چشم پوشيد. زيرا qz شامل ابعاد دام r0، دامنه پتانسيل RF، و فركانس زاويه اي w و نسبت است. و اين ها پارامترهاي دام يوني اند. جواب هاي معادله ماتيو را مي توان برحسب az و qz محاسبه كرد و اين ها را برحسب پايداري يا ناپايداري مسير در راستاي z,r بيان نمود. هنگامي كه شرايط پايداري در جهات z,r برآورده شود يون در دام محصور است. جواب هاي معادله ماتيو دو نوع اند.
۱- حركت يون پريوديك اما ناپايدار است(توابع ماتيو از مرثيه صحيح)
۲- حركت پريوديك و پايدار
جواب هاي ۱ مرز ناحيه ناپايدار را تشكيل مي دهند. مرزهايي كه با منحني مشخصه يا مقادير مشخصه اشاره دارد. و با نمايانيده مي شوند. اما جواب هاي نوع ۲ حركت يون را در دام معين مي كند. نواحي پايداري با جواب پايدار معادله ماتيو مطابقت دارد.
۱-۲ حل معادلات ماتيو:
حركت يون در يك ميدان چار قطبي بطور تحليلي با حل معادله ديفرانسل مرتبه ۲ ماتيو بيان مي شود.
(۱-۲۷)
هر حركت يون در ساختار دام يك متال از معادله ماتيو است پارامترهاي qu , au(كه در آن u=r,z) به متغيرهاي تجربي Vrf , Udc و و r0 و وابسته اند. و مقادير معلوم اند.
به عنوان مثال در يك دام از بوتيل بنزن butyl benzene با و با شعاع الكترود رينگ z0=0.783cm و متناظر با فضاي بين الكترودها به اندازه ۲z0 برابر با ۱۵٫۶۶mm محاسبات زير را داريم

اما جواب كامل معادله ماتيو يك تركيب خطي از جواب هاي مستقل است.
(۱-۲۸)
جايي كه مقاديري ثابت اند و به شرايط اوليه وابسته اند: متان ، سرعت u0 و فاز RF، . يك نتيجه فرعي از قضيه Floquet’s بيان مي دارد كه همواره يك جواب براي معادله(۲-۱-۲) وجود دارد:

(۱-۲۹)
مقداري ثابت است و q دوره تناوب دارد. توابع u2,u1 به ترتيب توابعي زوج و فرد انتخاب شده اند.
بنابراين مي توان نوشت:
(۱-۳۱)
از قضيه فوريه مي دانيم كه يك تابع متناوب را مي توان بصورت يك جمع بي نهايت از جملات نمايي بيان كرد بنابراين:
(۱-۳۲)
بنابراين معادله(۵-۱-۲) مي شود:
(۱-۳۳)

C2n,u ضرايبي اند كه به au و qu وابسته اند و دامنه حركت يون را بيان مي كنند. كه مشخصا نماي مورد نظر است ممكن است حقيقي- موهوي و يا مختلط باشد. در واقع مقدار نوع جواب معادله ماتيو را بيان
مي كند. مي توان نوشت (۱-۳۴)
جواب ها دو گونه اند
i) پايدار بصورتي كه متناهي بماند ولي افزايش يابد.
ii) ناپايدار به قسمي كه بدون محدوديت افزايش يابد، هم افزايش يابد تنها جواب هايي كه اند مي توانند پايدار باشند. اگر اختيار شود آنگاه محلات يا با افزايش تمايل با بي نهايت ستون دارند. بنابراين چنين جواب هايي ناپايدارند. چهار حالت زير را بررسي مي كنيم.
۱- حقيقي و غيرصفر است. پس يكي از جملات يا بدون محدوديت افزايش خواهند داشت و جواب ناپايدار است.
۲- مختلط است. با اين شرط جواب ها ناپايدار است.
۳- بطوريكه m يك مقدار صحيح است. در اين جا جواب ها پريوديك اما ناپايدارند. اين جواب ها پريوديك اما ناپايدارند. اين جواب ها توابع ماتيو از مرتبه صحيح نام دارند و در دياگرام پايداري مرزهاي بين ناحيه پايداري و ناپايداري را مشخص مي كنند. و اين مرزها به منحني هاي مشخصه يا مقادير مشخصه اشاره دارند.
۴- كه موهومي است و يك عدد كامل نيست. اين جواب ها پريوديك و پايدارند.
از شرط اينكه بايد صفر باشد جواب معادله ماتيو مي شود:
(۱-۳۵)
با جايگذاري اتحاد مثلثاتي دمواد: (۹-۱-۲)
جواب هاي پايدار چنين بيان مي شود:
(۱-۳۶)
بطوريكه (۱-۳۷)
با ديفرانسيل گيري از معادله بياني مناسب براي سرعت يون در ميدان چار قطبي بدست مي آيد:
(۱-۳۸)

كه مطالعات شبيه سازي مفيد است.
– مقادير qu , au معين مي كنند كه آيا جواب ها پايدارند و يون ها در داخل دام ذخيره شوند و يا آنكه جابجايي يون ها افزايش نامحدود دارد و يون ها در برخورد با الكترودها از بين مي روند و يا به بيرون پرتاب
مي شوند. معادله ماتيويك حالت خاص از معادلات هيل است: (۱۳-۱۲)
كه در آن f(t) يك تابع پريوديك با دوره تناوب T مي باشد. و مي توان آنرا توسط قضيه فوريهتبديل مي شود. بحث درباره حل معادلات Hill در برنامه ايي تحقيق نمي گنجد. آنچه براي ما مهم است نواحي پايداري و مرزهاي مستخصه آن در دياگرام پايداري مي باشد. براي دام يون دو معادله در راستاهاي z,r بايد بطور همزمان پايداري را در جهات شعاعي و محوري برآورده سازند. نواحي هم پوشاني متنوعي ممكن است بدست آيد اما آنچه براي ما اهميت دارد و با كاركرد QIT ارتباط دارد بسته ترين ناحيه در فضاي(a,q) مي باشد.
نواحي پايداري به زير بخش هايي تقسيم مي شوند كه خطوط نام دارند و اين ها مشخصه هاي مسير يون را تعيين مي كنند.
۱-۱-۲) تئوري ضرائب ميدان در دام QIT
براي آنكه مراتب بالاتر از چارقطبي را معرفي كنيم. ناچاريم حل معادله پلاس در مختصات كروي را بنويسيم. هر گاه تقارن محوري را فرض گيريم(شبيه حالت QIT) فرم عمومي معادله زير بدست مي آيد.
(۱-۴۰)
بطوريكه An ضرايب اختياري اند و چند جمله اي هاي لغذاندراند. بايسط معادله فوق
(۱-۴۱)
كه مقادير n=0,1,2,3,4,5,6 متناظر با تك قطبي- دو قطبي- چارقطبي شش قطبي- هشت قطبي- ده قطبي و دوازده قطبي اند. مراتب بالاتر مولفه هاي ميدان همانند ۶ قطبي و ۸ قطبي در دام يوني مدرن نقش مهمي را بازي مي كنند. در آينده باز هم در اين باره سخت خواهيم راند.
۱-۲-۲) فركانس هاي عام: Secular Frequencies
در طرح واره زير يك نمايش سه بعدي از مسير يون در QIT نمايان است و عموما يك منحني ليساز و شكل مي سازد. تركيبي از دو مولفه فركانسي پايه Wz,0 , Wr,0 آنرا نشان مي دهيم. اين فركانس هاي عمومي بوسيله روابط زير معرفي مي شوند.
(۱-۴۲)
و در ساده ترين تقريب(تقريب دهملت چنين بيان مي شود:
(۱-۴۳)
(شكل ۷-۲ قديم)
طبيعت حركت يون از فاز اوليه rF مستقل است. دامنه نوسان به فاز وابسته است ولي به طبيعت حركت يون وابسته نيست.
هماهنگونه كه در فوق گفتيم حركت يون يك فركانس بنيادي و پايه دارد و فركانس هاي بالاتر بنابراين كمترين حد منحني پايداري مسيرهاي تركيب شده از فركانس هاي نوسان از w , 0 را نشان مي دهد.
بالاترين حد مسيرهايي با فركانس هاي بنيادي پايه يعني را نشان مي دهد. تعريف دقيق برحسب جملاتي از qu , au بفرم زير است.

– عملكرد دام يون چارقطبي به معيارهاي حاكم بر پايداري(و ناپايداري) وابسته است. كه از شرايط تجربي حاصل مي شود. و نهايتا بيان مي نمايد كه آيا يك يون داخل دام انباشت مي شود يا آنكه از دستگاه به بيرون پرتاب مي شود و يا آنكه يون در برخورد با الكترودها بار خود را آزد كرده و نابود مي شود و يا آنكه آشكار سازي مي شود. همانگونه كه اشاره رفت جواب هاي معادله ماتيو دو گونه اند
الف) پريوديك و ناپايدار ب) پريوديك و پايدار
جواب هاي الف توابع ماتيو از مرتبه صحيح اند و مرزهاي نواحي ناپايداري در دياگرام(a,q) را نشان مي دهند. اي مرزها به پارامترهاي مشخصه دام اشاره دارند. كه صحيح هستند. و ۰,۱,

۲,… و يك تابع
پيچيده اي از qz,az بود كه در بالا بدست آمد.
جواب هاي ب) حركت يون در دام را نشان مي دهد. نواحي پايداري متناظر با جواب هاي معادله ماتيو در جهت z هاشور خورده اند. همچنين در جهت r نيز نواحي پايداري به سهولت ترسيم مي شود زيرا az=-2ar و qz=-2qr يون ها بشرطي پايدارند كه در هر دو جهت z , r پايدار باشند. همانگونه كه در شكل ها مشخص است. نتيجه آنكه از بر هم نهي دو نمودار پايداري در راستاهاي z,r كه به اندازه ضريب -۲ با هم اختلاف دارند. رسم نمودار ميسر مي شود. در نتيجه يك ناحيه باريكي از q,a وجود دارند كه يون هاي بدام افتاده در QIT مسيرهاي پايدار دارند. وقتي پتانسيل اعمالي به دام اثر كند چاه پتانسيلي بوجود مي آيد كه ذرات باردار يا يون هاي گازي مي توانند در زماني با الشيه طولاني در آن انباشت شوند. به عنوان يك مثال حدي هنگامي كه q=0 است. تنها فركانس پايه حركت يون يك ضريب غيرصفر دارد و نوسان يون حركت هارمونيكي ساده اي خواهد داشت.

۱-۳ نواحي پايدار و مسيرهاي حركت يون
همانگونه كه اشاره رفت فقط به q,a وابسته است. پس شرايط پايداري را مي توان در نمودار a برحسب q (دياگرام پايداري) نشان داد. نواحي پايداري در شكل با مسيرهاي محدود سايه زده شده اند. حدود پايداري براي جواب هاي زوج با am و براي جواب هاي فرد با bm مشخص شده اند. همانگونه كه از معادله حركت نيز بر مي آيد نواحي پايدار حول محور a متقارنند.