توزيع نرمال، كه ممكن است بعضي از خوانندگان، نمودار آن را به عنوان منحني زنگديس بشناسند، گاهي با نامهاي پيرلاپلاس و كارس گاوس، كه در تاريخ پيدايش آن نقش چشمگير داشته اند، همراه است. گاوس توزيع نرمال را با روش رياضي به عنوان توزيع احتمال خطاي اندازه گيريها به دست آورد و آن را «قانون نرمال خطاها» ناميد.بعداً منجمين، فيزيكدانها، و كمي بعد از آن، كساني كه در بسياري از رشته ها داده‌ها را گردآوري مي كردند، دريافتند كه بافت نگارهاي اين داده ها

داراي اين خصوصيت مشترك هستند كه ارتفاع مستطيلها ابتدا بتدريج به يك مقدار بيشينه صعود مي كنند و سپس به طور متقارن كاهش مي يابند. هرچه منحني نرمال تنها منحي نيست ست مي دهد. زماني در جريان مراحل اولية تكامل آمار، چنين احساس مي‌شد كه داده هاي مربوط به هر پديدة واقعي بايد مطاق با منحني نرمال زنگديس باشند و در غير اين صورت مي بايد نسبت به فرايند جمع آوري داده ها مشكوك بود. از اينجاست كه اين توزيع به نام توزيع نرمال معروف شده است. لكن بررسي دقيق داده ها در اغلب موارد، نارسايي توزيع نرمال را آشكار ساخته است. لكن بررسي دقيق و در حقيقت، عموميت توزيع نرمال افسانه اي بيش نيست، و مثالهاي توزيع هاي غير‌نرمال در هر يك از قلمروهاي تحقيقات، فراوان اند. با وجود اين، توزيع نرمال نقشي اساسي در آمار بازي مي كند، و روشهاي استنباطي كه از آن به دست مي آيند، داراي قلمرو كاربرد وسيعي هستند و ستون فقرات روشهاي جاري تجزيه و تحليل آماري را تشكيل مي دهند.

هرچند در اينجا صحبت از اهميت توزيع نرمال است، ولي بحث ما در واقع به ردة وسيعي از توزيعها كه داراي چگالي زنگديس اند، مربوط مي شود. هر توزيع نرمال به وسيلة مقدار ميانگين آن، ، و انحراف معيار آن، ، به طور كامل مشخص مي شود؛ اين مقادير در فرمول تابع چگالي احتمال ظاهر مي شوند.
توزيع نرمال داراي چگالي زنگديس زير است:

كه در آن، ميانگين و انحراف معيار است.
احتمال فاصله اي كه به اندازة
يك انحراف معيار در هر طرف ميانگين امتداد دارد برابر است با

دو انحراف معيار در هر طرف ميانگين امتداد دارد برابر است با

در فرمول تابع چگالي احتمال، مساحت دايره اي است به شعاع واحد، كه به طور تقريبي ۱۴۱۶ر۳ است و e تقريباً ۷۱۸۳ر۲٫ است فرمول خاص منحني نرمال براي ما مهم نيست، اما توجه به بعضي از جزئيات آن لازم است. منحني در اطراف ميانگينش كه نوك زنگ را مشخص مي كند. متقارن است. فاصله اي به اندازه يك انحراف معيار در هر طرف داراي احتمال ۶۸۳ر۰، فاصله از تا داراي احتمال ۹۵۴ر۰، و فاصله از تا داراي احتمال ۹۹۷ر۰ هستند.

منحني هرگز و به ازاي هيچ مقدار x به صفر نمي رسد، ولي به خاطر اينكه مساحت سطوح انتهايي خارج از فاصلة خيلي كوچك اند، معمولاً نمايش هندسي را در دو سر اين فاصله پايان مي دهيم.

نمادگذاري
توزيع نرمال با ميانگين و انحراف معيار به صورت نشان داده مي شود.
با تفسير پارامترها، مي توان در شكل ۷-۵ ديد كه تغيير ميانگين از به يك مقدار بزرگتر ، صرفاً منحني زنگديس را در امتداد محور طولها تا استقرار مركز جديد در ، منتقل مي نمايد و تغييري در شكل منحي به وجود نمي آورد.
تغيير مقدار انحراف معيار، منجر به تغيير نقطة بيشينة منحني و تغيير مقدار مساحت در هر فاصلة ثابت حول (شكل ۷-۶ را ببينيد) مي شود. اگر فقط تغيير كند، مكان مركز تغيير نمي كند.
توزيع نرمال خاصي كه داراي ميانگين صفر و انحراف معيار يك است توزيع نرمال استاندارد ناميده مي شود. ميانگين و واريانس اين توزيع با ميانگين و واريانس متغير استاندارد شده كه در بخش ۴-۴ تعريف شد، تطبيق مي كنند. مرسوم است كه متغير نرمال استاندارد را با Z نمايش دهند. منحني نرمال استاندارد در شكل ۷-۷ نشان داده شده است.

توزيع نرمال استاندارد، داراي يك منحني زنگديس با:
(ميانگين)
(انحراف معيار) است. توزيع نرمال استاندارد به صورت (۱،۰)N نشان داده مي شود.
۷-۲-۱-استفاده از جدول نرمال (جدول ۴ پيوست)
جدول نرمال استاندارد در پيوست كتاب، مساحت واقع در سمت چپ هر مقدار مشخص Z را ارائه مي دهد:
مساحت زير زميني در سمت چپ

براي احتمال يك فاصلة [a,b]
]مساحت سمت چپ[a – ] مساحت سمت چپ [b=
خواص زير را مي توان از روي خاصيت تقارن تابع چگالي حول صفر به دست آورد.
اين مطلب در شكل ۷-۸ نشان داده شده است:

الف)
ب)

ج)اگر z>0 داريم

خاصيت (ج) براي استفاده از جدولهاي نرمال ديگري لازم است كه فقط احتمالهاي را مي دهند.
مثال ۷-۱ و را پيدا كنيد.
با توجه به جدول ۴ پيوست، مي دانيم كه احتمال يا مساحت واقع در سمت چپ ۵۲ر۱ برابر يا ۹۳۵۷ر۰ است. در نتيجه ، ۹۳۵۷ر۰ . بعلاوه، چون متمم است، همان طور كه در شكل ۷-۹ مي توان ديد، داريم

روش ديگر اين است كه از خاصيت تقارن براي اثبات تساوي

استفاده كنيم، كه احتمال اخير به طور مستقيم از جدول ۴ پيوست به دست مي آيد.
مثال ۷-۲ را محاسبه كنيد.
همان طور كه در شكل ۷-۱۰ مي توان ديد، با استفاده از جدول ۴ پيوست داريم.
۹۴۵۲ر۰=مساحت واقع در سمت چپ
۴۴۰۴ر۰=مساحت واقع در سمت چپ ۱۵ر۰

بنابراين

مثال ۷-۳ يا را پيدا كنيد.
دو پيشامد و جدا از هم هستند، بنابراين احتمالهاي آنها را با هم جمع مي كنيم:
يا

، همان طور كه در شكل ۷-۱۱ نشان داده شده، مساحت واقع در سمت راست ۱ر۲ مي باشد، كه برابر است با يك منهاي مساحت واقع در سمت چپ ۱ر۲، كه مساوي است با ۰۱۷۹ر۰=۹۸۲۱ر۰-۱٫جدول ۴ پيوست، مقدار را بطور مستقيم مي دهد. با جمع كردن اين دو كميت، داريم
يا

مثال ۷-۴ مقدار z را پيدا كنيد به طوري كه در صدق كند. با استفاده از اين خاصيت كه مساحت كل برابر با يك است، مساحت واقع در سمت چپ zبايد برابر ۹۷۵۰ر۰=۰۲۵۰ر۰-۱ باشد. مقدار كناري براي دراية ۹۷۵۰ر۰ از جدول برابر يا ۹۶ر۱=z است.
مثال ۷-۵- مقدار ۰z> را به دست آوريد هرگاه . با توجه به تقارن منحني داريم:

در جدول ۴ پيوست، مي بينيم كه ۶۵ر۱=z منجر به و ۶۴ر۱=z به مي شود. چون ۵۰ر۰ وسط دو مقدار احتمال فوق است، با درون يابي بين اين دو مقدار، ۶۴۵ر۱=z را به دست مي آوريم.

مثالهاي قبلي، سومندي نموداري را كه سطح زير منحني نرمال استاندارد را نمايش دهد، آشكار مي سازد. يك نمودار صحيح نشان مي دهد كه چگونه مي توان مساحت سطوح واقع در سمت چپ مقادير مشخص z در جدول نرمال را تركيب كرد.
خوشبختانه، براي محاسبات مربوط به توزيع هاي نرمال جداول ديگري لازم نيست. توزيع نرمال اين خاصيت را دارد كه اگر X داراي توزيع باشد؛متغير استاندارد شدة

داراي توزيع نرمال استاندار خواهد بود. بنابراين، در حالت كلي مي توان احتمالهاي فواصل را با كم كردن ميانگين و سپس تقسيم بر انحراف معيار، به توزيع نرمال استاندارد مربوط كرد.
اگر X داراي توزيع باشد، آنگاه داراي توزيع خواهد بود. بنابراين:

كه در آن، احتمالهاي مربوط به Z از جدول نرمال استاندارد به دست مي آيند.
دلايل درستي اين روابط در زير مي آيد. اين پيشامد كه X كوچكتر از b باشد، همان پيشامد است، و اين مقادير X همان مقاديري هستند كه به ازاي آنها داريم حال توجه كنيد كه ، اشتراك و يا، به عبارت ديگر، اشتراك و است. اين اشتراك عبارت است از:

پيشامد اخير بر حسب متغير نرمال استاندارد بيان شده است. مقادير Z در اين حالت و هستند.
مثال ۷-۶ در صورتي كه X داراي توزيع باشد، و را محاسبه كنيم.
در اينجا و ، بنابراين عدد ۱ را از طرفين كم مي كنيم و سپس حاصل را بر ۴ تقسيم مي نماييم.

مثال ۷-۷بعد از يك دورة كارآموزي، توزيع نمره هاي امتحاني مربوط به اين
دوره، تقريباً (۲،۱۴)N است. اگر قرار باشد آنهايي كه نمرة زير ۱۱ مي آورند دوباره كارآموزي ببينند، چند درصد از آنها دورة كارآموزي را دوباره خواهند ديد؟
اين درصد برابر با خاصلضرب ۱۰۰ در نسبت نمره هاي زير ۱۱ مي باشد. اين نسبت برابر است با احتمال اينكه نمره اي كمتر از ۱۱ باشد، يا

بنابراين درصد كار آموزاني كه دوباره دورة كارآوزي را خواهند ديد، برابر است با .
توزيع نرمال براي هر كاربرد بخصوصي تنها يك مدل مجرد به شمار مي رود، درست همان طور كه خط مستقيم مدلي براي اضلاع يا ساختمان يا مقطعي از يك بزرگراه است. اين مدل به نمره هاي منفي. مثل نمره هاي خيلي بزرگ مثبت، مقادير مثبتي را به عنوان احتمال نسبت مي دهد. اين امر دقيقاً بدان دليل است كه اين احتمالها اغلب خيلي كوچك هستند به طوري كه توزيع مي تواند حتي براي متغيرهايي كه به دامنه اي از مقادير مثبت محدودند مدل واقع بينانه اي به دست دهد.