دستگاه‌هاي خطي و گسستگي‌هاي زماني نامشخص همراه با حالت تاخير

چكيده
يك طبقه از دستگاه‌هاي خطي و گسستگي‌هاي زماني نامشخص همراه با حالت تاخير مورد بررسي قرار مي‌گيرد. ما يك ماتريس نامعادله خطي را بر اساس تحليل (LMI) ايجاد مي‌كنيم و روش‌هايي را براي بهبود بهتر ثبات دستگاه‌هاي وابسته به زمان همراه با حالت تاخير و غيرخطي‌هاي محدود را دوباره طراحي مي‌كنيم. سپس تثبيت بهتري را توسط استفاده از

دستگاه‌هاي بازخوردي انعطاف‌پذير و اسمي درست مي‌كنيم. در هر دو مورد ارتباط بين اندازه مزاياي كنترل كننده و فاكتورهاي متناهي معلوم و در درون يك طراحي منظم قرار مي‌گيرد. توسط جستجوي موارد محاسباتي تمام نتايج بدست آمده در قالب (LMSI) و چندين مثال عددي در سراسر مقاله ارائه مي‌شود.
۱٫ مقدمه
به طور روزافزون نمايان مي‌گردد كه تاخيرات در سيستم‌هاي فيزيكي و ساخت بشر با توجه به دلايل مختلف مانند قابليت محدود، پردازش اطلاعات در ميان قسمت‌هاي مختلف سيستم، پديده‌اي ذاتي مانند جريان حجيم انتقال و بازيابي و يا توسط توليد تاخيرات اتفاق مي‌افتد. بحث‌هاي قابل قابل مقايسه درباره تاخيرات و تاثيرات تثبيت/عدم تثبيتشان بر سيستم‌هاي كنترل، علاقه محققين را در سال‌هاي اخير به خود جلب كرده استن (Mahmoud، ۱۹۹۹؛ Mahmoud،‌ b2000 و ديگر مرجع‌ها).
در طراحي كنترل سيستم‌هاي ديناميك و پويا به اين نتيجه مي‌رسد كه اهداف طراحي با تاثير پارامترهاي متغير، قصورات اجزاي تركيب و ارتباط بين آنها كه بطور مكرر موقعيت‌هاي عملي رخ مي‌دهد، يكي نيست. تئوري كنترل قوي ابزارهاي طراحي مناسبي را با استفاده از دامنه زماني و دامنه متوالي را ارائه مي‌دهد. هنگامي كه مدل‌سازي دستگاه نامعلوم است و يا عدم ثبات اختلالات خارجي، مشكل اصلي دستگاه‌هاي كنترل است، نتايج براي عدم ثبات سيستم‌عاي وابسته به گسستگي زماني مي‌تواند در كتاب (Mahmoud، ۱۹۹۹) يافت شود.

هنگام بكارگيري كنترل طراحي شده خاطر نشان مي‌سازد كه مشكلات و مباحث همراه با قابليت‌هاي محاسباتي محدود و دقيق بسيار حياتي مي‌باشد و اين براي بررسي روش‌هاي طراحي مجدد مورد خطاب قرار مي‌گيرد. در اين روش‌ها اختلالات موجود در كنترل كننده در طراحي ادغام مي‌شود تا روش‌هاي طراحي كنترل قوي بهبود يابد. پيشرفت‌هاي اخير درباره ايت موضوع مي‌توان در كتاب (Mahmoud، a,b2004؛ Nounou، ۲۰۰۵؛ Yang & Wang، ۲۰۰۱ و Yang et al، ۲۰۰۰) ملاحظه كرد. تمام اين نتايج براي سيستم‌هاي زماني پيوسته در اين مقاله ارائه مي‌شود. ما روش Mahmoud (a,b2005) و Mahmoud & Nounou (2005) را در طبقه سيستم‌هاي زماني گسسته همراه با تاخير بسط مي‌دهيم.

بطور مستقيم به روش‌شناسي‌هاي وابسته به تاخير توسط نشان دادن ديناميك‌هاي وابسته به تاخير در روش‌هاي طراحي را مورد توجه قرار مي‌دهيم. فاكتور تاخير به عنوان مجهول اما داراي حد و مرز مورد بررسي قرار مي‌گيرد. اثبات وابسته به زمان و روش‌هاي اثبات بازخورد براي موارد انعطاف‌پذير بهتر و جزئي توسعه پيدا مي‌كند. نامعادله ماتريش خطي را بر اساس تحليل (LMI) به طور كامل توسعه و روش‌هايي را براي اثبات بهتر با استفاده از طراحي‌هاي بازخوردي و انعطاف‌پذير طراحي مي‌كنيم. در هر دو مورد ارتباط بين اندازه مزيت‌هاي كنترل كننده و فاكتورهاي محدود كننده بوضوح نمايان مي‌شود و در درون يك طرح منسجم قرار مي‌گيرد. چندين مثال عددي ارائه شده است.

توجه
در پايان قانون اقليدس براي بردارهاي مورد توجه قرار مي‌گيرد. ما از و به ترتيب براي برگرداندن معكوس مقدار مشخص و قانون بدست آمده از هر مربع ماتريسي W.W>0; (W<0) عددي مثبت و متعادل هستند. علامت (۰) در برخي از ماتريس‌ها براي نشان دادن ساختار متعادل مورد استفاده قرار مي‌گيرد. يعني ماتريس‌هاي معلوم R=Rt و L=Lt و بعد ما مناسب است. سپس:

گاهي اوقات استدلال درباره يك تابع، زماني كه هيچ ابهامي وجود نداشته باشد، حذف مي‌شود.
LEMMA 1.1 دو برابر مفروض و ماتريس را تعريف و فاصله را تعيين مي‌كند. گرفتن عدم تساوي ذيل:

و براي ماتريس ايفا مي‌كتد:

۲٫ نوعي از دستگاه‌هاي گسسته زماني
ملاحظه مي‌كنيم چگونگي توضيح طبقه‌بندي دستگاه‌هاي گسسته زماني را با پارامترهاي نامعلوم هر جا قرار مي‌دهيم عددي مثبت است كه تاخير را بيان مي‌كند. همچنين با يك عدد صحيح معلوم را بوجود مي‌آورد و ماتريس‌هاي متغير و را بوسيله:

بيان مي‌كند. در جايي كه
و حقيقي هستند و ماتريس‌هاي ثابت معلوم با يك ماتريس كران‌دار متغير مثل ملاحظه مي‌كنيم. فقط حالت تعلل تنها بعد از سيستم‌هاي تاخير مضروب مي‌تواند به وضوح بكار رود و هدف اين مقاله، اين است كه روظش‌هاي تعلل وابستگي را توسعه دهد. براي استقرار كنترل وسيله ديناميك‌هاي توليد. اين متدولوژي وابستگي تاخير را توسعه مي‌دهد.

قالب‌هاي جهش را در قسمت انتگرال توسعه مي‌دهد. (LMI) بر اساس آناليز و توليد طراحي براي اثبات قوي و چگونگي اثبات عكس استفاده مي‌شود. در هر دو مورد ارتباط بين اندازه مزاياي كنترل كننده و فاكتورهاي متناهي روشن و در درون يك طراحي منظم قرار مي‌گيرد. مثال عددي در تمام اين مقاله ارائه مي‌شود.
۳٫ نتايج اوليه
در دستگاه متغير آزاد قرار مي‌دهيم و

اثبات را در دو مرحله بررسي مي‌كنيم. در مرحله اول، قسمت جزئي را بوسيله دستگاه و و در مرحله دوم ما حد وسط پارامتر متغير را داخل دستگاه ديناميك مي‌گذاريم.

سپس دستگاه ۳٫۱ با مي‌تواند تركيب شرح زير را بيان كند:

تكرار متوالي در (۳٫۲)

و جايگذاري مي‌كنيم:

و استنباط اينكه

مشاهده مي‌كتيم كه داراي يك شكل عمومي است و بر حسب سه آيتم ساخته مي‌شود. شرايط ضروري و مناسبي را براي اثبات دستگاه توصيف كننده مجزا بدون تاخير را ارائه مي‌دهد (Mahmoud، b2005). متناظر با شاخص وابسته به تاخير (Mahmoud، a2000) و براي شرايط اثبات مستقل از زمان مشترك است. براي سادگي در توزيع حالت‌هاي ماتريس زير معرفي مي‌كنيم و در سراسر مقاله از آن استفاده مي‌كنيم.

اكنون ما مشكل A را معرفي مي‌كنيم. مساله زير شرايط ضريب LMI را براي اثبات مجانب دستگاه ايجاد مي‌كند. قضيه ۳٫۲، دستگاه ۳٫۱ را بدون عدم اطمينان با فاكتور تاخير با مطلوبيت ثابت مجهول مورد بررسي قرار مي‌دهد. اين سيستم به طور مجانب ثابت است اگر ماتريس‌هاي
و و جواب قانع كننده ۳٫۱۲ و LMI وجود داشته باشد.

Vk را مورد بررسي قرار مي‌دهيم و اولين اختلاف كاركردهاي را مورد ارزيابي قرار مي‌دهيم. سپس با استفاده از ۳٫۴ داريم:

به طور مشابه

از فرمول ۳٫۱۴ از طريق ۳٫۱۷ استنباط مي‌شود كه:

با استفاده از فرمول ۳٫۱۹ در فرمول ۳٫۱۸ و با استفاده از مكمل schur و مرتب كردن آيتم‌ها داريم و بر اساس LMI (3.13) استنباط مي‌‌كنيم كه و خيلي مهمتر از ۳٫۱۲ و ۳٫۱۰ مي‌باشد و نتيجه مي‌شود كه و توسط قضيه ۳٫۱ ثبات مجانب. بنابراين تخمين مي‌شود ملاحظه ۳٫۱ سيستم بدون تاخير جزئي را مورد بررسي قرار مي‌دهيم:

كه از فرمول ۳٫۱ توسط تعيين بدست مي‌آيد و سپس نتيجه مي‌گيرد كه سيستم ۳٫۲۰ بطور مجانب داراي ثبات است و توصيف گرش از

بطور مجانب ثابت است. در نتيجه LMI

داراي يك راه حل عملي P>0 است. اين برابري براي تمام كوچك احنمالي و مناسب صادق است، زيرا نتايج تئوري ۳٫۲ بستگي به حد دارد. شرايط ثبات بطور ضعيف بر حسب وابستگي تاخير در يك حالت خاص

به فرمول ذيل كاهش پيدا مي‌كند:

كه يك مشخصه LMI را درباره اثبات مستقل از زمان به ما مي‌دهد.
۴٫ اثبات قوي و تثبيت
سيستم را مورد مطالحظه قرار مي‌دهيم و تغيير مدل توصيف‌گر را بكار گرفتيم و سيستم توصيف‌گر را بدست آورديم:

جايي كه

با ملاحظه قضيه ۳٫۲ نتيجه مي‌شود كه سيستم نامعلوم ۳٫۲ بطور مجانب ثابت است. اگر موارد زير وجود داشته باشد

با ۳٫۱۲ و LMI

بر حسب ۴٫۲، LMI (4.3) را به صورت زير دوباره مي‌نويسيم:

نتيجه اثبات قوي اكنون توسط قضيه زير بدست مي‌آيد.
قضيه ۴٫۱٫ سيستم دستگاه ۳٫۱ با فاكتور تاخير كه يك جواب قانع كننده ثابت و مجهول است، مورد بررسي قرار مي‌دهيم. اين سيستم بطور مناسب و از نظر مجانب ثابت است. اگر ماتريس‌هاي و وجود داشته باشند،

برهان با شروع از ۴٫۴ و استفاده از مكمل با برخي تنظيمات ماتريس مي‌توانيم حد ماتريس را بدست آوريم:

قسمت بعدي توسط عمليات مكمل Schur است با توسعه ملاحظه ۳٫۱ ما نتايج زير را خواهيم داشت.
قضيه ۴٫۲ دستگاه ۳٫۱ با فاكتور تاخير كه يك جواب قانع كننده ثابت و مجهول است، مورد بررسي قرار مي‌دهيم. اين سيستم بطور مناسب و از نظر مجانب ثابت است. اگر ماتريس‌هاي زير وجود داشته باشند:

************۴٫۱٫ اثبات قضيه عكس
نتيجتاً ما مشكل حالت ثبت را براي سيستم ۳٫۱ مورد بررسي قرار مي‌دهيم. در ابتدا از كنترل كننده بازخورد اسمي استفاده مي‌كنيم.

با استفاده از كنترل كننده ۴٫۸ در سيستم ۲٫۱ با سيستم حلقه بسته اسمي را بدست مي‌آوريم. با رجوع به ۳٫۴ بديهي است كه سيستم توصيف كننده متناظر شكل ماتريس زير را به خود مي‌گيرد:

اكنون از قضيه ۳٫۲ نتيجه مي‌شود كه سيستم ۴٫۹ بطور مجانب ثابت است اگر

با اجراي عمليات مكمل Schur و LMI (4.11) معادل مي‌شود با:

نتيجه اثبات عكس به سادگي توسط قضيه زير اثبات مي‌شود.
قضيه ۴٫۳٫
دستگاه ۲٫۱ با اين كه فاكتور تاخير كه يك جواب قانع كننده ثابت و مجهول است، مورد بررسي قرار مي‌دهيم. اين سيستم ثابت است اگر ماتريس زير وجود داشته باشد:

در جايي كه به علاوه بازخورد اسمي توسط بدست مي‌آيد.
برهان: توجه كنيد كه:

ما جابجايي متجانس را انجام مي‌دهيم:

در LMI (4.12)

با استفاده از اين فرمول و بكارگيري راهنمايي ۴٫۱۰ بع ماتريس زير مي‌رسيم:

در جايي كه

و با معرفي عمليات خطي‌سازي

به سادگي مشاهده مي‌شود كه

و ملاحظه مي‌گردد كه

پس توسط انجام برخي ماتريس‌هاي ۴٫۱۴ با استفاده از ۴٫۱۸، ۴٫۱۵ و LMI 4.13 به سادگي بدست مي‌آيد. ما حالت نامشخصي را مورد بررسي قرار مي‌دهيم، وقتي كه ، ما سيستم حلقه بسته را بدست مي‌آوريم:

در يك روش مشابه ماتريس سيستم مطرح شكل زير را مي‌گيرد:

توسط قضيه ۴٫۱ نتيجه مي‌شود كه دستگاه ۴٫۱۹ بطور مجانب با ثبات است اگر ماتريس زير وجود داشته باشد.

با استفاده از مكمل Schur و تبديل LMI (4.21) به شكل زير درمي‌آيد:

نتيجه اثبات عكس به سادگي توسط قضيه زير بدست مي‌آيد:

قضيه ۴٫۴٫ دستگاه ۲٫۱ با فاكتور تاخير كه يك جواب قانع كننده ثابت و مجهول است، مورد بررسي قرار مي‌دهيم. اين سيستم ثابت است. اگر ماتريس زير وجود داشته باشد:

قضيه ۴٫۴ سيستم دستگاه ۲٫۱ با فاكتور تاخير كه يك جواب قانع كننده ثابت و مجهول است، مورد بررسي قرار مي‌دهيم. اين سيستم ثابت است اگر ماتريس زير وجود داشته باشد:

به علاوه نتيجه جزئي توسط بدست مي‌آيد.
برهان. توسط توسعه موازي در قضيه ۴٫۳ جابجايي متجانس را بكار مي‌گيريم. در LMI (4.22) با استفاده از قسمت‌هاي

بلوكه Z. Y و L=P-1 سرانجام به ماتريس زير مي‌رسيم:

در جايي كه ۴٫۱۵ و ۴٫۱۶ يكي مي‌شوند، جانشيني ۴٫۱۷ و ۴٫۱۸ به ۴٫۲۲ با توجه به محدوديت با برخي عمليات مكمل‌هاي Schur و LMI (4.23) بدست مي‌آيد.
۴٫۲٫ اثبات عكس‌ انعطاف‌‌پذير
اكنون ما حالت عملي را مورد بررسي قرار مي‌دهيم كه با توجه به اختلالات در نتيجه دلايل تكينكي مختلف كنترل كننده است. بنابراين قانون كنترل بكار گرفته شده دقيق به شكل زير است:

و به اين امر دلالت مي‌كند كه انحرافات بدست آمده حالت افزايش دارد. براي توسعه يا بسط به ديگر نمونه‌ها مي‌توان به سادگي از يك روش استفاده كرد. در ۴٫۲۵ و ثابت شناخته شده واقعي يك ماتريس همراه با ماتريس محدود شده عدم قطعي است كه . با بكارگيري كنترل ۴٫۲۵ در دستگاه ۲٫۱، سيستم حلقه بسته به مبهم بدست مي‌آيد:

ماتريس سيستم كنترل كننده مبهم شكل زي را مي‌گيرد.

دوباره با استفاده از قضيه ۴٫۱ استفاده مي‌شود كه بطور مجانب ثابت است. اگر ماتريس‌هاي زير وجود داشته باشد، با بكارگيري مكمل‌هاي Schur دوباره تبديل كردن LMI

به شكل زير نتيجه بازخورد انعطاف‌پذير به سادگي توسط قضيه زير بدست مي‌آيد.

قضيه ۴٫۵٫ دستگاه ۲٫۱ را با فاكتور تاخير كه سيستم ثابت مجهول و با توجه به كنترل بازخورد مبهم ۴٫۲۵ مورد بررسي قرار دهيد. اين سيستم قوياً از نظر مجانب ثابت است. اگر اين ماتريس‌ها باشد.

به علاوه جواب اسمي توسط بدست مي‌آيد.
دليل. توسط بسط برابر قضيه ۴٫۳ تغيير متجانس را

بر LMI (4.2) و با استفاده از قسمت‌هاي Z, Y و L=P-1 بكار مي‌گيريم. نتيجتاً به ماتريس زير مي‌رسيم:

جايي كه ۴٫۱۵ و ۴٫۱۶ با هم ادغام مي‌شوند، جانشيني ۴٫۱۷ و ۴٫۱۸ در LMI (4.30) با توجه به محدوديت همراه با برخي عمليات مكمل‌هاي Schur، LMI مطلوب بدست مي‌آيد.
تذكر ۴٫۱٫ بايد ذكر شود كه قسمت بعدي درباره سيستم گسستگي نامعلوم يك شروع خوبي را براي مطالعات كنترلي انعطاف‌پذير بوجود مي‌آورد و سبب بسط و توسعه بيشتر درباره اين موضوع مي‌گردد.
۴٫۳٫ مثال ۴٫۱
ما يك سيستم مرتبه ۲ را با اطلاعات زير مورد بررسي قرار مي‌دهيم:

قرض كنيم و احتياج است تا مقدار dt كه تضمين كننده ثبات مجانب در سيستم است را تعيين كنيم. نتيجه مي‌شود روش وابسته به تاخير dt=11 را مي‌دهد، در حالي كه با استفاده از تئوري ۳٫۲ داريم dt=17.
4.4. مثال ۲٫

دستگاه زير را كه از نوع ۳٫۱ مي‌باشد به همراه

مورد بررسي قرار مي‌دهيم.
با استفاده از تئوري ۴٫۱ و كسب مقدار حداكثر dt كه تضمين كننده ثبات مجانب است، برابر ۶ مي‌باشد.

۴٫۵٫ مثال ۳٫
يك دستگاه گسسته زماني از نوع ۳٫۱ داراي

به استثناء عدم اطمينان‌ها ما نظريه ۴٫۳ را بكار مي‌گيرد و كنترل عكس جزئي زير را بدست مي‌آوريم.

با درنظر گرفتن عدم اطمينان‌ها ما تئوري ۴٫۶ را بكار مي‌گيرم و كنترل

عكس جزئي زير را كسب مي‌كنيم. با درنظر گرفتن اختلالات در راه حل عملي جواب دقيق زير را به ما مي‌دهد.

۴٫۶٫ مثال ۴
دستگاه گسستگي زماني از نوع ۳٫۱ كه داراي پارامترهاي زير است، را مورد بررسي قرار مي‌دهيم:

و انحرافات و را درنظر مي‌گيريم. در نتيجه انجام طراحي عكس بر اساس جدول LMI در جدول ۱ آورده شده است.

 

۵٫ نتيجه‌گيري
با توجه بر مباحث انعطاف‌پذيري در طراحي كنترلي بازخورد در دستگاه‌هاي تاخيري اين مقاله از يك روش را براي سيستم‌هاي گسستگي زماني حمايت مي‌كند. نتايج كامل و دقيقي براي روش‌هاي وابسته به تاخير در يك دسته وسيع از دستگاه هاي خطي و گسستگي زماني نامعلوم همراه با حالت تاخير را ايجاد كرده‌اند.