چكيده:
در اين پايان نامه همه حلقه ها يكدار و جابجائي و همه مدول ها يكاني هستند اين پايان نامه شامل يك مقدمه و هفت فصل است. فصل اول شامل هدف، پيشينه تحقيق و روش كار مي باشد. فصل دوم شامل تعاريف و قضاياي مقدماتي است. فصل سوم شامل خواص اساسي زير مدول هاي اول است. فصل چهارم شامل خواص –M راديكالها است هدف عمده فصل پنجم برهان قضيه زير مي باشد.

قضيه ۱: فرض كنيم R يك حلقه باشد. آن گاه R در فرمول راديكال صدق مي كند در صورتي كه يكي از شرايط زير برقرار باشد.
الف) براي هر -R مدول آزاد F,F در فرمول راديكال صدق كند.
ب) براي هر مدول A، .
ج) R تصوير همومرفيسم S است كه S در فرمول راديكال صدق مي كند.
د) براي هر R- مدول A faithful، A در فرمول راديكال صدق كند.
در فصل ششم R يك دامنه ايده آل اصلي است و A مدول آزاد Rn در نظر گرفته شده است. و هدف عمده فصل ششم و هفتم برهان قضيه زير مي باشد.
قضيه ۲: فرض كنيم R يك دامنه ايده آل اصلي و P, A=Rn زير مدولي از A باشد. آن گاه عبارات زير هم ارزند.
الف: P جمعوند مستقيم A اس

ت.
ب: P بسته است.
ج: اگر آن گاه P اول است و dim P<n .

مقدمه:
در سال ۱۹۹۱ R.L.McCasland و M.E.Moore مقاله اي تحت عنوان راديكال هاي زير مدول ها نوشتند اين پايان نامه شرحي است بر مقاله فوق.

فصل اول اين پايان نامه شامل هدف و پيشينه تحقيق مي باشد. فصل دوم شامل تعاريف و قضاياي مقدماتي است. فصل سوم خواص زير مدول هاي اول مي باشد. فصل چهارم شامل خواص -M راديكال ها مي باشد.
فصل پنجم با تعريف مفاهيم پوش يك زير مدول يا E(B) و M-radB شروع شده است. و ارتباط بين زير مدول هاي توليد شده توسط آنها با راديكال زير مدول ها بررسي شده و همچنين شرايط هم ارزي كه يك حلقه مي تواند در فرمول راديكال صدق كند بررسي شده است.
در فصل ششم حلقه R يك حلقه PID و مدول A نيز مدول آزاد Rn در نظر گرفته شده است و نشان مي دهيم اگر B زير مدول A باشد آن گاه اگر و تنها اگر dim B=dim A و در فصل هفتم با تعريف مدول هاي بسته نشان داده مي شود كه اگ

ر R دامنه ايده آل اصلي و P , A=Rn زير مدول A باشد آن گاه شرايط زير هم ارزند.
۱) P جمعوند مستقيم A است. ۲) P بسته است. ۳) اگر باشد آن گاه P اول است و dim P<n .

فصل اول:
هدف، پيشينه تحقيق و روش كار

هدف:
بررسي خواص اساسي از زير مدول هاي اول و خواص -M راديكالها و هدف نهايي بررسي مفاهيم پوش يك زير مدول و برهان قضيه ۱ و ۲ گفته شده در مقدمه و چكيده پايان نامه مي باشد.

پيشينه تحقيق و روش كار:
براي گردآوري اين پايان نامه از ژورنالهاي مختلف رياضي در گرايش جبر موجود در كتابخانه هاي معتبر مانند IPM استفاده شده است و هنوز در هيچ كتاب درسي در سطح كارشناسي ارشد و دكترا مفاهيم فوق نوشته و بررسي نشده است.

فصل دوم:
تعاريف و قضاياي مقدماتي

تعريف(۱-۲): مجموعه R همراه با دو عمل دوتائي + و . را يك حلقه گوئيم اگر،
الف) (R , +) يك گروه آبلي باشد.
ب) به ازاء R a,b,c ، a(b c) = (a b)c
ج) به ازاء هر R a,b,c

(قانون توزيع پذيري چپ) a(b+c) = ab+ac
(قانون توزيع پذيري راست) (b+c) a= ba+ca
تعريف(۲-۲): حلقه R را تعويض پذير(يا جابجائي) گوئيم هر گاه:

تعريف(۳-۲): اگر حلقه R نسبت به عمل ضرب داراي عضو هماني باشد آنگاه اين عضو را با ۱R، يا به طور ساده با ۱، نمايش مي دهيم و آن را يكه R مي ناميم
تذكر: در سراسر پايان نامه R حلقه جابجايي و يكدار فرض مي شود.
تذكر: اگر R حلقه اي يكدار بوده و به ازاء هر داشته باشيم ab=ba=1 آنگاه a را يك واحد(يا عضو وارون پذيري) مي ناميم.
تعريف(۴-۲): گوئيم حلقه R بدون مقسوم عليه صفر است هر گاه:

يا
تعريف(۵-۲): هر حلقه جابجائي، يكدار و بدون مقسوم عليه صفر را دامنه صحيح مي ناميم.
تعريف(۶-۲): زير مجموعه S از حلقه R يك زير حلقه R است اگر:

تعريف(۷-۲): زير حلقه I از R را ايده آل R ناميم هر گاه:

تعريف(۸-۲): ايده آل I از حلقه R را، ايده آل سره نامند هر گاه: و مي نويسيم :
تعريف(۹-۲): ايده آل P از حلقه R را ايده آل اول نامند هر گاه:
يا
تعريف(۱۰-۲): اگر I يك ايده آل از حلقه R باشد آنگاه:
را حلقه خارج قسمتي R بر I نامند.
تذكر: اگر R جابجائي و يكدار باشد آنگاه نيز جابجائي و يكدار است.
لم(۱۱-۲): فرض كنيد P ايده آل حلقه R باشد آنگاه:
P ايده آل اول است اگر و تنها اگر دامنه صحيح باشد.

تعريف(۱۲-۲): دامنه صحيح D را دامنه ددكنيد نامند هر گاه هر ايده آل آن به صورت حاصل ضرب، ايده آلهاي اول باشد.
تعريف(۱۳-۲): ايده آل سره M از حلقه R را ايده آل ماكزيمال نامند هر گاه M داخل هيچ ايده آل سره از R قرار نگيرد.
تعريف(۱۴-۲): فرض كنيم R حلقه جابجائي و يكدار باشد. در اين صورت R را يك ميدان ناميم هر گاه هر عضو ناصفر آن داراي وارون ضربي باشد.
لم(۱۵-۲): فرض كنيم R حلقه و M ايده آلي از حلقه R باشد آنگاه:
M يك ايده آل ماكزيمال R است اگر و تنها اگر ميدان باشد.

تعريف(۱۶-۲): فرض كنيم X زير مجموعه اي از حلقه R باشد. فرض كنيم خانواده همه
ايده آلهاي R شامل X باشد. آنگاه را ايده آل توليد شده توسط X ناميده و با علامت(X) نمايش
مي دهند.
تذكر: علامت X مولدهاي ايده آل(X) ناميده مي شود.
اگر در اين صورت گويند(X) يك ايده آل متناهيا توليد شده است.
تذكر: در حالت خاص وقتي كه X={a} باشد داريم:

تعريف(۱۷-۲): حلقه R را يك حوزه ايده آل اصلي ناميم هر گاه R حوزه صحيح باشد و هر ايده آل آن توسط يك عضو توليد شود.
تعريف(۱۸-۲): در حلقه R، گوئيم عنصر b,a را مي شمارد و مي نويسيم a | b هر گاه:

تعريف(۱۹-۲): عنصر p را در حلقه R اول گوييم هر گاه:
يا
تعريف(۲۰-۲): حلقه R را حوزه تجزيه يكتا گويند هر گاه R حوزه صحيح باشد و هر عضو آن را بتوان به صورت حاصلضرب متناهي و منحصر بفرد از عناصر اول نوشت.
تعريف(۲۱-۲): ايده آل P از حلقه R را يك ايده آل اوليه ناميم هر گاه اولا و ثانيا

تعريف(۲۲-۲): فرض كنيم I ايده آل حلقه R باشد. راديكال ايده آل I را به صورت نمايش مي دهند و عبارت است از:

لم(۲۳-۲): اگر R يك حلقه و I ايده آلي از حلقه R باشد در اينصورت كه در آن P ايده آل اول حلقه R و شامل I است.
لم(۲۴-۲): اگر P يك ايده آل اوليه باشد آنگاه راديكال P يك ايده آل اول است.
تعريف(۲۵-۲): فرض كنيم Q يك ايده آل اوليه باشد و داشته باشيم ، آنگاه گوئيم Q يك ايده آل -P اوليه است.
مثال(۲۶-۲): در حلقه Z از اعداد صحيح به ازاء هر عدد اول p ايده آل توليد شده توسط p كه آن را به صورت(p) نمايش مي دهيم يك ايده آل اول است.

مثال(۲۷-۲): ايده آلهاي (p4) , (p3) , (p2) و … و ايده آلهاي اوليه هستند زيرا:

پس (pn) يك -(p) اوليه است.
تعريف(۲۸-۲): عنصر a در حلقه R را خودتوان گوئيم هر گاه a2=a.
تعريف(۲۹-۲): ايده آل I از حلقه R را ايده آل راديكال نامند هر گاه .
تعريف(۳۰-۲): فرض كنيم R’ . R دو حلقه باشند نگاشت را يك همومورفيسم حلقه نامند هر گاه:

تذكر: اگر f پوشا نيز باشد يك اپي مرفيسم و اگر f يك به يك باشد آنگاه f يك منومورفيسم ناميده
مي شود.
تعريف(۳۱-۲): اگر f اپي مرفيسم و منومرفيسم باشد آنگاه f يك ايزومرفيسم ناميده مي شود.
تعريف(۳۲-۲): فرض كنيم R يك حلقه يكدار و M گروهي آبلي باشد. اگر تابعي مانند
موجود باشد به قسمي كه در شرايط زير صدق كند گوئيم M يك -R مدول چپ است.

تذكر: -R مدول راست مشابها تعريف شود.
تعريف(۳۳-۲): فرض كنيم M يك -R مدول، و N زير مجموعه غير تهي از M باشد در اينصورت گوئيم N زير مدول M است و مي نويسيم هر گاه:


تعريف(۳۴-۲): منظور از زير مدول توليد شده توسط m از -R مدول M، مجموعه اي به صورت زير است:

تعريف(۳۵-۲): فرض كنيم P يك زير مدول از -R مدول M باشد. گوئيم P زير مدول سره M است هر گاه باشد.
تعريف(۳۶-۲): فرض كنيم R يك حلقه و F يك -R مدول باشد. در اينصورت گوئيم F يك -R مدول آزاد است هر گاه خانواده از عناصر F موجود باشد به قسمي كه هر عضو F را بتوان به صورت منحصر به فرد از تركيبات خطي اين عناصر نوشت. بعبارت ديگر:

تعريف(۳۷-۲): فرض كنيم M و N دو R مدول باشند. در اينصورت نگاشت f از M به توي N را يك همريختي R- مدولي بين M و N ناميد هر گاه شرايط زير برقرار باشد:

تعريف(۳۸-۲): اگر يك همريختي -R مدولهاي M و N باشد منظور از هسته f و تصوير f مجموعه هايي به شكل زير هستند:

لم(۳۹-۲): اگر يك همزيختي -R مدولي باشد در اينصورت Kerf , Imf به ترتيب زير مدولهاي N و M هستند.
قضيه(۴۰-۲): فرض كنيم يك همريختي -R مدولي باشد و فرض كنيم A زير مدول M و B زير مدول N باشد. در اينصورت f(A) و f-1(B) به ترتيب زير مدولهاي N و M هستند و بالاخره:

قضيه(۴۱-۲): اگر يك اپي مرفيسم باشد در اينصورت تناظري يك به يك بين زير مدولهاي A از M كه شامل Kerf هستند و زير مدولهاي B از N برقرار است و اين تناظر، حافظ جزئيت است يعني:

تعريف(۴۲-۲): فرض كنيم A يك -R مدول و P زير مدول آن باشد. گوييم P زير مدول اول A است هر گاه باشد و براي و از بتوانيم نتيجه بگيريم كه .
تعريف(۴۳-۲): زير مدول N از -R مدول M را اوليه نامند هر گاه:
۱) N زير مدول سره M باشد.
۲) يا
تعريف(۴۴-۲): فرض كنيم R يك حلقه و B يك -R مدول باشد. در اينصورت پوچساز B مجموعه اي به صورت زير مي باشد:

تعريف(۴۵-۲): -R مدول M را تابدار گويند هر گاه براي هر عضو مخالف صفر M مثل .
تعريف(۴۶-۲): -R مدول M را بدون تاب گوئيم هر گاه براي هر و براي هر ، اگر داشته باشيم rm=0 بتوان نتيجه گرفت كه r=0 يا m=0 .
تعريف(۴۷-۲): -R مدول M را متناهيا توليد شده گويند هر گاه اعضاء در M موجود باشد به طوريكه هر عضو M را بتوان به صورت تركيب خطي از اين عناصر با ضرايب در R نوشت.
تعريف(۴۸-۲): فرض كنيم R حلقه و M يك -R مدول باشد. در اينصورت گوئيم M در شرط زنجيري صعودي(A.C.C) براي زير مدولهايش صدق مي كند هر گاه هر زنجير صعودي از زير مدولهايش ايستا باشد. يعني براي هر زنجير صعودي به صورت زير:

ي موجود باشد بطوريكه براي هر k كه داشته باشيم Mn=Mk .
تعريف(۴۹-۲): حلقه R را يك حلقه نوتري مي گوئيم هر گاه هر زنجير صعودي از ايده آل هايش ايستا باشد يعني اگر:

يك زنجير صعودي دلخواه از ايده آلهاي R باشد آنگاه موجود باشد، به طوريكه براي هر داشته باشيم:
تعريف(۵۰-۲): حلقه R را آرتيني مي گوئيم هر گاه هر زنجير نزولي از ايده آل هايش ايستا باشد يعني اگر

يك زنجير نزولي دلخواه از ايده آلهاي R باشد آنگاه موجود باشد، به طوريكه براي هر داشته باشيم:
Ak=An
تعريف(۵۱-۲): فرض كنيم R يك حلقه و يك خانواده از -R مدولها باشد و {fi} يك خانواده از همريختي هاي -R مدولي بين Mi و Mi-1 باشد. در اينصورت رشته:

را دقيق گويند هر گاه Imfi+1=kerfi .
تعريف(۵۲-۲): -R مدول P را تصويري گويند هر گاه براي هر رشته دقيق مثل و هر همومرفيسم يك همريختي بين P و A مثل موجود باشد به قسمي .
تعريف(۵۳-۲): -R مدول M را ضربي گويند هر گاه براي هر زير مدول N از M يك ايده آل از حلقه R مانند I موجود باشد بطوريكه N=IM.
تعريف(۵۴-۲): -R مدول M را يكاني گويند هر گاه براي هر داشته باشيم: .
تعريف(۵۵-۲): فرض كنيم M يك -R مدول و N زير مدول M باشد. در اينصورت گويند N جمعوند مستقيم M است هر گاه زير مدول N’ از M موجود باشد به قسمتي كه:

تعريف(۵۶-۲): -R مدول M را صادق گويند هر گاه AnnM=0.
تعريف(۵۷-۲): فرض كنيم R حلقه جابجائي و I ايده آل R باشد. يك تجزيه اوليه براي I بصورت است بطوريكه Qiها، -Pi اوليه باشند. اين تجزيه را تجزيه اوليه كاهش يافته ناميم هر گاه شرايط زير برقرار باشد:
۱) P1، ……..، Pn، n ايده آل اول متمايز R باشند.
۲) به ازاء هر j=1,2,…..,n داشته باشيم .
قضيه(۵۸-۲): فرض كنيم R حلقه جابجائي و يكدار بوده و B يك -R مدول باشد كه در شرط A.C.C روي زير مدولهايش صدق مي كند. در اين صورت هر زير مدول A از B، يك تجزيه اوليه كاهش يافته دارد.
لم(۵۹-۲): فرض كنيم R حلقه جابجائي و يكدار و B يك -R مدول باشد در اين صورت اگر زير مدول C از B داراي تجزيه اوليه باشد آنگاه C داراي تجزيه اوليه كاهش يافته است.
لم(۶۰-۲): هر -R مدول تصوير همريخت يك -R مدول آزاد است.
برهان: فرض كنيم M يك -R مدول باشد و عناصر M را توسط مجموعه ، انديس گذاري كرده و بدين ترتيب FM كه مجموعه اي به صورت زير است به عنوان يك -R مدول آزاد در نظر گرفته مي شود.

پس هر عضو FM به صورت مي باشد كه در آن و . اكنون تابع را با ضابطه زير تعريف مي كنيم:

به وضوح خوش تعريف و همريختي پوشا از FM به M مي باشد.
لم(۶۱-۲)(قانون مدولي ددكيند): فرض كنيم A و B و C زير مدولهايي از -R مدول M بوده و فرض كنيم باشد. در اين صورت داريم:

برهان: ابتدا فرض كنيم در اين صورت و .
چون است لذا و موجود است به قسمي كه x=b+c. از آنجاييكه است لذا . اما و و A يك زير مدول است لذا است لذا و مي باشد. پس است يعني .
برعكس: فرض كنيم باشد لذا و موجود است به قسمي كه x=b+c اما و از طرفي لذا مي باشد. پس و لذا .
تعريف(۶۲-۲): را يك مجموعه مرتب جزئي مي گوئيم هر گاه سه خاصيت زير برقرار باشد:

تعريف(۶۳-۲): فرض كنيم يك مجموعه مرتب جزئي باشد و يك زير مجموعه در اينصورت عضو u از را يك كران بالا براي مي گويند اگر براي هر ، داشته باشيم .
تعريف(۶۴-۲): رابطه روي را مرتب كلي مي گوئيم اگر مرتب جزئي باشد و براي هر x و y كه در قرار دارند همواره يا .
لم زرن(۶۵-۲): فرض كنيم يك مجموعه مرتب جزيي و با ترتيب كلي باشد( دلخواه است)، در اين صورت اگر داراي كران بالا در باشد آنگاه داراي عضو ماكزيمال است.
تعريف(۶۶-۲): يك -R مدول ساده است هر گاه تنها زير مدول هاي M، M,{0} باشند، N زير مدول ماكزيمال M است اگر و تنها اگر يك -R مدول ساده باشد.
تعريف(۶۷-۲): فرض كنيم M يك -R مدول و N زير مدول M باشد. مجموعه از R را با (N:M) نمايش مي دهيم كه در حالت خاص اگر N=0 آن گاه را نابود ساز M مي ناميم و آن را با نمايش مي دهيم.
لم(۶۸-۲): (N:M) ايده آلي روي R است.
تعريف(۶۹-۲): فرض كنيم M يك R- مدول بوده و P ايده آل اول R باشد P را وابسته به M گوئيم هر گاه وجود داشته باشد و به طوري كه . مجموعه همه ايده آلهاي اول وابسته به M را با AssR(M) نمايش مي دهيم.

فصل سوم:
خواص اساسي از زير مدولهاي اول

خواص اساسي از زير مدولهاي اول
(۱-۳) تعريف: فرض كنيم R يك حلقه و M يك -R مدول باشد. زير مدول حقيقي N از -R مدول M را اول يا(-P اول) گوييم هر گاه براي هر r از R و براي هر m از M كه داشته باشيم:
يا . به سادگي ديده مي شود كه P=(N:M) يك ايده آل اول است.
(۲-۳) تعريف: فرض كنيم M يك -R مدول و N زير مدول M باشد. N را جمعوند مستقيم M گوييم هر گاه براي بعضي زير مدول N’ از M .
(3-3) تعريف: فرض كنيم A يك دامنه صحيح و M يك -A مدول باشد. يك عضو را عضو تابدار گوييم اگر يعني توسط عناصر غيرصفر A خنثي مي شود. عضوهاي تابدار M تشكيل زير مدول از M مي دهند. اين زير مدول كه زير مدول تابدار نام دارد با T(M) نشان داده مي شود.
(۴-۳) تعريف: اگر T(M)=0 مدول M را مدول فارغ از تاب مي ناميم.
(۵-۳) مثال: هر جمعوند مستقيم از يك مدول فارغ از تاب اول است. به ويژه هر زير فضاي حقيقي از يك فضاي برداري اول است.
برهان: فرض كنيم M مدولي فارغ از تاب و N يك جمعوند مستقيم آن باشد لذا داريم: (K زير مدول دلخواه M)
در نتيجه . فرض كنيم نتيجه مي گيريم . از آنجايي كه و متعلق به N هستند پس نيز متعلق به N مي شود. همچنين پس . لذا
پس در نتيجه يعني نتيجه مي گيريم فرض كنيم . داريم لذا . M مدول فارغ از تاب است، پس .
لذا پس . لذا N زير مدول اول است. به ويژه چون هر فضاي برداري يك مدول فارغ از تاب است و هر زير فضاي آن نيز جمعوند مستقيم است پس هر زير فضاي يك فضاي برداري اول است.
(۶-۳) تعريف: فرض كنيم M يك -R مدول باشد، زير مدول N از M را محض گوييم هر گاه به ازاي هر ، .
(۷-۳) نتيجه: زير مدول حقيقي N از -R مدول فارغ از تاب M، محض است اگر و تنها اگر N اول باشد و N:M={0}.
برهان: فرض كنيم M يك -R مدول فارغ از تاب باشد لذا T(M)=0 و N زير مدول حقيقي M باشد كه محض است. پس داريم به ازاي هر . نشان مي دهيم N اول است. فرض كنيم و لذا پس
لذا
براي بعضي nهاي متعلق به N

M مدول فارغ از تاب است پس r=0 لذا پس N زير مدول اول است. حال نشان مي دهيم N:M={0}. فرض كنيم متعلق به N:M باشد، آنگاه لذا . از طرفي پس rN=rM فرض كنيم لذا وجود دارد nاي متعلق به N كه rm=rn در نتيجه r(m-n)=0 و و M مدول فارغ از تاب است پس m-n=0 در نتيجه m=n پس ، از طرفي پس N=M كه به تناقض مي رسيم زيرا N زير مدول حقيقي M است اين تناقض ناشي از فرض نادرست پس N:M={0}.
برعكس: فرض مي كنيم N زير مدول حقيقي از -R مدول فارغ از تاب M باشد و N اول باشد و N:M={0}. نشان مي دهيم N زير مدول محض است يعني به ازاي هر داريم اگر r=0 حكم برقرار است. فرض كنيم باشد. در نظر مي گيريم در نتيجه وجود دارد mاي متعلق به M به طوري كه x=rm همچنين . لذا ، N زير مدول اول است لذا يا . چون لذا پس
يعني .
حال فرض كنيم لذا وجود دارد n اي متعلق به N كه x=r n و پس زير مدول است بنابر تعريف(۳۳-۲) لذا پس . از I و II نتيجه مي شود يعني N زير مدول محض M است.
(۸-۳) مثال: زير مدول تابدار T(M) از مدول M روي يك دامنه صحيح اول است اگر .
برهان: . پس T(M) زير مدول حقيقي M است. حال فرض كنيم و عضوهايي از M را در بر دارد كه پوچساز آنها غيرصفر باشد لذا . پس وجود دارد اي متعلق به R كه a(re)=0 پس (ar)e=0 و چون لذا Ann(e)=0 پس داريم ar=0

 

( دامنه صحيح) پس داريم r=0 لذا يعني T(M) اول است.
(۹-۳) مثال: فرض كنيم B ابر حلقه، حلقه A باشد يعني . در اين صورت
برهان: چون ، پس B مي تواند يك -A مدول باشد(بنا به تعريف(۳۲-۲) و چون P ايده ال اول B است لذا P زير مجموعه حقيقي B است(بنا به تعريف(۹-۲)
داريم {به ازاي هر }= P:AB
فرض كنيم
(P ايده ال اول) به ازاي هر ، ، و(بنا به تعريف(۷-۱))

حال فرض كنيم
(P ايده ال اول B)
به ازاي هر

(۱۰-۳) تعريف: مجموعه شامل همه مقسوم عليه هاي صفر روي M را با ZR(M) نمايش مي دهيم. به عبارت ديگر داريم:
{ وجود داشته باشد متعلق به M كه
(۱۱-۳) مثال: {۰} زير مدول اول از -R مدول M است اگر و تنها اگر AnnR(M)=ZR(M).
برهان: فرض كنيم {۰} زير مدول اول از -R مدول M باشد نشان مي دهيم AnnR(M)=ZR(M). قبل از اينكه حكم را ثابت كنيم نكته اي را بيان مي كنيم:
نكته: اگر N زير مدولي از -R مدول M باشد داريم N:RM=AnnR(M/N)
برهان: داريم

فرض كنيم لذا داريم r(M/N)=0M/N پس r(m+N)=0 به ازاي هر .
پس به ازاي هر لذا پس به همين ترتيب لذا AnnR(M/N)=N:RM حال به اثبات مثال مي پردازيم.
فرض كنيم پس rM=0 يعني rm=0 به ازاي هر . {۰} زير مدول اول M است پس {۰} زير مدول حقيقي M است، لذا وجود دارد متعلق به M كه rm0=0 پس لذا حال فرض كنيم پس وجود دارد متعلق به M كه {۰}.rm=0 زير مدول اول و پس از طرفي بنا بر نكته گفته شده
(۰):M=AnnR(M) پس يعني

پس طبق I و II داريم
AnnR(M)=ZR(M)
برعكس: فرض كنيم AnnR(M)=ZR(M). ثابت مي كنيم {۰} زير مدول اول است. زيرا اگر M={0} آن گاه ZR(M)={ } و AnnR(M)=R و
در حالي كه طبق فرض داريم R=AnnR(M)=ZR(M)={ }. پس حتما {۰} زير مدول حقيقي M است. حال فرض كنيم
يعني لذا پس . پس {۰} زير مدول اول -R مدول M است.
(۱۲-۳) گزاره: a) فرض كنيم N زير مدول اوليه از -R مدول M باشد آنگاه N اول است اگر و تنها اگر N:M ايده ال اول R باشد.
b) اگر k زير مدول -P اوليه از M باشد كه شامل يك زير مدول -P اول است آنگاه k نيز -P اول است.
برهان: (a)- فرض كنيم N زير مدول اول -R مدول M باشد، ثابت مي كنيم N:M ايده ال اول است. را در نظر مي گيريم كه . پس به ازاي هر . فرض كنيم ، لذا وجود دارد كه پس لذا و N اول است پس يا ولي ما فرض كرديم پس
و N اول است پس يا ولي زيرا اگر باشد چون N زير مدول M است مي شود كه با (*) تناقض دارد. لذا حتما . پس N:M ايده ال اول حلقه R است.
برعكس: فرض كنيم N زير مدول اوليه باشد و N:M ايده ال اول R باشد. نشان مي دهيم N زير مدول اول است. در نظر مي گيريم ، چون N اوليه است وجود دارد عدد صحيح مثبتي چون k كه يعني كه به ازاي هر لذا ايده ال اول است پس لذا N زير مدول اول است.
b) K زير مدول -P اوليه از M و شامل زير مدول -P اول است.

فرض كنيد كه در آن . در اين صورت عدد صحيح و مثبت مانند m وجود دارد بطوريكه يعني . بنابراين . اما نتيجه مي دهد و بنابراين . بطور خلاصه و نتيجه مي دهد و لذا K يك زير مدول اول از M است بنابراين K:M=Rad(K:M)=P، يعني K يك زير مدول -P اول از M است.
(۱۳-۳) تعريف: فرض كنيم R يك حلقه باشد. اگر به ازاي هر وجود داشته باشد xي متعلق به R به طوري كه axa=a آنگاه حلقه R را مطلقا مسطح مي گوييم.
(۱۴-۳) تذكر: بنا به آنچه در [۷] صفحه ۱۶۹، تمرين ۱۲ آمده است هر ايده ال اوليه از يك حلقه مطلقا مسطح اول است.
(۱۵-۳) نتيجه: اگر M يك مدول روي حلقه مطلقا مسطح R باشد آن گاه هر زير مدول اوليه از M اول است.

برهان: N زير مدول اوليه M است و حلقه R، مطلقا مسطح است لذا بنا بر تذكر(۱۴-۳) N:M ايده ال اول است.
فرض كنيم چون N اوليه است، وجود دارد عدد صحيح مثبتي چون k به طوري كه لذا به ازاي هر پس و N:M ايده ال اول است پس لذا N زير مدول اول است.
(۱۶-۳) قضيه: فرض كنيد N زير مدول حقيقي از -R مدول M باشد و N:M=P. آن گاه احكام زير معادلند:
a) N يك زير مدول اول از M است.
b) M/N يك –R/P مدول فارغ از تاب است.
c) N:M(r)=N به ازاي هر r متعلق به R-P.
d) N:MJ=N به ازاي هر ايده ال J زير مجموعه P نباشد.
e) N:R(e)=P به ازاي هر e متعلق به M-N.
f) N:RL=P به ازاي هر زير مدول L از M كه به طور حقيقي شامل N .
g) Ass(M/N)={P}.
h) P=ZR(M/N).
برهان:
زير مدول حقيقي M و P=N:M و N زير مدول اول است. نشان مي دهيم M/N يك –R/P مدول است.

زيرا لذا به ازاي هر i.
حال نشان مي دهيم M/N مدول فارغ از تاب است. فرض كنيم در نتيجه پس وجود دارد به طوري كه

و چون و N اول است پس . بنابراين r+P=P در نتيجه AnnR/P(m+N)=0 لذا مدول M/N يك، -R/P مدول فارغ از تاب است.
.
فرض كنيم M/N يك –R/P مدول فارغ از تاب است يعني T(M/N)=0 نشان مي دهيم N:M(r)=N به ازاي هر r متعلق به R-P.

چون پس كه P=0R/P داريم.

اما بنا بر فرض خلف و M/N فارغ از تاب است.
AnnR/P(m+N)=0
بنابراين r+P=P يعني كه يك تناقض است لذا
.
فرض كنيم J يك ايده ال از حلقه R باشد بطوريكه لذا عضوي مانند موجود است. اكنون . فرض كنيد يعني و به ويژه و لذا اما و لذا بنابر بنابراين در نتيجه .
.
داريم N:MJ=N به ازاي هر نشان مي دهيم N:R(e)=P به ازاي هر . فرض كنيم يعني به ازاي هر لذا . چون پس به ازاي هر j پس به ازاي هر j. لذا در نتيجه يعني
حال فرض كنيم در نتيجه . طبق فرض در نتيجه لذا لذا وجود دارد jاي به طوري كه از طرفي)
(e پس يعني به ازاي هر j لذا به ازاي j=1 داريم . چون حلقه R جابجايي است لذا در نتيجه و و … يعني به ازاي هر j كه با (*۱) تناقض دارد. اين تناقض ناشي از فرض نادرست است لذا يعني

فرض زير مدول M باشد، وجود دارد پس بنا بر فرض اكنون

بنابراين N:L=P

فرض كنيم به ازاي هر زير مدول L از M به طور حقيقي شامل N، N:RL=p نشان مي دهيم N زير مدول اول است.

زير اگر داريم لذا پس يعني لذا به همين ترتيب عكس اين مطلب نيز درست است و لذا (*) برقرار است.
از طرفي N:N=R پس لذا
N زير مدول اول است ما بايد دو مطلب را ثابت كنيم.
ابتدا اينكه P يك ايده ال اول حلقه R است و دوم اينكه Ass(M/N)={P} قبلا از اثبات شده است لذا P ايده ال اول حلقه R است. اكنون فرض كنيم . در اينصورت

از طرف ديگر چون پس و بنابر فرض

بنابراين و لذا Ass(M/N)=P .
.
فرض كنيم Ass(M/N)={P}، نشان مي دهيم P=ZR(M/N). از فرض نتيجه مي شود وجود دارد به طوري كه AnnR(x)=P.

و زيرا اگر m+N=N آن گاه AnnR(x)=R=P يعني N:RM=R لذا N=M كه مخالف فرض گزاره است.
پس لذا پس حال فرض كنيم لذا وجود دارد طوري كه لذا و چون Ass(M/N)={P} لذا لذا .
.
.
فرض كنيم P=ZR(M/N)=
{وجود داشته باشد كه } نشان مي دهيم N زير مدول اول است.

لذا پس N زير مدول اول است.
(۱۷-۳) گزاره: اگر N يك زير مدول از -R مدول M بوده و P=N:M يك ايده ال ماكزيمال R باشد. آن گاه N زير مدول اول است. بويژه m M يك زير مدول اول از –R مدول M است، براي هر ايده ال ماكزيمال m از R به طوري كه .
برهان: فرض كنيم N:M=P يك ايده ال ماكزيمال R باشد، لذا R/P يك ميدان است و M/N يك –R/P مدول است زيرا:

لذا M/N به عنوان يك فضاي برداري روي ميدان R/P مي تواند در نظر گرفته شود. همچنين M/N يك –R/P مدول فارغ از تاب است زيرا
وجود دارد به طوري كه (r+P) (m+N)=0M/N
طبق خواص فضاي برداري m+N=0 لذا يعني T(M/N)=N=0M/N لذا بنابر قضيه(۱۶-۳)، N زير مدول اول است.
تذكر: N زير مدول حقيقي M است زيرا اگر N=M آن گاه P=N:M=R كه با ماكزيمال بودن P در تناقض است.
حالت خاص: فرض كنيم m يك ايده ال ماكزيمال R باشد. آن گاه mM يك زير مدول اول M است اگر باشد، طبق فرض داريم mM زير مدول حقيقي M است.
{ به ازاي هر m’ متعلق به به ازاي هر

( زيرا اگر mM:M=R آن گاه R M=mM و R حلقه يكدار است لذا M=mM كه با فرض در تناقض است) ولي m ايده ال ماكزيمال حلقه R است پس از رابطه(*) نتيجه مي شود m=mM:M=P و چون m ايده ال ماكزيمال است لذا P، هم ماكزيمال مي شود پس بنا به قسمت اول گزاره mM زير مدول اول است.
(۱۸-۳) نكته: در [۴]، صفحه ۲۰۰ و گزاره ۹ آمده است اگر M يك –R مدول نوتري و m يك ايده ال ماكزيمال باشد آن گاه زير مدول حقيقي از M يك زير مدول –m اوليه است اگر و تنها اگر براي بعضي kهاي صحيح مثبت. حال گزاره اي را بيان مي كنيم كه نتيجه(۱۷-۳) مي باشد و مشابه گزاره ۹، صفحه ۲۰۰ در [۴] است.
(۱۹-۳) گزاره: فرض كنيم N زير مدول حقيقي از –R مدول M باشد و فرض كنيم m ايده ال ماكزيمال R باشد، در اينصورت N، -m اول است اگر و تنها اگر . در نتيجه اگر N يك زير مدول –m اول باشد، آن گاه هر زير مدول حقيقي M شامل N نيز –m اول است.
برهان: طبق فرض داريم N زير مدول حقيقي M و m ايده ال ماكزيمال R است.
فرض كنيم N، -m اول باشد نشان مي دهيم .
m=N:M و N زير مدول اول است لذا بنا بر گزاره(۱۲-۳) قسمت a N:M ايده ال اول است. فرض كنيم .
و N، -m اول است لذا به ازاي هر داريم لذا به ازاي هر داريم لذا يعني پس داريم
برعكس: فرض كنيم ايده آل ماكزيمال و N زير مدول حقيقي M باشد نشان مي دهيم N زير مدول –m اول است.
{به ازاي هر k متعلق به M و }= N:M
در گزاره(۱۷-۳) نشان داديم كه m=mM:M، همچنين داريم لذا پس ايده ال ماكزيمال است لذا N:M=R يا m=N:M اگر N:M=R داريم و R حلقه يكدار پس و لذا M=N كه با فرض در تناقض است. لذا m=N:M پس N:M ماكزيمال است لذا بنا برگزاره(۱۷-۳)، N زير مدول اول است و چون m=N:M، لذا N، -m اول است اگر k زير مدول حقيقي M باشد كه N را در بر داشته باشد چون N، -m اول است پس در نتيجه و m ايده ال ماكزيمال لذا k نيز –m اول مي شود.
براي اثبات گزاره(۲۰-۳) دو گزاره كه به ترتيب در صفحات ۲۹ و ۳۲ در [۵] مطرح شده است را بيان مي كنيم.
گزاره(۱): فرض كنيد M يك –R مدول و N يك زير مجموعه غير تهي از M باشد آن گاه احكام زير معادلند:
a) N زير مدول M است.
b) RN=N.
c) به ازاي هر و به ازاي هر .
برهان: طبق تعريف زيرمدول و تعريف RN معادل بودن احكام فوق بديهي است.
گزاره(۲): فرض كنيم M يك –R مدول چپ غير صفر با مجموعه مولد متناهي باشد. آن گاه هر زير مدول حقيقي از M مشمول يك زير مدول ماكزيمال است. بويژه M زير مدول ماكزيمال دارد.
برهان: فرض كنيد k زير مدول حقيقي M باشد. وجود دارد دنباله متناهي از اعضاي M مثل x1,x2,…,xn به طوري كه M=K+Rx1+…+Rxn فرض كنيم دنباله x1,x2,…,xn كوتاهترين دنباله اي است

كه همراه با k، M را توليد مي كند قرار مي دهيم L,L=K+Rx2+…+Rxn زير مجموعه حقيقي M است زيرا دنباله x2,…,xn دنباله اي كوتاهتر از x1,x2,…,xn است. قرار مي دهيم P را مجموعه همه زير مدولهاي حقيقي M شامل L,L زير مجموعه حقيقي M است و شامل L نيز هست لذا و در اينصورت P غيرتهي است.
P با رابطه يك مجموعه مرتب به ترتيب جزيي است. (رجوع شود به(۶۲-۲)زير مدول N از M شامل L واقع در P است اگر و تنها اگر زيرا اگر آنگاه N زير مدول حقيقي M و شامل L است. لذا . اگر در اينصورت N زير مدول حقيقي M و شامل L است. پس حتما زيرا اگر آن گاه N=M كه تناقض است. فرض كنيم يك زنجير غيرتهي از مجموعه مرتب به ترتيب جزيي P باشد. قرار مي دهيم .
ادعا: V زير مدول M است.

برهان: فرض كنيد در اينصورت لذا از آنجايي كه يك زنجير است لذا و چون Ny زير مدول M است. لذا بنا بر گزاره(۱) داريم
لذا . پس V زير مدول M است.
x1 در هيچ يك از اعضاي زنجير وجود ندارد لذا نشان داديم كه هر زنجير غيرتهي در P يك كران بالا در P دارد كه همان اجتماع است. لذا بنا به اصل ماكزيمال، P داراي يك عضو ماكزيمال است. مانند N، لذا زير مدولي از M كه از N بزرگتر باشد. در ضمن x1 را هم شامل نباشد در P وجود ندارد در نتيجه .
پس N زير مدول حقيقي ماكزيمال M شامل k است. در حالت خاص قرار مي دهيم k=0.
(20-3) گزاره: اگر N زير مدول ماكزيمال –R مدول M باشد آن گاه N زير مدول اول بوده و N:M ايده ال ماكزيمال R است.
برهان: از آنجايي كه N زير مدول ماكزيمال است پس N زير مدول حقيقي M است و همچنين M/N يك –R مدول ساده است(رجوع شود به (۶۶-۲) پس دوري مي شود يعني وجود دارد به طوري كه حال تعريف مي كنيم.

f همومورفيزم پوشاست زيرا: به ازاي هر

واضح است كه تابع f پوشاست. بنابر قضاياي همومورفيزم داريم:
(mR ساده)
اگر P=ker f آن گاه P ايده ال ماكزيمال R است.

پس N:M ايده ال ماكزيمال است لذا بنا بر گزاره(۱۷-۳)، N زير مدول اول است.
(۲۱-۳) نتيجه: اگر M يك مدول متناهيا توليد شده باشد، آن گاه هر زير مدول حقيقي از M مشمول يك زير مدول اول است.