روش كاني در تحلیل سازه ها

– این مقاله دارای فرمول و تصویر است که در سایت قابل نمایش نیست –
مقدمه
يكي ديگر از روشهاي تقريبات متوالي كه براي تحليل سازه‌ها به كار مي رود، روش كاني مي‌باشد كه توسط مهندس آلماني، گاسپار كاني، تدوين شده است.
روش كاني نسبت به روش توزيع لنگر كراس داراي مزاياي زير مي‌باشد:
۱٫ در مورد سازه‌هاي فاقد انتقال گره‌ها، مسئله فقط شامل تكرار يك عمل ساده مي‌باشد كه در مسير دلخواه از يك گره ديگر پيش مي‌رود. اين موضوع نه تنها سبب صرفه‌جويي زياد در وقت مي‌شود، بلكه چون همواره يك نوع عمل ساده تكرار مي‌گردد، احتمال به وجود آمدن خطاي محاسباتي بسياركم است.

۲٫ با استفاده از اين روش تحليل قابهاي مستطيلي و منظم (بدون اعضاي مورب و شيبدار) كه داراي انتقال گره‌ها مي‌باشد، مستقيماً و بدون استفاده از اصل آثار قوا صورت مي‌گيرد.
۳٫ روش كاني داراي مزيت «حذف خودبه‌خود خطاها» مي‌باشدو بدين ترتيب كه خطاهاي محاسباتي مخفي شده، ضمن ادامه محاسبات، خود به خود سرشكن مي شود.
۴٫ اگر تغييراتي در ابعاد اعضا يا بارگذاري آنها لازم شود، احتياجي به تجديد عمليات انجام شده نيست، بلكه پس از اينكه تغييرات مربوطه در شماي محاسباتي نشان داده شد، حل مسئله به سادگي ادامه مي يابد و محاسبات جديد هميشه جزء تكميلي محاسبات قبل است.
صرف‌نظر از مزاياي فوق، روش كاني از لحاظ فلسفه با روش كراس متفاوت است. روش كراس يك روش رهاسازي است كه در آن گره‌هايي كه در ابتداي محاسبات در مقابل دوران گيردار شده بودند، به تدريج رها مي شوند تا به وضعيت متعادل و مطلوب برسند. در صورتي كه روش كاني روش تكرار مي‌باشد و تحليل سازه با روش كاني در واقع حل معادلات شيب ـ افت به روش تكرار مي‌باشد. در واقع كار اصلي آقاي كاني اين بود كه معادلات شيب ـ افت را طوري تنظيم نمايد كه بتوان آن را با استفاده از روش تكرار حل نمود.

 

تحليل تيرهاي سراسري با استفاده از روش كاني
در يك تير سراسري انتقال گره‌ها وجود ندارد، درنتيجه جزء مربوط به دوران عضو مساوي صفر است. بنابراين روابط (۱۲-۴ و ۱۲-۶) به صورت زير نوشته مي شوند:
(۱۲-۲۳)
(معادله شيب افت)
(۱۲-۲۴)
ملاحظه مي شود هرگاه و (اجزاي دوران گره‌ها) تعيين گردند، لنگرهاي نهايي قابل محاسبه خواهند بود. مقادير و از رابطه (۱۲-۱۲) كه براي اين مورد مي‌باشد، به صورت زير خلاصه مي‌شود:
(۱۲-۲۵) (جزء دوران)

ضريب دوران و لنگر مقاوم گره با استفاده از روابط ۱۲-۱۲- الف و ۱۲- ۸- الف قابل محاسبه‌اند كه در اينجا مجدداً آنها را ذكر مي نماييم.
(۱۲-۲۶) (ضريب دوران)
(۱۲-۲۷) (لنگر مقاوم گره)
در صورتي كه اعضاي تير سراسري، داراي ممان اينرسي ثابت باشند، مقادير Cik و Cki در روابط فوق مساوي ۵/۰ خواهد شد و روابط فوق به صورت زير ساده خواهند شد:
(۱۲-۲۸)
(معادلات شيب افت)
(۱۲-۲۹)

(۱۲-۳۰) (جزء دوران)

 

(۱۲-۳۱) (K سختي نسبي اعضا مي‌باشد) (ضريب دوران)
(۱۲-۳۲) (لنگر مقاوم گره)
با توجه به معادلات فوق، روش گام به گام براي تحليل تيرهاي سراسري با ممان اينرسي ثابت با استفاده از روش كاني به شرح زير است:
گام ۱٫ براي بارگذاري داده شده، لنگرهاي گيرداري ( ) محاسبه شده و در انتهاي اعضاي مربوطه نوشته مي شود. لنگرهاي مقاوم در هر گره از جمع جبري لنگرهاي گيرداري مربوط به آن گره به دست آمده و در مركز گره‌ها نوشته مي شود.
(۱۲-۳۲- تكراري)

ش عدد در هر گره به نسبت سختي‌هاي در اعضاي متصل به آن گره به دست مي‌آيد:
(۱۲-۳۱- تكراري)
پس از درج ضرايب دوران به دست آمده فوق در شماي محاسباتي، كنترل مي نماييم كه مجموع ضرايب دوران حول هر گره برابر باشد.

گام ۳٫ مقدار اجزاء دوران از تكرار عمل زير و پيشرفت از يك گره به گره ديگر در مسير دلخواه تا رسيدن به دقت كافي به دست مي‌آيد:
(۱۲-۳۰- تكراري)

در دور اول، مقادير اجزاء دوران مساوي صفر فرض مي‌شود و در دوره‌هاي بعدي، مقادير محاسبه شده اجزاء دوران در رابطه قرار داده مي‌شود و روش آنقدر ادامه مي‌يابد تا اينكه اختلاف سيكلهاي متوالي در حد تقريب مطلوب باشد.
گام ۴٫ لنگرهاي انتهايي اعضا از جمع لنگرهاي گيرداري و اجزاي دوران دو سر عضو طبق رابطه زير به دست مي‌آيد:
(۱۲-۲۸- تكراري)
يعني لنگر هر انتهاي عضو برابر است با مجموعه لنگر گيرداري به علاوه ۲ برابر جزء دوران همان انتها به علاوه جزء دوران انتهاي دور.

مثال۱۲-۳
مطلوب است تحليل تير سراسري شكل ۱۲-۶ با استفاده از روش كاني

مثال
مطلوب است تحليل تير نشان داده شده در شكل ۱۲-۹ با استفاده از روش كاني

(از استاتيك)

(از استاتيك)

مثال
مطلوب است تحليل قاب نشان داده شده در شكل ۱۲-۱۸ با استفاده از روش كاني
حل:
پس از تعيين لنگرهاي گيرداري و ضرايب دوران، عمليات مطابق شماي محاسباتي شكل ۱۲-۱۹ صورت مي‌گيرد.
لنگرهاي نهايي عبارت خواهند بود از:

 

مثال
مطلوب است تحليل قاب نشان داده شده در شكل ۱۲-۲۲ با استفاده از روش كاني
حل
لنگرهاي گيرداري محاسبه شده و در شماي شكل ۱۲-۲۳ درج مي‌شود. مرحله بعد محاسبه لنگر مقاوم گره ها و ضرايب دوران براي تمام گره‌ها مي‌باشد كه به طور نمونه براي گره (I=5) 5 انجام مي‌شود:

براي K=4

گام بعدي محاسبه لنگر طبقه و ضرايب انتقال خطي مي‌باشد كه براي طبقه اول به صورت زير مي‌باشد:
در طبقه اول r=1

براي i=2, k=5

مقادير و حاصل از يك سيكل تكرار در شكل ۱۲-۲۳ ثبت گرديده‌اند. تكرار از گره ۴ به گره ۹ به ترتيب ادامه مي‌يابد.
تكيه‌گاه‌هاي ستونهاي طبقه اول گيردار مي‌باشند. در نتيجه ۰i=0(i=1,2,3) بوده و مي گردد.
براي تشريح محاسبات سيكل دوم، عمليات تكرار را از گره i=4 شروع مي‌نماييم.

با استفاده از رابطه ۳۵:
۱۰٫۴۴ به جاي
به نحو مشابه
۲۳٫۴۶ به جاي
۲۶٫۱۰ به جاي
هرگاه عمليات تكرار از اين گره به طبقه دوم ادامه مي‌يافت، در اين صورت:

با استفاده از رابطه ۱۲-۳۷
-۲٫۸۸ به جاي
به نحو مشابه

-۵٫۵۳ به جاي
-۲٫۴۰ به جاي
لنگر نهايي از رابطه ۱۲-۳۳ پس از چند سيكل تكرار با تقريب مطلوب محاسبه مي‌شوند. براي مثال لنگر نهايي M5 , 8 پس از يك سيكل تكرار برابر است با:

دوران گره‌ها و تغيير مكانهاي خطي آنها با استفاده از رابطه ۱۲-۲ قابل محاسبه مي باشند.
نيروي برشي و نيروهاي محوري در اعضاي سازه با استفاده از استاتيك محاسبه مي گردند. لنگر نهايي پس از سه، چهار، پنج و … نه سيكل تكرار در جدول ۱۲-۲ ثبت گرديده‌اند.
: ترتيب عمليات

لنگرهاي نهايي در انتهاي اعضاي سازه شكل ۱۲-۲۲

مثال ۱۲-۱۲
با استفاده از روش كاني تيز سه دهانه نشان داده شده در شكل ۱۲-۲۸ را تحليل نماييد. اين مثال همان مثال ۱۰-۳ فصل دهم مي‌باشد.

حل
گام ۱٫ با مراجعه به مثال ۱۰-۳ فصل دهم موارد زير به دست مي‌آيد:
دهانه ab:

( براي يك سرگيردار)

دهانه bc

گام ۲٫

مقادير نهايي لنگر به شرح زير محاسبه مي‌شود: