رياضيات مهندسي

فصل اول: بررسي هاي فوريه:
مقدمه: تفكيك يك تابع به چند جزء مختلف و يا بسط آن به يك سري گسترده از توابع داراي بورد كاربردي مختلف در رياضي و فيزيك است، يكي از اين موارد بسط توابع برحسب مجموعه اي از توابع هارمونيك مثلثاتي با فركانسها و دامنه اي مختلف است. در اين فصل ضمن آشنايي قدم به قدم به اصول اين روش با كاربردهاي حاصل از آن نيز آشنا مي شويم.

۱-۱- توابع متناوب: اگر شكل تابع در فواصل منظم تكرار شود آنرا تناوب گوئيم.

در مورد يك تابع متناوب مي توان نوشت:
(۱) f (x+T) = f(x)
در اين رابطه f تابعي از متغير x و دوره تناوب T مي باشد.
براساس اين تعريف ملاحظه مي شود كه اگر g,f توبام هم پريود باشند، تابعي كه به صورت زير تعريف مي شود نيز با آنها هم پريود است.
(۲) h = f + g
sin و cos از جمله توابع متناوبند.
Sin x 2

Cos x
مثال: دوره تناوب Sin x + 3 Cos x چقدر است؟
Sin x 2
Cos x 
بنابراين دوره تناوب تابع مذكور ۲ مي باشد.

به اين ترتيب دوره تناوب مجموعه اي توابع به صورت زير برابر ۲ خواهد بود.
(۳)f(x)=a.+a1cosx+a2cos2x+…+anconx+b.+b1sinx+b2Sin2x+…+bnSinx
در بخشهاي بعد ديده مي شود كه مي توان براي تابعي با دوره تناوب ۲ ضمن محاسبه ظرائب a1 تا a2 يك سري مثلثاتي مثل رابطه (۳) پيدا كرد.
مثال: كوچكترين دوره تناوب توابع زير را بدست آوريد:
الف) sinx ب) sin2x ج) sin2x د)
T=2 T= T=1 T=T
هـ) sin2nx و) ز)
T=1/x T=T/n T=4
ح) ط) ۳sin4x+cos4x
T=12 T=/۴
۱-۲- توابع متاعد:
دو تابع f و g را در فاصله (a,b) عمود بر هم گوئيم هرگاه داشته باشيم:

كه به اختصار آنرا به صورت (f.g)=0 نمايش مي دهيم. براين اساس:
(Cosmx, Sin nx)=0
(Sin mx, Sin nx)=0
(Cos mx, Sin mx)=0
در فاصله (۰,۲) تمام اين توابع بر هم عمود هستند.

توابع تناوب را اعم از اينكه داراي دوره تناوب ۲ باشد يا نباشد مي توان برحسب توابع هامونيك cos, sin نوشت. بسط حاصل از تفكيك يك تابع به اجزاء هارمونيكي يك سري فوريه مي گوئيم. اكنون به معرفي سري فوريه مي گوئيم.
۱-۳-۱- بسط توابع دوره تناوب ۲

تابعي را با دوره تناوب ۲ در نظر بگيريد. اين تابع را با سري مثلثاتي رابطه (۳) مي توان جايگزين كرد يعني مي توان نوشت:

براي اثبات اين ادعا لازم است ضرائب a0، an و bn را محاسبه كنيم. محاسبه اين ضرائب با توجه به خاصيت متعاصر تابع هاي هارمونيكي قابل انجام است.
مثلا براي محاسبه an طرفين رابطه (۸) را در cosx ضرب نموده و سپس انتگرال گيري نمائيم.

+

۱-۳-۱- بسط تابع با دوره تناوب ۲v

ضرائب a0، an و bn =؟
براي محاسبه a0 از طرفين T- تا T انتگرال مي گوييم

براي تعيين ضرائب جملات كسينوسي طرفين را در Cosmx ضرب مي كنيم و از –T تا T
انتگرال مي گيريم.

تمامي جملات به جز جمله در حالتي كه n,m باشد برابر صفرند و در حالت n,m مستقر برابر ۲n است

براي تعيين جملات سينوسي، طرفين در Sinx ضرب

تمامي جملات بجز آنهم زماني كه m، n است برابر صفرند و در حالت m، n اين جمله برابر 

: ضرائب فوريه

مثال: سري فوريه را براي تابع زير بيابيد:
-<x<0 -k
F(x)=
0<x< k
a0=0

n فرد باشد ۲
۱-cos=
n زوج باشد ۰
B4=0 63=4k/3 b2=0 61=4k/
F(x)=4k/(sinx+1/3sinx+1/5sin5x+…)
۱-۳-۲- بسط توابع با دوره تناوب دلخواه:
تابعي مانند fT(t) را كه در يك تناوب در فاصله (۴/ و ۴/-) واقع شده را در نظر بگيريد. با تغيير متغير T/2t= x تابعي به صورت f(x) بدست مي آيد كه داراي دوره تناوب ۲ است.
۴/T  =t متناظر است با   = x
براي تابع f(x) با دوره تناوب ۲ سري فوريه بدست آورده شد. اگر به جاي x در اين رابطه متناظرش را قرار دهيم:

مثال: براي موج سينوسي با فركانس w كه در قسمت منفي آن حذف شده است، بسط فوريه را بدست آوريد:

-/w<t<0 0

F(t)=
0<t</w E0sinwt

n=1 E0/2
bn= به همين ترتيب
n۱ ۰

مثال: مطلوبست محاسبه بسط فوريه كه در فاصله (-۲,۲) به صورت زير تعريف شده است:
f(t)= 4-t2 -2<t<2
T= 4

=

۴ را ازاين رابطه محاسبه كنيد:
تمرين: براي توابع زير كه داراي دوره تناوب ۲ هستند و در فاصله (۱ و ۱-) تعريف شده اند سري فوريه را بيابيد:
f(x)= Sgn (x)(الف
f(x)= U (x)(ب
f(x)= x(ج
f(x) = x (و
f(x)= x2(هـ
f(x)= Sinx(و
قضيه: سري فوريه يك تابع متناوب يكي است. بنابراين از هر روشي كه به سري فوريه يك تابع برسيم، در تابع يك سري فوريه منحصر به فرد براي يك تابع متناوب خواهيم داشت.
۱-۴- توابع زوج و فرد و يك سري فوريه
f(-x) = f(x) : تابع زوج
f (-x)= – f(x): تابع فرد
ساير توابع نه زوج و نه فرد هستند. مانند ex يا ۱+x
اگر O(x) يك تابع فرد و E(x) يك تابع زوج و f(x) نه زوج و نه فرد باشد آنگاه:
o1+o2=o3

E1+E2=E3
O+E=f
O1-O2=E
O1.E=O2
E1.E2=E3
اين خصوصيات هيچ شباهتي به خاصيت اعداد زوج و فرد ندارد.
براساس تعريف تابع هاي زوج و فرد توابع Sinx و Cosx به ترتيب فرد و زوج محسوب مي شوند.
اگر f(t) تابعي زوج باشد T/ f(t) cos 2nt يك تابع زوج است.
بنابراين ضرائب an به اين صورت محاسبه مي شوند:

f(t). Sin 2nt/T يك تابع زوج * يك تابع فرد فرد bn برابر صفر است

به همين صورت اگر f(t) فرد باشد
قضيه: ضرائب فوريه مجموعه ۲f + 1f برابر با مجموعهاي ضرائب متناظر ۱f و ۲f هستند و ضرائب فوريه cf برابر C ضرب در ضرائب فوريه متناظر f هستند.
مثال: بسط فوريه تابع متناوب f(x)= +x كه در يك دوره تناوب در فاصله (-,) است را بدست آوريد.
T= 2
تابع f(x) را مي توان به صورت مجموع دو تابع f1(x)= و f2(x)=x نوشت. چون  عدد ثابتي است پس بسط فوريه f1(x) همان  مي شود. اكنون بسط فوريه تابع f2(x) را كه يك تابع فرد است بدست مي اوريم:

تمرين: سري فوريه توابع زير را بدست آوريد:
f(x)= 1+Sgn (x)
T=2 -1<x<1
1-5- شكلهاي مختلف نمايش سري فوريه:
سري فوريه را مي توان به كمك توابع نمايي نمايش داد.

از مقايسه اين دو رابطه مي توان فهميد كه f0 همان a0 است.
روابط محاسبه ضرائب بسط را مي توان به طور مشابه با جايگزيني عبارات نمايي به جاي روابط مثلثاتي بدست آورد.

در نهايت مي توان با تغيير متغير =۲t/T رابطه فوق را براي تابعي با دوره تناوب دلخواه T تعميم داد.

مثال: سري فوريه مختلط f(x)=ex را اگر <x< و T=2 باشد تعيين نمائيد.
:داريم

سري هاي مثلثاتي مي توان به صورت مجموع عبارتهاي مثلثاتي

با دامنه و فاز مجزا نمايش داد.

جمله x ام يك سري فوريه مثلثاتي AnConw0t+BnSin nw0+
اگر اين جمله را طبق قاعده فوق مرتب نمائيم:

An و Bn همچنان از روابط مربوط به خودشان پيدا مي شوند
۱-۶- بسط نيم دور:
به روشهاي مختلف مي توان تابعي را كه در فاصله محدودي تعريف شده است را به صورت متناوب گسترش داد به عنوان مثال تابع شكل زير را مي توان به صورت بيه تابع اصلي است و ثانيا هر دو متناوب هستند.
براي استفاده از مزايايي سري فوريه حتي توابع غير متناوب را در محدوده معين به صورت يك تابع پريوديسك در نظر گرفته و آن را به با يك سري جايگزين مي نمائيم
از ميان شكلهاي دوره اي مختلف كه مي توان براي تناوبي كردن يك نتايج در نظر گرفت، دو صورت زوج و فرد به دليل سادگي بيشتر مورد توجه است.
سري فوريه ناشي از اين اشكال را بسط نيم دور سينوسي يا كسينوسي مي نامند. براساس نتايج بخش قبل در مورد توابع زوج و فرد، ملاحظه مي شود كه براي تابعي كه در فاصله (۰,f) تعريف شده، سري فوريه مثلثاتي زوج به صورت زير است:

T=2L
كه ضرائب an,a0 از روابط زير پيدا مي شوند.

و به طور مشابه براي بسط نيم دور سينوسي داريم:

مثال: در x=1/2 ترتيب تابع f(x)=x را از طريق بسط نيم دور سينوسي و كسينوسي بدست آوريد:
الف) براي بسط زوج داريم:

بنابراين: f(x)= ½- ۴/۲ (Cox+1/32cos3x+1/525x+0x)
f(1/4)= 1/4
براي بسط فرد داريم:

انتگرال فوريه:
در بخش هاي قبل ملاحظه شد كه يك نوسان پريوديك را مي توان به مجموع نوسانهاي هارمونيك با فركانس ۲x/T يا nw تفكيك نمود و براي هر مقدار n دامنه هاي an و bn را توسط روابط اويد محاسبه كرد.
از آنجا كه بسياري از مسائل عملي شامل توابع نا دوره اي هستند، اين پرسپ پيش مي آيد كه چه كاري مي توان كرد تا روش سري هاي فوريه به اين گونه توابع تعميم يابد؟
اكنون تابع f(x) با دوره تناوب ۲f را در نظر بگيريد. بررسي مي كنيم كه اگر L بدست  سيل كند براي سري فوريه چه پيش مي آيد.
به عنوان مثال فرض كنيد تابع fL(x) با دوره تناوب ۲L>2 به صورت زير مشخص شود.

چون تابع fL(x) يك تابع زوج است. پس به ازاي هر n داريم bn=0 و برايan ها از فرمول اوير داريم:

اين دنباله ضرائب فوريه را طيف دامنه fL مي نامند. زيرا:
an max (anCosnaL)

 

همان طور كه ملاحظه مي شود با افزايش L دامنه ها روي محور wn به سمت محور قائم منقبض مي شوند. درصو وقتي wn به سمت صفر مي رود، اين طيف پيوسته به منحني پيوسته اي مبدل خواهد شد an(wn) به A(w) و سري فوريه به انتگرال فوريه تبديل مي شود. اكنون به استخراج انتگرال فوريه مي پردازيم:
تابع fL(x) با دوره تناوب ۲L را در نظر بگيريد كه سري فوريه آن به شكل زير است.

خواهيم ديد كه اگر  f آنگاه با يك انتگرال فوريه به جاي سري فوريه خواهيم داشت كه شامل coswn و sinwn باشد و w در آن ديگر محدود به نصارب /L نباشد، بلكه تمام مقدار را اختيار مي كند.
اگر در بسط فوريه تابع fL(x) مقادير an و bn را از فرمولهاي اوير جايگزين نمائيم:

اين رابطه به ازاي هر مقدار شخص L هر قدر بزرگ ولي متناهي برقرار است. حال اگر L بدست ميل كند در اين صورت: ۰ L/1 و مقدار جمله اول برابر صفر خواهد شد و نيز w=/L نيز به سمت صفر خواهد كرد و بنابراين سري نامتناهي فوق به صورت انتگرالي از صفر تا  در مي آيد كه f(n) را نمايش مي دهد.

جايگزين مي كنيم:

و بنابراين خواهيم داشت:

اين نمايش f(n) به صورت انتگرال فوريه
همان طور كه در مورد سري فوريه بيان شد، انتگرال فوريه نيز براي توابع زوج و فرد ساده تر مي شود. در واقع اگر f(x) تابعي زوج باشد آنگاه
B(w)=0

و اگر f(x) تابعي فرد باشد:
A(w)=0

اگر از سري فوريه نمايي استفاده كنيم مي توان نوشت:

حال اگر T به سمت بي نهايت ميل كند  T:
تبديل معكوس فوريه
تبديل فوريه

رابطه  كه تبديل فوريه را بيان مي كند شبيه تبديل لاپلاس و در واقع حالت ويژه آن است.
مفهوم فركانس منفي در كليه روابط فوق به اندازه مفهوم زبان منفي غير واقعي و مجازي است.و نيز شرط وجود انتگرالهاي تبديلات با توجه به اينكه در تمام انتگرالها اندازه بخش هارمونيك حداكثر يك است، آن است كه داشته باشيم:

مثال: براي تابع غير پريوديك داده شده انتگرال فوريه cos را محاسبه كنيد:

و بنابراين

برخي از كاربردهاي سري فوريه:
يك سيستم ساده مكانيكي شامل تر متصل به جرمي را در نظر بگيريد. هرگاه نيروي f(t) به اين سيستم اعمال شود، معدلات حركت آن را در وضعيتي كه به اندازه x جا به جا مي شود و داراي كتاب x مي باشد به صورت زير مي توان نوشت:

هرگاه f(t) يك تحريك هارمونيك باشد، پاسخ دائمي x اين معادله هارمونيك ارتعاش هارمونيك است زيرا اگر داشته باشيم
f(t)=f0Sinwt
با جايگزين كردن حدس جواب به صورت x=Xsinwt با توجه به اينكه در اين حالت xn=-xwzSinwt با جايگزاري در معادله Sinwt از طرفين و رابطه دامنه با ساير پارامترها مطابق زير بدست مي آيد.
KXSinwt-mwzSinwt=f0Sinwt
X=F0/k-mwz

و بنابراين پاسخ مستقيم به صورت
x(t)=F0/k-mwz Sinwt
به دليل خطي بودن اين معادله، پاسخ سيستم به چند تحريك مختلف، حاصل جمع پاسخ آن به هريك از تحريك ها مي باشد
مثلا اگر سيستم توسط دو نيرو با فركانس هاي ۱w و ۴w تحريك شود، پاسخ آن به صورت زير مي باشد:

بدين ترتيب پاسخ دائمي يك سيستم به تحريك متناوب كه با توجه به سري فوريه به صورت مجموعي از توابع هارمونيك قابل توصيف است عبارت است از:

كه در اين رابطه k سختي فنر، m جرم و w0 فركانس مبنا w0=2/T مي باشد.
مثال: پاسخ سيستم جرم و فنر به نيروي شخص شده را بيابيد:

ابتدا ضابطه موج تحريك متناوب داده شده را بر حسب سري فوريه را بدست مي آوريم:

بنابراين خواهيم داشت:

اكنون با توجه به مقادير سختي فنر و جرم جسم و با توجه به ضرائبa0 و an پاسخ سيستم را به دست مي آوريم

مثال: در سيستم مثال قبل اگر تحريك داده شده و مدت يك ثانيه خاتمه بايد و غير تناوبي مي باشد پاسخ سيستم را بيابيد:

با توجه به معادله حركت سيستم و مقادير m و k خواهيم داشت:

با توجه به ضابطه f(t) ، جزء نيرو را مي توان به اين صورت نوشت:

اگر Sx پاسخ سيستم به اين جزء نيرو باشد:

با حل اين معادله ديفرانسيل خواهيم داشت:

تمرين: ۱- پاسخ واقعي سيستم جرم و فنر داده شده به تحريك شكل زير را بياييد:

۲- پاسخ دائمي سيستم جرم و فنر داده شده به تحريك غير تناوب شكل زير را بيابيد:

معاملات ديفرانسيل با مشتق جزئي:
معاملات ديفرانسيل با مشتق جزئي موسوم به PDE مي باشند در شرايطي كه كميتي تابع بيش از يك متغير باشد پديد مي آيد.
در ابتدا چند مفهوم اساسي:
الف) اگر كميتي به بيش از يك متغير وابسته باشد آنگاه مشتق آن را نسبت به يكي از متغيرها را مشتق جزئي مي گوئيم:
برابر تابع u=fx,y مشتق جزئي نيست به x به صورت زير است:

ب) اپراتوري كه با علامت نمايش داده مي شود

به صورت زير تعريف مي شود:

و بر اين اساس گراديان f ناميده مي شود.
ج) لاپراسين f كه به صورت z نمايش داده مي شود:

و) اگر متغير وابسته و مشتقات آن به صورت ساده (بدون تون) در معادله ديفرانسيل ظاهر شوند معادله ديفرانسيل را خطي گوئيم.
هـ) يك معادله ديفرانسيل همگن است اگر در جملات آن فقط متغير وابسته و مشتقات آن ظاهر شده باشند
غير خطي uxn + 2uxut + utut  ۰
غير همگن uxx + ut + 1  ۰
و) پاسخ يك معادله ديفرانسيل: حل يك معادله ديفرانسيل جزئي در يك ناحيه R از فضاي متغيرهاي مستقل تابعي است كه در معادله ديفرانسيل صدق مي كند.
ز) حل كامل يك معادله ديفرانسيل: تركيبي از پاسخهاي آن معادله است كه علاوه بر صدق كردن در معادله با شرايط اوليه و فردي مسئله تطبيق كند.
برخي از معادلات ديفرانسيل مهم:
۱) utt=Czuxx معادله موج يك بعدي
۲) ut-czuxx معادله انتقال حرارت يك بعدي
۳) zu=0 معادله لاپلاس
۴) zu=f(x,y) معادله پوامسون
معادله (۴) ناهمگن و بقيه همگن هستند
ارتعاش آزاد تار:
هدف: بدست آوردن ماعلده حاكم بر ارتعاش هاي عرضي كوچك يك تار كشان نظر يك تار ويولن
تار را در راستاي محور x تا طول L را مي كشيم و در نقاط x=0 و x=L ثابت مي كنيم.
آنگاه تار را در حالت تعادل خارج كرده و در لحظه t=0 رها مي كنيم. هدف تعين ارتعاش تار يعني تعيين انحراف y(x,t) در هر نقطه x و در هر زمان t

عامل برگرداننده تار به كدام پديده بيشتر بستگي دارد؟
الف) نيروي كشش اوليه سيم
ب) نيرويي كه در اثر افزايش طول تار پديد آمده
معمولا نيروي كشش به اندازه اي زياد است كه مي توان از نيروي حاصل از افزايش طول تار صرف نظر كرد.

فرضيات:
۱- جرم واحد طول ثابت است و در مقابل خمش مقاومتي ندارد
۲- تار حركات عرضي كوچكي در صفحه قائم دارد يعني هر ذره از تار در جهت قائم حركت مي كنند.
بنابراين قدر مطلق انحراف و شبيه تار در هر نقطه همواره ثابت است.

مطابق شكل نيروهاي وارد بر قسمت كوچك تار x را در نظر بگيريم.
نكته: چون تار در مقابل خمش مقاومتي ندارد، نيروي كشش در هر نقطه مماس برخم تار است ۱T و ۴T نيروهاي كشش موثر بر نقاط انتهايي سمت مورد نظر يعني P و Q هستند نقاط تار در جهت قائم حركت مي كنند و در جهت افقي حركت ندارند. بنابراين مولفه هاي افقي نيروي كشش ثابت است
‍cte= T= Cos ۴T= Cos۱T

در امتداد قائم دو نيرو داريم:
Sin۱T- و Sin B4T
= جرم واحد طول تار

x= x = جرم تست مورد نظر.
براساس قانون دوم نيوتون شتاب قسمت مورد نظر=

داريم

tan و tan شيب ها تار در x و x+x هستند:

حال اگر در () جايگزين كنيم:

اگر x به سمت صفر برود:

T/M داراي ديمانسيون مجذور سرعت ((LT-1)2) است.
يعني تاري كه در دو انتها بسته شده است:
y(0,t) , y(L,t)=0
اگر تار در ابتدا (t=0) با ضابطه f(x) و سرعت آن با ضابطه g(x) معرفي شود:
y(x,0) = f(x)
y(x,0)=g(x)
روش حل دالابر براي معادله موج:
معادله موج
(x+ct) يك جواب معادله است زيرا:
F=x+ct

به همان ترتيب (x-ct) نيز جواب معادله است. با توجه به خطي بودن معادله ديفرانسيل تركيب اين جوابها نيز جواب معادله خواهد بود.
u(x,t)= (x+ct)+ (x-ct)= (z) + (v)
اعمال شرايط مرزي:
در صورتي كه تار در ابتدا داراي شكلي به ضابطه u(x,0)=f(x) و داراي سرعت صفر باشد توابع  و  را بدست مي آوريم.
u(x,0) =  (x,0) +  (x,0) = f(x)
ut=(x,0)=c (x,0) –c (x,0)= g(x)=0
حاصل انتگرال گري از معادله دوم عدد ثابتي خواهد شد، آنرا S مي ناميم.
F(x)=u(m)+ (x)

 

 (x) –  (x)= s/c
از اين دستگاه:
 (x)= ½[f(x) + s/c]
= ¼ [f(x)- s/c]
براساس اين جايگذاري خواهيم داشت:
u(x,t)= ¼ [f(x+ct)+ f(x-ct)]
تعبير و ارزش پارامتر cz در معادله موج:
اگر f(x) شكل اوليه تار را نشان دهد مفهوم (x-ct) آنست كه موج با اين شكل و سرعت c به سمت راست جا به جا مي شود و شكل تار را تغيير دهد:

به اين ترتيب توابع (x+ct)و (x-ct) شكل موجهايي را كه به طرف چپ و راست در حال حركت اند را نشان مي دهد و c در واقع سرعت انتشار اين امواج است.
مثال: براي تاري به طول بي نهايت كه از موقعيت اوليه = xz +1/ 1 رها شده است هرگاه سرعت انتشار موج به طول تار V باشد، شكل تار را در هر لحظه t بيابيد:
u(x,t)=1/2[f(x+vt)+f(x-vt)]

تمرين: به يك تار يكنواخت كه بين - تا  + كشيده شده است تغيير شكل اوليه زير اعمال شده است

سپس تار رها شده است. مطلوب است معادله حركت تار و سرعت عرضي تار در مبدا.
روش تفكيك متغيرها در حل معادله موج:

با توجه به اينكه ديمانسيون سرعت و سرعت انتشار موج است با v نمايش مي دهيم
براي حل اين معادله فرض مي كنيم كه داشته باشيم:
y(x,t)=X(x). T(t)
اين فرض را در معادله جايگزين مي كنيم:
هرگاه پس از جايگذاري معادله ديفرانسيل را بتوان به دو معادله مجزا تفكيك

كرد، اين فرض معتبر است. مثلا براي تجزيه معادل موج مي توان نوشت:

اگر اين معادلات را در معادله موج قرار دهيم،

به عبارت ديگر:

كه اين تساوي ممكن نخواهد شد مگر آنكه نسبت هاي فوق برابر مقدار ثابتي نشود كه آن را با (nz-) نمايش مي دهيم.
بنابراين

اگر شرايط مرزي را با اين مدل تطبيق دهيم:
y(0,t)= x(0).T(t)=0

y(L,t)= x(L) T(t)=0
در اين صورت x(0)=0 و x (L)= 0 زيرا اگر T(t) صفر باشد كل حركت صفر مي شود.