فرآيندهاي حالت ناپايدار و batch (پخت در كوره)

(نرم كردن با روغن داغ)
مقدمه: روابط فصل هاي قبل فقط در حالت پايدار به كار مي روند كه در آن جريان گرما و دماي منبع با زمان ثابت بودند. فرآيندهاي حالت ناپايدار آنهايي هستند كه در آنها جريان گرما، دما و يا هر دو در يك نقطة ثابت با زمان تغيير مي كنند. فرآيندهاي انتقال حرارت batch فرآيندهاي حالت ناپايدار نمونه اي هستند كه در آنها تغييرات حرارت ناپيوسته اي رخ مي دهند همراه با مقادير خاصي از ماده در هنگام گرم كردن مقدار داده شده اي از مايع در يك تانك يا در هنگامي كه يك كورة سرد به كار افتاده است.

همچنين مسائل رايج ديگري نيز وجود دارند كه مثلاً شامل مي شوند بر نرخي كه حرارت از ميان يك ماده به روشي رسانايي انتقال مي يابد در حالي كه دماي منبع گرما تغيير مي كند. تغييرات متناوب روزانة حرارت خورشيد بر اشياء مختلف يا سرد كردن فولاد در يك حمام روغن نمونه راههايي از فرآيند اخير هستند. ساير تجهيزاتي كه بر اساس روي خصوصيات حالتي ناپايدار ساخته شده اند شامل كوره هاي دوباره به وجود آورنده(اصلاحي) كه در صنعت فولاد استفاده مي شوند، گرم كنندة دانه اي(ريگي) و تجهيزاتي كه در فرآيندهاي بكار گيرندة كاتاليست دماي ثابت يا متغير به كار مي روند هستند.
در فرآيندهاي batch براي گرم كردن مايعات نيازمنديهاي زماني براي انتقال حرارت معمولاً مي توانند بوسيلة افزايش چرخة سيال batch واسطة انتقال حرارت و يا در اصلاح شوند.
دلايل به كار گرفتن يك فرآيند batch به جاي به كارگيري ديگ عمليات انتقال حرارت پيوسته بوسيلة عوامل زيادي ديكته مي شوند:
بعضي از دلايل رايج عبارتند از ۱) مايعي كه مورد فرآيند قرار مي گيرد به صورت پيوسته در دسترس نيست ۲) واسط گرم كردن يا سرد كردن به طور پيوسته در دسترس نيست ۳)نيازمنديهاي زمان واكنش يا زمان عملكرد متوقف شدن را ضروري مي سازد ۴) مسائل اقتصادي مربوط به مورد فرآيند قرار دادن متناوب يك batch وسيع ذخيره يك جريان كوچك پيوسته را توجيه مي كند ۵)تميز كردن و يا دوباره راه‌اندازي كردن يك بخش براي دورة كاري است و ۶)عملكرد سادة بيشتر فرآيندهاي batch سودمند و خوب است.

به منظور مطالعه كردن منظم و با قاعدة رايج ترين كابردهاي فرآيندهاي انتقال حرارت حالت ناپايدار و batch ترجيح داده مي شود كه فرآين

دها را به دسته هاي Ca مايع (سيال) گرما دهنده يا خنك كننده و b) جامد خنك كننده يا گرم كننده تقسيم كنيم.
رايج ترين نمونه ها در ذيل آورده شده اند:
۱)مايعات سرد كننده و گرم كننده

a) batchهاي مايع b)تقطير batch
2)جامدات خنك كننده يا گرم كننده
a)دماي واسط ثابت b)دماي متغير دوره اي c)دوباره توليد كننده ها
d)مواد دانه اي در بسته ها

مايعات سرد كننده و گرم كننده
۱)batch دماي مايع
مقدمه
بومي، مولر و ناگل رابطه اي براي زمان مورد نياز را براي گرم كردن يك batch تكان داده شده بوسيلة غوطه ورسازي يك كويل گرم كننده بدست آورده اند كه براي زمان كه اختلاف دما معادل LMTD (اختلاف دماي مياني لگاريتمي) براي جريان روبه رو داده شده.
فيشر محاسبات batch را گسترش داده است براي شامل شدن يك جدول خارجي جريان مقابل، چادوك و سادرنر batchهاي تكان داده شده را مورد بررسي قرار داده اند كه با مبدل هاي خارجي جريان مقابل همراه با اضافه سازي پيوستة مايع به تانك گرم شده اند همچنين به ميزان حرارت در اين راه حل پرداخته اند.
بعضي از روابطي كه به دنبال مي آيند براي كويل ها در تانك ها و محفظه هاي پوشانده شده به كار مي روند. اگرچه روش بدست آوردن ضرائب انتقال حرارت براي اين اجزاء تا شكل ۲۰ به تعويق انداخته شده است.
تشخيص دادن حضور يا عدم حضور تكان در يك مايع batch هميشه امكانپذير نيست. گرچه دو مقدمة فوق منجر به نيازمنديهاي متفاوتي براي نائل شدن به يك تغيير دماي batch در يك دورة زماني داده شده مي شوند.
زماني كه يك محرك مكانيكي در يك تانك يا محفظه همانند شكل ۱٫‌۱۸ نصب مي‌شود نيازي به اين پرسش كه سيال تانك تكان داده ش

ده نيست.
زماني كه محرك مكانيكي وجود ندارد ولي سيال به طور پيوسته در حال گردش است ما نتيجة اين كه batch تكان داده شده است يك نوع احتياط و دورانديشي است.
در بدست آوردن معادلات batch در ذيل T به مايع داغ batch يا واسط گرم كردن اشاره مي كند. T به مايع سرد batch يا واسط خنك س

ازي اشاره دارد. موارد ذيل در اين جا مورد بررسي قرار مي گيرند.
Batchهاي خنك سازي يا گرم سازي متلاطم جريان متقابل
– كويل در تانك يا محفظة پوشانده شده، واسط ايزوترمال
– كويل در تانك يا محفظة پوشانده شده، واسط غير ايزوترمال
– مبدل خارجي، واسط ايزوترمال
– مبدل خارجي، واسط غير ايزوترمال
– مبدل خارجي مايع پيوسته اضافه شده به تانك، واسط ايزوترمال
– مبدل خارجي مايع پيوسته اضافه شده به تانك، واسط غير ايزوترمال
batchهاي خنك ساز يا گرم كننده متلاطم، جريان متقابل موازي
مبدل ۲-۱ خارجي
مبدل ۲-۱ خارجي، مايع تدريجاً اضافه شده به تانك
مبدل ۴-۲ خارجي
مبدل ۴-۲ خارجي، مايع تدريجاً اضافه شده به تانك
batchهاي گرم ساز و خنك كننده بدون تكان دهي
مبدل جريان مقابل خارجي، واسط ايزوترمال
مبدل جريان مقابل خارجي، واسط غير ايزوترمال
مبدل ۲-۱ خارجي
مبدل ۴-۲ خارجي

batchهاي تكان داده شده خنك ساز و گرم كن
چندين راه براي در نظر گرفتن فرآيندهاي انتقال حرارت batch وجود دارد. اگر تكميل كردن يك عملكرد معين در زمان داده شده مطلوب باشد، سطح مورد نياز معمولاً مجهول است. اگر سطح انتقال حرارت معلوم است، مانند نصب فعلي زمان مورد نياز براي تكميل كردن عملكرد معمولاً نامعين است و يك حالت سوم زمان پيش مي آيد كه زمان و سطح هر دو معلوم هستند ولي دما در پايان زمان مورد نظر مجهول است. فرضيات زيرين در بدست آوردن معادلات ۱/۱۸ تا ۲۳/۱۸ در نظر گرفته شده اند:
۱)براي فرآيند و تمام سطح ثابت است
۲)نرخهاي جريان مايع ثابت هستند

۳)گرماهاي ويژه براي فرآيند ثابت هستند
۴)واسط گرم سازي يا خنك سازي يك دماي ورودي ثابت دارد
۵)تكان دهنده يك دماي سيال batch يكسان و يكنواخت فراهم مي كند.
۶)هيچ گونه تغيير فاز جزيي رخ نمي دهد
۷)تلفات گرمايي قابل اغماض هستند.

Batchهاي تكان داده شدة خنك ساز يا گرم كنندة جريان متقابل
– كويل در تانك يا محفظة پوشانده شده واسط گرم كننده ا

يزوترمال
ترتيب نشان داده شده در شكل ۱/۱۸ را در نظر بگيريد، شامل يك محفظة تكان داده شده شامل M پوند از مايع با گرماي ويژة c و دماي اولية كه بوسيلة يك سيال متراكم شوندة با دماي گرم مي شود. دماي batch، در هر زمان بوسيلة تعادل گرمايي ديفرانسيلي داده مي شود. اگر مقدار كل btu انتقال يافته است در اين صورت به ازاي واحد زمان

۱۸/۴
با انتگرال گيري از تا در هنگامي كه زمان اثر به مي رسد،
۱۸/۵
كاربرد يك رابطه مانند ۵/۱۸ نيازمند محاسبة مستقل V براي كويل يا محفظة پوشانده شده همانند مشعل ۲۰ است فصل ۲۰ است. با Q و A ثابت بوسيلة شرايط فرآيند زمان گرم سازي مورد نياز مي تواند محاسبه شود.

كويل در تانك يا محفظة پوشانده شده، واسطه خنك سازي ايزوترمال
مسائل اين نوع معمولاً در فرآيند دماي پايين رخ مي دهد كه در آنها واسط خنك كننده يك مبردات كه به جزء خشك سازي در دماي جوش ايزوترمالش تغذيه مي‌شود. مطابق با همان ترتيب نشان داده شده در شكل ۱/۱۸ شامل M پوند از مايع با گرماي ويژة C و دماي اولية كه با يك واسط بخار شونده با دماي خنك مي شود اگر دماي batch در هر زمان باشد.
۱۸/۶

۱۸/۷

كويل در تانك يا محفظة پوشانده شده، واسط گرم ساز غير ازوترمال
واسط غير ايزوترمال گرم كننده برج جريان ثابت W و دماي ورودي دارد ولي دماي خروجي متغير است.
۱۸/۸

قرار مي گذاريم كه و با دماي پنداشتي a و b را معادلة ۸/۱۸ در اين I

۱۸/۹

كويل در تانك، واسط خنك ساز غير ايزوترمال

۱۸/۱۰

۱۸/۱۱

مبدل حرارت خارجي، واسط گرم كنندة ايزوترمال
ترتيب شكل ۲/۱۸ را در نظر بگيريد در آن سيال بوسيلة يك م

بدل خارجي گرم مي‌شود. از آنجايي كه واسط گرم كننده ايزوترمال است، هر نوع مبدل با بخار در پوسته يا لوله مي تواند به كار برده شود. امتيازات گردش اجباري براي هر دوره اين ترتيب را پيشنهاد مي كند.
دماي متغير بيرون از مبدل از دماي متغير تانك متمايز است و تعادل گراي ديفرانسيلي براي اين وسيله داده مي شود:
۱۸/۱۲

با فرض

مبدل بيروني، واسط خنك كنندة ايزوترمال
۱۸/۱۴
مبدل بيروني، مبدل گرماساز غير ايزوترمال، تعادل حرارت ديفرانسيلي بدين وسيله داده مي شود.
۱۸/۱۵
دو دماي متغير و وجود دارند كه در LMTD ظاهر مي شوند كه بايد در ابتدا حذف شوند.
با معادل گرفتن a و b در معادله ۱۵/۱۸

اجازه دهيد كه باشد و

مبدل خارجي محل خنك كنندة غير ايزوترمال

مبدل خارجي، مايع تدريجاً اضافه شده به تانك، واسط گرم كنندة ايزوترمال، اجزاي فرآيند در شكل ۳/۱۸ نشان داده شده اند، مايع تدريجاً با نرخ و سرماي ثابت به تانك اضافه مي شود فرض شده است كه هيچگونه تأيرات حرارتي شيميايي همراه با اضافه سازي آب به تانك وجود ندارد.
از آنجا كه M پوند مايع ابتدايي در batch ميزان پوند در ساعت است، مقدار مايع كلي در هر زمان است. تعادل گرمايي و ديفرانسيلي به اين صورت خواهد بود.
۱۸/۸

و
از آنجايي كه
با حل نسبت به

با جانشيني در معادلة ۱۸/۱۸

اگر اضافه كردن مايع به تانك باعث ايجاد يك گرماي دروني يا بيروني ميانگين انحلال شود، تركيب ، مي توان آن را با اضافه كردن به صورت عدد مخرج كسر سمت چپ در نظر گرفت زيرنويسي ۰ به تركيب اشاره دارد.

مبدل خارجي مايع تدريجاً اضافه شده به تانك، واسط خنك كنندة ايزوترمال

حرارت آثار از حلال مي تواند با اضافه كردن به صورت و سمت چپ در نظر گرفته شود؟
مبدل خارجي، مايع تدريجاً اضافه شده به تانك، واسط گرم كنندة غير ايزوترمال
تعادل حرارتي برابر با دما، معادلة ۸۱/۱۸ براي گرم كردن است به استثناي اينكه براي دماي ورودي و خروجي واسط گرم كننده است.

با قرار دادن

آثار گرماي انحلال مي توانند با اضافه كردن به صورت و مخرج كسر سمت چپ در نظر گرفته شوند.

مبدل خارجي، مايع تدريجاً اضافه شده ه تانك، واسط خنك كنندة ايزوترمال

آثار گرماي انحلال مي توانند با اضافه كردن به صورت و مخرج سمت چپ در نظر گفته شوند. Batchهاي تكان داده شدة (متلاطم) خنك كننده و گرم كننده، جريان متقابل- جريان موازي مشتقات مواد قبلي شامل فرض مي شدند، كه به مبدلهاي تمام خارجي نياز دارند كه دو جريان متقابل كار مي كردند با واسط هاي خنك كننده و گرم كنندة غير ايزوترمال اين موضوع هميشه سومند نخواهد بود.
به اين دليل كه ساختار امتيازات مربوط به كارايي را فداي تجهيزات چند گذره اي مانند مبدل ۲-۱ مي كند. مبدل خارجي ۲-۱ مي تواند با استفاده كردن از اختلاف دمايي تعريف شده در معادله ۳۷-۷ مد نظر قرار بگيرد.
۳۷-۷
و

۲۴/۱۸
بدين ترتيب
و s به همان خوبي R يك ثابت است كه از دماي خروجي مبدل مستقل است.

مبدل خارجي ۲-۱، گرم كردنادلة ۱۵/۱۸

۲۵-۱۸
با بازآرايي،
كه S با معادلة ۲۴-۱۸ تعريف مي شود.
مبدل خارجي ۲-۱، خنك كردن،
۲۶-۱۸
كه مجدداً با رابطة ۲۴-۱۸ تعريف مي شود.
مبدل خارجي ۲-۱، مايع تدريجاً اضافه شده به تانك، گرمايشي
۲۷-۸

با ساده سازي

۲۸-۱۸

كه s به وسيلة معادلة ۲۴/۱۸ تعريف مي شود. آثار گرمايي انحلال مي تواند با اضافه كردن به صورت و مخرج معادلة سمت چپ در نظر گرفته شوند.

مبدل خارجي ۲-۱، مايع تدريجاً اضافه شده به تانك، خنك سازي
۲۹/۱۸

كه S به وسيلة معادلة ۲۴/۱۸ تعريف مي شود. آثار گرماي مي تواند با اضافه كردن به صورت و مخرج سمت چپ در نظر گرفته شود.
Batchهاي متلاطم خنك كردن و گرم كردن، جريان موازي- جريان متقاطع
معادلة ۵/۸ نسبت هاي دماهاي واقعي را براي مبدل ۲۴ مي دهد. اين موضوع مي تواند با عبارتهاي شامل دوباره بازآرايي شدن و معادل هاي زير را بدهد:

۳۲/۱۸
از آنجا كه نمي تواند به صورت ساده بيان شود، معادلة ۳۱/۱۸ بايد با سعي و خطا و با در نظر گرفتن مقادير s تا زماني كه يك تساوي بدست آيد، حل شود.
مبادلات گرم كردن و سرد كردن همان هايي هستند كه براي مبدل ۲-۱ بعد يافتند به استثناي اينكه مقدار s از رابطة ۳۱/۱۸ جانشيني مقدار s در رابطة ۲۴/۱۸ مي شود. آثار گرماي انحلال مي توانند به همان ترتيب مبدلهاي ۲-۱ مورد نظر قرار بگيرند.

خنك كردن و گرم كردن بدون تلاطم (تكان دادن)
در فصل ۲۰ ديده خواهد شد كه تلاطم پوسته را ا

فزايش مي دهد و از همين رو نيازمنديهاي زماني سيالهاي گرم كننده و سرد كننده را كه بوسيلة كويل در تانك عمل كننده كاهش مي دهد، با مبدلهاي خارجي حضور تلاطم، چه به قصد و يا ناخواسته، به طور كاملاً برعكس زمان مورد نياز گرم كردن يا سرد كردن يك batch افزايش مي‌دهد.
اين موضوع مي تواند با يك تحليل ساده روشن شود با مراجعه به معادلة ۴/۱۸، batch با دماي اولية t از ميان يك مبدل خارجي مي گذرد و به تانك باز مي گردد جايي كه به عنوان يك لاية گرمايي شكل مي گيرد. موضوع مي تواند اين طور باشد اگر مايع نسبت غليظ باشد و يا محفظه بلند و باريك باشد. تمام مايع با دماي تانك t و در خلال اولين گردش وارد مبدل مي شود و با دماي كه دماي تغذيه به مبدل در گردش دوبارة بعدي است خ

ارج مي شود. اگر با تلاطم چه اولين خروح مايع از مبدل با مايع batch مخلوط مي شود و سريعاً دما را به بالاي دماي اولية t مي رساند. اين در عوض اختلاف دما را در مبدل كاهش مي دهد و زمان مورد نياز براي يك انتقال حرارت خاص را افزايش مي دهد.
مقدار مايع batch اوليه را M پوند فرض كنيد و فرض كنيد كه اين مايع از ميان مبدل با نرخ گردشي يافته است. از آنجا كه تغيير دماي مطلقي با هر كوره اي دوباره وجود دارد، فرآيند با يك تغيير دماي ديفرانسيلي توضيح داده نمي شود.
اگر مقدار تعداد گردشي لازم براي نائل شدن به يك دماي نمايي batch، N باشد زمان با اين معادله داده مي شود.

مبدل جريان متقابل خارجي، واسط گرم كنندة ايزوترمال

براي گردش اوليه:
براي اولين گردش موجود:
بر حسب و :
يا ۳۳/۱۸
كه زماني كه براي N چرخه حل شود:
۳۴/۱۸
مي توان يك نوع پيش بيني افزايش پيوستة مايع از طري محاسبة دماي مخلوط مبدل بعد از هر چرخه انجام داد. در اين مورد اندازة خود batch بايد همراه با افزايش در هر چرخة مورد بررسي قرار بگيرد. بنابراين معادلة ۳۴/۱۸ نمي تواند مورد استفاده قرار بگيرد مگر اينكه M با مقدار در خلال هر گردش مجدد افزايشي يابد. زمان كلي همانند بالا جمع تمام محاسبات منفرد خواهد بود.

مبدل جريان مقابل خارجي، واسط خنك كنندة ايزوترمال
۳۳/۱۸

مبدل جريان متقابل خارجي، واسط گرم كنندة غير ايزوترمال
دماي خروجي batch و واسط گرم كننده بعد از هر گردشي مجدد مجهول است. مورد فعلي به سادگي موارد قبلي كه واسط ايزوترمال بود، فرمول بندي نمي شود. گرچه جواب مي تواند در يك سري بيان شود، ولي ارزيابي كردن آن طولاني و خسته كننده است و با محاسبة تغييرات دما بعد از هر گردشي جدد سرعت بيشتري خواهيم داشت. نسبت هاي دما بعد از هر گردشي دوباره مي تواند بدين ترتيب تعريف شود.

براي گردش اوليه:۳۷/۱۸
و براي گردش دوباره:
كه با كاربرد دما از محاسبات قبلي براي هر چرخه حل مي شود.

مبدل جريان مقابل خارجي، واسط خنك كنندة غير ايزوترمال
بعد از هر گردشي دوباره ۳۸/۱۸

مبدل ۲-۱ خارجي، خنك سازي و گرم كردن
اين مورد مي تواند همانند مورد قبلي مورد محاسبه ق

رار گيرد اما با توجه به تعريف S در معادلة ۲۴/۱۸٫ حتي با استفاده از جدول شكل ۲۵/۷ و محاسبة جداگانة هر مرحله مي توان به ساده سازيهاي بيشتري نيز دست يافت. اضافه سازي پيوستة مايع در هر مرحله مي تواند همگام با گرماي انحلال مورد محاسبه قرار گيرد.

مبدل خارجي ۴/۲ گرم كردن و سرد كردن
اين مورد همانند قبلي است به استثناي اينكه s با معادله ۳۱/۱۸ و يا شكل ۷/۸ تعريف مي شود.
مثال ۱/۱۸ محاسبة گرماي batch
7500 گالن از بنزين مايع فشار در دماي براي هر فر

آيند استخراج batch مورد نياز است. دماي ذخيرة بنزن است. به عنوان يك واسط گرم سازي جريان روغن با دماي و نرخ در دسترسي است. يك پمپ كه به تانك وصل شده است قاد به گردش بنزن است. براي اين منظور يك سطح مبدل دو لوله اي تميز به مساحت كه جريان مقابل است در دسترسي است كه Vc معادل ۵۰ براي نرخ جريا ارائه مي كند.
a) چقدر طول مي كشد تا batch متلاطم با استفاده از مجموعة دو لوله اي جريان مقابل گرم شود؟
b) با استفاده از يك مبدل ۲/۱ با همان سطح و ضريب چقدر طول مي كشد؟
c) با يك مبدل ۲۴ با همان سطح و ضريب چقدر طول مي كشد؟
d) در مورد a اگر محفظة batch خيلي بلند باشد و batch متلاطم فرض نشود زمان مورد نظر چقدر خواهد بود؟
راه حل:
a)اين مورد با معادلة ۱۶/۱۸ مطابقت مي كند.
وزن مخصوص بنزن= ۸۸/۰
گرماي مخصوص بنزن: ۴۸/۰
b)

با قرار دادن در معادلة ۱۶/۱۸

b)اين مورد با معادلة ۲۵/۱۸ مطابقت مي كند كه در آن S با معادلة ۲۴/۱۸ و با معادلة ۲۵/۱۸ تعريف مي شوند.

c) با استفاده از s از معادلة ۳۱/۱۸

با حل معادلة ۳۱/۱۸ به كمك سعي و خطا

d)با استفاده از معادلة ۳۷/۱۸ و s از معادلة ۳۶/۱۶

در واقع يك عدد اعشاري براي محاسبات مورد نياز است. اگر مسئله بتواند از نقطه نظر گرماي كلي وارد شود به batch مورد بررسي قرار بگيرد، داريم:
اعشار گردش=x

گردش هاي كل

اين مقدار با عدد ۱۵/۵ براي batch متلاطم مقايسه مي شود.
۱b)تقطير batch
معرفي: ترتيبات متداول براي تقطير batch در شكلهاي ۵/۱۸ و ۶/۱۸ نشان داده شده‌اند.
ديگ تقطير با يك batch مايع پر مي شود، و گرما با يك كويل يا يك دوباره گرم كن با چرخة اجباري يا طبيعي فراهم مي شود. در بعضي تجهيزات با دماي بالا ديگر تقطير مي تواند مستقيماً در معرض آتش قرار بگيرد.
تقطير batch معمولاً زماني مورد استفاده قرار مي گيرد كه ذخيرة سوخت براي تضمين عملكرد مداوم ناكافي باشد و محل نسبتاً كوچك باشد.
در تقطير batch تركيب دماي مايع ته نشين در تعرق دائماً تغيير مي كند و معمولاً همان هوا براي متراكم كردن به كار مي رود به استثناي زماني كه تقطير مورد استفاده قرار گرفته يا يك مخلوط با جوشش ثابت را تشكيل مي دهد. در تقطير batch مكان بدست آوردن يك درصد كسري بالا كه خالص تر از جريان برگشت بوسيلة تقطير پيوسته است، وجود دارد. اين موضوع به طور ويژه هنگامي مفيد است كه توليد اضافي با درجات مختلفي همراه با امتياز خلوص بالا به فروش رود.
همچنين بوسيلة تغيير مداوم نسبت جريان بازگشت مي توان به يك تركيب اضافي تقريباً يكنواخت دست يافت گرچه مقدار آن به طور مداوم كاهش مي يابد. مورد اخر براي عموم معمولاً بيش از حد ديگران است. تغيير تركيب در خلال تقطير batch براي يك مخلوط ثانويه بوسيلة معادلة ريلي داده مي شود:
۳۹/۱۸
مولهاي مايع تغذيه شده به تقطير
مولهاي باقيمانده بعد از تقطير
كسر مولي اجزاء در سبك در مايع
كسر مولي اجزاء سبك در باقيمانده
كسر مولي بخار د تعادل با x
اگر مخلوط ايده آل نيست و از قوانين رائول و هنري تبعيت نكند
دما بايد از يك منحني نقطة جوش بدست آيد. معادلة رايلي شامل هيچ عبارتي از زمان نيست. بنابراين زمان تعيين شده براي تقطير از هر مقدار تغذيه مستقل است. اگر batch جمع شدن متناوب يك جريان متعلق به منبع ذخيرة را براي چند ساعت را ارائه كند، نرخ تقطير بايد طوري باشد كه ديگ بخار خالي شده و براي پر شدن بعدي آماده باشد. اگر تقطير به طور غير متناوب رخ مي دهد، نرخ تقطير مي تواند به طور اقتصادي با وجه به بهينة رابطه بين تغذيه ثابت و در حال كار انتخاب شود. در تقطير batch هزينة كاري به طور خاصي بالاست و تقطير سريع را مطلوب مي سازد ولي از طرف ديگر هزينه و قيمت تجهيزات نيازمند نرخ آهسته تر تقطير است.

دوباره گرم ساز و چگالنده:
شرايط طراحي براي هردوي گرم ساز و چگالنده معمولاً بر اساس محدوديتهاي عملكرد پايه گذاري مي شود. سيستم تقطير خيلي رايج به طور اتوماتيك توسط يك برنامه و يا كنترل كننده گذر زمان كنترل مي شود (شكل ۲۸/۲۱ را ببينيد) به طوري كه واسط گرم كننده در يك نرخ خاصي توليد مي شود باعث افزايش ثابتي در دماي جوش مي‌شود. ا

گر يك واسط گرم كننده مانند يك بخار در يك نرخ ثابت به دوباره گرم ساز batch تغذيه مي شد بيشتر آن در دوباره گرم ساز و به دنبال نخستين دوباره تبخير سريع كه باقيمانده به طور مويي گرم مي شود متراكم نمي شد، منبع ذخيره يك مخلوط است كه اجزاي سبكي دارد كه همان طور كه تقطير پيش مي رود باقيمانده ها را در يك نرخ رو به كاهش دفع مي كند. در نتيجه دماي جوش باقيمانده همان طور كه اجزاء تخليه مي شوند افزايش مي يابد. همان طور كه در بار در ديگ تقطير افزايش مي يابد ضريب انتقال حرارت مؤثر باقيمانده كاهش م

ي يابد فرض كنيد كه جريان با نقطة جوشي اوليه براي تبخير مورد استفاده قرار مي گيرد و تقطير بايد جايي كه تركيب باقيمانده با نقطة جوشي مطابقت كند، قطع شود. يك منحني تقطير را به كمك روش هاي فصل ۱۳ مي توان آماده كرد، ضرائب آني م

ي‌تواند هم براي شروع و هم براي خاتمه از اختلاف هاي نزديك گرماي ورودي مورد محاسبه قرار گيرند. در هنگام شروع كه ضريب پوسته و بار گرمايي بالا هستند اختلاف دما مي‌شود
ولي در دماي قطع فرآيند، كه ضريب پوسته و بار گرمايي پايين هستند، اختلاف دمايي فقط مي شود هر دو شرايط بايد براي V و مورد امتحان قرار گيرند تا معلوم شود كه كدام يك به سطح بيشتري احتياج دارند.
عوامل مؤثر در چگالنده متفاوت هستند. نرخ آب معمولاً ثابت نگه داشته مي شود. در شروع تقطير دماي بخار بالايي ممكن است نزديك باشد و آب با اختلافي از ۸۵ تا ، LMTD معادل با توليد مي كند.
در هنگام قطع فرآيند بخش بالايي ممكن است دماي داشته باشد، مطابق با يك اختلاف دماي درجه اي يا بيشتر، تغيير ميزان آب يا گرما كوچكتر خواهد بود. ضريب تراكم كمي بالاي مقدار كلي تغيير خواهد كرد. بنابراين شرايط محدود كننده براي چگالنده در ابتداي تقطير است، جايي كه حداكثر بار گرمايي و حداكثر اختلاف دمايي معمولاً همراه با هم رخ مي دهند.
يك تمرين براي براي بدست آوردن بار گرمايي براي گرم ساز مجدد و چگالنده بدون مراجعه كردن به منحني تقطير، بدست آوردن بار حرارتي كل و تقسيم آن بر زمان تخصيص يافته براي تقطير است. اين روش يك ميانگين بار حرارتي ساعتي ساختگي بدست مي دهد كه بزرگتر از مقدار نهايي است ولي معمولاً كمتر از بار حرارتي آغازين است. مقدار Q كه بديت ترتيب بدست آمد با مقدار u و در هنگام در دماهاي شروع و خاتمه جمع مي شود، و مقدار سطح بزرگتر محاسبه شده همراه با مقدار مجازي به عنوان خطا مورد استفاده قرار مي گيرد. اگر جزء گرم سازي براي پيش گرم كردن تغذيه استفاده شده است، بسيار مطلوب است كه نرخ پيش گرم سازي محدود شده باشد. زمان لازم براي پيش گرم سازي مي تواند از يكي معادله هاي batch در قسمت قبلي بدست آيد.

جامدات خنك كننده و گرم كننده
۲a)دماي مياني ثابت
مقدمه: از هنگام ظهور فوريهو كار او در رسانايي گرما علاقه و توجه رياضي دانان و فيزيكدانان زيادي به اين موضوع جلب شده است، بنابراين در اينجا تنها معرفي تعدادي از ساده ترين و مورد استفاده ترين موارد و ارائه ساختار كلي مورد مطالعه ميسر است. خواننده به كتابهاي عالي كه در زير صفحه مختصراً معرفي شده اند ارجاع مي شود. اين كتابها موضوع را با جزئيات بسيار بيشتر مورد بررسي قرار مي دهند و راه حلهاي براي تعدادي از مسائل ويژه ارائه مي دهند و همچنين موضوع را با رياضي و هندسه پيچيده تري بررسي مي كنند.
در بررسي رسانايي حالت ناپايدار ساده ترين نوع مسائل آنهايي هستند كه سطح جامد ناگهان دماي جديدي پيدا مي كند كه اين دما ثابت مي ماند. اين موضوع تنها زماني مي تواند اتفاق بيفتد كه ضريب پوستة سطح نسبت به يك واسط انتقال حرارت ايزوترمال بي نهايت باشد و گرچه كاربردهاي عملي زيادي از اين دو نوع وجود ندارند، اين نوع مسائل يك گام اساسي براي نيل به راه حل مسائل بي شماري مي باشد. به طور معمول، گرم كردن يا سرد كردن شامل يك ضريب پوستة متناهي مي شود، و يك مقاومت تماسي بين واسط و سطح گسترش مي يابد به نحوي كه سطح هرگز به دماي واسط نمي رسد. علاوه بر اين

، دماي سطح به طور دائم و همين طور كه جامد گرم مي‌شود در حال تغير است حتي اگر دماي واسط ثابت باقي بماند. اين موضوع نيز ممكن است اتفاق بيفتد كه دماي خود واسط تغيير كند، ولي اين گونه مسائل به طور جداگانه در قسمت بعدي مورد بررسي قرار خواهد گرفت. مواردي كه در اين بخش مورد بررسي قرار مي گيرند شامل آنهايي هستند كه ضرائب پوسته متناهي هستند و يا مقاومت هاي تماسي به خوبي موارد با ضرائب

بي نهايت وجود دارند.
مباحث ذيل مورد بحث هستند:
– تغيير ناگهاني دماي سطح (ضريب بي نهايت)
ديوار با ضخامت امتناهي از يك طرف گرم شده
ديوار با ضخامت متناهي از يك طرف گرم شده
ديوار با ضخامت متناهي از هر دو طرف گرم شده
ميلة چهار وجهي، مكعب، سيلندر با طول بي نهايت، سيلندر با طول معادل با قطرش، كره
– تغييرات به دليل داشتن مقاومت تماسي:
ديوار با ضامت متناهي
سيلندر با طول بي نهايت، كره، جامد نيمه متناهي
روشي نيومن براي شكلهاي ساده يا تركيبي
توزيع گرافيكي براي پراكندگي زمان- دما

-ديوار با ضخامت نامتناهي، گرم شده روي يك طرف
يك ديوار با ضخامت نامتناهي با يك دماي اولية يكنواخت تحت تأثير محيطي با دماي ثابت T8 قرار دارد. اين طور فرض شده است كه مقاومت تماسي بين واسط و سطحي كه با آن تماس دارد وجود ندارد، بنابراين دماي سطح ديوار نيز T8 خواهد بود.
اين موضوع با سرد كردن معمولي كه در آن يك مقاومت تماسي كاملاً معين وجود دارد كاملاً فرق مي كند.
معادلة كلي رسانايي بوسيلة معادلة ۱۳/۲ داده شده است. براي يك ديوار با ضخامت نامتناهي اين معادله به حالت جريان گرماي غير مستقيم داده شده توسط معادلة ۱۲/۲ كاهش مي يابد. عبارت پخش شدن گرمايي را كه فقط شامل خواص مادة رسانا است، توجيه مي كند. يا نامگذاري اين عبارت به ، رساناي مي تواند به اين گونه ارائه شود.

با در نظر گرفتن اينها به عنوان يك نقطة شروع، تنظيم كردن تعدادي معادله كه تغييرات دما را با زمان و مكان در تمام يك جامد توصيف مي كنند، ممكن خواهد شد. توجه داشته باشيد كه اين جمع جامد از يك طرف ناگهان در معرض يك چشمة حرارتي قرار مي گيرد. گرچه هنوز اين موضوع ضروري است كه معادلة شامل عبارت نمايي، شرايط مرزي تحميل شده به سيستم را نيز برآورده كند. معمول ترين معادلة اين نوع بدين ترتيب

است.

كه در آن ، و اعداد ثابت هستند. يك نوع اصلاح معادلة ۴۰/۱۸ كه مسئله مورد بحث را توصيف مي كند و در ضمن شرايط مرزي بي شماري را برآورد مي كند بوسيلة شك و بدين ترتيب داده مي شود،
۴۱/۱۸
كه عبارت بلافاصله به عنوان انتگرال احتمال يا انتگر

ال خطاي گاوس با ارزش بين ۰ تا ۱ شناسايي مي شود. شرايط مرزي براي يك ديوار نامتناهي كه از يك طرف گرم شده، اينها هستند: زماني كه ، ، كه دماي ابتدايي يكنواخت جمع جامد است.
هنگامي كه و و باشد كه در آن دماي ديواره است كه مستقيماً در تماسي با دماي محيط مي باشد.
زماني كه و دماي ديواره طبيعتاً دماي اوليه اش يعني را مي يابد يا
۲۴/۱۸
اين موضوع تنها در صورتي مي تواند معتبر باشد باشد، در غير اين صورت بايد همراه با x تغيير كند در حالي كه اين طور فرض شده بود كه ثابت است. بنابراين

با قرار دادن ثابت ها در معادلة ۴۱/۱۸

يا به فرم خلاصه
۴۳/۱۸
كه مقدار انتگرال خطا را در غالب گروه بي بعد بيان مي كند. مقادير انتگرال در شكل ۷/۱۸ رسم شده اند.
معادلة ۴۳/۱۸ مي تواند به طرز ساده تري اين گونه نوشته شود
۴۴/۱۸
معادلة ۴۴/۱۸) به طور واضح به گونه اي است كه دماي t در هر فاصلة x و هر زمان مي تواند معين شود. يك نتيجة مشابه را مي توان به كمك تحليل بي بعد بدست آورد. براي واحد سطح جريان گرما مي تواند بوسيلة رابطة ۵/۲ بدست آيد.
۴۵/۱۸
كه Q نرخ جريان است. براي بدست آوردن از رابطه براي t در معادلة ۴۴/۱۸ مشتق انتگرال خطا به اين صورت مي شود.
۴۶/۱۸
و معادلة ۴۵/۱۸ بدين ترتيب كاهش مي يابد

مقادير نمايي در شكل ۸/۱۸ رسم شده اند.
جريان گرما از ميان سطح زماني كه باشد بدست مي آيد كه مي شود
۴۸/۱۸
و بعد از ساعت كل گرمايي كه وارد ديوار خواهد شد يا آن را ترك مي كند، خواهد شد

كه مقدار btu است.
مثال ۲/۱۸) جريان گرما از ميان ديوار

مطلوب است دماي يك فولاد ضخيم ۴ اينچ زير سطح داغش و چهار ساعت بعد از اينكه دماي يكنواخت آن بوسيلة بكار بردن يك دماي ناگهاني در يك طرفش، تغيير مي كند.
چقدر گرما در آن هنگام به درون ديوار راه خواهد يافت و چقدر قبل از آن به درون ديوار راه يافته است؟
راه حل: با بكار بردن معادلة ۴۴/۱۸:
خصوصيات فولاد: فرض كنيد.

از شكل ۷/۱۸ براي داريم
۴۳/۱۸

جريان گرماي عبور از صفحة ۴in از سطح و بعد از ۴ ساعت از بكار بردن چشمة گرمايي بوسيلة معادلة ۴۷/۱۸ داده مي شود:
۴۷/۱۸

گرماي كلي كه از ميان يك فوت مربع از ديوار در ۴ ساعت مي گذرد با معادلة زير داده مي شود:
۴۹/۱۸

ديوار با ضخامت متناهي از يك طرف گرم شده
معادلات گسترشي در بخش قبل براي ديوار نامتناهي مي توانند براي ديوارهاي با ضخامت متناهي نيز به كار روند. اگر ديوار متناهي نسبتاً ضخيم باشد، توزيع دما- فاصله براي يك دورة كوتاه بعد از گرم كردن مي تواند تقريباً برابر مقدار مربوط به ديوار نامتناهي باشد. اگرچه همين طور اين دوره طولاني تر مي شود، نفوذ گرما از ميان ديوار به طرف سدش افزايش مي يابد. شك اين مسئله را با توجه به اينكه ديوار متناهي را مي توان با دوقلو كردن ديوار نامتناهي ساخت، مورد تحليل قرار داده است. اين موضوع مي تواند درست باشد اگر همان جريان گرمايي از سطح دور ديوار متناهي بگذرد كه مي توانست به طور معمولي از ميان يك صفحه در يك ديوار نامتناهي بگذرد كه همان فاصله را از سطح داغ داشته باشد. اگر دماي سطح دور يك ديوار متناهي به ضخامت ۱ فوت باشد، جريان گرما در هر فوت مربع از سطح دور خواهد شد.
۱۸/۵۰a
و اين معادل معادل است با جريان گرما در يك ديوار به فاصلة از سطخ داغ
۱۸/۵۰b
با يكي گرفتن دو نرخ گرماي انتقالي به منظور دوباره بدست آوردن توزيع گرماي يك ديوار نامتناهي خواهيم داشت.

اگر مقدار تقريباً يك باشد، افزايش دما در سطح دور بسيار كوچك خواهند بود. اگر مقدار از ۶/۰ تجاوز كند براي بيشتر كاربردهاي صنعتي استفادة مستقيم از معادلة ۴۴/۱۸ امكان پذير خواهد بود.

ديوار با ضخامت متناهي، گرم شده از هر دو طرف
در يك مطالعه مربوط به توزيع زمان- دما در خلال سرد كردن آهستة شيشة مربوط به كارهاي بصري، ويليامسون و آدامز روابطي براي بدست آوردن دماي مركزي، خط مركزي و صفحة مركزي تعدادي از شكل ها كه سطح آنها ناگهان در مجاور يك منبع حرارتي با ضريب پوستة بي نهايت قرار گرفته بود، بدست آوردند. در ميان اين شكل ها ورقه هاي بي نهايت پهني، ميلة چهارگوش، مكعب، سيلندر با طول بي نهايت، سيلندر با طول معادل با قطر، و كره وجود دارند. از آنجا كه تنها در يك لوحه (ورقه) جريان گرما هم امتداد با يك محور منفرد وجود دارد، پيچيده بودن معادلات در ساير شكل قابل انتظار است. وقتي كه ج

 

ريان حرارت قرينه است، استفاده كردن از خط مركزي يا صفحة مركزي به عنوان مربع فاصله بسيار راحت تر است. در اين صورت شرايط مرزي سطح با مطابقت خواهند كرد و خط مركزي يا صفحة مركزي با ويليامسون و آدامز معادلات با توجه به عبارات سري فوريه بدست آوردند. براي ورقة نامتناهي معادله از اين قرار است:

همين طور كه افزايشي مي يابد، سري سريع تر همگرا مي شود تا ماني كه در تنها عبارت اول اهميت خواهد داشت. روش حل تمام شكلهاي پيش گفته شده مي تواند در عبارتهاي يك سري بيان شود. ويليامسون و آدامز محاسباتشان را در فرم ساده شده بدين ترتيب ارائه داده اند:
۵۲/۱۸
a52/18
مفهوم سري بوسيلة بيان شده است كه در آن عمق يا قطر اصلي و t دما در مركز خط مركزي يا صفحة مركزي است. براي شكل هاي مختلف و معادلات نهايي ويژة آنها، مقدار بوسيلة ويليامسن و آدامز جدول بندي شده و در شكل ۹/۱۸ رسم شده است.
مثال ۳/۱۸ خط مركزي دما براي يك محور.
دماي خط مركزي يك شفت به قطر ۱۲ اينچ با دماي ابتداي ، ۱۵ دقيقه بعد از اينكه سطح آن به صورت ناگهاني به دماي مي رسد را حساب كنيد. مانند قبل، مي تواند مقدار را داشته باشد.

از شكل ۹/۱۸ با

از معادلة ۵۲/۱۸

ديوار با ضخامت متناهي كه به وسيلة يك سيال با مقاومت تماسي گرم شده است.
ضرايط عملي فوق توسط گروبر با گسترش يافتن توابعي كه در معادلات نهايي وجود دارد مورد بررسي قرار گرفته است. شرايط نمونة حال حاضر بدين گونه است كه با آن گونه سرد كردن مطابقت دارد كه مقاومت تماسي بين واسط گرم كننده يا سرد كننده و هر دو طرف ديواري به صورت يك ورقة نامتناهي با ضخامت متناهي، وجود داشته باشد. دو جانبه بودن مقاومت تماسي عامل انتقال حرارت بين مايع و جامد است و همان طور كه قبلاً ذكر شد باعث تعمير كردن دماي سطح حتي در صورت ثابت باقي ماندن دماي واسطة گرمايش مي شود.
روش به فرمول در آوردن و محاسبة ضريب پوسته مي تواند به طور تقريبي از روش‌هاي فصل هاي قبل يا آنهايي كه در فصل ۲۰ آمدند انتخاب شود در بسياري موارد بدست آوردن يك مكانيزم مشابه براي محاسبة انتقال حرارت در كه براي خنك كردن صفحات فولادي استفاده مي شود، ضريب محدود كنندة بين روغن و فلز متعلق به جابجايي آزاد است، كه به طور مداوم همراه با زمان و همين طور كه اختلاف دماي بين فلز و روغن كاهش مي يابد، تغيير مي كند.
يك صفحه را با دماي ابتدايي كه ناگهان در گاز يا مايع با دماي محيطي ثابت غوطه ور مي شود در نظر بگيريد دماي سطح بدين صورت داده مي شود.
۵۳/۱۸
a53/18)
دماي صفحة مركزي خواهد شد:
۵۴/۱۸
ياa54/18
كروبر به صورت گرافيكي توابع و را به عدد در آورده است كه توسط schach شك براي صفحه و مركز شكلهاي چهار گوش در شكلهاي ۶۰/۱۸ و ۷/۱۸ نشان داده شده است. زماني كه معادلات براي چه صورت بيان شوند، اين فرم يعني نمودار به جدول هاي شك ترجيح داده مي شود.
مثال ۴/۱۸- سرد كردن: جدول شك
آهن ريخته شده به فرم لوله هاي بلند به ضخامت h 10، در گرماي داغ نگهداري مي شوند و سپس به صورت افقي در هواي براي خنك شدن آويزان مي‌شوند. مطلوبست خواسته هاي زير را بعد از گذشت زمان ۴ ساعت انجام دهيد.
a)دماي مسطح بعد از ۴ ساعت چه خواهد شد؟
b)دماي صفحة مركزي بعد از چهار ساعت چه خواهد شد؟
راه حل: به منظور بدست آوردن يك ضريب ميانگين از لوحه به هوا بوسيلة تشعشع و جابجايي لازم است يك تعريف براي دماي سطح بعد از چهار ساعت در نظر بگيريم.
a)دماي را بعد از چهار ساعت فرض كنيد. ضريب صفحه به هوا جمع ضرائب جا به جايي و تشعشع خواهد بود.

كه دماها در مقياسي رانكين هستند.براي ضريب اوليه در

از رابطة ۶۰/۶۰

ضريب كلي اوليه مي شود:
براي ضريب بعد از چهار ساعت و در دماي

=ضريب كلي بعد از چهار ساعت
ضريب ميانگين به نحوي كمتر از متوسط ضرائب اوليه و نهايي است، از آنجا كه ضريب تشعشع همين طور كه دما پايين مي آيد سريعاً كاهش مي يابد، ضريب متوسط دماي سطحي بيشتر از دماي واقعي را بدست مي دهد.
=ضريب متوسط
از ضميمه، (تقريبي) و و

 

 

از شكل ۱۰/۱۸، داريم

b)دماي صفحة مركزي صفحه از اين قرار است:

از شكل ۱۱/۱۸،

شكلهاي متناهي و نيمه متناهي گرم شده بوسيلة سيال با مقاومت تماسي
با مراجعه به معادلة ۱۸/۵۲a يا ۱۸/۵۳a، گارني و لوري به اين نكته توجه كردند كه رابطه هاي مربوطه به گرم كردن شكلهاي گوناگون به كمك سيال كه ضرائب متناهي يا نامتناهي دارند بايد به وسيلة چهار گروه بي بعد بيان شوند. به كمك اين عبارتهاي بي بعد آنها طرحهايي براي لوحه (ديوار متناهي)، سيلندر با طول بي نهايت، كره، و جامدات نيمه متناهي تهيه كردند. اين نمونه ها در شكلهاي ۱۲/۱۸ تا ۱۵/۱۸ ارائه شده اند. جدولهاي گارني- لوري بسيار مفيد هستند زيرا نه تنها براي محاسبات مربوط به مركز و سطح استفاده مي شوند بلكه به همان خوبي براي نقاط مياني نيز استفاده مي شوند.
محور ۶ نتيجة يكساني با جدول شك براي همان شكل بدست مي دهد. اگرچه جدولهاي گارني- لوري سخت تر از جدولهاي شك هستند. مسئله جامد نيمه متناهي معادل مسئله مربوط به لوحه براي دورة كوتاهي قبل از رسيدن جريان گرما به صفحة مركزي صفحه مي باشد. طرز استفاده از اين جدولها بوسيلة يك مسئله توضيح داده شده است.
مسئله ۵/۱۸-حدول گارني- لوري- ميله هاي مدور فولادي با ۸ اينچ قطر، و ۱۲ فوت درازا كه به طور مقدماتي بار دماي و قبل از پرسكار، شدن در روغن خنك شده اند، دماي روغن در بوسيلة يك خنك كنندة روغن ثابت نگه داشته مي شود. ضريب جا به جايي ميانگين از يك لولة ۸ اينچي به روغني با خصوصيات روغن خنك كن معادل است.
دما ۲ اينچ پايين تر از سطح و بعد از ۱۵ دقيقه چقدر است؟
راه حل. اين مسئله مطابق شرايط مربوط به يك سيلندر بلند نامحدود است و شكل ۱۳/۱۸ مورد استفاده قرار خواهد گرفت. در دماي مياني محاسبه خواهد شد.

از شكل ۱۳/۱۸٫

روش نيومن براي شكلهاي رايج و تركيبي
خيلي از شكلهاي كه به طور مرتب در مبحث خنك سازي مورد بررسي قرار مي گيرند شامل شكلهاي ساده اي كه تا كنون مورد بررسي قرار گرفتند نمي شوند، ميان اين شكلهاي ساده مي توان به كره، ميلة چهارگوشي، شمش (لولة موازي مستطيلي) و سيلندر كوتاه با طول متتابعي اشاره كرد. با جريان گرمايي كه تنها در راستاي محور x است دماي جمع بوسيلة Y يا تعريف مي شود كه زيرنويسي x به راستاي انتقال گرما اشاره مي كند. مركز جمع به عنوان نقطة مرجع برگزيده مي‌شود.
در يك ميلة چهارگوشي بلند كه سطح مقطع در راستاي x و y فرض مي شود، نيومن ثابت كرده است كه دما در هر نقطه اي از سطح مقطع بوسيلة معادلة

بيان مي شود كه هر دوي و براي جريان گرما از ميان يك تختة متناهي محاسبه شده اند.
به طور مشابه براي يك آجر (شمش) كه سطح مقطعش با x و y در نظر گرفته مي‌شود دما در هر نقطه اي مي توان با

تعريف مي شود كه مقدار براي طول بلند شمش تعيين شده است همانند لوحه با جريان گرمايي در راستاي Z. براي سيلندري با طول متناهي در صورتي كه طول است و قطر ، دما مي تواند با اين معادله بيان شود

در اشياء با طول متناهي اگر يكي از طرفهاي صفحه بر عليه صفحه بر عليه جريان گرما ايزوله شده باشد، محاسبات مانند بالا خواهد بود به استثناي اينكه محور صفر يا نقطة مرجع به جاي مركز به ديوار عايق بندي شده منتقل شود و فاصلة قائم به طرف عايق بندي شدة ديوار دو برابر شود (يعني L به جاي )
اگر هر دو صفحات موازي عايق بندي شده باشند در اين صورت ديگر جريان گرماي خالصي در راستايx و y يا z وجود نخواهد داشت و راستاي كلي حذف شده است. به طور مشابه، اين احتمال وجود دارد كه ضرائب پوسته براي سطوح مختلف يك صبح، ممكن است كه در همة جهت هت يكسان نباشند. به خاطر اينكه جريان سيال ممكن است به طور عمده موازي با برخي سطوح و قائم به بعضي سطوح ديگر باشد.
اين موضوع تا زماني كه ضريب هر دو سطح موازي يكسان هستند و هندسة جريان گرما ثابت باقي مي ماند مشكل و تداخلي با راه حل ارزشي Y براي اين شكلها مي تواند از جدولهاي Gurners-Lurie و شك براي لوحه هاي متناهي و يا سيلندرهاي نامتناهي بدست آيد و براي اشياء پيچيده نيز به همين ترتيب ساخته شود. يك نوع جدول شك براي سيلندر نامتناهي توسط نيومن آماده شده است. براي روشن شدن اين موضوع، آجر (شمشي) را در نظر بگيريد كه ابعاد و و را به ترتيب در راستاهاي x، yو z دارد. فواصل دور صفحه هاي بيروني شمشي از مركزش و و تخمين زده مي شوند. و مركزش به وضوح جايي است كه براي سيلندر، يا محيط دايره اي بعد عبارت است از و در صفحات انتهايي موازي .
مثال ۶/۱۸ . كاربرد روش نيومن براي گرم كردن يك شمش.
اين مسئله از اطلاعات يك مثال نيومن با مقادير عددي بدست آمده از جدول هاي گارني- لوري استفاده مي كند.
يك آجر نسوز به ابعاد اينچ كه ابتدا در دماي قرار دارد در يك دودكش قرار داده شده كه از ميان اين دودكش گازهاي كوره با دماي در حال عبور هستند با نرخي كه ضريب پوستة حاصل شده روي تمام سطوح است. دما را در نقاطي كه به دنبال مي آيد بعد از يك ساعت تخمين بزنيد.
a)صفحة آجر b)هر گوشة آجر c)مركز صفحات اينچ d)مركز صفحات اينچ e) مركز صفحات اينچ f)ميانة لبه هاي بلند.
مقادير زير موجود هستند:

 

از شكل ۱۲/۱۸
در سطح در مركز

براي تمام موارد،

a)مركز آجر
b)گوشة آجر

c)مركز صفحات اينچ

d)مركز صفحات و اينچ

e)مركز صفحات اينچ

f)وسط لبة بلند

تعيين تصوير براي توزيع دما- زمان
توزيع دما- زمان براي بسياري از مسائل عملي در متن هاي علمي ديده نمي شود زيرا راه حل هاي آنها طولاني و يا رياضيات آنها بي نهايت پيچيده است. يك روش كوتاه و مفيد براي بررسي گرافيكي اين گونه موارد توسط ئي. اشميت گسترش يافته است.
يك لوحه با عرض بي نهايت و ضخامت متناهي را در نظر بگيريد كه در آن گرما فقط در راستاي ضخامت جريان مي يابد. مانند قبل، رابطة زمان- دما مي تواند با حل معادلة بنيادي رسانايي بدست آيد:

دما در لوجه در هر نقطه اي تابع زمان و فاصله است. لوحه را به تعدادي فواصل فوتي تقسيم كنيد و افزايشي در زمان معادل در نظر بگيريد. در يك فاصلة ثابت x از يك سطح لوحه، تغيير افزايشي دما در خلال افزايشي متناهي زمان ، مي تواند با نمايش داده شود. براي يك مقدار ثابت تغيير دما با مي تواند با نمايشي داده شود. در اين صورت معادلة ۱۲/۲ مي تواند به اين ترتيب نوشته شود.
۵۵/۱۸
با بازآرايي مجدد: ۵۶/۱۸
با مراجعه به شكل ۱۸/۱۸ كه در آن لوحه به بخشهايي به طول تقسيم شه است، اجازه دهيد دما در نقطه اي به فاصلة n عدد از مبدأ يعني بعد از گذشت m افزايش زماني يعني باشد. زماني كه x ثابت است، تغيير دما با زمان در لاية از سطح مي شود.
۵۷/۱۸
وقتي ثابت است، تغيير دما با فاصله مي شود.
۵۸/۱۸
و براي تغيير مرتبة دو اختلاف بين دو اختلاف اوليه
۵۹/۱۸
با قرار دادن اين معادلة ۵۶/۱۸
۶۰/۱۸
اگر افزايش فاصله و زمان طوري انتخاب شوند كه
۶۱/۱۸
معادلة ۶۰/۱۸ به اين ترتيب كاهش مي يابد.
۶۲/۱۸
معادلة ۶۲/۱۸)پايه و اساس روش گرافيكي است. اين معادله بيان مي كند كه دما در هر نقطه و در هر زمان حد مياني رياضي دو دما در + و – در خلال آخرين ترقي زماني است. يك خط راست كه از ميان مقادير دماها در و رسم شده است، ميانة افقي را در فاصلة وسطي رياضي به دو بخش تقسيم مي كند. دماها در و همان دو دماي پيش گفته هستند. روشي كامل بوسيلة شكل ۱۶/۱۸ توضيح داده شده است. يك شكل هندسي نظير يك لوحة نامتناهي را در دماي اولية در نظر بگيريد كه به طور ناگهاني در هر دو طرف خود در مجاورت يك واسط خنك ساز با مقاومت تماسي صفر و دماي قرار مي گيرد. جريان گرما در راستاي محور x است. از آنجايي كه توزيع دما در اطراف صفحة مركزي متقارن است، تنها يك نيمة لوح

ه بايد در نظر گرفته شود و نيمي از لوحة مفروض به فواصل نمايشي داده شده با خط هاي افقي تقسيم مي شود. اگر دماي اولية تحت تماس در Q باشد و دما در ، باشد در آن صورت در افزايش زماني دماي بعدي در صفحة متوسط رياضي و خواهد بود كه است. نقاط C، D، E در خلال اولين افزايش بدون تغيير باقي مي مانند. در خلال دومين افزايش زمان دما در c در صفحة تا كاهش مي

يابد، D و E بدون تغيير باقي مي مانند. در خلال سومين ترقي زمان دما در تا و دما در D ال كاهش مي يابند. در خلال اين افزايش زمان، دما در صفحة مركزي تغيير نمي كند، از اين رو دما متوسط مقادير در فاصلة از صفحة مركزي است كه هر دو همچنان هستند. در خلال چهارمين افزايش دما در C از تا سقوط مي كند ولي دما در صفحة مركزي ميانگين دو مقدار افقي در فاصلة از صفحة مركزي هستند و بنابراين روي يك خط افقي قرار مي گيرد. روية فوق مي تواند تا بي نهايت با هر خط افقي در سراسر صفحة مركزي كه معرفي كنندة دو افزايش زماني است

ادامه يابد.
مثال ۷/۱۸٫ تعيين گرافيكي براي توزيع دما- زمان
يك لوحة فولادي به ضخامت ۲۰ in و در دماي ابتدايي به طور ناگهاني در هر دو سمت در مجاورت دماي قرار مي گيرد. توزيع دما بعد از ۲۰ دقيقه به چه صورت خواهد بود؟
راه حل، براي سادگي فرض كنيد رشد مسافتي را معادل ۲/h در نظر بگيريد.