كاربرد روش L1 – تقريب در معادلات انتگرال تكين

۱- مقدمه: معادلات انتگرال را مي‌توان با استفاده از فن LP – تقريب (به ويژه L1 تقريب) به طور موثري حل كرد. در اين متن فن كلي را مورد بحث قرار مي‌دهيم و سپس آن را با حل چند معادله انتگرال مختلف توضيح مي‌دهيم. علاوه برامتيازات ديگر، اين روش به طور موفقيت آميزي در مورد معادلات انتگرال تكين و همين طور معادلات انتگرال قوياً تكين (نظير انتگرال هاي آدامار يا متناهي – قسمت) تعميم داده شده و به كار رفته است. در بحث حاضر، مروري بر اين مطالعه ارائه مي‌شود.

۲- مقدمات رياضي :

به طور كلي هدف اين متن عبارت است از كاربرد فن LP- تقريب در حل يك معادله انتگرال فردهولم (خطي يا غير خطي) نوع اول يا دوم به صورت

در معادلة بالا تابع هدايتگر و هسته K توابعي معلوم اند، در حالي كه تابع مجهول است كه بايد آن را بيابيم پارامتر نيز معلوم است. مساله كلي LP- تقريب پيوسته را مي‌توان به صورت زير فرمول بندي كرد:
تابع f معين روي يك بازة حقيقي مانند x همراه با يك تابع تقريب مانند F(A)، كه به متغير n پارامتري A=(a1 , …,an) در Rn وابسته است، مفروض اند.
در اين صورت مساله LP- تقريب پيوسته به اين معني است كه بايد برداري مانند به گونه اي بيابيم كه به ازاي هر رابطة :

برقرار باشد.
جنبة اصلي مساله كه بايد مورد بحث واقع شود فرمول بندي مجدد مساله معادله انتگرال به صورت يك مساله LP- تقريب است. براي اين منظور، فرض كنيم بتوان تابع جواب را با تابع F(A)، كه ممكن است خطي يا غير خطي باشد، تقريب زد. اگر اين تقريب را در معادله انتگرال بگذاريم، رابطة زير به دست مي‌آيد:

در آن صورت مساله تقريب را مي‌توان بر حسب LP- نرم به صورت:

بيان كرد كه در آن F(A,x) نسبت به A روي Rn و نسبت به x روي [a,b] تعريف شده است. توجه داشته باشيد كه مي‌توان عبارت

را تابعي مانند تلقي كنيم كه فقط به A بستگي دارد. پس مي‌توان مسأله تقريب را به عنوان يك مسأله مينيمم سازي غير مقيد وابسته به n متغير an,…,a1 در نظر گرفت. بنابراين، J فقط بايد نسبت به اين متغيرها مينيمم شود. در نتيجه، با حل مسأله مينيمم سازي بالا امكان حل تقريبي معادله انتگرال وجود دارد.
براي مطالعة درباره جزئيات اين فن (و از جمله آناليز رياضي) مراجع [۱۹] , [۱۸] تاليف De Klerk را ببينيد.
در اين مرحله دو تفسيرزير ضروري اند:

مقادير مخلتف P را مي‌توان مورد استفاده قرار داد. براي مثال به ازاي P=1 مسأله منجر مي‌شود به مسأله كمترين قدر مطلق و به ازاي P=2 مسأله منجر مي‌شود به مسألة كمترين مربعات. دليلي وجودندارد كه مقادير مثبت ديگر P را در نظر نگيريم. حالت P=2 را بيشتر مي شناسيم، در حالي كه حالت P=1 كمتر آشناست. بنابراين احساس مي‌شد كه اين حالت بايد حاوي چالش هاي عددي جالبي (در رابطه با قدر مطلقي كه در انتگرالده ايجاد مي شود) باشد. توجه داشته باشيد كه خطي يا غير خطي بودن انتگرالده بالا نسبت به A بستگي به تابع تقريب F(A) و هسته K دارد. در روش عددي اي كه در اينجا مورد بحث قرار مي‌گيرد تمايز خاصي بين خطي يا غير خطي بودن قائل نمي‌شويم.

۳- شيوة عددي و مثال ها :
فن عددي در اصل از دو شيوة عددي تشكيل شده است، يعني شيوة مينيمم سازي و شيوة انتگرال گيري.
مينيمم سازي با استفاده ازيك الگوريتم استاندارد بهينه سازي انجام مي‌گيرد. الگوريتم UMPOL در IMSL Library كه بر پاية روش «سيمپلكس داون هيل» از نلدر و ميد (به مثال [۳۷] تاليف Press مراجعه كنيد)، كه گر چه زياد سريع نيست اما اين مزيت را دارد كه بسيار قوي است و به مشتق گيري ها نيازي ندارد. در واقع ماشين سر به زيري است كه معمولاً مقدار مينيمم يك تابع را به درستي مي‌يابد . همچنين
De Klerk در [۲۰] متذكر شده است كه روش لووس- جاكولا [۳۴] نيز روشي قوي است كه به مشتق گيري ها نيازي ندارد و بررسي بيشتر جواب هايي كه با بهره گيري ازاين روش بدست مي آيند را مفيد دانسته است.
انتگرال گيري عددي با استفاده از فن كوادراتور اتوماتيكي كه ونتر و لاوري [۳] با يك انتگرالده به صورت g(|f(x)|) آورده اند، انجام مي‌شود. براي بدست آوردن اين شيوه اين محققين روية انتگرال گيري تطبيقي استاندارد QAGE را تغيير داده اند (از QUAD PACK تاليف [۳۵] Piessens ). در حين فرايند انتگرال گيري، با استفاده ازمقادير موجود براي تابع، صفرهاي تابع پيدا مي‌شوند كه از آنها (صفرهاي تابع) به عنوان نقاط تقسيم در انتگرال گيري استفاده مي‌كنيم.
در [۲۰] ذكر شده است كه ونتر ولاوري اين روش را با موفقيت بالايي امتحان كرده اند، همچنين در پايان نامه دكتري ونتر نيز از بكارگيري اين روش نتايج خوبي بدست آمده است [۸].
De Klerk در [۱۸] نتايج رضايت بخشي را با استفاده از اين استراتژي تقريب بدست آورده است.
بر خلاف بسياري روش هاي ديگر، با استفاده از روشي تقريبي نظير روش ياد شده،‌ در ساختن

جواب نيز آزادي عمل بيشتري داريم (مثلا مي توان توابع گويا و توابع مثلثاتي را بكار برد).
با اينكه داشتن تجربه در ارتباط با انتخاب يك تابع تقريب لازم است اما اين امر موجب كنار گذاردن روش مذكور نمي شود.
De Klerk با در نظر گرفتن مثال هاي زير، برخي از نتايج اصلي سال هاي گذشته را به بحث مي‌گذارد.
مثال (۱- ) پارامتر به سمت يكي از مقادير ويژه مسأله ميل مي‌كند.
هسته جدايي پذير زير را در نظر بگيريد، داريم :

كه در آن دو مجموعه از توابع مستقل خطي هستند.
در اين حالت معادله انتگرال فردهولم به طور كلي يك و فقط يك جواب دارد. تنها استثنا وقتي است كه يكي از مقادير ويژه هسته را به خود مي‌گيرد كه در اين حالت مسأله جواب ندارد (Tricomi [9]) . مثال بعد كارايي فن مذكور را نشان مي‌دهد. معادله انتگرال فردهولم نوع دوم زيررا در نظر بگيريد.

مجموعة

در نتيجه بايد پارامترهاي a0, .., a3 را به گونه اي محاسبه كنيم، كه

مينيمم شود.
مقادير ويژه اين مسأله (تا شش رقم اعشار) عبارتند از:
-۱۲٫۹۲۸۲۰۳ و ۰٫۹۲۸۲۰۳
با استفاده از روش L1- تقريب و متمايل شدن به سمت ۰٫۹۲۸ نتايج زير بدست مي آيند.
محاسبه شدة عددي y(x), محاسبه شدة تحليلي y(x),
0.0000+1.0000x
1.6060+2.8030x
5.8116+11.0251x
20.6588+36.7398x
844.7736+1464.1480x x
1.0606+2.8030x
5.8120+11.0256x
20.6573+36.7371x
844.6970+1464.0151x 0.3333

۰٫۸
۰٫۹
۰٫۹۲
۰٫۹۲۸
بنابراين الگوريتم، جواب اين مسأله را حتي در حالتي كه فقط به اندازه با يكي از مقادير ويژه تفاوت داشته باشد، بدست مي آورد. اكنون روش حل تحليلي معادله انتگرال فردهولم نوع دوم ( با هسته تباهيده) فوق را بيان مي‌كنيم.

از اين معادله داريم:

مقادير ثابت هاي معلوم را بدست مي آوريم.
مقادير فوق را در دستگاه قرار مي‌دهيم. داريم

اگر
بنابراين مقادير ويژه عبارتند از:
-۱۲٫۹۲۸۲۰۳۲۳ = و ۰٫۹۲۸۲۰۳۲۳۰۲ = .

مثال (۲- ) معادله انتگرال با يك تكيني نوع كوشي در هسته
در اين حالت معادله انتگرال (Cuminato [9])

به ازاي مورد نظر است و انتگرال به معناي مقدار اصلي تعريف شده است.
معادله انتگرال با فرض برقراري شرط اضافي داراي جواب است.
در مورد اين مثال تقريبي كه برمي گزينيم گويا است (يعني غير خطي). جواب را مي‌توان با يك تابع با قطب هاي ساده نمايش داد، در نتيجه جوابي عددي در نزديكي نقاط تكين جواب تحليلي بدست آورده ايم. تابع تقريب را به صورت تابع گوياي زير در نظر مي گيريم

اين تابع N=m+n+1 ضريب دارد و نخست تابع باقيمانده زير را در نظر مي گيريم

بامحاسبه انتگرال به شكل تحليلي، و در نظر گرفتن حالتي كه m=n=2 ، به تابع باقيمانده مي رسيم

با:

اگر b-a=1 ، مي‌توان به نتيجه جالبي رسيد. مي‌توان نشان داد (De Klerk[19]) كه دنباله به طور يكنوا صعودي است- درحقيقت . بنابراين براي تعيين ضرايب، A، در بازه اي به طول يك، با بهره گيري از تبديل ، متغير را بر متغير مي نگاريم. در اين صورت مسأله LP- تقريب به

تبديل مي‌شود. با محاسبه مقدار مينيمم مسأله تقريب بالا بهترين نتايج در LP- نرم به ازاي مقادير مختلف P و به ازاي انتخاب فوق براي تابع تقريب در جدول (الف) و (ب) داده شده است.

P=1 P=2 P=4 P=8 P=16
-0.015901
0.499960
0.009663
0.000199
-0.952559 0.000132
0.457612
-0.000090
-0.000002
-0.961707 -0.000002
0.405397
0.000001
0.000000
-0.968475 -0.057666
0.374331
0.043482
0.000682
-0.971525 -0.012619
0.366593
0.009586
0.000144

-۰٫۹۷۱۷۹۶

جدول (الف): ضرايب تابع تقريب را محاسبه كرده است.
P=1 P=2 P=4 P=8 P=16
0.057091 0.090140 0.138462 0.174507 0.189342

جدول (ب): مينيمم LP- نرم تابع باقيمانده را محاسبه كرده است.
مثال (۳- ) معادله انتگرال با يك تكيني قوي در هسته
كاربرد روش L1 – تقريب در معادلات انتگرال تكين

۱- مقدمه: معادلات انتگرال را مي‌توان با استفاده از فن LP – تقريب (به ويژه L1 تقريب) به طور موثري حل كرد. در اين متن فن كلي را مورد بحث قرار مي‌دهيم و سپس آن را با حل چند معادله انتگرال مختلف توضيح مي‌دهيم. علاوه برامتيازات ديگر، اين روش به طور موفقيت آميزي در مورد معادلات انتگرال تكين و همين طور معادلات انتگرال قوياً تكين (نظير انتگرال هاي آدامار يا متناهي – قسمت) تعميم داده شده و به كار رفته است. در بحث حاضر، مروري بر اين مطالعه ارائه مي‌شود.

۲- مقدمات رياضي :
به طور كلي هدف اين متن عبارت است از كاربرد فن LP- تقريب در حل يك معادله انتگرال فردهولم (خطي يا غير خطي) نوع اول يا دوم به صورت

در معادلة بالا تابع هدايتگر و هسته K توابعي معلوم اند، در حالي كه تابع مجهول است كه بايد آن را بيابيم پارامتر نيز معلوم است. مساله كلي LP- تقريب پيوسته را مي‌توان به صورت زير فرمول بندي كرد:
تابع f معين روي يك بازة حقيقي مانند x همراه با يك تابع تقريب مانند F(A)، كه به متغير n پارامتري A=(a1 , …,an) در Rn وابسته است، مفروض اند.
در اين صورت مساله LP- تقريب پيوسته به اين معني است كه بايد برداري مانند به گونه اي بيابيم كه به ازاي هر رابطة :

برقرار باشد.
جنبة اصلي مساله كه بايد مورد بحث واقع شود فرمول بندي مجدد مساله معادله انتگرال به صورت يك مساله LP- تقريب است. براي اين منظور، فرض كنيم بتوان تابع جواب را با تابع F(A)، كه ممكن است خطي يا غير خطي باشد، تقريب زد. اگر اين تقريب را در معادله انتگرال بگذاريم، رابطة زير به دست مي‌آيد:
در آن صورت مساله تقريب را مي‌توان بر حسب LP- نرم به صورت:

بيان كرد كه در آن F(A,x) نسبت به A روي Rn و نسبت به x روي [a,b] تعريف شده است. توجه داشته باشيد كه مي‌توان عبارت

را تابعي مانند تلقي كنيم كه فقط به A بستگي دارد. پس مي‌توان مسأله تقريب را به عنوان يك مسأله مينيمم سازي غير مقيد وابسته به n متغير an,…,a1 در نظر گرفت. بنابراين، J فقط بايد نسبت به اين متغيرها مينيمم شود. در نتيجه، با حل مسأله مينيمم سازي بالا امكان حل تقريبي معادله انتگرال وجود دارد.
براي مطالعة درباره جزئيات اين فن (و از جمله آناليز رياضي) مراجع [۱۹] , [۱۸] تاليف De Klerk را ببينيد.
در اين مرحله دو تفسيرزير ضروري اند:
مقادير مخلتف P را مي‌توان مورد استفاده قرار داد. براي مثال به ازاي P=1 مسأله منجر مي‌شود به مسأله كمترين قدر مطلق و به ازاي P=2 مسأله منجر مي‌شود به مسألة كمترين مربعات. دليلي وجودندارد كه مقادير مثبت ديگر P را در نظر نگيريم. حالت P=2 را بيشتر مي شناسيم، در حالي كه حالت P=1 كمتر آشناست. بنابراين احساس مي‌شد كه اين حالت بايد حاوي چالش هاي عددي جالبي (در رابطه با قدر مطلقي كه در انتگرالده ايجاد مي شود) باشد. توجه داشته باشيد كه خطي يا غير خطي بودن انتگرالده بالا نسبت به A بستگي به تابع تقريب F(A) و هسته K دارد. در روش عددي اي كه در اينجا مورد بحث قرار مي‌گيرد تمايز خاصي بين خطي يا غير خطي بودن قائل نمي‌شويم.

۳- شيوة عددي و مثال ها :
فن عددي در اصل از دو شيوة عددي تشكيل شده است، يعني شيوة مينيمم سازي و شيوة انتگرال گيري.
مينيمم سازي با استفاده ازيك الگوريتم استاندارد بهينه سازي انجام مي‌گيرد. الگوريتم UMPOL در IMSL Library كه بر پاية روش «سيمپلكس داون هيل» از نلدر و ميد (به مثال [۳۷] تاليف Press مراجعه كنيد)، كه گر چه زياد سريع نيست اما اين مزيت را دارد كه بسيار قوي است و به مشتق گيري ها نيازي ندارد. در واقع ماشين سر به زيري است كه معمولاً مقدار مينيمم يك تابع را به درستي مي‌يابد . همچنين
De Klerk در [۲۰] متذكر شده است كه روش لووس- جاكولا [۳۴] نيز روشي قوي است كه به مشتق گيري ها نيازي ندارد و بررسي بيشتر جواب هايي كه با بهره گيري ازاين روش بدست مي آيند را مفيد دانسته است.
انتگرال گيري عددي با استفاده از فن كوادراتور اتوماتيكي كه ونتر و لاوري [۳] با يك انتگرالده به صورت g(|f(x)|) آورده اند، انجام مي‌شود. براي بدست آوردن اين شيوه اين محققين روية انتگرال گيري تطبيقي استاندارد QAGE را تغيير داده اند (از QUAD PACK تاليف [۳۵] Piessens ). در حين فرايند انتگرال گيري، با استفاده ازمقادير موجود براي تابع، صفرهاي تابع پيدا مي‌شوند كه از آنها (صفرهاي تابع) به عنوان نقاط تقسيم در انتگرال گيري استفاده مي‌كنيم.
در [۲۰] ذكر شده است كه ونتر ولاوري اين روش را با موفقيت بالايي امتحان كرده اند، همچنين در پايان نامه دكتري ونتر نيز از بكارگيري اين روش نتايج خوبي بدست آمده است [۸].

 

De Klerk در [۱۸] نتايج رضايت بخشي را با استفاده از اين استراتژي تقريب بدست آورده است.
بر خلاف بسياري روش هاي ديگر، با استفاده از روشي تقريبي نظير روش ياد شده،‌ در ساختن جواب نيز آزادي عمل بيشتري داريم (مثلا مي توان توابع گويا و توابع مثلثاتي را بكار برد).
با اينكه داشتن تجربه در ارتباط با انتخاب يك تابع تقريب لازم است اما اين امر موجب كنار گذاردن روش مذكور نمي شود.
De Klerk با در نظر گرفتن مثال هاي زير، برخي از نتايج اصلي سال هاي گذشته را به بحث مي‌گذارد.
مثال (۱- ) پارامتر به سمت يكي از مقادير ويژه مسأله ميل مي‌كند.
هسته جدايي پذير زير را در نظر بگيريد، داريم :

كه در آن دو مجموعه از توابع مستقل خطي هستند.
در اين حالت معادله انتگرال فردهولم به طور كلي يك و فقط يك جواب دارد. تنها استثنا وقتي است كه يكي از مقادير ويژه هسته را به خود مي‌گيرد كه در اين حالت مسأله جواب ندارد (Tricomi [9]) . مثال بعد كارايي فن مذكور را نشان مي‌دهد. معادله انتگرال فردهولم نوع دوم زيررا در نظر بگيريد.

مجموعة

در نتيجه بايد پارامترهاي a0, .., a3 را به گونه اي محاسبه كنيم، كه

مينيمم شود.
مقادير ويژه اين مسأله (تا شش رقم اعشار) عبارتند از:
-۱۲٫۹۲۸۲۰۳ و ۰٫۹۲۸۲۰۳
با استفاده از روش L1- تقريب و متمايل شدن به سمت ۰٫۹۲۸ نتايج زير بدست مي آيند.
محاسبه شدة عددي y(x), محاسبه شدة تحليلي y(x),
0.0000+1.0000x
1.6060+2.8030x
5.8116+11.0251x
20.6588+36.7398x
844.7736+1464.1480x x
1.0606+2.8030x
5.8120+11.0256x
20.6573+36.7371x
844.6970+1464.0151x 0.3333
0.8

۰٫۹
۰٫۹۲۸
بنابراين الگوريتم، جواب اين مسأله را حتي در حالتي كه فقط به اندازه با يكي از مقادير ويژه تفاوت داشته باشد، بدست مي آورد. اكنون روش حل تحليلي معادله انتگرال فردهولم نوع دوم ( با هسته تباهيده) فوق را بيان مي‌كنيم.

از اين معادله داريم:

مقادير ثابت هاي معلوم را بدست مي آوريم.
مقادير فوق را در دستگاه قرار مي‌دهيم. داريم

اگر
بنابراين مقادير ويژه عبارتند از:
-۱۲٫۹۲۸۲۰۳۲۳ = و ۰٫۹۲۸۲۰۳۲۳۰۲ = .

مثال (۲- ) معادله انتگرال با يك تكيني نوع كوشي در هسته
در اين حالت معادله انتگرال (Cuminato [9])

به ازاي مورد نظر است و انتگرال به معناي مقدار اصلي تعريف شده است.
معادله انتگرال با فرض برقراري شرط اضافي داراي جواب است.
در مورد اين مثال تقريبي كه برمي گزينيم گويا است (يعني غير خطي). جواب را مي‌توان با يك تابع با قطب هاي ساده نمايش داد، در نتيجه جوابي عددي در نزديكي نقاط تكين جواب تحليلي بدست آورده ايم. تابع تقريب را به صورت تابع گوياي زير در نظر مي گيريم

اين تابع N=m+n+1 ضريب دارد و نخست تابع باقيمانده زير را در نظر مي گيريم

بامحاسبه انتگرال به شكل تحليلي، و در نظر گرفتن حالتي كه m=n=2 ، به تابع باقيمانده مي رسيم

با:

اگر b-a=1 ، مي‌توان به نتيجه جالبي رسيد. مي‌توان نشان داد (De Klerk[19]) كه دنباله به طور يكنوا صعودي است- درحقيقت . بنابراين براي تعيين ضرايب، A، در بازه اي به طول يك، با بهره گيري از تبديل ، متغير را بر متغير مي نگاريم. در اين صورت مسأله LP- تقريب به

تبديل مي‌شود. با محاسبه مقدار مينيمم مسأله تقريب بالا بهترين نتايج در LP- نرم به ازاي مقادير مختلف P و به ازاي انتخاب فوق براي تابع تقريب در جدول (الف) و (ب) داده شده است.

P=1 P=2 P=4 P=8 P=16
-0.015901
0.499960
0.009663
0.000199
-0.952559 0.000132
0.457612
-0.000090
-0.000002
-0.961707 -0.000002
0.405397
0.000001
0.000000
-0.968475 -0.057666
0.374331
0.043482
0.000682
-0.971525 -0.012619
0.366593
0.009586
0.000144
-0.971796

جدول (الف): ضرايب تابع تقريب را محاسبه كرده است.
P=1 P=2 P=4 P=8 P=16
0.057091 0.090140 0.138462 0.174507 0.189342

جدول (ب): مينيمم LP- نرم تابع باقيمانده را محاسبه كرده است.
مثال (۳- ) معادله انتگرال با يك تكيني قوي در هسته