كمانش در سازه ها

كمانش را مي‌توان به صورت تغيير شكل ناگهاني سازه در اثرگذاري بار از حد بحراني تعريف نمود كمانش حالت خاصي از ناپايداري در سازه‌ها است كه در اثر عدم وجود تناسب ميان ابعاد هندسي سيستم ايجاد مي‌گردد.
در يك نگاه عمومي‌تر ناپايداري ناشي از وجود اجزاي ديناميكي نظير فنرها را نيز در همين مقوله مطالعه نمود.

در اين فصل ابتدا نمونه‌ا ي از ناپايداري در سيستم ميله- فنر را بررسي نموده سپس بحث را به ساير انواع ناپايداري بسط مي‌دهيم. در ادامه نحوه تحليل ناپايداري و كمانش در مدلها به كمك نرم‌افزار ANSYS را بررسي نموده مثالهاي مطرح شدة قبلي را مجدداً به كمك نرم‌افزار تحليل مي‌نماييم.

تير يك سردرگير شكل(۱-۱۰)( الف) را با بارگذاري مشخص شده در نظر بگيريد در شكل(ب) وضعيت تغيير شكل يافته( وضعيت تعادل نهايي) مدل تحت بارگذاري ترسيم شده‌است. در صورتيكه تير پس از اعمال بارگذاري و رسيدن به وضعيت تعادل( در شكل ب) در حاليكه نيروي Fبه تير وارد مي‌شود كمي از موقعيت خود خارج شده و مجدداً رها گردد به وضعيت تعادل خود (شكل ب) باز خواهد گشت. اكنون مدل شكل ۲-۱۰ را در نظر بگيريد .

شكل ۲-۱۰
در شكل ۲-۱۰ تيري را ملاحظه مي‌نماييد كه به كمك يك فنر پيچشي به تكيه‌گاه متصل گرديده است. نيروي P كه دقيقاً در امتداد محوري وارد مي‌گردد تعادل تير را برهم نخواهد زد. ولي در صورتي كه موقعيت تير مقدار كمي از وضعيت افقي منحرف گردد به علت گشتاور ايجادشده در اثر نيروي P ممكن است تير در وضعيت تعادل جديدي قرار گيرد.
طبق روابط حاكم بر مدل‌هاي استاتيكي خواهيم داشت:

( كوچك: )
ازروابط بالا با فرض نتيجه مي‌شود:
– در صورتيكه p<pcr پس از انحراف از وضعيت تعادل اوليه تير مجدداً به وضعيت تعادل نخستين خود باز خواهد گشت.
– در صورتيكه p>pcr به محض ايجاد ميزان كمي انحراف از وضعيت تعادل سيستم ناپايدار خواهد شد و تير شروع به دوران مي‌كند.

– و اگر p=pcr : پس از انحراف وضعيت اوليه( در صورتيكه كوچك باشد). تير دروضعيت جديد به صورت متعادلي باقي خواهد ماند. در واقع در اين حالت تير يك وضعيت تعادل منحصر به فرد ندارد.
– براي آشنايي بيشتر با وضعيت‌هاي مختلف تعادل سيستم‌ها به مثال زير توجه كنيد:

اگر تير شكل ۳-۱۰ را به صورت ي ك جسم صلب در نظر بگيريم وضعيت آنرا تنها با يك متغير( مثلاً زاويه دوران تير) مشخص نمود تحت بارگذاري مشخص شده در شكل وضعيت تعادل در مي‌باشد. با افزايش p اين وضعيت تغيير نخواهد نمود. در صورتيكه تير كمي از وضعيت تعادل منحرف گردد نيروي بازگرداندة p مجدداً آنرا به وضعيت تعادل نخستين باز مي‌گرداند. نمودار تعادل برحسب مقادير مختلف نيرو در شكل ۴-۱۰ نشان داده شده‌است.

شكل ۴-۱۰
وضعيت بارگذاري شكل ۵-۱۰ را در نظر بگيريد.

شكل ۵-۱۰
با توجه به روابط استاتيكي حاكم بر سيستم مي‌توان نوشت:

يعني به ازاء مقادير مختلف P مقادير مختلف مشخص‌ كنندة وضعيت تعادل بدست خواهد آمد. شكل ۶-۱۰ نمودار( تعادل) برحسب P را نمايش مي‌دهد:

شكل ۶-۱۰
حالت آخري كه مورد بررسي قرار مي‌گيرد بارگذاري فشاري در امتداد محور تير مي‌باشد: با افزايش p در صورتي كه تير به كمك عامل خارجي از وضعيت تعادل اوليه خارج نشود ( شكل ۷-۱۰) وضعيت خود را حفظ خواهد كرد و در واقع به ازاء هر p ، وضعيت تعادل خواهد بود. ولي در صورتيكه تير كمي از وضعيت منحرف گردد ( شكل ۸-۱۰) مي‌توان معادل حاكم بر مدل را به صورت زير نوشت:

شكل ۷-۱۰ شكل ۸-۱۰
اگر p>pct باشد پس از انحراف از وضعيت اوليه تيرناپايدار خواهد شد و سقوط خواهد كرد. در صورتيكه p=pcr پس از انحراف در هر ديگري به تعادل خواهد رسيد يعني سيستم تنها يك وضعيت تعادل ندارد( شكل ۱۰-۹)

اكنون مي‌خواهيم معادلات تعادل مدل شكل ۱۰-۱۰ را بررسي نماييم.
سيستم مطرح‌شده داراي دو درجه آزادي مي‌باشد.
فرض كنيد ميزان دوران هر يك از ميله‌ها نسبت به محور عمودي را مختصات آن ميله در نظر بگيريم. به كمك اين دو مختصات مي‌توان وضعيت سيستم را كاملاً مشخص نمود نمودار پيكرة آزاد هر يك از ميله‌ها به صورت شكل ۱۱-۱۰ خواهد بود.

شكل ۱۱-۱۰

با فرض كوچك بودن زواياي خواهيم داشت:
(۱-۱۰(

با در نظر گرفتن رابطة:

با استفاده از با استفاده از روابط بالا داريم:

مجددا با استفاده از فرض كوچك‌بودن خواهيم داشت:

معادلات ۱-۱۰ و ۲-۱۰ را مي‌توان به صورت ماتريسي نوشت:

همچنانكه مشاهده مي‌نماييد شكل اين معادله به صورت يك مسئله مقدار ويژه مي‌باشد. براي بدست آوردن مقادير ويژه معادله بالا از روش مطرح شده در فصل نهم استفاده مي‌گردد.

در حالت خاص و را محاسبه مي‌نماييم
بنابراين:

مثال: دراين مثال مدل طرح شده در شكل ۱۰-۱۰ در يك حالت خاص در نرم‌افزار ANSYS مورد تحليل و بررسي قرار خواهد گرفت. مدل المان محدود سيستم مذكور در شكل ۱۳-۱۰ ترسيم شده‌است.

شكل ۱۳-۱۰
حل:
براي مش‌بندي تيرها از المان Lonk 1 استفاده شده‌است. از آنجا كه المان مذكور خمش را مدل نمي‌كند اتصال دو تير به كمك گره رفتار« پين» را مدول خواهد كرد.
در اين مثال با توجه به ساده‌تر‌بودن استفاده از دستورات APDL بسياري از مراحل به كمك تايپ و اجراي اين دستورها انجام خواهد شد.
در نخستين گام از تحليل مدل بايد المان‌هاي مورد استفاده تعريف گردد در المانLink1 ( تير) و COMBIN14 ( فنر) به كمك منوي Main/menu/prep با دستورهاي زير تعريف مي‌گردند:

سطح مقطع تير را بعنوان ثابت حقيقي شماره ۱ تعريف مي‌نماييم لازم به يادآوري است كه اين ثابت تأثيري در مقدار پاسخ نخواهد داشت.
R,1,0.01
ضريب سختي فنرها را ۱۰۰۰ در نظر مي‌گيريم.
R,2,1000
ماده مورد استفاده را به كمك دستور مربوطه تعريف مي‌كنيم. مي‌دانيم خواص مكانيكي ماده اكنون نيز تأثيري بر پاسخ نخواهد داشت البته از انجائيكه لازم است شرط صلب‌بودن تيرها برقرار باشد مقدار مدول يانگ بايد بسيار بزرگ مثلاً۱۰۱۲ در نظر گرفته شود و دانستيه يك عدد غيرصفر تعيين نمي‌شود چون تحليل ديناميكي است.
اكنون گره‌هاي شماره ۱ تا ۵ را به كمك دستورهاي زير ترسيم مي‌كنيم.

براي ترسيم المانها ابتدا بايد نرم‌افزار المان مورد نظر و همچنين ثابت مربوطه Real Constant) )مشخص گردد فرض كنيد ابتدا مي‌خواهيم المانهاي تير را ترسيم نماييم يكي از دو روش زير را مي‌توان انجام داد:
( روش اول) تايپ دستورهاي APLD :
Type,1
Real,1
( روش دوم): اجراي دستور
Main/Prep/Create/Elements/Elem/Attributes
در پنچره‌اي كه باز مي‌شود المان Link1 و ثابت حقيقي شمارة ۱ را انتخاب نماييد.
پس از انتخاب المان و ثابت مورد نظر به كمك دستورهاي:

بين گره‌هاي (۲و۱) و (۳و۲) المان تير را قرار دهيد.مشابه همين عمل را تكرار نموده و المان شمارة ۲ همراه با ثابت شماره ۲ را انتخاب نماييد. المان فنر را بايد بين گره‌هاي (۴و۳) و(۵و۲) قرار دهيد.

به كمك دستور
Main/menu/Prep/Load/Apply/Displacement/On Nodes
قيد UX و UY را به گره‌هاي ۱و۴و۵ اعمال نماييد.
همچنين به كمك دستور
Main Menu/Prep/Loads/Apply/force/On Node
نيروي N 1- را در راستاي Y به گره ۳ اعمال كنيد. لازم به يادآوري است كه نرم‌افزار ANSYS مقدار بار بحراني ساده را به صورت تقريبي از بار اعمالي كاربر تعيين خواهد نمود.
از ‌آنجا كه بايد براي محاسبة ماتريس سختي( در حالت پيش‌تنش) يك تحليل استاتيكي انجام شود ابتدا دستور
Pstres,on
را اجرا نماييد تا مراحل مربوط به محاسبة ماتريس سختي انجام گردد سپس دستور
Main/Solution/Solve-Current-LS
را اجرا نماييد.

اكنون براي انجام تحليل كمانش مجدداً وارد منوي Solution شده.
با استفاده از دستور
Main/Solution/New Analysis
تحليل Eigen Buckling را انتخاب نماييد و پنجره اخطاري كه روي صفحه ظاهر مي‌شود ببنديد.
گام بعدي مشخص نمودن تعداد مودهاي موردنظر و روش مورد استفاده در تحليل مدل مي‌باشد. براي اين كار مي‌توان از دستور

Main/Solution/Analysis Options
استفاده نمود.
پنجره‌اي به صورت شكل ۱۴-۱۰ باز خواهدشد. روش مورد استفاده را reduced انتخاب نماييد. زيرا در نظر گرفتن حركت گره‌ها در جهت X، براي به دست آوردن جواب نسبتاً دقيق، كافي خواهدبود. در مقابل عبارت‌هاي No of Modes to Print , No of Modes to Extract عدد ۲ را تايپ نماييد. به اين وسيله به نرم‌افزار اعلام مي‌شود كه دو مورد كمانش را محاسبه و مقدار حاصل را در پنجرة ANSYS Output نمايش دهد.

شكل ۱۴-۱۰
لازم به تذكر است كه در واقع تنها محاسبة يك مود در تحليل كمانش كافي است زيرا گذر با اعمالي از ميزان بار بحراني تعيين شده توسط تحليل مود اول به معناي عدم تحمل بار توسط سازه خواهدبود و مقدار حداكثر بار قابل تحمل (حداقل مقدار بار بحراني) مورد نياز مهندس طراح مي‌باشد.

قبل از حل مدل بايد درجات آزادي اصلي( كه تعيين آنها در تحليل reduced لازم مي‌‌باشد.) مشخص گردد. براي اينكار دستور